线性代数(同济四word版)习题答案 第四章
第四章 向量组的线性相关性
1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.
解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T
=(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T .
3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T
=(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T .
2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T .
解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得
)523(6
1321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[6
1T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T .
3. 已知向量组
A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;
B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由
????? ?
?-=312123111012421301402230) ,(B A ????? ??-------971820751610402230421301 ~r ????? ??------531400251552000751610421301 ~r ????? ?
?-----000000531400751610421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
由
??
??
? ??-????? ??---????? ??-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.
4. 已知向量组
A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;
B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价.
证明 由
???
? ??-???? ??-???? ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B , 知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.
5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明
(1) a 1能由a 2, a 3线性表示;
(2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.
证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.
(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.
6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关:
(1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ;
(2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .
解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为
???
? ??-???? ??-???? ??-=000110121220770121101413121~~r r A , 所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.
(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为
0222
00043012||≠=-=B , 所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性无关.
7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？
a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T .
解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由
)1)(1(111111||+-=--=a a a a
a a A 知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关. 8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+
b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.
解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使
λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,
由此得 22
11121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=, 设2
11λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .
9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之.
解 不一定.
例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有
a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T,
而a1+b1,a2+b2的对应分量不成比例,是线性无关的.
10.举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组a1,a2,???,a m是线性相关的,则a1可由a2,???,
a m线性表示.
解设a1=e1=(1, 0, 0,???, 0),a2=a3=???=a m=0,则a1,a2,???,a m线性相关,但a1不能由a2,???,a m线性表示.
(2)若有不全为0的数λ1,λ2,???,λm使
λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0
成立,则a1,a2,???,a m线性相关, b1,b2,???,b m亦线性相关.
解有不全为零的数λ1,λ2,???,λm使
λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0,
原式可化为
λ1(a1+b1)+???+λm(a m+b m)=0.
取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,???,a m=e m=-b m,其中e1,e2,???,e m 为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,???,a m和b1,b2,???,b m 均线性无关.
(3)若只有当λ1,λ2,???,λm全为0时,等式
λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0
才能成立,则a1,a2,???,a m线性无关, b1,b2,???,b m亦线性无关.
解由于只有当λ1,λ2,???,λm全为0时,等式
由λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0
成立,所以只有当λ1,λ2,???,λm全为0时,等式
λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+???+λm(a m+b m)=0
成立.因此a1+b1,a2+b2,???,a m+b m线性无关.
取a1=a2=???=a m=0,取b1,???,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,???,a m线性相关.
(4)若a1,a2,???,a m线性相关, b1,b2,???,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,???,λm使
λ1a1+???+λm a m=0,λ1b1+???+λm b m=0
同时成立.
解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,
λ1a1+λ2a2 =0?λ1=-2λ2,
λ1b1+λ2b2 =0?λ1=-(3/4)λ2,
?λ1=λ2=0,与题设矛盾.
11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.
证明由已知条件得
a1=b1-a2,a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1,
于是a1 =b1-b2+a3
=b1-b2+b3-a4
=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1,
从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,
这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.
12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ? ? ?, b r =a 1+a 2+ ? ? ? +a r , 且向量组a 1, a 2, ? ? ? , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关. 证明 已知的r 个等式可以写成
??
??
? ??????????????????????????=???100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关.
13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:
(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由
????
? ??-????? ??--????? ??----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.
(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).
解 由
??
??
? ??--????? ??------????? ??------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.
14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:
(1)????
? ?
?4820322513454947513253947543173125; 解 因为
????? ?
?482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---????? ??531053103210431731253423~r r r r --????? ??00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. (2)????? ??---14
011313021512012211. 解 因为
????? ??---1401131302151201221113142~r r r r --????? ??------222001512015120122112343~r r r r +???
??
? ??---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
15. 设向量组
(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T
的秩为2, 求a , b .
解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为
???
? ??----???? ??---???? ??=5200111031116110111031113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a , 而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.
16. 设a 1, a 2, ? ? ?, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,? ? ?, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ? ? ?, a n 线性无关. 证法一 记A =(a 1, a 2, ? ? ?, a n ), E =(e 1, e 2,? ? ?, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使
E =AK .
两边取行列式, 得
|E |=|A ||K |.
可见|A|≠0,所以R(A)=n,从而a1,a2,???,a n线性无关.
证法二因为e1,e2,???,e n能由a1,a2,???,a n线性表示,所以
R(e1,e2,???,e n)≤R(a1,a2,???,a n),
而R(e1,e2,???,e n)=n,R(a1,a2,???,a n)≤n,所以R(a1,a2,???,a n)=n,从而a1,a2,???,a n线性无关.
17.设a1,a2,???,a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.
证明必要性:设a为任一n维向量.因为a1,a2,???,a n线性无关,而a1,a2,???,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,???,a n线性表示,且表示式是唯一的.
充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,???,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,???,e n能由a1,a2,???,a n线性表示,于是有
n=R(e1,e2,???,e n)≤R(a1,a2,???,a n)≤n,
即R(a1,a2,???,a n)=n,所以a1,a2,???,a n线性无关.
18.设向量组a1,a2,???,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,???,a k-1线性表示.
证明因为a1,a2,???,a m线性相关,所以存在不全为零的
数λ1, λ2, ? ? ?, λm , 使
λ1a 1+λ2a 2+ ? ? ? +λm a m =0,
而且λ2, λ3,? ? ?, λm 不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a 1=0, 由a 1≠0知λ1=0, 矛盾. 因此存在k (2≤k ≤m ), 使
λk ≠0, λk +1=λk +2= ? ? ? =λm =0,
于是
λ1a 1+λ2a 2+ ? ? ? +λk a k =0,
a k =-(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+ ? ? ? +λk -1a k -1),
即a k 能由a 1, a 2, ? ? ?, a k -1线性表示.
19. 设向量组B : b 1, ? ? ?, b r 能由向量组A : a 1, ? ? ?, a s 线性表示为
(b 1, ? ? ?, b r )=(a 1, ? ? ?, a s )K , 其中K 为s ?r 矩阵, 且A 组线性无关. 证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r . 证明 令B =(b 1, ? ? ?, b r ), A =(a 1, ? ? ?, a s ), 则有B =AK . 必要性: 设向量组B 线性无关.
由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有
r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r .
因此R (K )=r .
充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使??
? ??=O E KC r
为K 的标准形. 于是
(b 1, ? ? ?, b r )C =( a 1, ? ? ?, a s )KC =(a 1, ? ? ?, a r ).
因为C 可逆, 所以R (b 1, ? ? ?, b r )=R (a 1, ? ? ?, a r )=r , 从而b 1, ? ? ?, b r 线性无关.
20. 设
?????+???+++=?????????????????????+???++=+???++=-1
321312321 n n n n ααααβαααβαααβ,
证明向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 等价. 证明 将已知关系写成
??
???
? ????????????????????????????????=???0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为
0)1()1(0
111101*********||1≠--=???????????????????????????=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 等价.
21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.
(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ; 解 因为
AP =A (x , A x , A 2x )
=(A x , A 2x , A 3x )
=(A x , A 2x , 3A x -A 2x )
???
? ??-=110301000) , ,(2x x x A A , 所以???
? ??-=110301000B . (2)求|A |.
解 由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0.
22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:
(1)?????=-++=-++=++-0
2683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有
???
? ??--???? ??---=00004/14/3100401 2683154221081~r A , 于是得
???+=-=4
3231)4/1()4/3(4x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ;
取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T .
因此方程组的基础解系为
ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .
(2)?????=-++=-++=+--0
3678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有
???
? ??--???? ??----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A , 于是得
???+-=+-=4
32431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ;
取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T .
因此方程组的基础解系为
ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .
(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ? ? ? +2x n -1+x n =0.
解 原方程组即为
x n =-nx 1-(n -1)x 2- ? ? ? -2x n -1.
取x 1=1, x 2=x 3= ? ? ? =x n -1=0, 得x n =-n ;
取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ? ? ? =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1; ? ? ? ;
取x n -1=1, x 1=x 2= ? ? ? =x n -2=0, 得x n =-2.
因此方程组的基础解系为
ξ1=(1, 0, 0, ? ? ?, 0, -n )T ,
ξ2=(0, 1, 0, ? ? ?, 0, -n +1)T ,
? ? ?,
ξn -1=(0, 0, 0, ? ? ?, 1, -2)T .
23. 设??
? ??--=82593122A , 求一个4?2矩阵B , 使AB =0, 且 R (B )=2.
解 显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为
??? ??---??? ??--=8/118/5108/18/101 82593122~r
A , 所以与方程组A
B =0同解方程组为
???+=-=4
32431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ;
取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T .
方程组AB =0的基础解系为
ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T .
因此所求矩阵为????
? ??-=800811511B .
24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为
ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .
解 显然原方程组的通解为
????? ??+????
? ??=????? ??01233210214321k k x x x x , 即?????=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x , (k 1, k 2∈R ), 消去k 1, k 2得
???=+-=+-0230324
31421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.
25. 设四元齐次线性方程组
I : ???=-=+004221x x x x , II : ???=+-=+-004
32321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解.
解 (1)由方程I 得???=-=4
241x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ;
取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T .
因此方程I 的基础解系为
ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T .
由方程II 得???-=-=4
3241x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ;
取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T .
因此方程II 的基础解系为
ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T .
(2) I 与II 的公共解就是方程
III : ?????=+-=+-=-=+00004
323214221x x x x x x x x x x 的解. 因为方程组III 的系数矩阵
??
??
? ??--????? ??---=0000210010101001 1110011110100011~r A , 所以与方程组III 同解的方程组为
?????==-=4
342412x x x x x x . 取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为 ξ=(-1, 1, 2, 1)T .
因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .
26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明
R (A )+R (A -E )=n .
证明 因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知
R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,
由此R (A )+R (A -E )=n .
27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明
?????-≤-===2
)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当. 证明 当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有
|AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0,
所以R (A *)=n .
当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有
AA *=|A |E =0,
即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1.
当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0.
28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:
(1)?????=+++=+++=+3
223512254321432121x x x x x x x x x x ;
解 对增广矩阵进行初等行变换, 有
???
? ??--???? ??=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为
?????=+=--=2
13 8
43231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为
?????==-=0
4323
1x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .
(2)?????-=+++-=-++=-+-6
242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有
???
? ??---???? ??-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为
???--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(4
32431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解
η=(1, -2, 0, 0)T .
与对应的齐次方程组同解的方程为
???-=+-=4
32431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系
ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .
29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1, η2, η3是它的三个解向量. 且
η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,
求该方程组的通解.
解 由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得
2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T
为其基础解系向量, 故此方程组的通解:
x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).
30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1,
4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时
(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;
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第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
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《线性代数》期终试卷1 （ 2学时） 本试卷共七大题 一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)： 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 ()； 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随 矩阵, 则的行列式()； 3.(4分)设, , 则 ()； 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()； 5.(3分)二次型经过正交变换可化为 标准型,则()；
6.(3分)行列式中的系数是()； 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个 解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。 二、计算行列 式： (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。
(满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型， (1)写出二次型的矩阵表达式； (2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型； (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量 不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。
《线性代数》期终试卷2 （ 2学时） 本试卷共八大题 一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）： 1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵 。（） 2.若矩阵和矩阵满足，则 。（） 3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交 阵。（） 4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本 身。（） 5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有 。（）
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第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.
解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,???, (2n -1)(2n -2)(n -1个) (6)1 3 ??? (2n -1) (2n ) (2n -2) ??? 2.
同济大学线性代数第五版课后习题答案
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2 +ca 2 +ab 2 -ac 2 -ba 2 -cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个)
同济版_工程数学-线性代数第五版答案
同济版 工程数学-线性代数第五版答案 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.
解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) (6)1 3 × × × (2n -1) (2n ) (2n -2) × × × 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个)
同济大学线性代数第六版答案(全)
同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详 解 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3 811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2 ( 4) 3 0( 1) ( 1) 11 8 1 3 2 ( 1)8 1 (4)(1) 24 816 4 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )
(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3 (x y ) 3 x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各 排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n ) (2n 2) 2