一元二次方程的概念及解法一对一辅导讲义讲课讲稿
一元二次方程的概念及解法一对一辅导讲
义
1、了解一元二次方程的概念；
2、了解一元二次方程的解，并能熟练运用四种方法去解；
3、经历一元二次方程的概念的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。 第一课时 一元二次方程的概念及解法知识梳理
1、如果()a a 21122
-=-，则（ ） A 、21a D 、21≥a
2、若a a a a +-+--=21212成立，则a 为__________
3、已知0 ＜x ＜1，化简：4)1(2+-x x －4)1(2-+x x
4、 9814313212
11++???++++++
5、x y xy -==512，，求x xy y 22-+的值
知识梳理
课前检测
一、一元一次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．
就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax
注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式
(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）
(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：
①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
二、一元一次方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；
三、一元二次方程的解法
（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
第二课时 一元二次方程的概念及解法典型例题
题型一：一元二次方程的概念
例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ()()12132+=+x x
B 02112=-+x x
C 02=++c bx ax D
1222+=+x x x
变1.（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
(2)方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
题型二：一元二次方程的解
例2.已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
变2.（1）关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值
为 。（说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.） 典型例题
（2）已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
（说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。） 题型三：一元二次方程的解法
类型一、直接开方法： 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如()m x m m x ±=≥=其解为：,02
※对于()m a x =+2，()()2
2n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 例3.解方程：();08212=-x （2）
7)132=+x （ ()();09132
=--x
变3.（1）（x ＋2）2－16＝0； （2）(x －1)2－18＝0；
（3）(1－3x)2＝1； （4）(2x ＋3)2－25＝0.
类型二、配方法
基本步骤 :1.先将常数c 移到方程右边 2.将二次项系数化为1
3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方
4.方程左边成为一个完全平方式： ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例4.试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。
变4.（1）已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
（2）已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。
一元二次方程的概念
一元二次方程的概念 知识点： 一、一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程称为一元二次方程。 识别一元二次方程必须抓住三个方面： （1）整式方程 （2）含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2次 【例】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？说说你的理由. (1)16x 2= (2)0125x 2=--x (3)032x 2=-+y (4)03x 1 2=-+x (5)0x 2= (6)052x 24=--x 二、一元二次方程的一般形式：02 =++c bx ax （a ≠0） 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式：02=++c bx ax （a ≠0）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 【整理】2ax 是二次项，a 是二次项系数， bx 是一次项，b 是一次项系数， c 是常数项. 例1.把6)4)(3(-=-+x x 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次 项系数和常数项。 例2.指出 mx 2-nx-mx+nx 2=p 二次项，一次项，二次项系数，一次项系数， . 练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项，常数项。 ①()x x x x 3422 -=- ②()()2 21248-+=+x x x ③12132=+-x x ④ ()0p 2 2≠+-=++-n m q nx mx nx mx 小结：理解一元二次方程以下方面入手： （1）一元：只含有一个未知数，"元"的含义就是未知数 （2）二次：未知数的最高次数是2，注意二次系数不等于0. （3）方程：方程必须是整式方程，这是判断的前提。
等腰三角形一对一辅导讲义
教学目标 1.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一． 2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明． 重点、难点 1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一. 2、等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。 考点及考试要求 1、等腰三角形的性质 2、等腰三角形的证明 教 学 内 容 第一课时 等腰三角形知识梳理 1、 已知线段a ，h （如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC ，使底边BC ＝a ，BC 边上的高线为h 。 2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm ，5cm ，这个三角形的周长是 cm 。 3、 请写出周长为8cm ，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。 4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。 5、已知：如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为点D 。求证：∠DBC=21∠A 。 课前检测 A B C D
图2-5 A B C D （1）等腰三角形的定义 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（如下图AB=AC ），相等的两边叫做腰（AB 和AC ），另一边叫底边（BC ），两腰的夹角叫做顶角（A ∠），腰和底边的夹角叫做底角（C ∠∠和B ） （2）等腰三角形的性质 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中，等边对等角”。 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。简称等腰三角形三线合一。 注：上述性质指导学生通过证全等自己来推理 （3）等边三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形，各边相等，各角均为60度。 第二课时 等腰三角形典型例题 题型一：根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度 例1：等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为 【点拨】：本题的考点是等腰三角形两底角相等，但题目中没有明确是 底角：顶角=1:2还是 顶角：底角=1：2，所以要分两种情况进行讨论，根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数，很多学生容易漏掉一种情况。 变1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为 度。 知识梳理 典型例题
一元二次方程的基本解法
第一讲：一元二次方程的基本解法 【知识要点】 ① 一元二次方程及其标准形式： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程。 形如ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 为常数，且a≠0)的方程叫一元二次方程的标准形式。 任何一元二次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，转化为标准形式。 ② 一元二次方程的解法主要有： 直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法。 一元二次方程的求根公式为x 1,2=)04(2422≥--±-ac b a ac b b . ③一元二次方程解（根）的含义：使方程成立的未知数的值 【经典例题】 例1、直接开平方法 （1）x 2－196＝0; （2）12y 2－25＝0； （3）（x ＋1）2－4＝0； （4）12（2－x ）2－9＝0. 例2 、配方法： （1）x 2－2x ＝0； （2）2 12150x x +-= （3）24x 2x 2=+ （4）17x 3x 2+= 例3 、求根公式法： (1) 1522-=x x (2) 052222 =--x x
（3）（x ＋1）（x －1）＝x 22 （4）3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1). 例4 、因式分解法： (1) x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. (2)4x 2 ＋19x －5＝0； (3) ()()2232 -=-x x x （4）x （x ＋1）－5x ＝0. 例5、换元法解下列方程： （1）06)12(5)12(2=+---x x (2) 06)1 (5)1(2=+---x x x x 例6、配方法的应用：求证：代数式122+--x x 的值不大于 4 5.
一元二次方程的定义教案
第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知
你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠
讲义一元二次方程讲义
考点一、概念 (1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax （3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 考点二、方程的解 ⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：①利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制. 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。 例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a 变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则 a b b a +的值为 。 针对练习：
初中一对一精品辅导讲义：圆与圆的位置关系.docx
教学目标 重点、难点考点及考试要求1、了解圆与圆的五种位置关系； 2、经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并运用相关结论解决问题； 1、位置关系与对应数量关系的运用 2、两圆的位置关系对应数量关系的探索 1、圆与圆的五种位置关系 2、两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系 教学内容 第一课时圆与圆的位置关系知识点梳理 课前检测 1、⊙ O的半径是 6，圆心到直线l的距离为 3，则直线l与⊙ O的位置关系是（） A．相交B．相切C．相离D．无法确定 2、如图 1，AB与⊙ O切于点 B， AO＝6 ㎝， AB＝ 4 ㎝，则⊙ O的半径为（） A、4 5 ㎝ B、25 ㎝ C、2 13㎝ D、13 ㎝ 3、如图 2，已知⊙ 0 的直径 AB与弦 AC的夹角为 35°，过 C点的切线 PC与 AB的 延长线交于点 P，则么∠ P 等于（） A．150B．200C．250D．300 图 1图2图3 4、如图 3，AB与⊙ O切于点 C， OA=OB，若⊙ O的直径为 8cm，AB=10cm，那么 OA的长是（） A．41B．40 C. 14 D. 60 5、已知：如图，△ ABC中， AC＝BC，以 BC为直径的⊙ O交 AB于点 D，过点 D 作 DE⊥ AC于点 E，交 BC的延长线于点 F． 求证：（ 1） AD＝BD；（2）DF是⊙ O的切线．
知识梳理 （一）两圆位置关系的定义 注：（ 1）找到分类的标准： ①公共点的个数； ②一个圆上的点是在另一个圆的内部还是外部 （2）两圆相切是指两圆外切与内切 （3）两圆同心是内含的一种特殊情况 （二）两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系：两圆的半径分别为R、r ，圆心距为 d，那么 两圆外离 d ＞ R＋r 两圆外切 d =R＋r 两圆相交R－ r＜ d ＜ R＋ r （ R≥ r ） 两圆内切 d =R－r （R ＞ r ） 两圆内含 d ＜ R－r （R ＞ r ） （三） . 借助数轴进一步理解两圆位置关系与量关系之间的联系
2016中考数学二轮复习-二次函数与一元二次方程的综合
2016中考数学二轮复习-二次函数与一元二次方程的综合
第一讲：二次函数与一元二次方程的综合 内容 要求 中 考分值 考察类型 二次函 数与一元二次方程综合题 会根据二次函数的解析式求 其图象与坐标轴的交点坐标， 会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 7 二次函数与一元二次方程 1. 熟练掌握二次函数的有关知识点 2. 掌握二次函数与一元二次方程的联系。 【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =（a －1）x 2 +2x +1与x 轴有交点，a 为正整数. （1）求a 的值. （2）将二次函数y =（a －1）x 2 +2x +1的图象向右平移m 个单位， 例题精讲 方法策略 考试要求 y x 1 1O
a ≠ ………… …………1分 即() ()2 2314210 a k --?-=，且2 -10 k ≠ =3 k ……………………3分 （2）∵二次函数与x 轴有两个交点， ∴ 2-40 b a c ＞，且 a ≠． ……………………４ 分 即2 -30k （）＞，且±k ≠1． 当3k ≠且1k ≠±时，即可行． ∵A 、B 两点均为整数点，且k 为整数 ∴1 2 2 2 -1+-3-1+-3-42==== -1-1-1+1 k k k k k x k k k k （3）（）342（）2（）2（） 2222-1--3-1-+3+21==== -1-1-1-1 k k k k k x k k k k （3）（）322（）2（）2（） (5) 分 当=0k 时，可使1 x ，2 x 均为整数， ∴当 =0 k 时， A 、 B 两点坐标为 (-10) ，和 (20) ，……………………6分 【例3】 已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），
一元二次方程基本概念
一元二次方程基本概念 1、基本概念： 方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程（等式），叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 2、解方程常用方法： (1). 直接开平方法: 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解 形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n= (2).配方法： 左边不含有x的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有x的完全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。 转化过程如下： x2-64x+768=0 移项→x2-64x=-768 两边加（ 64 2 ）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024 左边写成平方形式→（x-32）2=?256 ? 降次→x-32=±16 即x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16 可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根 例1．解下列方程 （1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．
解：（1）移项，得：x 2+6x=-5 配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得：2x 2+6x=-2 二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1 配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54 由此可得x+32=x 132，x 232 （3）去括号，整理得：x 2+4x-1=0 移项，得x 2+4x=1 配方，得（x+2）2=5 x+2=x 1，x 2 总结用配方法解一元二次方程的步骤． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． （3）公式法： 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，它的两个根 x 1=2b a -+， x 2=2b a - 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a =±2a
反比例函数一对一辅导讲义
A B C D 性质 1．图象在第一、三象限； 2．每个象限内，函数y的值随x 的增大而减小． 1．图象在第二、四象限； 2．在每个象限内，函数y值 随x 的增大而增大． 典型例题： 例1．函数y=（a-1）x a是反比例函数，则此函数图象位于（） A．第一、三象限；B．第二、四象限；C．第一、四象限；D．第二、三象限 例2.函数 x m y=与)0 (≠ - =m m mx y在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）。 例3．在同一平面直角坐标系中,函数y=k(x－1)与y=)0 (< k x k的大致图象是( )。 A B C D 例4.若) , 2 1 ( ), , 4 1 ( ), , 2 1 ( 3 2 1 y P y N y M- -三点都在函数x k y=（k<0）的图象上，则 3 2 1 , ,y y y的大小关系是（） A． 1 3 2 y y y< 1．老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质： 甲：函数的图象经过第一象限； 乙：函数的图象经过第三象限； 丙：在每个象限内，y 随x 的增大而减小． 请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数： 。 2．已知一个矩形的面积为24cm 2，其长为ycm ，宽为xcm ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 3．函数y=－ax+a 与y= x a -（a ≠0）在同一个坐标系中的图像可能是（ ）。（2004青岛） （ 4．若),2 1(),,4 1(),,2 1(321y P y N y M --三点都在函数x k y = （k<0）的图象上，则321,,y y y 的大小关系是（ ） A ．132y y y << B ．312y y y << C ．213y y y << D ．123y y y << 5．如图，直线y ＝kx(k ＞0)与双曲线x y 4 =交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1＝_________。 x y o x y o x y o x y o 题型切片（四个）对应题目 题 型 目 标 一元二次方程的概念例1；例2；演练1；例8 直接开平方法解一元二次方程例3；例4；演练2； 配方解一元二次方程例5；例6；演练3；演练4； 因式分解法解一元二次方程例7；演练5． 模块一一元二次方程的概念 知识互联网 一元二次方程的基本解法 题型切片 定 义 示例剖析 一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ⑴整式方程． ⑵方程中只含有一个未知数． ⑶化简后方程中未知数的最高次数是2． ⑷二次项的系数不为0 22210x x -+= 此方程满足： 整式方程； 只含有一个未知数x ； x 的最高次数是2，系数是2 所以这个方程是一个一元二次方程． 一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠． 其中2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项． 一元二次方程22210x x -+=， 其中221a b c ==-=，，． 一元二次方程的根： 如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程 20(0)ax bx c a ++=≠的一个根． 1满足2110-=，则1是方程20x x -=的一个根．0满足2000-=，则0是方程20x x -=的另一个根．∴0,1是方程20x x -=的两个根，表示为12=0, =1x x 一元二次方程都可化成如下形式： 20ax bx c ++=（0a ≠） ． 1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形． 2．一般形式中，b 、c 可以是任意实数，而二次项系数0a ≠，若0a =，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对b 进行讨论． 3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定a 、b 、c 的值，不要漏掉．．符号．． ． 4．项及项的系数要区分开． 建议 强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今 后学习基本初等函数时也要使用． 【例1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程． 【例2】 ⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵ 4 13 x =+ ⑶ 210x -=； 【例3】 ⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2 2 33x x +=-； 【例4】 夯实基础 知识导航 一元二次方程 ●夯实基础 例1 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围_________． 例2 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． ●能力提升 1、已知方程2240a b x x x --+=是关于x 的一元二次方程，求a =______、b =______． 2、若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数 ●培优训练 例3 m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m --+=是一元二次方程． 例4已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． ●练习 1、m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程． 2、已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 3、已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 4、若 2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． 5、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为________ ●夯实基础 (1)2269(52)x x x -+=- 21)x -= (3) 211 063 x x +-= (4) 231y += 板块一 一元二次方程的定义 板块二 一元二次方程的解与解法 第一课时 实数知识梳理 1.立方根等于本身的数是; 2.如果,113a a -=-则=a . 3.64-的立方根是, 3)4(-的立方根是. 4.已知163+x 的立方根是4，求42+x 的算术平方根. 5.已知43=+x ，求33)10(-x 的值. 6.比较大小： （1）32.13 1.2， （2）3 32-34 3-， （3）337。 课前检测 1.实数的分类 ???????????????? ????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意：无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环. 无理数有三类：（1）开方开不尽的数； （2）特定意义的数如π等； （3）特定结构的数如0.1010010001 等. 2. 平方根，立方根，n 次方根 （1）.若一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。求这个数的平方根的运算叫做开平方， a 叫做被开方数。 要点：①正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，可以用a ±来表示。其中a 表示a 的正平方根 （又叫算术平方根），读作“根号a ”， a -表示a 的负正平方根，读作“负根号a ”；负数没有平方根；零的平方根是零。 ②开平方与平方互为逆运算： 一个数的平方根的平方等于这个数：即220()()a a a a a >=-=当时，，； 2222 ;?0;0? a a a a a a a a a a ??=??>? ?-=-??? ???=-? 第一讲一元二次方程的定义及解法 1.1 一元二次方程的定义 知识网络图 定义 直接开平方法 一元二次方程配方法 解法 公式法 因式分解法 知识概述 1．一元二次方程的概念： 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如ax2bx c 0（a 0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项． 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根课堂小练1．（2018?马鞍山二模）已知 a 是方程x2﹣2x﹣1=0 的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（） A ． 1 B．﹣ 2 C．﹣ 2 或 1 D ．2 2（．2018?岐山县二模）若关于x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0 有一个根为1，则m 的值为（ ） A ．1 B．3 C．0 D．1 或3 3．（2017 秋?潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x 的一次项系数是（） A ．﹣ 5 B．﹣9 C．0 D ．5 课后练习 1．（2018?荆门二模）已知 2 是关于x 的方程x2﹣（5+m）x+5m=0 的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（） A ．9 B．12 C．9 或12 D． 6 或12 或15 2．（2018?河北模拟）若关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+4=0 的解是x=2，则2020+2a﹣b 的值是（） A ．2016 B ．2018 C．2020 D．2022 3．（2017 秋?武城县期末）若关于x 的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m 2﹣3m+2=0 的常数项为0，则m 等于 21.1 一元二次方程说课稿 各位评委老师好： 我今天说课的题目内容是：一元二次方程。这节课我将从教材、目标、教法、过程、板书这五方面进行分析。 一、教材的地位和作用 一元二次方程是新人教版九年制义务教育课本中九年级上第21 章的第一节内容，是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习二次函数、可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式等知识的基础。此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念。一、内容和内容解析 二、教学目标 根据大纲的要求、本节教材的内容和学生已有的知识经验，确定本节课的三维目标：知识与能力目标：（1）继续体会方程是刻画数量关系的一个有效数学模型；（2）理解一元二次方程的概念，一般形式，会将一元二次方程化成一般形式，正确识别一般形式中的项和系数； （3）培养学生观察、类比、归纳的能力。 过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。 3、教学重点与难点 要运用一元二次方程解决生活中的实际问题，首先必须了解一元二次方程的概念，而概念的教学又要从大量的实例出发。教学重点：理解一元二次方程的概念，掌握它的一般形式。教学难点：；一元二次方程的概念，正确识别一般式中的项及系数。 三、教法、学法： 因为学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、类比法教学。教学中力求体现“问题情景--- 数学模型----------- 概念归纳” 的模式。指导学生从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点。同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。 四、教学过程设计1．创设情境，引入新知 请同学们阅读本章的章前问题--- 雕像的黄金分割问题，并回答： 课 5.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2kx+ 中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象授课教师 授课时间授课题目第四单元预习、看图说话课型综合使用教具讲义 教学目标 1.预习第14课、15课 2.提高学生的观察能力、想象能力。 教学重点和难点看图作文的思维训练 参考教材小学语文课本 教学流程及授课详案 一、听老师讲故事 守株待兔的故事 宋国有一个农民，每天在田地里劳动。 有一天，这个农夫正在地里干活，突然一只野兔从草丛中窜出来。野兔因见到有人而受了惊吓。它拼命地奔跑，不料一下子撞到农夫地头的一截树根上，折断脖子死了。农夫便放下手中的农活，走过去捡起死兔子，他非常庆幸自己的好运气。 晚上回到家，农夫把死兔交给妻子。妻子做了香喷喷的野兔肉，两口子有说有笑美美地吃了一顿。 第二天，农夫照旧到地里干活，可是他再不像以往那么专心了。他干一会儿就朝草丛里瞄一瞄、听一听，希望再有一只兔子窜出来撞在树桩上。就这样，他心不在焉地干了一天活，该锄的地也没锄完。直到天黑也没见到有兔子出来，他很不甘心地回家了。 第三天，农夫来到地边，已完全无心锄地。他把农具放在一边，自己则坐在树桩旁边的田埂上，专门等待野兔子窜出来。可是又白白地等了一天。 后来，农夫每天就这样守在树桩边，希望再捡到兔子，然而他始终没有再得到。但农田里的苗因他而枯萎了。农夫因此成了宋国人议论的笑柄 启示：这个成语故事比喻不主动努力，而存万一的侥幸心理，希望得到意外的收获。主要告诉我们的道理是：只有通过自己的劳动，才能有所收获，否则终将一无所获，留下终身遗憾。 二、第四单元预习 一、会读词语。（熟读） 相得益彰管中窥豹一叶障目泰山水到渠成葫芦藤盯着邻居 枣树深浅光秃秃忍受好呗虽然抽水继续行驶无影无踪 责怪酸甜葡萄迫不及待生硬泡茶吃饱长袍鞭炮 二、生字扫描 第14课：《我要的是葫芦》 言（发言）（言语）（言论）每（每天）（每组）（每人） 治（治病）（治好）（治疗）棵（一棵树）（一棵树苗） 挂（挂念）（牵挂）（挂号）哇（好哇）（行哇）（哇哇叫） 怪（奇怪）（怪事）（怪物）慢（慢走）（慢慢）（慢行）时间分配及备注 听老师讲故事，第四单元预习：30分钟。 第一讲：一元二次方程的概念和解法 一、知识点1: 1: 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程叫做一元二次方程? 2：一般形式： ax2 + bx+ c= 0(a、b、c 是已知数，a^0) 其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. 3:相关练习： 1、下列方程中，是一元二次方程的是( ) 2 A、x =1 B、X——-_ =1 C、，x -1 x2 = 1 D、x‘ x 1 = 0 x 2 2 2、如果(m 3)x2 -mx ? 1 = 0是关于x的一元二次方程，则( ) A、m - 3 且 m = 0 B、m -j 3 C、m -j 0 D、m - 3 3、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( ) A、3x =4x m B、ax -8=0 C、x y =0 D、-6xy - y 7 = 0 4、关于x的方程kx23x2 1是一元二次方程，则k的取值范围是_____________ 。 5、判断下列方程是否为一元二次方程： (1 )、—3x2+2x+y2=0 (2)、xx2-2 ^x-x 2 (3)、y2 =0 (4)、2 x1 (2x3 x k 6、关于x的方程(k 1)x' kx ^0是一元二次方程，求k的值。 7、__________________________________________ x(2x- 1) — 3x(x- 2)=0 — 二次项系数：_____ ; 一次项系数：_______ 常数项： ______ ； 2x(x— 1)=3(x + 5) — 4 —_______________ 二次项系数：_____ ; 一次项系数：_____ 常数项：________ . &关于x的一元二次方程(a-1)x2? a2-仁0的一个根为0,则a的值为( ) 1 A、1 B、-1 C、-1或 1 D、- 2 9、已知关于x的一元二次方程(m-2) x2 + 3x+ m2— 4=0有一个解是0,则 m= 。 10、关于x的方程mx2— 3x=x2- mx+2是一元二次方程的条件是_____________ . 11、已知x2-x-1=0,求-x3 2x2 2009 的值 二、知识点2 一元二次方程的解法： 一元二次方程的概念整理： 1. 一元二次方程的概念： （1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。 （2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），才能确定a 、b 、c 的值。 一元一次方程与一元二次方程的区别和联系 2. 一元二次方程的解法： 熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点。 一元二次方程的基本解法有四种： （1）直接开平方法： ()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。 ax b c a c +=≠≥200() （2）配方法： ()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次 项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。 1x px p x m n n 22 220+?? ?? ?+=≥() （3）公式法： 用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。 关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式）， 若，则代入求根公式。a b c b ac b ac x b b ac a ?=--≥=-±-22 244042 （4）因式分解法： 适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。 我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。 对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。 3. 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。 4. 一元二次方程的根与系数的关系： ()已知、是一元二次方程＋＋＝的两个根，那么，，，逆命题也成立。x x ax bx c a x x b a x x c a 122121200≠+=-?= 一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。 （2）不解方程，求某些代数式的值。 （3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。 （4）已知两数和与积，求这两个数。 （5）二次三项式的因式分解。 …… 运用根与系数的关系，可以大大缩减了复杂的运算量，避免进行无理数的计算。 注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。?≥≠???00a 5. 二次三项式的因式分解： 在实数范围内分解二次三项式ax 2＋bx ＋c （a ≠0），可先用求根公式求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根x 1、x 2，然后写成ax 2＋bx ＋c ＝a （x －x 1）（x －x 2）。当a ≠1时，分解时注意不要忘了a 。 ()()例如：x x x 2555-=+- 6. 可化为一元二次方程的分式方程的解法： 解分式方程的常用方法是去分母，换元法转化为整式方程求解。 解分式方程时，一定要注意验根，验根后要写结论。 一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义） 一、知识点睛 1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有： ①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）； 1人患了流感，经过两轮传染． 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证． 二、精讲精练 1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是 （ ） A ．7错误!未找到引用源。，4 B ．7 2-，2 C ．7 2，2 D ．72 ， -2 2. 若x 1 =2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则 该方程的另一个根x 2=_________，a =________． 3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是 ____________________． 4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是则m =________． 5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的 百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2289(1)256x -= B ．2256(1)289x -= C ．289(12)256x -= D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/ 米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均 一个人传染了________________个人．一元二次方程的概念及解法
一元二次方程讲义-绝对经典实用教案.doc
实数一对一辅导讲义
1、一元二次方程的定义及解法
一元二次方程的概念说课稿
初中一对一精品辅导讲义：一元二次方程应用
题
一元二次方程的应用
1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。
教学目标
重点、难点 考点及考试要求
会运用一元二次方程解决简单的实际问题 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题
教
第一课时
学
内
容
一元二次方程的应用知识梳理
课前检测
1.已知三角形两边长分别为 2 和 9,第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根, 则这个三角形的周 长为( A.11 ) B.17 C.17 或 19 D.19
2.已知两数的积是 12,这两数的平方和是 25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）. (3 ? x)2 ? x2 ? 5 （2）. x2 ? 2 3x ? 3 ? 0
4．若方程（m－2）xm2－5m+8+(m+3)x+5=0 是一元二次方程，求 m 的值
1 2 k -2=0. 求证:不论 k 为何值,方程总有两不相等实数根. 2
知识梳理
、答 ?步骤：设、列、解、验 ? ?增长率（降低率）问题 ? ? ? ? ?利润问题 1. 一元二次方程的实际应用 ? ? ?常见类型?面积问题 ?数字问题 ? ? ? ? ? ?动点问题 ?
2. 解题循环图：
3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。
第二课时
一元二次方程的应用典型例题二年级语文一对一辅导讲义
第一讲.一元二次方程的定义及解法
一元二次方程的概念整理
5一元二次方程的应用尖子班讲义