圆的标准方程教案.doc

题目 2.3.1圆的标准方程

高一年级上课地点田家炳

新授课黑板，彩色粉笔，直尺，圆规

教学方法启发式教学，讲解法

1、知识与技能目标：

1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程；

2.会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟练地求出圆

心和半径；由不同的已知条件求得圆的标准方程。

3.掌握点与圆位置关系的判定

2、过程与方法目标

1 .进一步培养学生用代数方法研究儿何问题的能力；加深对数形结合思想的理解和

加强对待定系数法的运用；

2.利用圆的标准方程解决简单的实际问题，加鼓学生理论联系实际的能

情感态度与价值观目标

1 .培养学生主动探究知识、合作交流的意识;

2.在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

圆的标准方程的求法及应用

提醒学生注意圆心在不同位置时圆的标准方程的不同形式。同学独立思考，给出答案。

程.我们把它叫做圆的标准方程.

那同学们观察一下圆的标准方程形式有什么特点？思考一下当圆心在原点时，X轴上，y轴上时，圆的方程是什么？

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x, y 的系数都是1?点(a, b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.

且当圆心在原点即C(0, 0)时，方程为x~+y2=r~

圆心在%轴上时：(工―=R2 Q.二0)

圆心在y 轴上时：x2+(y-b)2= r2(r 0)

学程教过讲

授

新

课

圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆,

所以，只要a, b, r三个量确定了且r>0,圆的方程就给定了.这

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件.注意，确

定a、b、r,可以根据条件，利用待定系数法来解决.

口头练习

1说出下列圆的圆心和半径：

(1)(x-3)2+(y-2)2=5；

(2)(2x+4)2+(2y-4)2=8；

(3)(x+2)'+ (m^O)

总结：己知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心

和半径.

2、⑴圆心是(3, -3),半径是2的圆是

教师注

意提醐

同学语

言精练

准确。

学生独立

总结，

确定圆

的标准

方程的

必要条

件。

(2)以(3, 4)为圆心，且过点(0, 0)的圆的方程为( )

总结：根据圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.

容易看出，如果点M。(X。, V。

点到圆心的距离大于圆的半径r,即

)在圆外，则

(X。-a)2 +()\)-b)2 > r~

如果点M。(xo , y。)在圆内，则点到圆心的

距离小于圆的半径r,即

(尤0 一+()% -b)2 < r~

当然我们刚才做的练习题都是比较简单的，那当遇到比

较复杂的条件时，我们怎么来确定圆的标准方程呢？我们来

做下面的一道

确定点

与圆的

位:置美

系的条

件。

例1根据下列条件，求圆的方程：

(1)圆心在点C (-2, 1)，并过点(2, -2)的圆。

(2)圆心在点C(l,3),新直线3x-4y-6 = 0相切的圆的方

程

(3)过点(0, 1)和点(2, 1),半径为。

分析：圆心和半径是圆的两要素，只要确定圆心坐标和半径就可以写出圆的方程。

解：(1) ..?点(2, -2)在圆上，.?.所求圆的半径为i-|CA| 二二5.

乂因为圆的圆心为(-2,1),所以所求圆的方程为(x+2)4(y-1)J 25

(2)已知圆心坐标C(l,3),故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程。因为圆C和直线3X-4>'-6=0相切，所以半径厂就等于圆心C (1,3) 到这条直线的距离。根据点到直线的距离公式，得

13x1-4x3-61 15 -

r = / =—=——=3。

7?+(-4)2 5

因此，所求的圆的方程是

(X-1)2+(^-3)2 =9.o

(3)不能直接确定圆心坐标时，要使用待定系数法。设圆

心坐标为(a, b)，则圆的方程为

(x~a) 2+(y-b)2=52.

已知圆过点点(0,1), (2, 1),带入圆的方程，得

解得或

因此，所求圆的方程为

(工-1)2 +()' + 1)2 =5 .或(工-1)2 +3—3)2 =5

小结本题：求圆的方程的方法

(1)定义法：直接求出圆心坐标和半径

⑵待定系数法：步骤是

%1设圆的标准方程为：(x-a)2 +(y-b)2 = r

%1由条件列方程(组)解之得的值(3)写出圆的

标准方程

例2经过点A(6,0), 8(1,5)两点，且圆心在直线教师亲

自讲解

例题的

解题过

&看同

学反应

情况给

予适当

提醒、

启发。

教师注

意多种

方法解

题。

教师应

该注意

提醒学

生熟练

掌握做

文字叙

述题。

学生独立

思考，自

觉发言。

学生独立

思考，a

觉发言。

学生自己

练习做题

步骤，然

后独立思

考。

教师书

写板

书，规

范答题

过程

通过简

单的例

题的学

习，熟

悉圆的

标准方

程的基

本建立

方法。

讲

授

新

课

学程

教过

学程教过讲

授

新

课

Z:2x-7y + 8 = 0上的圆的方程'

分析：由题意得，圆心在线段AB的垂直平分线上, 乂在

直线I上，所以圆心是直线I与m的交点。将直线|与m

的方程联立，解方程组，可以求出圆心坐标，再由圆心及

圆上一点的坐标可以求出圆的半径。

解法一:

由题意得AB的中垂线方程为x-y-\=O

,解之得:

心为C(3,2)

)

又半径.?.

r

=| CA 1=

所求的圆的标准方程为：

(X-3)2+(V-2)2=13

解法二:

小结本题：注意多种方法解题。

教师注

意多种

方法解

题。

题目较

为困难,

教师在

课堂上

讲解时

对同学

启o

学生叙述

思路,同

学间交流

发现不同

解法。

教师书

写板书,

规范答

题过程

同学在课

堂练习，

一名同学

在黑板演

示

课堂练习与提高

1.圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的方程为()

A.子 +(),一4)2=25

B.尸 +(),+ 4)2 = 25

C.(X-4)2+/=25

D.(x + 4)2 + y2 =25

2.已知圆的方程为(*一2)2 + ()，—3沪=4 ,则点

P(3,2)()

A.是圆心

B.在圆上

C.在圆内

D.在圆外

3.圆C:(x-2)2+(y + l)2=3的圆心坐标是()

A. (2,1)

B. (2,-1)

C.(—2,1)

D. (-2,-1)

4.以原点为圆心，4为半径的圆的方程为()

A.x2 + y2 =4

B.x2 + y2 = 16

C.x2 + J” = 2

D.(x — 4)2+ ()，—4)2 =16

5.方程y = yl9-x2表示的曲线是()

A. 一条射线

B.—个圆

C.两条射线

D.半个圆

6.圆x2 + y2 = 1的圆心为()

A. (0,0)

B. (1,1)

C. (0,1)

D.不存在

7.圆(工一1)2+3 + 2)2= 2的半径为()

A. 1

B. V2

C. 2

D. 4

8.圆C:(x-l)2 +(y + 2)2 = 4,点Fa。,),。)在圆c 内

部，_aj = (x0-l)2+(y0+2)2则有()

A. d >2

B. d <2

C. d >4

D. dv4

9.圆C:(X-72)2+(J>+73)2=4的面积等于() 教师提

问。

教师启

发引

导。

小组讨

论，课堂

练习，找

一名同学

叙述思路

学生独立

思考，模

仿例题的

求解过

程。

实际应

用定义

法和待

定系数

法解决

求圆的

方程1'

可题，

学以致

用。

课堂练

习，一

名同学

演示，

讲解，

她所学

知识。

巩

固

新

课学程

教过