2021-2022学年高中数学北师大版必修5作业：3.3.1 基本不等式
课时分层作业(十八)基本不等式
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．不等式(x－2y)＋
1
x－2y
≥2成立的条件为()
A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
B[因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B．]
2．已知m＝a＋
1
a－2
(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是()
A．m>n B．m
又因为m＝a＋
1
a－2
＝(a－2)＋
1
a－2
＋2≥2(a－2)×
1
a－2
＋2＝4(当且仅当a
－2＝
1
a－2
，即a＝3时，“＝”成立)．
即m∈[4，＋∞]，由b≠0得b2≠0，
所以2－b2<2．所以22－b2<4，即n<4．所以n∈(0,4)，综上易知m>n．]
3．下列不等式中正确的是()
A．a＋4
a≥4 B．a
2＋b2≥4ab
C．ab≥a＋b
2D．x
2＋
3
x2≥2 3
D[若a<0，则a＋4
a≥4不成立，故A错误．取a＝1，b＝1，则a
2＋b2<4ab，
故B 错误．取a ＝4，b ＝16，则ab 2，故C 错误．由基本不等式可知选项D 正确．] 4．某厂产值第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，又这两年的平均增长率为s %，则s 与p ＋q 2的大小关系是( ) A ．s ＝p ＋q 2 B ．s ≤p ＋q 2 C ．s >p ＋q 2 D ．s ≥p ＋q 2 B [由已知得(1＋s %)2 ＝(1＋p %)(1＋q %) ≤? ???? 1＋p %＋1＋q %22 ＝? ? ???1＋ p %＋q %22 ， 于是1＋s %≤1＋p %＋q % 2 ． 故s ≤p ＋q 2．] 5．设M ＝3x ＋3y 2，N ＝(3)x ＋y ，P ＝3xy (x ，y >0，且x ≠y )，则M ，N ，P 大小 关系为( ) A ．M B ．N C ．P D ．P D [由基本不等式可知3x ＋3y 2≥3x 3y ＝(3)x ＋y ＝3x ＋y 2≥3xy ，因为x ≠y ，所 以等号不成立，故P 二、填空题 6．若a <1，则a ＋1 a －1 与－1的大小关系是 ． a ＋ 1 a －1 ≤－1 [因为a <1，即a －1<0， 所以－? ? ???a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(1－a )·1 1－a ＝2． 即a ＋ 1 a －1 ≤－1．] 7．已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是 ． (a －b )(b －c )≤a －c 2 [因为a >b >c ， 所以a －b >0，b －c >0． (a －b )(b －c )≤ a － b ＋b － c 2 ＝a －c 2．当且仅当a －b ＝b －c ，即a ＋c ＝2b 时，等号成立．所以(a －b )(b －c )≤a －c 2．] 8．设正数a ，使a 2 ＋a －2>0成立，若t >0，则1 2log a t log a t ＋12(填 “>”“≥”“≤”或“<”)． ≤ [因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1， 又a >0，所以a >1， 因为t >0，所以t ＋1 2≥t ， 所以log a t ＋12≥log a t ＝1 2log a t ．] 三、解答题 9．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，求证：x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1 x 中，至少有一个大于2． [证明] x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1 x ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥2 x ·1x ＋2 y ·1y ＋2 z · 1z ＝6， 又x ，y ，z 互不相等， 则x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1 x >6， 所以，x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1 x 至少有一个大于2． 10．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，则abc ＝1． 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1 c ． [证明] 因为a ，b ，c 都是正实数，且abc ＝1， 所以1a ＋1b ≥21 ab ＝2c ， 1b ＋1c ≥21 bc ＝2a ， 1a ＋1c ≥2 1 ac ＝2b ， 以上三个不等式相加，得 2? ?? ?? 1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )， 又因为a ，b ，c 不全相等的正实数，所以a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c ． 1．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( ) A.a ＋b 2≥ab (a >b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >b >0) D.a ＋b 2≤ a 2＋ b 2 2(a >b >0) D [由图形可知：OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝1 2(a －b )， 在直角△OCF 中，由勾股定理可得： CF ＝ ? ????a ＋b 22 ＋? ?? ??a －b 22＝12 (a 2＋b 2)， ∵CF ≥OF ， ∴ 12(a 2＋b 2)≥12(a ＋b )，(a ，b >0)．] 2．给出下面四个推导过程： ①∵a 、b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2 b a ·a b ＝2； ②∵x 、y 为正实数，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0，∴4 a ＋a ≥24 a · a ＝4； ④∵x 、y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－?????? ? ????－x y ＋? ????－y x ≤－2 ? ????－x y ? ?? ?? －y x ＝－2． 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ D [①∵a 、b 为正实数，∴b a 、a b 为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②虽然x 、y 为正实数，但当x ∈(0,1)或y ∈(0,1)时，lg x 或lg y 是负数， 故②的推导过程是错误的． ③∵a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， ∴4 a ＋a ≥2 4 a · a ＝4是错误的． ④由xy ＜0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，? ?? ?? －x y 、 ? ?? ?? －y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．] 3．若0 2，2ab ，a 2＋b 2中最大的是 ． a 2 ＋b 2