NOIP2005提高组复赛第二题 过河分析

过河

【问题描述】在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

【输入文件】输入文件river.in的第一行有一个正整数L（1 ≤L ≤109），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1≤S≤T≤10，1≤M≤ 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

【输出文件】输出文件river.out只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。方法1：搜索

?直叙式搜索不行：搜索桥有困难（桥的长度1..109）；搜索石子更困难,（石头的分布是没有任何规律）

?优化：以桥的长度为对象搜索+巧妙的剪枝

?分析：从桥的一侧到另一侧，中间最多只有100个石子。假设桥长为最大值(109)，石头数也为最大值(100)，则中间一定会有很多“空长条” (两个石子中的空地)，关键是如何在处理时把这些“空长条”跳过，使得运算次数降到M次。

先求出青蛙可能跳到的所有位置，然后就可以在忽略“空长条”的前提下，计算青蛙过河最少需要踩到的石子数了。算法的时间复杂度为O(m 2)

方法2、动态规划

设opt[n]为青蛙到达n 位置最少需要踩到的石子数。

rock[n]=

这个方程的时间复杂度是O （n ）级的 ，显然在竞赛时限内， n≤109的极限数据是无法出解的

优化方法：压缩法

?结论：

?若 （采用跳跃距离p 和p+1时可以跳至任何位置Q ），则在Q ≥P*（P-1）时是一定有解的。

为什么呢？

Because 证明

?由于p 与p+1间隔1,故方程px+(p+1)y=Q 有整数解，设其解为

? x=x 0+(p+1)t,y=y 0-pt(t 是整数)

?取适当的t ，使得0≤x ≤p(只需在x 0上加上或减去若干个p+1),则当Q>p(p-1)-1]}[][{min ][n rock i n opt n opt T

i S +-=≤≤?????位置无石子

位置有石子n n 01Q

y p px =++)1(

时，有

?（p+1）y=Q-px>p(p-1)-1-px ≥p(p-1)-1-p*p=-(p+1)

?于是y>-1，故y ≥0也是非负整数。证毕.

由于题目给出的一个区间是1≤S≤T≤10，于是当相邻的两个石子之间的距离不小于8*9=72时，则后面的距离都可以到达，我们就可以认为它们之间的距离就是72。如此一来，我们就将原题L 的范围缩小为了100*72=7200，动态规划算法完全可以承受了。但是当S=T 时，上述等式是无法使用的，在这种情况下，只需要在所有石子中，统计出坐标是S 倍数的石子个数就可以了。

设

n 为桥上的石子数（1≤n≤m）；

b[i]为能否用s 到t 的一次跳跃距离跳至i 远的标志

b[i]=true i=0

b[i]= 1≤i≤90

c[v]为青蛙能否跳到相对距离为v 远的标志（v≤90）

?

? c[v]=

a[i,j]为青蛙跳至x[i]左方相对距离为j 的位置时所经过的最少石子总数。若j=0，说明青蛙踩到了桥上的第i 个石子。初始时，a[i,j]=n+1（0≤i ≤n ，0≤j ≤t-1）。

第1种情况：x[i]-j 位置位于x[i-1]的左方，即x[i]-j ≤x[i-1]

显然，跳至x[i]-j 位置经过的最少石子总数为a[i-1,j-x[i]+x[i-1]]

第2种情况：x[i]-j 位置位于x[i-1]的右方，即x[i]-j>x[i-1]

??

???-<≤-≥<)1(0][)

1(0

s s v v b s s v true v

false

显然，如果青蛙能够由x[i-1]-v 位置跳至x[i]-j 位置（can(x[i]-j-x[i-1]+v)=true ），则跳至x[i]-j 位置经过的石子总数为a[i-1,v]或者为a[i-1,v]+1（j=0时，即踩到了桥上的第i 个石子）。但究竟v 多大时，才能使得最少石子数最少呢，我们无法预知，只能在0‥t-1的范围内一一枚举v ，从中找出经过的最少石子数。

a[i,j]=

最后，我们枚举青蛙跳出独木桥前的最后一个起跳位置x[n]-i(0≤i ≤t-1），从中计算出青蛙过河最少需要踩到的石子数

?var L,s,t,m,n,i,j,v,best:longint;

? x:array [0..100] of longint;{由左而右记录每个石子的位置}

? a:array [0..100,0..9] of longint;{a[i,j]为青蛙跳到x[i]-j 位置经过的最少石子数}

? b:array [-10..90] of boolean;{b[i]记录能否用s 到t 这t-s+1种距离从原点到达横坐标为i 的位置}

? function can(v:longint):boolean;{判别青蛙能否跳到位置v}

? begin

? if v<0

? then can:=false

? else if v>=s*s-s{可以证明,当v ≥s(s-1)时,一定可以用s 和s+1两种跳跃距离到达位置v,所以要对s=t 作特殊处理}

? then can:=true

? else can:=b[v]

? end;{can}

?begin

? assign(input,'river.in');reset(input);{输入文件读准备}

? readln(L);readln(s,t,m);{读独木桥长度、青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离和桥上的石子数} ? for i:=1 to m do read(x[i]);{输入每个石子在数轴上的位置}

? readln; close(input);{关闭输入文件}

? for i:=1 to m-1 do{按照由左而右的顺序排列石子}

? for j:=1 to m-1 do

? if x[j]>x[j+1] then begin v:=x[j];x[j]:=x[j+1];x[j+1]:=v end;{ then }

?n:=m;while x[n]>L do dec(n);{去除独木桥外的石子}

? if s=t{若青蛙每次跳跃的距离唯一，则青蛙过河最少需要踩到的石子数best 即为坐标位置为s 整倍数的石子数}

? then begin

???????=->-++----≠->-+-----≤--+---≤≤-≤≤0

],1[][1}]]1[][[],1[{min 0],1[][]}]1[][[],1[{min ]1[][]]1[][,1[1010j i x j i x v i x j i x can v i a j i x j i x v i x j i x can v i a i x j i x i x i x j i a t v t v ]}

,[{min 10i n a t i -≤≤

?best:=0;

?for i:=1 to n do if x[i] mod s=0 then inc(best);

?assign(output,'river.out');rewrite(output);{输出文件写准备}

?writeln(best); {输出best后关闭输出文件并成功退出}

?close(output); halt

?end;{ then }

?fillchar(b,sizeof(b),false);

?b[0]:=true;{计算小范围的情况}

?for i:=1 to 90 do{递推每一个坐标位置}

?for j:=s to t do {枚举青蛙一次跳跃的可能距离，计算青蛙能否跳到坐标位置i}

?b[i]:=b[i] or b[i-j];

?for i:=0 to n do{状态转移方程初始化}

?for j:=0 to t-1 do a[i,j]:=n+1;

?x[0]:=0;{在0位置处增加一个虚拟的石子}

?a[0,0]:=0;{ 青蛙在0位置起跳}

?for i:=1 to n do{递推桥上的每一个石子}

?for j:=0 to t-1 do{枚举每一个可能的跳前位置}

?if x[i]-j<=x[i-1]{如果x[i]-j位置位于石子i-1的左端}

?then a[i,j]:=a[i-1,j-x[i]+x[i-1]]

?else begin{若x[i]-j位置位于石子i-1的右端,则枚举每一个可能的跳前}

?for v:=0 to t-1 do

?if can(x[i]-j-x[i-1]+v) and (a[i-1,v]

?if j=0 then inc(a[i,j]){若踩到第I个石子，则经过的石子数+1}

?end;{ else }

?best:=n+1;

?for i:=0 to t-1 do{枚举青蛙跳出独木桥前的最后一个起跳位置，计算经过的石子数，从中找出最优解}

?if a[n,i]

?assign(output,'river.out');rewrite(output);{输出文件写准备}

?writeln(best);{输出最优解}

?close(output){关闭输出文件}

?end.