高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧【理论解析】
一个技巧：
222
a b ab
+≥逆用就是
22
2
a b
ab
+
≤
，
2
a b
+
≥(0,0)
a b
>>逆用就是2
()
2
a b
ab
+
≤等．
两个变形：
(1) 2
112
a b
a b
+
≤≤≤
+
(,)
a b R+
∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b
=时取等号）
(2)
22
2
()
22
a b a b
ab
++
≤≤(,)
a b R
∈（当且仅当a b
=时取等号)．
三个注意
“一正、二定、三相等”的忽视．
【解题方法技巧举例】
1、添、减项（配常数项）
例1 求函数
2
2
16
3
2
y x
x
=+
+的最小值.
22
2
2
2
16
20,3
2
16
3(2)6
2
6
6
x y x
x
x
x
+>=+
+
=++-
+
≥
=
解：
当且仅当
2
2
16
3(2)
2
x
x
+=
+
，即
22
x=
时,等号成立. 所以y
的最小值是6.
2、配系数（乘、除项）
例2 已知0,0
x y
>>，且满足3212
x y
+=，求lg lg
x y
+的最大值.
分析lg lg lg()
x y xy
+=, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y
+是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为
32
6
x y
?
，再用均值不等式.
220,0
32lg lg lg()lg
6
132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>?+==????+????≤=????
? ?????????????=解： 当且仅当
32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.
3、 裂项
例3已知1x >-，求函数
()()
521
x x y x ++=
+的最小值.
分析 在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.
()(
)141110,14(1)5519
x x x y x x x ++++?????
???+>=+=++
+≥+=解：
当且仅当4
11x x +=
+，即1x =时，取等号.
所以
min 9
y =.
4、 取倒数
例4 已知
102x <<
，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 分析 分母是x 与
(12)x -的积，可通过配系数，
使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为
(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.
解 由
1
02x <<
，得10x +>，120x ->.
22
1(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x x x x x x --==??+++-??
+
??++≤=??????
当且仅当31211x x
x
x -=
++，即15x =时，取等号. 故
y 的最小值是12.
5、 平方
例5 已知0,0x y >>且22
283y x +=
求.
分析 条件式中的x 与
y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，
但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.
2
2
2
2
2
2
222((62)32(1)
3
2(1)9333()
22y x y x y x =+=?+??++??≤=????????
解：
当且仅当
22
2(1)3y x =+，即3
2x =
，2y =时， 等号成立.
故
的最大值是
评注 本题也可将x
纳入根号内，即将所求式化为.
6、 换元（整体思想）
例6
求函数y =
的最大值.
分析
t =，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.
22,0,2,(0)
21
00;1014
212=.
23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=
≤
=+
==-则
当时，当时，当且仅当，即所以时
7、 逆用条件
例7 已知19
1(0,0)
x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .
分析 直接利用均值不等式，只能求xy 的最小值，而无法求x y +
的最小值.这时可逆用条件，即由
191x y =
+，得19
()()x y x y x y +=++，然后展开即可解决问题.
19
0,0,
1199()()10
10169,4,12.16.
x y x y y x
x y x y x y x y
y x x y x y
x y >>+=+=++=++≥====+解：由，得当且仅当
即时，等号成立故的最小值是 评注 若已知
0,0,x y >>1x y += (或其他定值)，
要
求
19x y +的最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若
,,0a b c >
且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .
分析 初看，这是一个三元式的最值问题，
无法利用a b +≥来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成
()()a b a c +++，而()()a b a c ++
等于定值4-，于是就可以利用均值不等式了.
,,0,2()()2,,1.2 2.
a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为
9、 消元
例9、设,,x y z 为正实数，
230x y z -+=，则2
y xz 的最小值.
分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得
32x z
y +=
，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.
2222
3,0,,2
9666=3,443,,=3
3.x z
x z y y x z xz xz xz xz xz xz
y
x z x y z y xz +>=
+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.
故的最小值为
【例题解析】 例1 求函数()()
y
x x x
=
++49的最值.
解： （1）当x >0时，25362133613=?+≥++=x
x x x y ， 当且仅当x
x
=
36
即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->-
>x
x
036
0，， ()()-+-?? ???≥--?? ???=x x x x 3623612， 11213)]36
()[(13=-≤-
+--=∴x
x y .当且仅当-=-x x 36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，
y max =-=13121.
例2已知0,0x y >>，且
19
1x y
+=，求x y +的最小值. 解：19
0,0,
1x y x y >>+=Q ，()1991061016y x x y x y x y x y
??∴+=++=++≥+= ??? 当且仅当
9y x x y =时，上式等号成立，又191x y
+=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 例3 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.
解析：此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.
2
11282(82)[2(82)]()8222
x x y x x x x +-=-=-≤=
当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.
例4 已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1
(42)45
x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、
凑项，5
,5404x x <∴->Q ， 11425434554y x x x x ?
?∴=-+=--++ ?--??
231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=
-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.
例5已知x，y为正实数，且
2
21
2
y
x+=
，求的最大值.
解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式
22
2
a b
ab
+
≤.
1
2
，==下面将x
=
2
2
1
22
2
y
x++
≤
g
4
=
当且仅当x=
2
21
2
y
x+=
，即
2
x=
，
2
y=时，等号成立.
所以
的最大值为
4
.
评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.
【基本不等式课堂练习】
一、选择题
1.已知0,0a b >>，则
11
2ab a b
++的最小值是（ ）A ．2 B ．22 C ．4 D ．5 2.当0 π 时，函数f (x )=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为（ ） A.2 B.23 C.4 D.43 3.设y=x 2 +2x+5+21 25 x x ++，则此函数的最小值为（ ） A ．174 B ．2 C ．26 5 D ．以上均不对 4，若 ，下列不等式恒成立的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5，若 且 ，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a 6. 设x>0,则的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．Ｃ．Ｄ．－1 7，设 的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 8. 若x, y 是正数，且，则xy 有（ ） Ａ最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值 9. a,b 是正数，则三个数的大小顺序是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ．Ｄ． 10.下列函数中最小值为4的是( ) ＡＢＣＤ 11、已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( ) A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．(－1,0) D．(0,1) 12、已知M是△ABC内的一点，且AB→·AC→＝23，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分 别为1 2 ，x，y，则 1 x＋ 4 y的最小值是( ) A．20 B．18 C．16 D．9 13．设x,y为正数, 则(x+y)(1 x + 4 y )的最小值为( )A.6 B.9 C.12 D.15 14．已知定义域为R 的偶函数在 上是增函数，且 ，则不等式的解集为（） A． B．C．D． 15．若，则的 最小值为（ ）A ．8 B ． C ．2 D ．4 17.若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A. 245 B. 28 5 C.5 D.6 18．下列不等式一定成立的是 （ ） A ．2 1 lg()lg (0)4 x x x +>> B ．1 sin 2(,)sin x x k k Z x π+≥≠∈ C ．2 12||()x x x R +≥∈ D ． 2 1 1()1 x R x >∈+ 19若点(,)A x y 在第一象限且在236x y +=上移动，则332 2 log log x y + （ ） A 、最大值为1 B 、最小值为1 C 、最大值为2 D 、没有最大、小值 20、 已知01x <<，求函数411y x x = +-的最小值. 21、已知0,0a b >>，328a b +=，求函数的最大值. 不等式（含基本不等式）练习答案 1C. 因为 114a b ++≥=≥当且仅当11a b =， 且 =a b =时，取“=”号。 2 C 3 A 4.A ;5.B; 6.C; 7.D; 8 C; 9.C; 10.C; 11，C 12 B13B 14C 15D 17C Q x+3y=5xy ， 135y x +=， 113131213(34)()()555x y x y y x y x +?+=++≥1132555 ?=. 18C 由基本不等式得2 12||()x x x R +≥∈,答案C 正确. 19A 20.解：因为01x <<，所以10x ->. 所以[]414 14(1)(1)59111x x y x x x x x x x x -??= +=+-+=++≥ ?---?? . 当且仅当 4(1)1x x x x -=-时，即23x =，上式取“=”，故min 9y =. 21.解：利用不等关系2a b +≤ 4≤=， 当且仅当=328a b +=，即4 3 a = ，2b =时，等号成立. 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式 （二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______． 利用基本不等式求最值的技巧 在运用基本不等式ab b a 222≥+与2b a ab +≤ 或其变式解题时,要注意如下技巧 1：配系数 【例1】已知2 30< 【解】由于2>x ,所以, 3124)2(2124)2(2)2(3)22(26322=+-?-≥+-+-=---+-=-+-=x x x x x x x x x x y 当且仅当2 42-=-x x 即4=x 时，3min =y . 4:巧用”1”代换 【例4】已知正数y x ,满足12=+y x ,求y x 21+的最小值. 【解】注意到844244)21()2(21=+?≥++=+?+=+x y y x x y y x y x y x y x ,当且仅当x y y x =4即2 1,41==y x 时，8)21(min =+y x . 一般地有,2)())((bd ac y d x c by ax +≥++,其中d c b a y x ,,,,,都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解. 【例5】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求z y x 941++的最小值. 【解】注意到y z z y x z z x x y y x z y x z y x z y x 499414)941()(941++++++=++?++=++ 36492924214=?+?+?+≥y z z y x z z x x y y x ,当且仅当x y y x =4,x z z x =9,y z z y 49=即2 1,31,61===z y x 时，36)941(min =++z y x . 5:换元 【例6】已知c b a >>,求c b c a b a c a w --+--=的最小值. 【解】设c b y b a x -=-=,,则c a y x -=+,y x ,都是正数,所以42≥++=+++=x y y x y y x x y x w ,当且仅当x y y x =即b c a 2=+时， 基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究 建水县第二中学：贾雪光 从最近几年高考试题的考查情况看，解三角形部分的考查中主要是对用正、余弦定理来求解三 角形、实际应用问题，这两种常见考法中，灵活应用正余弦定理并结合三角形中的内角和定理， 大边对大角，等在三角形中进行边角之间的相互转化，以及与诱导公式特别是sin (A B) si nC、 cos A— sinC的联系是关键。 2 于是多数教师在复习备考过程中，往往都会将大量的时间和精力花在对正余弦定理的变形，转 化，变式应用上，当然这也无可厚非，但是我在高考备考复习教学中发现了这样一类题目，女口：1、在锐角△ ABC中, a, b, c 分别为内角A, B, C的对边，且cos2 A 1 sin2A，a -.7求厶ABC勺面 2 积的最大值；2、已知向量M (si nA,1)与N (3,s in A ??、3cosA)共线，其中人是厶ABC勺内角，(1) 2 求角A的大小；(2)若BC=2，求△ ABC勺面积S的最大值。,△ ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C 的对边，向量M (4, 1), N (cos2-,cos2A)，M ?N -，(1)求角A的大小；(2)若a . 3是判 2 2 断当b c取得最大值时△ ABC勺形状。面对这样的问题，我们如何来引导学生很自然的过度，用一种近乎水到渠成的方法来求解呢？ 实际上我们在教学和学习的过程中往往会忽略一个很明显的问题，那就是余弦定理与基本不 等式的综合，如果我们在讲授正余弦定理的时候能在引入正课时多下一点功夫，我们就会有意外的 收获哦。 我在教学中是这样处理的：实际上在余弦定理中我们总有这样一组公式： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2bc cos A, b a c 2ac cosB, cab 2ab cosC 同时在基本不等式中我们总有这样一组公式：b2 c2 2bc，a2 c2 2ac ，b2 a2 2ab在三角 形中各边都是正数，所以上面三个式子在a、b是三角形的三边时总是成立的，如果我们将两组公 式综合后会发现这样的一组公式即：a2 2bc (1 cos A) ,b2 2ac (1 cosC) c2 2ab (1 cosc) 于是我们就有方程等式，得到了一组不等式，而在涉及到最值得求解时，我们常用的处理方法是， 一求函数值域；二、导函数；三、基本不等式即均值定理；但是前两种方法显然都不可能用于求解上面两个题目类型的求解，于是在涉及到与解三角形有关的三角形的面积的最大值时我们就只能考虑用均值定理了，自然也就要用到上面我们推导得出的这一组公式罗。 基本不等式应用解题技巧归纳 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2 y = 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数y = 的最大值.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值。 变式： （1）若+∈R y x ,且12=+ y x ，求y x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2 ＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 均值不等式应用（技巧）技巧一：凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 （x > 3）的最小值 2、已知x > 3 2 ，求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ，求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二：凑系数 4、当0 < x < 4时，求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时，求y = 4x(3 - 2x)的最大值，并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时，求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时，求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三：分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 （x > -1）的值域； 9、求y = x2 + 3x + 1 x （x > 0） 的值域 10、已知x > 2，求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c，求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1，求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2，则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2，求1 x + 1 y 的最小值，并求x、y的值。 技巧六：整体代换 16、已知x > 0，y > 0，且1 x + 9 y = 1，求x + y的最小值。 17、若x、y∈R+且2x + y = 1，求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a，b，x，y∈R+ 且a x + b y = 1，求x + y的最小值。 19、已知正实数x，y满足2x + y = 1，求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x，y，z满足x + y + z = 1，求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七：取平方 21、已知x，y为正实数，且x2 + y2 2 = 1，求x 1 + y2的最大值。 22、已知x，y为正实数，3x + 2y = 10，求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x（1 2 < x < 5 2 ）的最大值。 技巧八：已知条件既有和又有积，放缩后解不等式 24、已知a，b为正实数，2b + ab + a = 30，求函数y = 1 ab 的最小值。 1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为. 13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 利用基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b ab +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,]b a -∞，[,)b a +∞；单调递减区间：(0,b a ，[,0)b a . 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1)y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 3 2 111 31 222(1)x x x --≥??-312≥+52=， 当且仅当 211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5 2 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 30,3202 x x <<->∴， ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3 (32)[]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2 x x x =??22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π << tan 2x ?=2x arc = “=”号成立，故 23 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 2 8 基本不等式专题辅导 2 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a,b R ,则 a b 2 ab 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a,b R *，则 2 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数 的和为定植时，它们的积有最小值； a b 6、柯西不等式 （1）若 a, b,c, d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ）2 (2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有： 2 2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a 3 )(柑 b ? b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s ) (3) 设a 1,a 2, ,a n 与 db, ,b 是两组实数，则有 2 2 2 p22 2 佝 a 2 a . )(0 b 2 b n )(日山 a 2b 2 a n b n ) 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 (1)若 a,b R ，则 a 2 b 2 2ab 1、设a,b 均为正数，证明不等式：、.ab 二 (2)右 a, b R ，则 ab a,b,c 为两两不相等的实数， (2)若 a, b R ,则 ab b 2 ab bc ca 4、求最值的条件：“一正， 二定，三相等” 5、常用结论 1 (1)若 x 0，则 x — 2 （当且仅当 x 1时取“=”) x 1 (2)若 x 0,则 X - 2 （当且仅当 x 1时取 “=”) X (3)若 ab 0,则-- 2 （当且仅当 a b 时取 “=”) b a 2 2 (4)若 a, b R ，则 ab （ 旦 b)2 a b 2 2 (5)若 a, b R ，贝U 1 . a ab b a 2 b 2 v ------ 1 1 2 2 (1 已知a a,b,c a )(1 1, 求证: b)(1 c) 8abc a, b, c R 基本不等式求最值的类型与方法-经典大全 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 5 6 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b ab +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,]b a -∞-，[,)b a +∞；单调递减区间：(0, ]b a ，[,0)b a -. 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1) x x x x --=+++>- 3 2 111 31222(1) x x x --≥??+-312≥+52=， 当且仅当 211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5 2 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：①30,3202 x x << ->Q ∴， ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3 (32)[]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ②0,sin 0,cos 02 x x x π << >>Q ∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最 大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2 x x x =??22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π << tan 2x ?=，即tan 2x arc =时 “=”号成立，故 此函数最大值是 23 9 。 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 1 利用基本不等式求最值的类型及方法 1 解析：y x 2(x 1) (x 2(x 1) 1) 芳 1(x 1) -1 ?」1(x 1) 2 2 2(x 1) 、几个重要的基本不等式: ① a 2 b 2 2ab a 2 b 2 ab （a 、b R ）,当且仅当a = b 时，"=”号成立; 2 1 2 2(x 1) ② a b 2 ab 2 a b ab （a 、b R ），当且仅当a = b 时，“=”号成立; 2 当且仅当 1)即x 2时，“ 5 ”号成立，故此函数最小值是 -。 2 ③ a 3 b 3 c 3 3abc 3 abc ― b 3 3 3 c ( (a 、 立； ④ a b c 3v abc abc a b 3 c (a abc 3 a 、 b 、 c R ），当且仅当a = b = c 时，“=”号成 b 、 c R ）,当且仅当a = b = c 时，“=”号 成立? 注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一 “正”、二“定”、三“等”； 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型n ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①y x 2 (3 2x)(0 x 2 ② y sin xcosx(0 x ) 2 ② 熟悉一个重要的不等式链: b 2 2 解析：①Q 0 x - ,? 3 2 2x ?- y 当且仅当 (3 2x)(0 x 3 2x 即 x ,?? sin x 2 3 x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ] 1 , 2 3 1时，“=”号成立，故此函数最大值是 1 。 0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。 二、函数 f(x) ax X b 0）图象及性质 （1）函数 f(x) ax b a 、 X b 0图象如图： ⑵函数 f(x) ax b a 、 X b 0性质： ①值域：（ J 2 ab] [2 一ab,)； ②单调递增区间：（ 2 . 4 2 y sin x cos x 当且仅当 故此函数最大值是 sin 2 x sin 2 x coSx 1 2 2 2 (sin x sin x 2cosx) 2 1 sin 2 x sin 2x 2co^ x 3 4 「 -------- —) 刃 .2 sin x 2cos x (0 tan x 2，即 x arctan^^ 时“=”号成立, ）;单调递减区间: b ], a ，［ (0, ,0) ? 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型川：用均值不等式求最值等号不成立。 4 x — x 例 3、若 x 、y R ，求 f （x ） （0 x 1）的最小 值。 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型I ：求几个正数和的最小值。 解法一：（单调性法）由函数 f(x) K ax - （a 、b 0）图象及性质知，当 x （0,1］时，函数 x 例1、求函数y 1 x 2^（x 1） 的最小值。 f （x ） x -是减函数。证明: x 任取 X 2 (0,1]且 0 禺 X 2 1，则 f(xj f(X 2) (X 1 X 2) (— —) (X 1 X 2)4 匹 为 (X 1 X 2)4 , x-1 X 2 X !X 2 X 1X 2 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ）a b ＜1 （C ）lg(a -b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1+a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1> B ．2ab ab a >> C ．2ab ab a >> D ．2 ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．R B ．φ C ．),(+∞a b D ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤< B ．{|22}x x -<< C ．{|13}x x -<< D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．． 的是( ) A ． 11a b < B ．2b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( ) A ．y x ＋x y B ．4 5 22++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>x B ．01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a 基本不等式求最值技巧 一. 加0 在求和的最小值时，为了利用积的定值，有时需要加上零的等价式。 例1. 已知，且，求的最小值。 解：因为，所以，所以， ，所以。式中等号当且仅当时成立，此时。所以当时， 取最小值。 例2. 设，且，求的最小值。 解：因为，，所以，所以，且。 所以 式中等号当且仅当时成立，此时。将它代入 中得。所以当时，取最小值 。 2. 乘1 在求积的最大值时，为了凑出和的定值，有时需要乘上1的等价式。 例3. 已知，且，求xyz的最大值。 解：因为，且， 所以 式中等号当且仅当时成立，此式可写为，令其比值为t，则，，，把它们代入，解得。所以当， 时，xyz取最大值。 3. 拆式 在运用基本不等式求最值时，为满足解题需要，有时要进行拆式。 例4. 求函数的最小值。 解：因为，所以， 所以 式中等号当且仅当时成立，解得，所以当时，。例5. 设且，求的最小值。 解：因为， 所以 式中等号当且仅当时成立，此时，所以当时，取最小值3。 4. 拆幂 在求积的最大值时，为了满足和为定值时对项数的要求，有时要拆幂。 例6. 设，求函数的最大值。 解：因为，所以 所以 式中等号当且仅当时即时成立。所以当时，。例7. 设，且为定值，求的最大值。 解：因为 所以 式中等号当且仅当时成立，此时。 所以当，取最大值。 5. 平方 在求积的最大值时，有时要凑出和的定值很困难，但积式平方后却容易凑出和的定值。 例8. 设，且为定值，求的最大值。 解：因为， 所以 所以 式中等号当且仅当时成立，此时 所以当时，取最大值。 例9. 已知，求的最大值。 解：因为，所以， 所以 所以。式中等号当且仅当，即时成立。所以当时，。高中数学解不等式方法+练习题
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