高等数学不定积分讲义
第3、4 次课 4 学时
不定积分的概念与性质
1、复习13个基本导数公式.
2、原函数与不定积分的概念.
（1）定义1 在区间I 上，如果可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x ∈I ，都有
()'()F x f x =或()dF x =?dx x f )(，
那么函数()F x 就称为()f x (或()f x dx )在区间I 上的原函数.
（2）原函数存在定理 如果函数()f x 在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数
()F x , 使对任一x ∈I 都有F '(x )=()f x .
注： 1、如果函数()f x 在区间I 上有原函数()F x , 那么()f x 就有无限多个原函数.
()F x C +都是()f x 的原函数. (其中C 是任意常数)
2、()f x 的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和()F x 都是()f x 的原函数,则
()()x F x C Φ-=(C 为某个常数).
简单地说就是,连续函数一定有原函数.
定义2 在区间I 上, 函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x (或?dx x f )()在区间I 上的不定积分. 记作 ?dx x f )(, 其中记号?称为积分号, ()f x 称为被积函数,
?dx x f )(称为被积表达式,x 称为积分变量.
3、例题讲解.
例1 因为sin x 是cos x 的原函数,所以C x xdx +=?sin cos .
因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?21.
例2. 求函数x
x f 1
)(=的不定积分
解：当0x >时，(ln x )'x 1=
，C x dx x
+=?ln 1
(0x >).
当0x <时，[ln(x )]'x
x 1
)1(1=-?-=，C x dx x +-=?)ln( 1(0x <).合并上面两式,得到
C x dx x +=?||ln 1
(x ≠0).
例3. 求2.x dx ?
解 由于'
323x x ??= ???
，所以33x 是2
x 的一个原函数，因此323x x dx C =
+?. 4、变式练习
5、积分曲线 函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系
?=)
(])([x f dx x f dx
d 或 ?=dx x f dx x f d )(])([.
又由于()F x 是()'
F x 的原函数,所以?+='C x F dx x F )()(或记作?+=C x F x dF )()(.
6、基本积分表（略）.
例4. ??-=dx x dx x 331C x C x +-=++-=+-21321131.
例5. ?
?
=dx
x dx x x
252
C x ++=+12512
51C x +=2772C x x +=372. 7、不定积分的性质.
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即 ???+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.
这是因为, ])([])([])()(['+'='+????dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).
性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即 ??=dx x f k dx x kf )()((k 是常数,0k ≠)
例6. ?
?-=-dx x x dx x x )5()5(21
252
.
??-=dx x dx x 21
25
5??-=dx x dx x 21
25
5 C x x +?-=23
27
3
2
572.
例7. dx x x x dx x x x x dx x x )133(133)1(22
2323-+-=-+-=-???
C x x x x dx x
dx x dx dx x +++-=-+-=????1
||ln 3321113322.
8.变式练习
(1)
(2)
dx -
? (3)22x x dx +?（）
(4)
3)x dx - (5)4223311x x dx x +++?
(6)2
2
1x dx x +? (7)x dx x x x ?
34134
（
-+-）2
(8)23(1dx x -+?
(9) (10)2
2
1
(1)
dx x x +? (11)21
1x x e dx e --? (12)3x x e dx ?
(13)
2
cot
xdx ?
第 5 次课 2 学时
第一类换元积分法
1、回顾旧知
（1）复习13个常见积分公式
（2）思考：cos 2sin 2xdx x C =+?
对吗？
2、第一类换元法.
设()f u 有原函数()F u ,()u x ?=, 且()x ?可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有
''''[()]()()[()]()[()]()dF x dF u F u du F x d x F x x dx ?????==== ,
即
)
(]
)([)()]([)()]([x u du u f x d x f dx x x f ?????=???=='=()
[()C]u x F u ?=+
=
[()]C F x ?+.
定理1 设()f u 具有原函数, ()u x ?=可导, 则有换元公式
???+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([????? .
3、讲授例题.
例1 1cos 2cos 2(2)2xdx x x dx
'=
??
?
1
cos 2(2)2xd x =? 211cos sin 22
u x udu u C ===+?令=1
sin 22x C + 例2 dx x x dx x ??'++=+)23(23121231?++=)23(23121x d x
32111
ln ||22
u x
du u C u =+=
=+?令C x ++=|23|ln 21. 例3 ??
?-==x
d x dx x
x xdx cos cos 1cos sin tan = ln |cos |x C -+. 例4求6sec d .x x ?
解 6222sec d (tan 1)sec x x x xdx =+???
42
(tan 2tan 1)dtan x x x =++?
5312
tan tan tan 53
x x x C =
+++ 4、变式练习.
１）dx x ?
-3
)23( ２）
?
-3
32x
dx
３）
dt t
t ?
sin ４）?
)
ln(ln ln x x x dx
５）
?x x dx sin cos ６）?-+x x e e dx
７）dx x x )cos(2
? ８）dx x
x ?-4
3
13
第 6 次课 2 学时