必修3-1-9 秦九韶算法

秦九韶算法

编号:必修3-1-9 内容:P37～39

学习目标：理解秦九韶算法,能够利用秦九韶算法求多项式函数的值,通过秦九韶算法案例的学习,进一步体会算法思想.

学习重点：秦九韶算法求多项式函数的值.

导学过程:

一.复习回忆:

1.辗转相除法:m=n×q＋r ,(0≤r＜n)

被除数和除数的最大公约数也是除数和余数的最大公约数. gcd(m,n)=gcd(n,r)

2.更相减损术: a-b=c,(a＞b)

被减数与减数的最大公约数也是减数与差的最大公约数. gcd(a,b)=gcd(b,c)

3.辗转相除法和更相减损术,是求两个正整数的最大公约数的优秀算法,我们将算法转化为程序后,就可以由计算机来执行运算,实现了古代数学与现代信息技术的完美结合.

二.动手实践: 例1

例1.已知函数f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1, (1)求f(-1); (2)求f(2).

解:(1)f(-1)=8×(-1)7+5×(-1)6+3×(-1)4+2×(-1)+1 =-8+5+3-2+1=-1.

(2) ∵f(x)=8x7+5x6+0.x5+3x4+0.x3+0.x2+2x1+1.x0

∴f(x)=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1

记v0=8,v1=8x+5,则

v1=v0x+5=8×2+5=21, v2=v1x+0=21×2+0=42, v3=v2x+3=42×2+3=87,

v4=v3x+0=87×2+0=174, v5=v4x+0=174×2+0=348, v6=v5x+2=348×2+2=698,

v7=v6x+1=698×2+1=1397, 故f(2)=v7=1397.

小结:求多项式函数的值: (1)缺项添零;(2)依次提公因式;(3)由内向外逐层计算.

三.自主学习: P37-39

四.理解学习: P37-39秦九韶算法

1.把多项式函数该写成一次式的形式:

f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0=(a n x n-1+a n-1x n-2+…+a2x+a1)x+a0

=((a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2)x+a1)x+a0=………

=(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0.

2.对应f(x) =(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0,由内向外逐层计算一次多项式的值,

其算法步骤为:

第一步,计算v1=a n x+a n-1. 第二步,计算v2=v1x+a n-2.

第三步,计算v3=v2x+a n-3. …第n步,计算v n=v n-1x+a0.

3.秦九韶算法:P37-38

上述求多项式函数值的算法称为秦九韶算法.该算法大大提高了运算效率.

五.理解学习: P38思考

用秦九韶算法求n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0,当x=x0时的值,

需要多少次乘法运算?多少次加法运算?

秦九韶算法把运算次数由至多

2)1

(

n

n次乘法运算和n次加法运算,减少为至多n次乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.

4.在秦九韶算法中,记v 0=a n ,那么第k 步的算式是:v k =v k -1x +a n -k (k =1,2,…,n )

六.理解学习: P 37-39秦九韶算法

5.用秦九韶算法求多项式的值,可以用循环结构来构造算法,其算法步骤为: 第一步,输入多项式的次数n ,最高次项的系数a n 和x 的值第二步,令v =a n ,i =n -1.

第三步,输入i 次项的系数a i . 第四步,v =

vx +a i ,i =i -1.

第五步,判断i ≥0是否成立.若是,则返回第二步;

否则,输出多项式的值v .

6.用秦九韶算法求多项式的值,可以用循环结构

来构造算法,其算程序框图为:

程序: