幂级数及泰勒展开习题解答
幂级数及泰勒展开
一、求下列幂级数的收敛区间
1. 1
2(21)n
n x n n ∞
=-∑
解:12(21)
lim
lim 12(1)(21)
n n n n a n n a n n +→∞
→∞-==++ 1R ?=
当1x =时,因 2111
2(21)2(1)n n n n n n =<-+-, 所以1
12(21)n n n ∞
=-∑收敛,
当1x =-时, 1(1)2(21)
n
n n n ∞
=--∑绝对收敛,
? 收敛区间为[1,1]-。
2. 1
n n n -∞
=
解:11lim 2n n n n
a a +→∞==
2R ?=
当2x =
时,1
n
n ∞
=为收敛的交错级数,
当2x =-时,
111
n n n n -∞
∞===-发散, ? 收敛区间为(2,2]-。 3. 1(1)32n n n n n n x x ∞
=??
-+????
∑
解:11
1
1
(1)32lim
lim 3(1)32
n n n n n
n n n n
n a a ++++→∞
→∞-+==-+ 13R ?=, 当13x =±时,通项不趋于零,? 收敛区间为11,33??- ???
。
4. 1
(23)(1)21n
n
n x n ∞
=---∑
解:121lim
lim 121
n n n n a n a n +→∞
→∞-==+ 1R ?=
故当231x -<,即12x <<时级数绝对收敛。
当1x =时, 11(1)(1)11
1, 21212-1
2n n n n n n n n ∞
∞==--??=> ?--??∑∑发散,
当2x =时, 1
(1)21n
n n ∞
=--∑为收敛的交错级数,
? 收敛区间为(1,2]。
5.
1
ln(1)
(1)1n n n x n ∞
=+-+∑ 解:1ln(2)(1)lim
lim 1(2)ln(1)
n n n n a n n a n n +→∞
→∞++==++ 1R ?=
故当11x -<,即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时,因为
1
ln(1)ln lim lim lim 01
1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+,
2
ln 1ln ln(2)ln(1)
()()0() 3 21
x x n n f x f x x e n x x n n -++'=?=<>?≥<++时, 所以 1
(1)ln(1)
1n n n n ∞
=-++∑收敛,
当2x =时,因为当2n ≥时ln(1)11
112n n n n +>>++ 所以1
ln(1)1n n n ∞
=++∑发散,
? 收敛区间为[0,2)。
6. 211(1)(1)4
n
n n
n x n ∞
-=--∑
解:212
1211(1)41lim lim 1
(1)(1)44n n n n n n n n
u x n x u x n ++-+→∞→∞-==--+ 故当
2
111124
x x --<,即13x -<<时级数绝对收敛。 当1x =-时, 121
11(1)1(1)(11)42n n n n
n n n n -∞
∞-==----=∑∑为收敛的交错级数, 当3x =时, 21
11(1)1(1)(31)4
2n n n n
n n n n ∞
∞-==---=∑∑为收敛的交错级数, ? 收敛区间为[1,3]-。
二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数
1. 121
1
(1)21n n n x n +-∞
=--∑
解:212
121(21)lim lim (21)n n n n n n
u x n x u x n ++-→∞→∞-==+
故当2
11x x <时级数绝对收敛,当||1x >时,级数发散。
当1x =-时, 121
11(1)(1)(1)2121
n n n n n n n +∞
∞
-==---=--∑∑为收敛的交错级数,
当1x =时, 1
1
(1)21n n n +∞
=--∑为收敛的交错级数,
? 收敛区间为[1,1]-。
令121
1
(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞
=-=?=-∑ 1222201
11
()(1)()(0)arctan 11()arctan (1).
x n n n S x x S x S dt x x t
S x x x ∞
+-='?=-=
?-==++?=≤∑? 2.
21
1
2n n nx
∞
-=∑
解:212
121(22)lim lim 2n n n n n n
u x n x u x n ++-→∞→∞+== 故当2
11x x <时级数绝对收敛,当||1x >时,级数发散。
当1x =-时,
21
11
2(1)
2n n n n n ∞
∞
-==-=-∑∑发散,
当1x =时,
1
2n n ∞
=∑发散,
? 收敛区间为(1,1)-。
令21
1
()2(0)0n n S x nx
S ∞
-==
?=∑
2
21
220
11
2
22
()212()(||1).11x
x
n n
n n x S t dt nt
dt x x x x
S x x x x
∞
∞
-==?===
-'???==< ?--??∑∑??
3.
1
(1)n
n n n x
∞
=+∑
解:1(1)(2)
lim
lim 1(1)
n n n n a n n a n n +→∞
→∞++==+ 1R ?=
当1x =时,
1
(1)n n n ∞=+∑发散;当1x =-时,1
(1)(1)
n
n n n ∞
=+-∑发散,
? 收敛区间为(1,1)-。
令1
()(1)(0)0n
n S x n n x
S ∞
==
+?=∑
1
2
1
1
1
1
22
22
1223
()(1)1(1)2()(||1).(1)(1)x
x
n
n n n n n n n S t dt n n t dt nx
x
nx
x x x x x x x x x
S x x x x ∞
∞
∞
+-===∞=?=+==''????=== ? ?--????
'???==< ?--??
∑∑∑??∑
4.
221
(21)2n n n x n ∞
-=-∑
解:
2
2 1
22
(21)2
lim lim
2(1)(21)
n
n
n
n n
n
u x n n
x u x n n
+
-
→∞→∞
+
==
+-
故当2
11x x <时级数绝对收敛,当||1x >时,级数发散。
当1x =±时, 11211122n n n n n ∞
∞==-??
=- ??
?∑∑(通项不趋于零)发散, ? 收敛区间为(1,1)-。
令221
211()(0)22n n n S x x S n ∞
-=-=
?=∑
22212110
111211
2
1
211111
()()(0),(0)0222()(||1)1x
x
n n n
n n n n n n S t dt t dt x x S x x S n n
x n x
x
S x x x x
∞
∞
∞--===∞
-=-?===≠='?==<-∑∑∑??
∑
2
1120211()(0)ln(1)12
1
()ln(1)
2
x
t S x S dt x t S x x ?-==---?=--?
2222
ln(1)1ln(1)
0 , ()212x x x S x x x
x '??--?≠=-=+ ?-??时 故
222
1ln(1)
, 0||112()1 , 02
x x x x S x x ?-+<?-=??=??
另解
22
22222
2
111111111()121
212n n n n n n S x x x x n x n
x x n ∞
∞
∞--===?
?=-=-=- ?--??∑∑∑ 三、求下列级数的和
1. 221
11
12322323n n n n n n n n n -∞
∞∞======??
∑∑ 也可以考虑利用幂级数
1
2
1
11(||1)1(1)n n n n x nx
x x x x ∞
∞-==''
????===< ? ?--?
???∑∑
? 1
211221213
3
3332113n n n n n n -∞
∞==??
==
=
?
????- ???
∑∑ 2. 1111
(1)11
1(1)(21)(21)22121n n n n n n n n -∞
∞-==-??=-- ?-+-+??∑∑
1
1111111(1)
(1)(1)221221n n n n n k n n ∞∞--===---=--+∑∑ 1
121111(1)(1)221221
n k n k n k ∞∞-===-----∑∑
1
111
(1)212
n n n ∞
-==---∑
1arctan12
142
π
=-
=-
四、利用直接展开法将下列函数展开成幂级数 1.()(0,1)x
f x a a a =>≠ 解:()
()()(ln ) (0)(ln )n x n n n f
x a a f a =?=
()0
(0)(ln )!!n n n n
n n f a x x n n ∞
∞==?=∑
∑, 1ln lim
lim 01
n n n n a a R a n +→∞
→∞==?=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。再由 (1)11
111()(ln )(ln )lim |()|lim lim lim ||0(1)!(1)!
(1)!n x n n n n n n n n n x f x a a a R x x x M x n n n θθ++++++→∞→∞→∞→∞==≤=+++ 因x
a θ有界,
11
(ln )||(1)!n n a x n +++是收敛级数0
(ln )!n n n a x n ∞
=∑()x -∞<<+∞的一般项,所以对任意的x 上式均成立。?x
a =0
(ln )!n n
n a x n ∞
=∑()x -∞<<+∞。 2. ()sin
2
x
f x =
解:()()210, 211()sin (0)sin (1)22222, 212
n n k
n n k n k
n x n f x f n k ππ+=????
=+?==?- ?=+??
?? ()212100(0)(1)!2
(21)!n n
n n n n n f x x n n ∞
∞++==-?=+∑
∑, 由 2321123212(21)!
lim lim 02(23)!n n n n n n n n
u x n R u n x +++++→∞→∞+==?=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。再由
2323232323
sin ||22lim |()|lim lim 02(23)!2(23)!
n n n n n n n x n x x R x x n n θπ++++→∞→∞→∞+??+ ?
??=≤=++ 因2323||2(23)!n n x n +++为绝对收敛级数2121
0(1)2
(21)!n
n n n x n ∞
++=-+∑()x -∞<<+∞的一般项,所以 对任意的x 上式均成立。?sin 2
x =
2121
0(1)2
(21)!n
n n n x n ∞
++=-+∑()x -∞<<+∞。 五、使用间接展开法将下列函数展开成幂级数
常用幂级数展式:
(1)0, ()!
n
x
n x e x n ∞
==-∞<<+∞∑
(2)21
sin (1)
, ()(21)!n n
n x x x n +∞
==--∞<<+∞+∑ (3)20
cos (1), ()(2)!n
n
n x x x n ∞
==--∞<<+∞∑ (4)0
(1)(1)(1)1, (11)
!
n
n n x x x n α
ααα∞
=?-?
?-++=+
-<<∑
22
1(5) , (11)
11 (1), (11)11 (1), (11)1n n n n n n n
n x x x x x x x x x ∞
=∞
=∞
==-<<-=--<<+=--<<+∑∑∑
(6)1
1ln(1)(1)
, (11)n
n n x x x n
∞
-=+=
--<≤∑ (7)2121101
arctan (1)(1), (11)2121n n n
n n n x x x x n n +-∞
∞
-===-=--≤≤+-∑∑ 基本方法:代数法,即代换;利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式
已知的简单函数,再积分可得原函数的幂级数展式。
1.2
()x f x e -=
解:由0()!
n t
n t e t n ∞
==-∞<<+∞∑,令2
t x =-得
2
20
(1)()!n
x n
n x e
x n ∞
-==--∞<<+∞∑。
2. ()sin 2f x x =
解:由21
sin (1)
()(21)!n n
n t t t n +∞
==--∞<<+∞+∑,令2t x =得 21
(2)sin 2(1)()(21)!n n
n x x x n +∞
==--∞<<+∞+∑。
3. 2
()sin f x x =
解:由20
cos (1)
()(2)!n n
n t t t n ∞
==--∞<<+∞∑,及()21
sin 1cos 22x x =-令2t x =得 222
101
1(2)(2)sin 1(1)(1)()2(2)!2(2)!n n n n n n t t x x n n ∞∞
+==??=--=--∞<<+∞?????∑∑。 4. ()arctan f x x =
解:22
1()(1)(11)1n n
n f x x x x ∞='==--<<+∑?
21220000
1arctan (1)(1)(11)121n x
x n n n n n x x dt t dt x t n +∞∞====-=--≤≤++∑∑??
1x =±时,均为收敛的交错级数。 5. 1
()52f x x
=-
解:由01(||1)1n n t t t ∞
==<-∑及111()252515
f x x x
==--,令25t x =得 01225(), (1||)52552
n
n n f x x x x x ∞
=??
==< ?-??∑
6. ()ln(f x x =
1
1
13(21)(21)!!1(1)1(1)(11)24
(2)(2)!!
n
n
n
n
n n n n t t t n n ∞∞
==???--=+-+--<≤???∑∑,得
21
(21)!!()1(1)(||1)(2)!!n n n n f x x x n ∞
=-'===+-≤∑? (
20
0121
1
(21)!!ln (1)(2)!!
(21)!!(1)(||1)
(21)(2)!!x
x n
n
n n n n n x x t n n x x x n n ∞
=∞
+=-==+--=+-≤+∑?
?∑
7. 1()ln
1x
f x x
+=- 解:22
2()2(11)1n
n f x x x x ∞
='==-<<-∑? 21200
12ln
2(11)1121n x n x x dt x x t n +∞=+==-<<--+∑?。 六、在指定点处将下列函数展开成幂级数 1. 2()ln , x f x x ==在处
解:由1
1
ln(1)(1)
(11)n
n n t t t n
∞
-=+=
--<≤∑及 22ln ln(22)ln 21ln 2ln 122x x x x --????
=+-=+=++ ? ?
???
?,令22x t -=得
()11
11
222ln ln 2(1)ln 2(1)(04)2n
n n n n
n n x x x x n n ∞∞
--==-??
?-??=+-=+-<≤?∑∑。 2. 1(), x
x f x e ==在处 解:10
(1)()!n
x
x n x e e e
e x n ∞-=-=?=-∞<<+∞∑。
七、求函数2
()ln(1)f x x x =+在0x =处的n 阶导数(2)n > 解:22
1
10
0()(1)
(1)k k k k k k x x f x x
k k
+∞
∞--===-=-∑∑ ()
1
22
(2)(1)(3)()(1)n k k n
k n k k k n f
x x k
∞-+-=-+++-=
-?∑
()3
3!
(0)(1)(1)(1)(3)!2
n n n n f n n n n --=-=----。 八、设有两条抛物线21y nx n =+和2
1(1)1y n x n =+++,记它们的交点横坐标的绝对值为
n a
(1)求n a 的表达式
(2)求这两条抛物线所围成的图形的面积n S (3)求级数
1n
n n
S a
∞
=∑的和 解:(1)n a =
;
(2)22
3114(1)13n
n a n n a S nx n x dx a n n -??=
+-+-== ?+?
??; (3)由111111
11lim lim lim 11(1)(1)1(1)n n
n n n n k k n n k k k k n n ∞
→∞→∞→∞===????==-=-= ? ?++++????
∑∑∑,得 21114414
.33(1)3n n
n n n n
S a a n n ∞
∞∞======+∑∑∑
幂级数部分习题课
常用幂级数展式:
(1)0, ()!
n
x
n x e x n ∞
==-∞<<+∞∑
(2)21211
1sin (1)
(1), ()(21)!(21)!n n n
n n n x x x x n n +-∞
∞
-===-=--∞<<+∞+-∑∑ (3)20
cos (1), ()(2)!n
n
n x x x n ∞
==--∞<<+∞∑ (4)0
(1)(1)(1)1, (11)!
n
n n x x x n α
ααα∞
=?-?
?-++=+
-<<∑
22
1(5) , (11)
11 (1), (11)11 (1), (11)1n n n n n n n n x x x x x x x x x ∞
=∞
=∞
==-<<-=--<<+=--<<+∑∑∑
(6)1
1ln(1)(1)
, (11)n
n n x x x n
∞
-=+=
--<≤∑ (7)2121101
arctan (1)(1), (11)2121n n n
n n n x x x x n n +-∞
∞
-===-=--≤≤+-∑∑ 基本方法:代数法,即代换;利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为
幂级数展式已知的简单函数,再积分可得原函数的幂级数展式。
补充例题
一、把下列函数展成x 的幂级数
1. 2
()9x
f x x
=+ 解:2212
222001
()(1)(1), (33)99
93313n
n n n n n n x x
x x x f x x x x +
∞∞
+==??=
==-=--<< ?+????
+ ???
∑∑。 2. ()arctan f x x x =-解:由
2210
()arctan 1arctan (1),(11)
21n n n x f x x x x
x x n +∞
='=+
+==--≤≤+∑
及(0)0f =?
22
()()(1), (11)(21)(22)n x
n
n x f x f t dt x n n +∞
='==--≤≤++∑?
。
3. 111
()ln arctan 412
x f x x x x +=
+-- 解:由424
1
111111
()11,(11)411211n n f x x x x x x x ∞
=??'=++-=-=-<< ?+-+-??∑ 及(0)0f =?
41
1
()(), (11)41n x
n x f x f t dt x n +∞
='=
=-<<+∑?
。
4. 2
3
4
()ln(1)f x x x x x =++++
解:5
2
3
4
51()ln(1)ln
ln(1)ln(1)(1)1x f x x x x x x x x x
-=++++==---≠- 而
555
1
1
1
1
1
1()ln(1)(1)
,(11)()ln(1)(1),(11)n n
n n n n
n
n n n x x x x n n x x
x x n n
∞
∞
-==∞
∞
-==--=-=--≤<--=-=--≤<∑∑∑∑
故
54111
(1)(),(11)n n n n
n n n x x x f x x x n n n ∞
∞∞
===-=-+=-≤<∑∑∑。 二、把下列函数在指定点展成幂级数 1. ()ln f x x =在1x =处 解:1
1
(1)()ln ln[1(1)](1)
,(02)n
n n x f x x x x n
∞
-=-==+-=-<≤∑ 2. 21
()32
f x x x =
++在1x =处
解:111
()(1)(2)12
f x x x x x =
=-++++
100
111111(1)(1)(1),(13)112(1)222212
n
n n n n n n x x x x x x ∞∞
+==--??===-=--<< ?-++-??+∑∑ 1
00111111(1)(1)(1),(24)123(1)333313
n
n n n n n n x x x x x x ∞∞
+==--??===-=--<< ?-++-??+∑∑故
110
1
1()(1)(1),(13)23n n n n n f x x x ∞
++=??=----<< ???∑
3. ()1x d e e f x dx x ??
-= ?-??
在1x =处
解: 1
1
01
(1)(1)!1!n x n x
x n n x e e x e ee
e e n x n -∞
∞
-==---==?=-∑∑?
2
2(1)()(1)1(2)!
x n n d e e x f x e x dx x n n -∞
=??--==≠ ?--??∑。 4. ()sin f x x =在4
x π=处
解:由
sin sin 44sin
cos cos sin cos sin 4444244x x x x x x πππ
πππππ????=+- ???
?????????
?????=-+-=-+- ? ? ? ??????????
???
及
21
020
4sin (1)()
4(21)!4cos (1)()
4(2)!n n n n
n n x x x n x x x n ππππ+∞=∞=?
?- ?????-=--∞<<+∞ ?+???
?- ?????-=--∞<<+∞ ???∑∑?
212044sin (1)2(21)!(2)!n n
n n x x x n n ππ+∞=??????--?? ? ???????
=-+??
+????
()x -∞<<+∞ 三、幂级数求和
步骤:1. 求出给定级数的收敛区间; 2. 两种途径:
适当变形?逐项积分 ?常见函数之幂级数(,sin ,cos ,ln(1),x
e x x x +几何级数等)?逐
项求导?得和函数
适当变形?逐项求导?常见函数之幂级数(,sin ,cos ,ln(1),x
e x x x +几何级数等)?逐
项积分?得和函数 1.
20
(21)!n
n n x n ∞
=+∑ 解:由2123!lim
lim ||0(1)!21n n n n
u n n x u n n +→∞
→∞+==++,可知R =+∞,故收敛区间为(,)-∞+∞, 设20
(21)()!n
n n S x x n ∞
=+=
∑,逐项积分得
22120
00
()!!n n
x
x n n x x S t dt x xe n n +∞
∞
=====?∑∑?
222()()(12)()x x S x xe x e x '==+-∞<<+∞。
2. 2(1)
n
n x n n ∞
=-∑ 解:由1(1)
lim
lim 1(1)n n n n
a n n a n n +→∞
→∞-==+,得1R =,进一步可确定收敛区间为:[1,1]- 设2()(1)
n
n x S x n n ∞
==-∑,逐项求导得
10
21()ln(1)()ln(1)(1)ln(1)(||1)
1n n
x n n x x S x x S x t dt x x x x n n
-∞
∞=='===--?=--=---<-∑∑?
3. 1
2122
1(1)(21)!2
n n n n x n -∞
--=--∑
解:由222
12(21)!2lim lim ||0(21)!2n n n
n n n
u n x u n -+→∞→∞-==+,可知R =+∞,故收敛区间为(,)-∞+∞,
21
1121
22
11(1)(1)()22sin ,()(21)!2(21)!22
n n n n n n n x x
S x x x n n ---∞∞
--==--??===-∞<<+∞ ?--??
∑∑
4.
(21)n
n n x
∞
=+∑
解:由123
lim
lim 121
n n n n a n a n +→∞
→∞+==+,得1R =,进一步可确定收敛区间为:(1,1)- 0
10112
()(21)2121121112(11)11(1)
n
n
n
n n n x n n n n S x n x nx x x nt dt x
x x x
x x x x x x x ∞
∞
∞
===∞-=∞
==+=+'??=+
?-??'??=+ ?-??'
+??=+=-<< ?---??∑∑∑∑?∑
(注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)