数列的概念单元测试题+答案百度文库
一、数列的概念选择题
1.已知数列{}n a 的首项为1,第2项为3,前n 项和为n S ,当整数1n >时,
1
1
12()n
n
n S S S S 恒成立,则15S 等于( )
A .210
B .211
C .224
D .225
2.已知数列{}n a 满足: 12a =,11
1n n
a a +=-,设数列{}n a 的前n 项和为n S ,则2017S =( ) A .1007
B .1008
C .1009.5
D .1010
3.已知数列{}n a 满足11a =
),2n N n *=
∈≥,且()2cos
3
n n n a b n N π
*=∈,则数列{}n b 的前18项和为( ) A .120
B .174
C .204-
D .
373
2
4.已知数列{}n a 的前n 项和2
23n S n n =-,则10a =( )
A .35
B .40
C .45
D .50
5.数列23451,,,,,3579
的一个通项公式n a 是( ) A .
21n
n + B .
23
n
n + C .
23
n
n - D .
21
n
n - 6.在数列{}n a 中,11
4
a =-,1
1
1(1)n n a n a -=-
>,则2019a 的值为( ) A .
45
B .14
-
C .5
D .以上都不对
7.删去正整数1,2,3,4,5,…中的所有完全平方数与立方数(如4,8),得到一个新数列,则这个数列的第2020项是( ) A .2072
B .2073
C .2074
D .2075
8.数列{}n a 中,12a =,121n n a a +=-,则10a =( ) A .511
B .513
C .1025
D .1024
9.已知数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=-,则2019a =( ) A .1
B .3
C .2
D .3-
10.已知数列{}n a 的通项公式为2
n a n n λ=-(R λ∈),若{}n a 为单调递增数列,则实数λ的取值范围是( ) A .(),3-∞
B .(),2-∞
C .(),1-∞
D .(),0-∞
11.数列{}n a 中,()1121n
n n a a n ++-=-,则数列{}n a 的前8项和等于( )
A .32
B .36
C .38
D .40
12.历史上数列的发展,折射出许多有价值的数学思想方法,对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…即121a a ==,当n ≥3时,
12n n n a a a --=+,此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被
4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ,记数列{}n b 的前n 项和为n S ,则20S 的值为( ) A .24
B .26
C .28
D .30
13.已知数列2
65n a n n =-+则该数列中最小项的序号是( )
A .3
B .4
C .5
D .6
14.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+,则4a 的值为( ) A .4
B .6
C .8
D .10
15.已知在数列{}n a 中,112,1
n n n
a a a n +==+,则2020a 的值为( ) A .
1
2020
B .
1
2019
C .
11010
D .
11009
16.数列1111
,,,
57911
--,…的通项公式可能是n a =( ) A .1(1)32
n n --+
B .(1)32
n n -+
C .1(1)23
n n --+
D .(1)23
n
n -+
17.数列1
2,16,112,120
,…的一个通项公式是( ) A .()1
1n a n n =-
B .()1
221n a n n =
-
C .111
n a n n =
-+ D .11n a n
=-
18.在数列{}n a 中,11
(1)1,2(2)n
n n a a n a --==+≥,则3a =( ) A .0
B .
53
C .
73
D .3
19.数列{}n a 满足:12a =,111n
n n
a a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ,则2018T =( ) A .6-
B .1
6-
C .
16
D .6
20.数列1,3,5,7,9,
--的一个通项公式为( )
A .21n a n =-
B .()1(21)n
n a n =--
C .()
1
1(21)n n a n +=--
D .()
1
1(21)n n a n +=-+
二、多选题
21.设数列{}n a 满足11
02
a <<,()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立,则下列说法正确的是( ) A .
21
12
a << B .{}n a 是递增数列 C .2020312
a <<
D .
20203
14
a << 22.已知数列{}n a 满足()
*11
1n n
a n N a +=-∈,且12a =,则( ) A .31a =- B .201912
a =
C .332
S =
D . 2 0192019
2
S =
23.黄金螺旋线又名等角螺线,是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形,然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形,如此循环下去,再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧,最后顺次连接,就可得到一条“黄金螺旋线”.达·芬奇的《蒙娜丽莎》,希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *),数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3).再将扇形面积设为b n (n ∈N *),则( )
A .4(b 2020-b 2019)=πa 2018·a 2021
B .a 1+a 2+a 3+…+a 2019=a 2021-1
C .a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=2a 2019·a 2021
D .a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=0
24.若不等式1
(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立,则实数a 的可能取值为( ) A .2- B .1- C .1 D .2
25.(多选题)已知数列{}n a 中,前n 项和为n S ,且2
3n n n S a +=,则1
n n a a -的值不可能为
( ) A .2
B .5
C .3
D .4
26.(多选)在数列{}n a 中,若2
2
1(2,,n n a a p n n N p *
--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .
(){}1n
- 是等方差数列
C .{}2
n
是等方差数列.
D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 27.在等差数列{}n a 中,公差0d ≠,前n 项和为n S ,则( ) A .4619a a a a >
B .130S >,140S <,则78a a >
C .若915S S =,则n S 中的最大值是12S
D .若2
n S n n a =-+,则0a =
28.已知数列{}n a 满足:12a =,当2n ≥
时,)
2
12n a =
-,则关于数列
{}n a 的说法正确的是 ( )
A .27a =
B .数列{}n a 为递增数列
C .2
21n a n n =+-
D .数列{}n a 为周期数列
29.等差数列{}n a 是递增数列,公差为d ,前n 项和为n S ,满足753a a =,下列选项正确的是( ) A .0d <
B .10a <
C .当5n =时n S 最小
D .0n S >时n 的最小值为8
30.已知数列{}2n
n
a n +是首项为1,公差为d 的等差数列,则下列判断正确的是( ) A .a 1=3 B .若d =1,则a n =n 2+2n C .a 2可能为6
D .a 1,a 2,a 3可能成等差数列
31.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==,则( ) A .25n a n =-
B .310n
a n
C .2
28n S n n =- D .2
4n S n n =-
32.在数列{}n a 中,若22*
1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数
列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .{(1)}n -是等方差数列
C .若{}n a 是等方差数列,则{}(
)*
,kn a k N
k ∈为常数)也是等方差数列
D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 33.定义11222n n
n a a a H n
-++
+=
为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优
值”2n
n H =,前n 项和为n S ,则( )
A .数列{}n a 为等差数列
B .数列{}n a 为等比数列
C .
20202023
20202
S = D .2S ,4S ,6S 成等差数列
34.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,现有下列4个命题中正确的有( )
A .若100S =,则280S S +=;
B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15
C .若150S >,160S <,则{}n S 中8S 最大
D .若78S S <,则89S S <
35.已知数列{}n a 是递增的等差数列,5105a a +=,
6914a a ?=-.12n n n n b a a a ++=??,数列{}n b 的前n 项和为n T ,下列结论正确的是( )
A .320n a n =-
B .325n a n =-+
C .当4n =时,n T 取最小值
D .当6n =时,n T 取最小值
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一、数列的概念选择题 1.D 解析:D 【分析】
利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==,说明数列是等差数列,然后求解数列的和即可. 【详解】 解:结合1
1
12()n
n
n S S S S 可知,11122n n n S S S a +-+-=,
得到1122n n a a a +-==,故数列{}n a 为首项为1,公差为2的等差数列,则12(1)21n a n n =+-=-,所以1529a =,
所以11515()15(291)15
22522
a a S ++=
==, 故选:D . 【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用,考查数列求和,是基本知识的考查.
2.D
解析:D 【分析】
根据题设条件,可得数列{}n a 是以3为周期的数列,且313
2122
S =+-=,从而求得2017S 的值,得到答案. 【详解】
由题意,数列{}n a 满足: 12a =,11
1n n
a a +=-, 可得23411
1,121,1(1)2,22
a a a =-
==-=-=--=,
可得数列{}n a 是以3为周期的数列,且3132122
S =+-= 所以20173
672210102
S =?+=. 故选:D. 【点睛】
本题主要考查了数列的递推公式的应用,其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列,是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
3.B
解析:B 【分析】
将题干中的等式化简变形得2
11n n a n a n --??
= ???
,利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式,由
此计算出(
)32313k k k b b b k N *
--++∈,进而可得出数列{}n
b 的前18
项和.
【详解】
)1,2n a n N n *
--=
∈≥,将此等式变形得2
11n n a n a n --??= ???
,
由累乘法得2
2
2
3
212
12
11211123n n n a
a a n a a a a a n n
--??????
=??=????= ? ? ?????
??, ()
2cos
3n n n a b n N π*=∈,22cos 3
n n b n π
∴=,
()()222
323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--????∴++=--+--+ ? ????
?592
k =-,
因此,数列{}n b 的前18项和为()5
91234566921151742
?+++++-?=?-=. 故选:B. 【点睛】
本题考查并项求和法,同时也涉及了利用累乘法求数列的通项,求出32313k k k b b b --++是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.
4.A
解析:A 【分析】
利用()n n n a S S n 12-=-,根据题目已知条件求出数列的通项公式,问题得解.
【详解】
223n S n n =-,
n 2∴≥时,1n n n a S S -=-
22(23[2(1)3(1)]n n n n )=-----=45n
1n = 时满足11a S = ∴ =45n a n ,∴ 10a =35
故选:A. 【点睛】
本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S =求出1a .
(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系,利用()n n n a S S n 12-=-便可求出当n 2
≥时n a 的表达式.
(3)对1n =时的结果进行检验,看是否符合n 2≥时n a 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分1n =与n 2≥两段来写. .
5.D
解析:D 【分析】
根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】
由于数列的分母是奇数列,分子是自然数列,故通项公式为21
n n
a n =-. 故选:D
【点睛】
本小题主要考查根据数列的规律求通项公式,属于基础题.
6.A
解析:A 【分析】
根据递推式可得{}n a 为一个周期为3的数列,求{}n a 中一个周期内的项,利用周期性即可求2019a 的值 【详解】
由114a =-,1
11(1)n n a n a -=->知 211
15a a =-= 321415
a a =-
= 41311
14
a a a =-
=-= 故数列{}n a 是周期为3的数列,而2019可被3整除 ∴201934
5
a a == 故选:A 【点睛】
本题主要考查递推数列,考查数列的周期性,考查合情推理,属于基础题
7.C
解析:C 【分析】
由于数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?共有2025项,其中有45个平方数,12个立方数,有3个既是平方数,又是立方数的数,所以还剩余20254512+31971--=项,所以去掉平方数和立方数后,第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数,从而求得结果. 【详解】
∵2452025=,2462116=,20202025<,所以从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉45个平方数,
因为331217282025132197=<<=,所以从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉
12个立方数,
又66320254<<,所以在从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中有3个数即是平方数, 又是立方数的数,重复去掉了3个即是平方数,又是立方数的数, 所以从数列2
2
2
21,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉平方数和立方数后还有
20254512+31971--=项,此时距2020项还差2020197149-=项, 所以这个数列的第2020项是2025492074+=, 故选:C. 【点睛】
本题考查学生的实践创新能力,解决该题的关键是找出第2020项的大概位置,所以只要
弄明白在数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?去掉哪些项,去掉多少项,问题便迎刃而解,属于中档题.
8.B
解析:B 【分析】
根据递推公式构造等比数列{}1n a -,求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】
因为121n n a a +=-,所以121n n a a +=-,所以()1121n n a a +-=-,
所以
11
21
n n a a +-=-且1110a -=≠, 所以{}1n a -是首项为1,公比为2的等比数列,
所以112n n a --=,所以121n n a -=+,所以9
1021513a =+=,
故选:B. 【点睛】
本题考查利用递推公式求解数列通项公式,难度一般.对于求解满足
()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式,可以采用构造等比数列的方
法进行求解.
9.C
解析:C 【分析】
根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得
2019a 的值.
【详解】
数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---=
当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=?+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】
本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.
10.A
解析:A 【分析】
由已知得121n n a a n λ+-=+-,根据{}n a 为递增数列,所以有10n n a a +->,建立关于
λ的不等式,解之可得λ的取值范围. 【详解】
由已知得22
1(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-,
因为{}n a 为递增数列,所以有10n n a a +->,即210n λ+->恒成立, 所以21n λ<+,所以只需()min 21n λ<+,即2113λ+=, 所以3λ<, 故选:A. 【点睛】
本题考查数列的函数性质:递增性,根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键,属于基础题.
11.B
解析:B 【分析】
根据所给数列表达式,递推后可得()
1
21121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以
()
1n
-后与变形后的式子相加,即可求得2n n a a ++,即隔项和的形式.进而取n 的值,代入
即可求解. 【详解】
由已知()1121n
n n a a n ++-=-,① 得()
1
21121n n n a a n ++++-=+,②
由()1n
?-+①②得()()()212121n
n n a a n n ++=-?-++,
取1,5,9n =及2,6,10n =,易得13572a a a a +=+=,248a a +=,6824a a +=, 故81234836S a a a a a =++++???+=.
故选:B. 【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用,对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键,属于中档题.
12.B
解析:B 【分析】
先写出新数列的各项,找到数列的周期,即得解. 【详解】
由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b , 此数列的各项求得:1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1……,则其周期为6, 其中1+1+2+3+1+0=8,
则201819201812S S b b S b b =++=++381126=?++=, 故选:B.
13.A
解析:A 【分析】
首先将n a 化简为()2
34n a n =--,即可得到答案。 【详解】
因为()
()2
2
69434n a n n n =-+-=--
当3n =时,n a 取得最小值。 故选:A
14.C
解析:C 【分析】
利用443a S S =-计算. 【详解】
由已知22
443(44)(33)8a S S =-=+-+=.
故选:C .
15.C
解析:C 【分析】
由累乘法可求得2
n a n
=,即可求出. 【详解】
11n n n a a n +=
+,即11n n
a n a n +=+, 12
321123
2112321
21232n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=
????
??=??????--2n
=, 202021
20201010
a ∴=
=. 故选:C.
16.D
解析:D 【分析】
根据观察法,即可得出数列的通项公式. 【详解】
因为数列1111
,,,
, (57911)
--可写成 ()()()()234
2322311111,1,1,12,..24.333
-?
-?-?+?+?+?+-?, 所以其通项公式为(1)(1)23213
n
n
n a n n -=-=
++?. 故选:D.
17.C
解析:C 【分析】
根据选项进行逐一验证,可得答案. 【详解】 选项A. ()
1
1n a n n =-,当1n =时,无意义.所以A 不正确.
选项B. ()1221n a n n =-,当2n =时,()2111
22221126
a =
=≠???-,故B 不正确. 选项C.
11122=-,111162323==-?,1111123434==-?,1111204545==-? 所以11
1
n a n n =
-+满足.故C 正确. 选项D. 11n a n =-,当1n =时, 111
1012
a =-=≠,故D 不正确. 故选:C
18.B
解析:B 【分析】
由数列的递推关系式以及11a =求出2a ,进而得出3a . 【详解】
11a =,21
1
23a a ∴=+
=,321523a a -=+
= 故选:B
19.A
解析:A 【分析】
根据递推公式推导出(
)4n n a a n N *
+=∈,且有1234
1a a a a
=,再利用数列的周期性可计算
出2018T 的值. 【详解】
12a =,()*111++=
∈-n
n n a a n N a ,212312a +∴==--,3131132
a -==-+,41
1121312a -
==+,5
1132113
a +
==-,()4n n a a n N *+∴=∈,且()123411
23123
a a a a ??=?-?-?= ???,
201845042=?+,因此,()504
2018450421211236T T a a ?+==?=??-=-.
故选:A. 【点睛】
本题考查数列递推公式的应用,涉及数列周期性的应用,考查计算能力,属于中等题.
20.C
解析:C 【分析】
分别观察各项的符号、绝对值即可得出. 【详解】
数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式()()112n
n a n =--. 故选C . 【点睛】
本题考查了球数列的通项公式的方法,属于基础题.
二、多选题 21.ABD 【分析】
构造函数,再利用导数判断出函数的单调性,利用单调性即可求解. 【详解】 由, 设, 则,
所以当时,,
即在上为单调递增函数, 所以函数在为单调递增函数, 即, 即, 所以 ,
解析:ABD 【分析】
构造函数()()ln 2f x x x =+-,再利用导数判断出函数的单调性,利用单调性即可求解. 【详解】
由()1ln 2n n n a a a +=+-,1102
a << 设()()ln 2f x x x =+-, 则()11122x
f x x x
-'=-
=--, 所以当01x <<时,0f x
,
即()f x 在0,1上为单调递增函数, 所以函数在10,2?? ???
为单调递增函数, 即()()102f f x f ??<<
???
,
即()131
ln 2ln ln 1222
f x <<<+<+=, 所以()1
12
f x << , 即
1
1(2)2
n a n <<≥, 所以
2112a <<,20201
12
a <<,故A 正确;C 不正确; 由()f x 在0,1上为单调递增函数,
1
12
n a <<,所以{}n a 是递增数列,故B 正确;
2112a <<,所以 231
32131113ln(2)ln ln 222234
a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333
144
a a a ∴<><>,故D 正确 故选:ABD 【点睛】
本题考查了数列性质的综合应用,属于难题.
22.ACD 【分析】
先计算出数列的前几项,判断AC ,然后再寻找规律判断BD . 【详解】
由题意,,A 正确,,C 正确; ,∴数列是周期数列,周期为3. ,B 错; ,D 正确. 故选:ACD . 【点睛】 本
解析:ACD 【分析】
先计算出数列的前几项,判断AC ,然后再寻找规律判断BD . 【详解】
由题意211122a =-=,31
1112a =-=-,A 正确,313
2122
S =+-=,C 正确;
41
121
a =-
=-,∴数列{}n a 是周期数列,周期为3. 2019367331a a a ?===-,B 错;
201932019
67322
S =?=,D 正确.
故选:ACD . 【点睛】
本题考查由数列的递推式求数列的项与和,解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质:周期性,然后利用周期函数的定义求解.
23.ABD 【分析】
对于A ,由题意得bn =an2,然后化简4(b2020-b2019)可得结果;对于B ,利用累加法求解即可;对于C ,数列{an}满足a1=a2=1,an =an -1+an -2
(n≥3
解析:ABD 【分析】
对于A ,由题意得b n =
4
πa n 2
,然后化简4(b 2020-b 2019)可得结果;对于B ,利用累加法求解即可;对于C ,数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n -12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,然后累加求解;对于D ,由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2,化简可得结果 【详解】
由题意得b n =
4πa n 2,则4(b 2020-b 2019)=4(4πa 20202-4π
a 20192)=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2018·
a 2021,则选项A 正确; 又数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3),a 1+a 2+a 3+…+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+…+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1,则选项B 正确;
数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n
-1
2
=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,则a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=a 12+(a 2a 1-a 2a 3)+(a 3a 2-a 3a 4)+…+
(a 2020a 2019-a 2020a 2021)=a 12-a 2020a 2021=1-a 2020a 2021,则选项C 错误;
由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·
a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=a 2019·(a 2021-a 2019)+a 2020·(a 2018-a 2020)=a 2019·a 2020+a 2020·(-a 2019)=0,则选项D 正确; 故选:ABD. 【点睛】
此题考查数列的递推式的应用,考查累加法的应用,考查计算能力,属于中档题
24.ABC 【分析】
根据不等式对于任意正整数n 恒成立,即当n 为奇数时有恒成立,当n 为偶数时有恒成立,分别计算,即可得解. 【详解】
根据不等式对于任意正整数n 恒成立, 当n 为奇数时有:恒成立, 由递减
解析:ABC 【分析】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立,即当n 为奇数时有12+
a n
-<恒成立,当n 为偶数时有1
2a n
<-恒成立,分别计算,即可得解. 【详解】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立, 当n 为奇数时有:1
2+a n
-<恒成立,
由12+n 递减,且1
223n
<+≤,
所以2a -≤,即2a ≥-, 当n 为偶数时有:1
2a n
<-恒成立, 由12n -
第增,且31
222n ≤-<, 所以3
2
a <
, 综上可得:322
a -≤<, 故选:ABC . 【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题,考查了分类讨论思想,有一定的计算量,属于中当题.
25.BD 【分析】
利用递推关系可得,再利用数列的单调性即可得出答案. 【详解】 解:∵, ∴时,, 化为:,
由于数列单调递减, 可得:时,取得最大值2. ∴的最大值为3. 故选:BD . 【点睛】 本
解析:BD 【分析】 利用递推关系可得12
11
n n a a n -=+-,再利用数列的单调性即可得出答案. 【详解】 解:∵2
3
n n n S a +=
,
∴2n ≥时,1121
33
n n n n n n n a S S a a --++=-=-, 化为:
112
111n n a n a n n -+==+--, 由于数列21n ??
?
?-??
单调递减, 可得:2n =时,2
1
n -取得最大值2. ∴
1
n
n a a -的最大值为3. 故选:BD . 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
26.BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ,若是等差数列,如,则不是常数,故不是等方差数列,故A 错误; 对于B ,数列中,是常数,是等方差数列,故
解析:BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故
{}n
a 不是等方差数列,故A 错误;
对于B ,数列
(){}1n
-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方
差数列,故B 正确; 对于C ,数列{}2
n
中,()(
)
2
2
221
112
234n n n n n a
a ----=-=?不是常数,{}
2n
∴不是等方差
数列,故C 错误; 对于D ,
{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数
列,()()2
2
2
112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,
故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,22
10n n a a --=是常数,故D 正确.
故选:BD. 【点睛】
关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差
数列和等方差数列定义,利用定义进行判断.
27.AD 【分析】
对于,作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案;
对于,根据等差数列的前项和公式得到和, 进而可得,由此可知,故不正确; 对于,由得到,,然后分类讨论的符号可得答案; 对于,由求出及
解析:AD 【分析】
对于A ,作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案;
对于B ,根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<, 进而可得80a <,由此可知78||||a a <,故B 不正确;
对于C ,由915S S =得到,12130a a +=,然后分类讨论d 的符号可得答案; 对于D ,由n S 求出n a 及1a ,根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】
对于A ,因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =,且0d ≠,
所以2
4619150a a a a d -=>,所以4619a a a a >,故A 正确;
对于B ,因为130S >,140S <,所以
77713()
1302
a a a +=>,即70a >,
787814()
7()02a a a a +=+<,即780a a +<,因为70a >,所以80a <,所以
7878||||0a a a a -=+<,即78||||a a <,故B 不正确;
对于C ,因为915S S =,所以101114150a a a a ++
++=,所以12133()0a a +=,即
12130a a +=,当0d >时,等差数列{}n a 递增,则12130,0a a <>,所以n S 中的最小值
是12S ,无最大值;当0d <时,等差数列{}n a 递减,则12130,0a a ><,所以n S 中的最大值是12S ,无最小值,故C 不正确;
对于D ,若2
n S n n a =-+,则11a S a ==,2n ≥时,
221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-,因为数列{}n a 为等差数列,
所以12120a a =?-==,故D 正确. 故选:AD 【点睛】
关键点点睛:熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.
28.ABC 【分析】
由,变形得到,再利用等差数列的定义求得,然后逐项判断. 【详解】 当时,由, 得, 即,又,
所以是以2为首项,以1为公差的等差数列, 所以, 即,故C 正确; 所以,故A 正确; ,
解析:ABC 【分析】
由)
2
12n a =
-1=,再利用等差数列的定义求
得n a ,然后逐项判断. 【详解】
当2n ≥时,由)
2
12n a =-,
得)
2
21n a +=
,
1=,又12a =,
所以
是以2为首项,以1为公差的等差数列,
2(1)11n n =+-?=+,
即2
21n a n n =+-,故C 正确;
所以27a =,故A 正确;
()2
12n a n =+-,所以{}n a 为递增数列,故正确;
数列{}n a 不具有周期性,故D 错误; 故选:ABC
29.BD 【分析】
由题意可知,由已知条件可得出,可判断出AB 选项的正误,求出关于的表达式,利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】
由于等差数列是递增数列,则,A 选项错误
解析:BD