第1章质点运动学

第1章 质点运动学

一、基本要求

1．理解描述质点运动的位矢、位移、速度、加速度等物理量意义；

2．熟练掌握质点运动学的两类问题：即用求导法由已知的运动学方程求速度和加速度，并会由已知的质点运动学方程求解位矢、位移、平均速度、平均加速度、轨迹方程；用积分法由已知的质点的速度或加速度求质点的运动学方程；

3．理解自然坐标系，理解圆周运动中角量和线量的关系，会计算质点做曲线运动的角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度和总加速度； 4．了解质点的相对运动问题。

二、基本内容

（一）本章重点和难点

重点：掌握质点运动学方程的物理意义，利用数学运算求解位矢、位移、速度、加速度、轨迹方程等。

难点：将矢量运算方法及微积分运算方法应用于运动学解题。（提示：矢量可以有黑体或箭头两种表示形式，教材中一般用黑体形式表示，学生平时作业及考试必须用箭头形式表示）

（二）知识网络结构图

?

??

??

???

??

?

???

???

??????

??

??相对运动

总加速度法向加速度切向加速度角加速度角速度曲线运动轨迹方程参数方程

位矢方程质点运动方程运动方程形式平均加速度加速度平均速度速度位移

位矢基本物理量,,,,:)(,,

（三）基本概念和规律

1．质点的位矢、位移、运动方程

（1）质点运动方程（)(t r ）：k t z j t y i t x t r

)()()()(++=（描述质点运动的空间位置

与时间的关系式）

（2）位矢（r ）：k z j y i x r ++= （3）位移（r ?）：k z j y i x r ?+?+?=?

（注意位移r ?和路程s ?的区别，一般情况下：S r ?≠? ，r r r

??≠?或； 位移大小：()()222)(z y x r ?+?+?=

?

；

径向增量：2121212

2222212z y x z y x r r r r ++-++=

-=?=?

（4）参数方程：??

?

??===)()()

(t z z t y y t x x

（5）轨迹方程：从参数方程中消去t ，得：0),,(=z y x F 2．速度和加速度 直角坐标系中

（1）速度（v

）：k dt dz j dt dy i dt dx dt r d v

++==

（2）平均速度（v

）：t

r v ??=

（3）加速度（a ）：k dt z d j dt

y d i dt x d dt r d dt v d a

22222222++===

（4）平均加速度（a

）：t

v a ??=

（注意速度和速率的区别：dt r

d v =，但一般情况下dt

dr dt r d ≠

） 3．曲线运动

描述质点的曲线运动，常采用自然坐标系（由切向和法向组成），在自然坐标系中，质

点的（线）速度和加速度为：

（1）速度：t t e dt

ds e v v

=

= （2）加速度：n n t t n t e a e a a a a

+=+= 其中：切向加速度（t a ）t t e dt

dv a

=

，量度速度量值的变化； 法向加速度（n a ）n n e v a

ρ

2=，量度速度方向的变化，ρ为曲率半径。

4．圆周运动

（1）角速度（ω）：

t d d θ

ω=

（2）线速度（v ）：dt

ds

v =

（3）角加速度（βα或）：

2

2d d d d t t θωα== （4）总加速度（)a

：n t n t e R e R a a a

2ωα+=+=

（大小取模：222)()(ωαR R a a a n t +=+=

）

且有角量与线量关系式： θR s =

ωR v = 2

2

n t d d ωαR R v a R t v

a ====

5．相对运动

一个运动质点在两个作相对平动的参考系中的速度关系为：

u v v

+'=（矢量和）

式中：v 为绝对速度，是质点相对于S 系的速度，v '

为相对速度，是质点相对于S '系

的速度，u

为牵连速度，是S '系相对于S 系的速度。

（四）容易混淆的概念 1.瞬时速度和平均速度

瞬时速度（简称速度），对应于某时刻的速度，是质点位置矢量随时间的变化率，用求导法；平均速度是质点的位移除以时间，对应的是某个时间段内的速度平均值，不用求导法。

2. 瞬时加速度和平均加速度

瞬时加速度（简称加速度），对应于某时刻的加速度，是质点速度矢量随时间的变化率，用求导法；平均加速度是质点的速度增量除以时间，对应的是某个时间段内加速度的平均值，不用求导法。

3.质点运动方程、参数方程和轨迹方程

质点运动方程（即位矢方程），是质点位置矢量对时间的函数；参数方程是质点运动方程的分量式；而轨迹方程则是从参数方程中消去t 得到的，反映质点运动的轨迹特点。

4．绝对速度、相对速度和牵连速度

绝对速度是质点相对于静止参照系的速度；相对速度是质点相对于运动参照系的速度；牵连速度是运动参照系相对于静止参照系的速度。

（五）思考问答

问题1 位置矢量r 和位移r ?有何区别？r ?和r

?意义相同吗？

答：位置矢量r

（简称位矢）是从坐标原点指向质点所在位置的有向线段，描述了某时刻质点的位置；而位移r

?是初位置指向末位置的有向线段，反映了质点位置的变化，二者意义不同。

末位置的位矢和初位置的位矢之差即为该段时间内的质点的位移，若取初位置为坐标原点，则末位置的位矢和位移一致。质点的瞬时速度为该时刻位矢对时间的一阶导数，而不是位移对时间的导数。

r ?是矢量增量的模，即位移的大小；r

?为矢量模的增量，即位矢的径向增量，二者

意义不同。

问题2 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么它的速度与时间、位矢与时间的关系是否也是线性的呢？

答：它的速度与时间、位矢与时间的关系不是线性的。

问题3 物体在某一时刻开始运动，在t ?时间后，经任一路径回到出发点，此时速度的大小和开始时相同，但方向一般不同，试问在t ?时间内平均速度是否为零？平均加速度是否为零？

答：平均速度v ?是物体的位移r

?与时间t ?的比值，而这段时间内位移为零，所以平均速度v

?为零。

平均加速度a ?是物体速度的增量v

?与时间t ?的比值，由于初、末速度的方向不同，所以v ?不为零，平均加速度a

?也不为零。

问题 4 圆周运动中质点的加速度是否一定和速度方向垂直？任意曲线运动的加速度是否一定不与速度方向垂直?

答：不管是圆周运动还是任意曲线运动,质点的总加速度均为切向加速度和法向加速度的矢量和。

在匀速率圆周运动中,速度的大小不变，切向加速度为0，质点的加速度为法向加速度，且其方向与线速度方向垂直，指向圆心。

而在变速率圆周运动中,速度的大小也随时间的变化而变化，质点的加速度不但有法向分量还有切向分量，因此，加速度的方向一般不垂直于沿切向的速度方向，也不一定指向圆心(法向)。

在匀速率曲线运动中，只要速度方向有变化，加速度只能有法向分量，而且一定与沿曲线切向的速度方向垂直，并指向质点所在处曲线的曲率中心。

在变速曲线运动中,切向加速度不为零，故加速度一定不与速度方向垂直，但一定指向轨迹的凹侧。

问题5 下列说法是否正确：

（1）质点做圆周运动时加速度指向圆心； （2）匀速圆周运动的加速度为恒量；

（3）只有法向加速度的运动一定是圆周运动； （4）只有切向加速度的运动一定是直线运动。

答：（1）错。质点做非匀速率圆周运动时，加速度不一定指向圆心。

（2）错。质点做匀速圆周运动时，只有法向加速度，加速度的大小不变但方向不断变化且始终指向圆心。

（3）错。只有法向加速度的运动，切向加速度为0，则速率不变。由：R v a n 2

=圆周运

动中半径R 一定，由此R

v a n 2

=的大小也一定。应该说只有法向加速度且其大小不变的的运

动一定是圆周运动。

（4）正确。只有切向加速度的运动，其法向加速度为0，∞→==R R

v a n ,02

一定是直线 运动。

三、解题方法

运动学主要分为两类问题：

第一类问题：已知运动方程求速度和加速度，用求导法；

第二类问题：已知质点加速度以及在起始状态时的初位矢和初速度，求速度、位矢或质点运动方程，用积分法。

其中，第一类问题的解题方法是求导，而求解第二类问题则需要积分。求导不需附加条件，而积分则需要相应的初始条件，积一次分，需一个初始条件；有些情况下，不能直接积分，需做变量代换。另外，在不同坐标系下（例如直角坐标系与自然坐标系），物理量的表达式不同，故学习中要准确掌握。

四、解题指导

1． 已知质点运动参数方程为：??

?-=-=)

cos 1( sin t R y t R x ωω 式中ω,R 为常量，试求：

（1）质点轨迹方程是什么？作何运动？

（2） 1秒末的位矢。

（3） 速度和加速度大小。

[分析]：这是已知运动方程求速度、加速度的典型问题，即运动学第一类问题，通过求导法进行计算。

解：（1）由参数方程消去t

，可得轨迹方程为：2

22)(R R y x =-+

这是以R 为半径，圆心位于(0,)R 点的圆的方程，即质点作圆周运动。

（2）运动方程矢量形式为：j t R i t R r

)cos 1(sin ωω-+-=

将s t 1=代入上式得：j R i R r

)cos 1(sin 1ωω-+-=

（3）由速度定义：j t R i t R dt

r

d v ωωωωsin cos +-==

其中：

t R t x v x cos d d ωω-==

，t R t y v y sin d d ωω==

大小：ω

R v v v y x =+=2

2

可见v 的值为一常量，表明质点作匀速率圆周运动，角速度为ω。

再由加速度定义：j t R i t R dt

v

d a ωωωωcos sin 22+== 其中：t R t v

a x x sin d d 2ωω==，t

R t v a y y cos d d 2ωω==

大小：

2

2

2ωR a a a y x =+=

2．一质点在xOy 平面上运动，运动方程为：432

1,532

-+=

+=t t y t x （式中t 以s 计，x ,y 以m 计）。求：

(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；

(2)求出s t 1= 时刻和s t 2= 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移； (3)计算s t 0=时刻到s t 4=时刻内的平均速度；

(4)求出质点速度矢量表示式，计算s t 4=时质点的速度； (5)计算s t 0=到s t 4= 内质点的平均加速度；

(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算s t 4=时质点的加速度。

(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。

[分析]：本题是最基本的直角坐标系下运动学第一类问题，意在强化直角坐标系下的运动学各基本概念。题目中给出的是参数方程形式，可用矢量式直接写出质点运动方程形式，再用求导法求出速度和加速度。

解：（1）位矢方程（质点运动方程）为： j t t i t r

)432

1

()53(2

-+++=m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有：j i r

5.081-= m ，j i r

4112+=m

j i r r r

5.4312+=-=?m

(3)∵ j i r j i r

1617,4540+=-=

∴ 104s m 534201204-?+=+=--=??=j i j i r r t r

v (4) 1s m )3(3d d -?++==j t i t

r

v 则： j i v 734+= 1

s m -?

(5) ∵ j i v j i v

73,3340+=+=

∴ 204s m 1444-?==-=??=j v v t v a (6) 2s m 1d d -?==j t

v

a ，这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。 3． 质点沿半径为R 的圆周按s ＝2

02

1bt t v -的规律运动，式中s 为质点离圆周上某点的弧

长,0v ，b 都是正常数，求：(1)t 时刻质点的加速度； (2) t 为何值时，加速度在数值上等于b 。

[分析]：本题是自然坐标表示下的运动学第一类问题。 解：（1） bt v t s

v -==

0d d

R

)bt v (R v a b t

d v

d a 202n t -=

=-==

则：

2

4

02

2

n

2

t R )bt v (b a a a -+

=+

=

加速度与半径的夹角为：20n t )bt v (Rb a a arctan

--=

=?

(2)由题意应有：2

4

02

)(R

bt v b b a -+== 即： 0)(,)(4

2

402

2

=-?-+=bt v R bt v b b ∴当b

v t 0

=

时，b a = 注释：须特别注意的是t d v

d a t =，也可写成t

d v

d a t =，而不是dt v d a t =。 4．一质点沿半径为m 1的圆周运动，运动方程为3

32t +=θ，式中θ以弧度计，t 以秒计。

求：(1)s t 2=时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成0

45角时，其

角位移是多少?

[分析]：本题为物体做圆周运动的角坐标表示下的运动学第一类问题，其运动学方程为角

位置随时间变化关系式，由角量与线量之间的关系可求解出t a ，n a ；并由二者的关系求出时间，进而求出θ。 解：由：t t

t t 18d d ,9d d 2====

ωβθω (1)s 2=t 时， 2

t s m 362181R a -?=??=β=

2222s m 1296)29(1-?=??==ωR a n

(2)当加速度方向与半径成ο

45角时，有：145tan ==

?n

t

a a 即： βωR R =2 亦即： t t 18)9(22= 则解得： 9

23

=

t 于是角位移为：rad)(67.29

2

32323

=?

+=+=t θ 5．质点沿半径为R 做圆周运动，其按规律

221bt ct S -

=运动，式中S 为路程，b 、c 为大

于零的常数，求：

（1）t 时刻质点的角速度和角加速度

（2）当切向加速度大小等于法向加速度大小时，质点运动经历的时间。

[分析]： 本题先根据角量与线量关系，将路程s 改写成角位置θ，用角量依次求导法求出角速度和角加速度；再根据圆周运动切向加速度和法向加速度公式求出运动时间。

解：（1）质点作圆周运动，有θR S =，所以：)

21(12bt ct R R S -==θ

角速度：

t R b

R c t -==

d d θω 角加速度：

R b t -

==d d ωα （2）在圆周运动中，有：b R a -==αt

当 t n a a =时： 2

)(1bt c R b -=

)(2222=-+-bR c bct t b

得：

b R b

c

t +=

6．半径为R 的轮子，以匀速0v 沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点B 的运动方程为

2 2 n ) ( 1

bt c R

R a - = = ω

)sin (sin 0t t R R t v x ωωθ

-=-

=x ＝R )sin (t t ωω-，y ＝R )cos 1(t ω-，式中0v =ω/R 是轮子滚动的角速度，当B 与

水平线接触的瞬间开始计时．此时B 所在的位置为原点，轮子前进方向为x 轴正方向；(2)求B 点速度和加速度的分量表示式．

[分析]： 本题亦为运动学第一类问题，解题关键是依据条件推导出运动学方程。 解：（1）依题意作出下图，由图可知，先写出质点运动的参数方程：

(2)

???

???

?==-==)sin d d )cos 1(d d t R t y v t R t

x v y x ωωωω ???

???

?====t R dt dv a t R dt

dv a y y x x ωωωωcos sin 22

7．已知一质点由静止出发，它的加速度在X 轴和Y 轴上的分量分别为10t a x =，

2

y 15t a =（SI 制）。试求s t 5=时质点的速度和位置。

[分析]：这是一个典型的运动学第二类问题，首先要根据题意确定出初始条件，然后由加速度、速度定义及初始条件求出速度、位矢的表达式，最后带数得出结果。 解：取质点的出发点为坐标原点。由题意知质点的加速度为：

t 10t d v d a x

x == 2y y t 15t

d v d a ==

由初始条件t=0时，0v v y 0x

0==，对上式进行积分，有：

t d t 10v d t

x

v 0

x

??= 2x

t 5v

=

t d t 15v d 2t

y v 0

y

?

?

=

3y

t 5v =

即：j t 5i t 5v 3

2 +=

)cos 1()cos t R R R y ωθ-=-=

t=5s 时，j 625i 125v

+=（m/s ）

又：3y 2x t 5dt

dy v ,t 5t d x d v ====

由初始条件t=0时，0y x 00

==，对上式分离变量并积分，有：

3

2t

t 3

5t d t 5x =

=

?

，4

3t

t 45t d t 5y =

=?

j t 4

5i t 35r 43 +=

t=5s 时， j 43125i 3625r

+=（m ）

8．已知一质点作直线运动，其加速度为 )/(342s m t a +=，开始运动时，0,500==v m x 。求该质点在s t 10= 时的速度和位置．

[分析]：本题又是一个典型的运动学第二类问题，且为一维运动问题。本题用不定积分解题。不定积分与定积分解题方法不同，结果一致。 解：∵ t t

v

a 34d d +==

∴ t t v d )34(d += 积分得：

t t v d )34(d +=??

12

c t 2

3t 4v ++

= 由题知：0=t ,00=v ,∴01=c

故： 22

34t t v += 又 22

34d d t t t x v +== ∴ t t t x d )2

34(d 2

+=

积分得：

t d )t 2

3t 4(x d 2

+

=

?

?

2322

1

2c t t x ++=

x d d v a v =由题知： 0=t ,50=x , ∴52=c 故： 52

123

2

++

=t t x s 10=t 时：

m

7055102

1

102s m 1901023

10432101210=+?+?=?=?+

?=-x v 9．已知沿直线运动的物体，其加速度为 kx a -= (=k 常数)，当0=x 时0v v =。

求：速度随坐标的变化关系)(x v 。

【分析】：本题属于已知加速度与位置的函数关系的运动学第二类问题，此类问题一般不能

直接积分，需做变换： ，然后进行求解。

解： ∵ 又：

∴

两边积分得：

∴ 2202

kx v v

-=

10．作直线运动的质点 (=k 常数)， 求t 时刻的速度v 和坐标x ． 【分析】：本题属于已知加速度与速度函数关系的运动学第二类问题，用 还是

根据题意确定。本题涉及时间，故选择前者比较简单，若求 ，选后者

较易。 解：∵

分离变量得：

两边积分得： kx t d d a -==v dx dv

v

t d x d x d d dt dv =?=v kx x -=?d d v

v x

kx d d -=v v ?

?-=x 0x

d kx d 0v v v v 2202kx -=-→v v ，　000x 0t v v ===v k a -=v

v

k t d d a -==　

t d k d -=v v

?

?

-=t

t d k d 0

v v v

v kt

-=→0

ln v v kt -=→e

0v v t

d d a v

=dx dv v t d x d x d d dt dv =?=v v(x)v =

又 分离变量，两边积分得：

∴

11．飞轮半径为m 4.0，自静止启动，其角加速度为2

/2.0s rad =α，求s t 2=时边缘上各

点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度． 【分析】： 本题是圆周运动在角坐标表示下的运动学第二类问题，由于角加速度α是常量，可直接用匀变速率圆周运动公式计算角速度ω，若角加速度α是时间的函数，则需积分运算。

解：当s 2=t 时，4.022.0t =?=α=ω 1

s rad -?

则16.04.04.0=?==ωR v 1

s m -?

064.0)4.0(4.022=?==ωR a n 2s m -?

08.02.04.0R a =?=α=τ2s m -?

22222

s m 102.0)08.0()064.0(-?=+=+=τa a a n

12．一半径为m 50.0的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比．在s t 0.2=时测得轮缘一点速度值为s m /0.4．求：（1）该轮在s t 5.0='的角速度及轮缘一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在s 0.2内所转过的角度。 【分析】： 本题亦为圆周运动在角坐标表示下的运动学问题，第一问为第一类问题，第二问为第二类问题。

解：（1）因v R ω=，由题意2

t ∝ω,得比例系数：

∴

t’=0.5s 时，

（2） 因为：

积分得：

e t

d x

d kt 0-==v v ?

?-=t

0kt 0x 0t d e x d v (

)

kt t kt k k x ---=-=→e 1e 000v

v 22==

=

Rt

v

2

t k ω

2

t 2)t (=ω=ωt 4dt

d =ω

=

αtR

4R a t =α=R

t R a n 424==ωn

4t n t e R t 4e R t 4a a a +=+=s

/rad 5.0=ω2

t s

/m 0.1a =()()

2

2

22s /m 01.1R R a =ω+α=

2

t 2dt d =θ

=ω32

322t dt t dt d t

t ===???ωθθ

∴ s t 0.2=时，

13．在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸s 处，如题图所示．当人以

()s m v /0的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

【分析】：本题先由几何关系写出轨迹方程，再两边对t 求偏导数，写出速度关系式，再求导求出加速度。

解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知：2

2

2

s h l += 将上式对时间t 求导，得： t

s s t l l

d d 2d d 2= 根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的。 ∴ t

s

v v t l v d d ,d d 0-==-

=船绳 θ

cos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-

=船 或：s

v s h s lv v 0

2/1220)(+==船 将船v 再对t 求导，即得船的加速度：

3

2

0222

02

2

002)(d d d d d d s

v h s v s l s v s lv s v v s t s

l t l s

t v a =+-=+-=-==船船 14．一船以速率h km v /301=沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率h km v /402=沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何？在艇上看船的速度又为何？

【分析】：本题属于质点相对运动问题，利用速度关系式求解。

rad

33.50=-θ

θ

解：(1)大船看小艇，则有1221v v v

-=，依题意作速度矢量图(a)所示。

由图可知： 12

22121h km 50-?=+=

v v v

方向北偏西： ?===87.3643

arctan arctan

21v v θ (2)小艇看大船，则有2112v v v

-=，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得

5012=v 1h km -?

方向南偏东o

87.36

五、能力训练

1．下列说法中正确的是（ ）。

（A ）加速度恒定不变时，质点运动方向也不变 （B ）平均速率等于平均速度的大小 （C ）当物体的速度为零时，其加速度必为零

（D ）曲线运动中质点速度大小变化产生切向加速度，速度方向变化产生法向加速度 2．质点沿Ox 轴运动方程是)(542

m t t x +-=，则前s 3内它的（ ）

（A ）位移和路程都是m 3 （B ）位移和路程都是m 3- （C ）位移为m 3-，路程为m 3 （D ）位移为m 3-，路程为m 5

3.质点以2

4t v +=的速度沿x 轴方向做直线运动（SI 制中），并已知s t 3=时，质点位于

m x 9=处，则该质点的运动方程为（ ）。

A. 12343++=t t x

B. 12343-+=t t x

C. 2

42

t t x += D. t x 2=

4．一质点在平面内运动, 其1c r =

，2/c dt dv =；1c 、2c 为大于零的常数，则该质点作（ ）运动。

A . 匀速直线 B. 匀速圆周 C. 匀变速直线 D. 匀变速圆周

5. 长度不变的杆AB ，其端点A 以v 0匀速沿y 轴移动，B 点沿x 轴移动，则B 点的速率为（ ）。 A . v 0 sin θ B . v 0 cos θ C . v 0 tan θ D . v 0 / cos θ

6．一质点从静止出发绕半径R 的圆周作匀变速圆周运动，角加速度为β，则该质点走完半周所经历的时间为（ ）。 A ．

β

π

2 B ．

β

π

C ．βπ2

D ．βπ3

7．质点作曲线运动，其运动方程为j t b i t a r

cos sin -=，则轨迹方程为?????????。

8.一质点运动的加速度为j t i t a 2

32+=，初始速度与初始位移均为零，则该质点的速度方

程为=v ；运动方程为=r

。

9. 一质点沿半径m R 1.0=的圆周运动，其角位移θ 可用下式表示3

42t +=θ (SI)，当t

a 大小恰等于n a 大小时，角位置θ= _________rad ．

10. 对于在xy 平面内，以原点O 为圆心作匀速圆周运动的质点，从OX 轴正方向开始以角速度ω逆时针旋转，如图所示：

(1)试用半径R 、角速度ω 和单位矢量表示其t 时刻的位置矢量； (2)求质点的速度与加速度的矢量表示式； (3)试证加速度指向圆心。

11．一质点的运动方程为：)()2(22

m j t i t r -+=，（1）画出质点的运动轨迹；（2）求s 2 s 1==t t 和时的位矢；（3）求s 1至s 2内的平均速度；（4）求s 2 s 1和末的速度大小；（5）求s 1至s 2内的平均加速度；（6）求s 2 s 1和末的加速度大小。

12．一质点做圆周运动方程为：2

42t t -=θ，SI 制中。在t=0时开始逆时针转动，问：（1）质点的角加速度为多大？（2）s t 5.0=时，质点沿什么方向转动？（3）质点转动方向改变的瞬间，质点的角位置为多少？

v x

13．质点在Oxy 平面内运动，其运动方程为： 求：（1）质点的轨迹方程；（2）在t 1=1.0s 到t 2=2.0s 时间内的平均速度；（3） t 1=1.0s 时的速度及切向和法向加速度．（4）t=1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径。

14．一物体沿Ox 轴作直线运动，其加速度为k kv a ,2

-=为正常数，在0=t 时，0 , 0==x v v ，求：（1）物体速率随坐标的变化规律；（2）物体速率和坐标随时间的变化规律。 15．已知质点沿x 轴作直线运动，其运动方程式为3

2

262t t x -+=，国际单位制中。求（1）质点在运动开始后4.0s 内的位移；（2）质点在该时间内所通过的路程；（3）t=4s 时质点的速度和加速度。

16．已知质点的运动方程为()

j t i t r 2

22-+=，式中r 的单位为s 。求：t=0到t=2s 内质点

的位移r

?和径向增量?r 。

17．质点的运动方程为：2

2

2015,3010t

t y t t x -=+-=，SI 制中。求：（1）初速度

的大小和方向；（2）加速度的大小和方向。

18．一质点具有恒定的加速度)/(462s m j i a

+=，在0=t 时初速度为0，位置矢量

)(100m i r =。求：

（1）任意时刻的速度和位矢；（2）轨迹方程并作图。 19．一质点沿半径为0.10m 的圆周上运动，其角位置为θ=2+ 4t 3

,式中θ的单位为rad ，t 的单位为s 。求：（1）在t=2.0s 时质点的法向加速度和切向加速度。（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，θ值为多少？（3）t 为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？

20某质点的运动方程是：)cos(10t x π=，)sin(10t y π=，式中x 、y 以米计，t 以秒计，求：（1）写出此质点的速度矢量式； （2）轨迹方程；

（3）此质点在前9.5秒内走过的路程； （4）此质点的加速度矢量式。

六、参考答案

1.D ；

2.D ；

3.B ；

4.D ；

5.C ；

6.A ；

()

j

2.0t 19.0i 2.0t r 2

-+=

7 .122

22=+b

y a x ；

8. j t i t 32

+，j t i t

4

343+

； 9. 0.55秒 10.解：

(1) cos sin ωω=+=+

r x i y j r t i r t j

(2)d sin cos d r

r t i r t j t ωωωω==-+ v 22d cos sin d a r t i r t j t

ωωωω==-- v

(3)()22cos sin a r t i r t j r ωωωω=-+=- ，这说明a 与 r 方向相反，即 a 指向圆心

11.（1）2

412x y -

=，轨迹为抛物线图略； （2）)(21m j i r +=，)(242m j i r

-=；

（3）)/(3221s m j i v

-=-；

（4）)/(221s m j i v

-=，大小)/(22s m ；)/(422s m j i v

-=，大小)/(52s m ；

（5）)/(22

21s m j a -=-；

（6）212)/(2a a s m j dt

v d a

==-==，大小均为2/2s m ；

12.（1）)/(82s rad -=β；

（2）当s t 25.0=，质点开始沿顺时针方向转动； （3）)(25.025.0rad =θ；

13.（1）2x 2

119y -= ；（2）j 00.6i 00.2 -；（3）j i 00.400.2-，2t s /m 58.3a =； 2n s /m 79.1a =；（4）11.17m

14.kx

e

v v -=0 ，

1

00

+=

kt v v v ，

)1ln(1

0+=

kt v k x ；

15．（1）m x 32-=?；（2）m s 48=；（3）244/36,/48s m a s m v -=-=

16．j i r

4421-=?-，m r 66.5=?

，m r 47.2=?；

17．（1）;41123,/0.18'

0==αs m v （2）1433,/1.720

'-==βs m a ；

18．（1）);(2)310(),/(462

2

m j t i t r s m j t i t v ++=+=（2）2023-=x y ；

19．（1）22/230s m a n =，22/80.4s m a t =；（2）rad 15.3=θ；（3）s t 55.0=

20．()()(m/s) cos 10sin 10j t i t v

ππππ+-=；22100x y +=；(m) 95π；

)(m/s )sin(10)cos(1022

2j t i t a ππππ--=