偏微分方程数值习题解答讲课讲稿
李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0('
=?，则称0x 是)(x J 的
驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解
证明:由)(λ?的定义与内积的性线性性质,得
),()),((2
1
)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλ?+-++=+=
),(2
),()(2
00x Ax x b Ax x J λλ+
-+=
),(),()(0'x Ax x b Ax λλ?+-=
必要性:由0)0('
=?,得,对于任何n R x ∈,有
0),(0=-x b Ax ,
由线性代数结论知,
b Ax b Ax ==-00,0
充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,
0|),(),()0(00'=+-==λλ?x Ax x b Ax
即0x 是)(x J 的驻点. §1-2
补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等.
证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意
)()(0I C x ∞∈?,有
??-=b
a b
a dx x x f dx x x g )()()()('
1?? ??-=b
a b
a dx x x f dx x x g )()()()('2?? 两式相减,得到
)(0)()(021I C x g g b
a ∞
∈?=-??? 由变分基本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等.
补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式
||
||.||||||||.|||||)(||),(|'''''v u M v u M dx quv v pu v u a b
a +≤+=?11*||||.||||2v u M ≤,其中},max{'*M M M =
习题:
1 设)('x f 为)(x f 的一阶广义导数,试用类似的方法定义)(x f 的k 阶导数,...2,1(=k ) 解:一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:
对于)()(2I L x f ∈,若有)()(2I L x g ∈,使得对
于任意的)(0
I C ∞
∈?,有 ?
?-=b
a
k k
b
a dx x x f dx x x g )()()
1()()()(??
则称)(x f 有k 阶广义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶
广义导数,并记k
k dx
f
d x g =)(
注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.
2.利用)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是
Hilbert 空间.
证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即
0||||||||||||0''01→-+-=-m n m n m n f f f f f f
因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使
0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明
0||||1→-f f n (关键证明dx
df
g =)
由Schwarz 不等式,有
00||||.|||||)())()((|??f f x x f x f n b
a n -≤-?
00'''|||||||||)())()((|??f f dx x x g x f n b
a n -≤-?
对于任意的)()(0I C x ∞∈?,成立
??=∞
→b
a b
a n n dx x x f dx x x f )()()()(lim ??
??=∞
→b
a b a n
n dx x x g dx x x f )()()()(lim '??
由??-=b
a n b
a n
dx x x f dx x x f )()()()(''??
取极限得到dx x x f dx x x g b
a b
a ??-=)()()()('??
即')(f x g =,即)(1I H f ∈,且
0||
||||
||||||0''01→-+-=-f f f f f f n n n
故)(1I H 中的基本列是收敛的,)(1I H 是完全的. 3.证明非齐次两点边值问题
证明:边界条件齐次化
令)()(0a x x u -+=βα,则0u u w -=满足齐次边界条件.w 满足的方程为00Lu f Lu Lu Lw -=-=,即
w 对应的边值问题为
???==-=0
)(,0)('
b w a w Lu f Lw (P) 由定理知,问题P 与下列变分问题等价
求)(min )(,**1
2*1
w J w J H C w E
H
w E ∈=∈I 其中),(),(21
)(0*
w Lu f w w a w J --=.而
C
u u a u Lu u J u u Lu f u u u u a w J +-+=-----=),(),()(~
)
,(),(21)(000000*
而200)()(),(),(C b u b p u u a u Lu +-=-β
从而**)()()(~
)(C b u b p u J
w J +-=β 则关于w 的变分问题P 等价于:求
α=∈)(,12*a u H C u I
使得
)(min )()(*1u J u J a u H u α
=∈=
其中)()(),(),(2
1
)(b u b p u f u u a u J β--=
4就边值问题（1.2.28）建立虚功原理 解:令)(0a x u -+=βα,0u u w -=,则w 满足
)(,0)('
00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw
等价于:1
E H v ∈?
0),(),(0=--v Lu f v Lw
应用分部积分,
??+-=-=-b a b a b a dx dx
dv dx dw p v dx dw p vdx dx du p dx d v dx dw p dx d |)()),(( 还原u ,
)
()(),(),(),(),(),(),(),(),(000b v b p v f v u a v u a v Lu v f v u a v Lu f v w a β--=-+-=--
于是,边值问题等价于:求α=∈)(,1a u H u ,使得
1E H v ∈?,成立
0)()(),(),(=--b v b p v f v u a β
注:形式上与用v 去乘方程两端,应用分部积分得到的相同. 5试建立与边值问题
等价的变分问题.
解:取解函数空间为)(20I H ,对于任意)(20I H v ∈ 用v 乘方程两端,应用分部积分,得到
0),(),(44=-+=-v f u dx u
d v f Lu
而??-==b a b a b a dx dx
dv
dx u d v dx u d vdx dx u d v dx u d .|),(33334444 dx dx
v d dx u d dx dx v
d dx u d dx dv dx u d b a b a b a ??=+-=2222222222| 上式为),(][2222v f dx uv dx
v
d dx u d b a =+?
定义dx uv dx
v
d dx u d v u a b
a ][),(2222+=?,为双线性形式.
变分问题为:求)(20I H u ∈,)(20I H v ∈?
),(),(v f v u a =
1-4
1.用Galerkin Ritz -方法求边值问题
??
?==<<=+-1
)1(,0)0(1
02"u u x x u u 的第n 次近似)(x u n ,基函数
n i x i x i ,...,2,1),sin()(==π?
解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满足齐次边界条件,且
)1(,0)0(2
0==-=-=w w x x Lu Lu Lw
第n 次近似n w 取为∑==n i i i n c w 1?,其中),...2,1(n i c i =满足的Galerkin Ritz -方程为
n j x x c a j n
i i j i ,...,2,1),(),(2
1=-=∑=??? 又
x
d jx ix ij dx x j x i dx
x j x i ij dx a j i j
i
j i ?
???-=
+=+=π
π
π
πππππ
??????)cos()cos(2
)sin()sin()cos()cos()(),(1010
21
0''
?
-+π
π
π
jx ix sin sin 21