经济数学基础线性代数部分重难点解析

第三部 线性代数 第1章 行列式

1．了解或理解一些基本概念

（1）了解n 阶行列式、余子式、代数余子式等概念； （2）了解n 阶行列式性质，尤其是：

性质1 行列式D 和其转置行列式T D 相等；

性质2 若将行列式的任意两行（或列）互换，则行列式的值改变符号； 性质3 行列式一行（或列）元素的公因子可以提到行列式记号的外面；

性质5 若将行列式的某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上，则行列式的值不变．

例1 设行列式2

11

20

12

31--=D ，则D 中元素223=a 的代数余子式23A = 。 解 由代数余子式的定义ij A ij j

i M +-=)1(，其中ij M 为ij a 的余子式，可知 23A =1

1311

131)1(3

2-=-+。

应该填写 1

131-

。

例2 下列等式成立的是（ ） ，其中d c b a ,,,为常数。 A ．

a

c

b d d

c b

a -

= B ．

1

1

11

11

c b

d a d c b a +

=

++

C ．d c b a d c b

a 22222= D ．1

1

1111c b d a d c b a ?

=?? 解 因为 d

c b

a d c

b a

c

d a b a b c d a c b d ≠

-==-=-，所以选项A 是错误的。 由行列式性质4可知，1

1

1111c b d a d c b a +

=++，所以选项B 是正确的。 因为d c b

a d c

b a d

c b a 2

42222≠=，所以选项C 是错误的。 因为1111,11c b d a cd ab d c b a ?-=??=))((c b d a --，1

11111c b d a d c b a ?

≠??，所以选项D 是错误的。

例3 行列式4

321100001000

010=

D = 。

解 按第1列展开行列式，得

63

000200

01)1(4

32130000200001014-=-==

+D

故应该填写 –6。

2．掌握行列式的计算方法

化三角形法：利用行列式性质化成上（或下）三角行列式，其主对角线元素的乘积即为行列式的值。

降阶法：利用性质将行列式的一行（列）化成只有一个（或两个）非零元素，然后按这零元素最多的行（或列）化成低一阶行列式，直至降到三阶或二阶行列式，最后直接计算。

例4 计算行列式 1

2

12

121211

2112

1。 解 此行列式的特点是每一行或每一列的元素之和相等，利用这个特点将行列式的第二、三列都加到第一列相应的元素上，再化为三角形行列式求值。

121212

1211

21

1

2

1=1212212122

1

1

2=2

12

1

0021

02112-

-=2

10

02

102112-

=2

1- 例5 计算行列式9

21310016

1313121-----------

解 用降阶法求之。

12

21

513

41212

2

1

3

0001513

1412192

1

3

100161313121--------=----------=

----------- 1520

51

12005

101

412=---=------=

例6 计算行列式4

6

6

353

331

---+---x x x 解 用降阶法求之。

46

6

353

331

---+---x x x =4

16

313

3

1)2(4

26

32

33

01

------+=-+--+---x x x x x x x

=]9)1)[(2(1

33

1)

2(1

0331

3

3

1)2(2--+=----+=------+x x x x x x x x

=)10)(8)(2(--+x x x 。 3．知道克拉默法则．

第2章 矩阵

1．了解或理解一些基本概念

（1）了解矩阵和矩阵相等的概念；

（2）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质； （3）理解矩阵可逆和逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件； （4）了解矩阵秩的概念；

（5）理解矩阵初等行变换的概念。

例1 若A ，B 是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（ ）。 A ．000＝或＝，则＝若B A AB B ．2

2

2

2)+(B B A A B A +?+＝

C. 若秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 则秩0)(≠AB

D. 若秩,)(n A = 秩,)(n B =则秩n AB =)(

解 A ： 00＝或＝B A 只是0＝AB 的充分条件，而不是必要条件，故A 错误； B ：2

2

2

)+(B A B B A A B A +?+?+＝，矩阵乘法一般不满足交换律，即

A B B A ?≠?，故B 错误；

C ：由秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 说明A ，B 两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘积有可能是0矩阵，故秩0)(≠AB 不一定成立，即C 错误；

D ：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D 正确。

例2 矩阵132100

1100001000

100

0-????

????

??

??的秩是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解 化成阶梯形矩阵后，可知有3个非0行，故该矩阵的秩为3。

例3 设矩阵 A =??????????--913210063，????

?

?????-=801962B 则矩阵A 和B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是 。

解 根据乘法法则可知，矩阵A 和B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是 3×2＋（－1）×9＋9×0＝－3 应该填写-3

例4 设A 是m ?n 矩阵,B 是s ?n 矩阵, 则运算有意义的是 。

A ．T

AB B ．AB C ．A T B D ．A T B T

解 根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，它们的乘积才有意义，故矩阵T

AB 有意义。正确的选项是A 。

例5 设方程XA －B =X ，如果A －I 可逆，则X = 。

解 由XA －B =X ，得XA －X =B ，X (A －I )=B ，故X = B (A －I )－

1。

应该填写B (A －I )－

1

2． 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；

3．熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。

例6 设矩阵 ??????-=021201A ，?

?

?

???--=210321B ，计算T BA I -． 解：因为 T BA =??????--210321 ?????

?????-022011??

????--=2435 所以 T BA I -??????---??????=24351001

??

?

???--=1436 例7 已知矩阵??

????=???????????

??367601012b b a

a

，求常数a ，b 。 解 因为

???

??

?=??????+=?????????????3676010122a ab b a ab b b a a

由 6,7,32

==+=ab b a a ，得a = 3，b = 2

例8 设矩阵?

?

?

???=??????=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =． 解 因为 ??????--→??????=1301102110015321)(I A ??

?

???--→13251001

所以 ?

?

?

???--=-13251A 且 1

-=BA X ??????--??????=13253221??????-=1101．

例9 设矩阵??????-=011120A ，?

?

????-=110012B ，计算1

T )(-AB . 解 因为 T AB =??????-011120????

?

?????-101102=??

????-1112 且 ??????-=10110112][T

I AB ???

??

?--→1011213

???

???

??--→3231101011??

??

?????

?

-→32311031310

1 所以1T )(-AB =?????????

?-32313131

例10 设矩阵?????

?????--=301111010A ，求逆矩阵1

)(--A I ． 解：因为)(A I -=????

??????---201101011，且 ?????

?????-----→??????????---=-101210011110001

11100201010101001011)(I A I ??????????----→??????????-----→11

0100121010120001110100011110010101 所以 ?????

?????----=--110121120)

(1

A I

例11 设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵． 证 因为 B B A A

==T T ，，且

T

T

T

)()()(BA AB BA AB +=+T T T T B A A B +=

AB BA +=BA AB +=

所以 AB ＋BA 是对称矩阵．

例12 设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．

证 因为 0))((2

=-=+-I A I A I A ，即I A =2

。 所以 A 为可逆矩阵．

第3章 线性方程组

1．了解线性方程组的有关概念：n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解。

2．理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。

例1 线性方程组???=-=+02

232

21x x x x 的系数矩阵是( )。

A ．2×3矩阵

B ． 3×2矩阵

C ．3阶矩阵

D ．2阶矩阵

解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵。正确的选项是A 。

例2 线性方程组AX = B 有唯一解，那么AX = 0 ( )。

A ．可能有非零解

B ．有无穷多解

C ．无解

D ．有唯一解

解 线性方程组AX =B 有唯一解，说明秩(A ) = n ，故AX = 0只有唯一解（零解）。正确的选项是D 。

例3 若线性方程组的增广矩阵为???

?

??=412

21λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组

有无穷多解。

A ．1

B ．4

C ．2

D ．

1

2

解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，

???? ??=41221λA ???

?

??λ-λ→021021

此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即

021=λ-，从而λ＝1

2

，即正确的选项是D 。

例4 若非齐次线性方程组A m ×n X = B 有唯一解，那么有 ( )。

A ．秩(A ，

B )＝n B ．秩(A )＝n

C ．秩(A )＝秩（A ，B ）

D ．秩(A ）＝秩(A ，B )＝n 解 根据非齐次线性方程组解的判断定理可知D 正确。

例5 设线性方程组 ???

??=+-=-+--=+0

522312321

32131

x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其

解的情况.

解 因为 ??????????---→??????????----=211011101201051223111201A ????

?

?????--→300011101201 所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3.

又因为r (A ) ≠ r (A )，所以方程组无解.

例6 求线性方程组??

?

??

=-+=++-=++032038204214321321x x x x x x x x x x 的一般解．

解： 因为系数矩阵

??

??

??????--→??????????---→??????????--=0000121013

01121036300111103238120111A 所以，一般解为：??

?+=--=4

324

3123x x x x x x ， 其中3x ，4x 是自由未知量．

例7 求解线性方程组

???

??=-+--=+-+-=++-1

2321220234321

43214321x x x x x x x x x x x x

解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵

?????

??

???----→??????????------=13 11

01311001

23

1123211212101231A ????

???

???--→??????????---→001

0013010380

01002001311001231

因为 秩(?A ) = 秩(A ) = 3， 所以 方程组有解。一般解为

???

??=+=+=031833

4241x x x x x (x 4是自由未知量) 例9 设线性方程组

2121321231231

23x x x x x x x x x c

-+=--+=--+=???

??

试问c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。

解 ??

???

?????-------→??????????-----=135013501121231112111

12c c A

????

?

??

???---→c 00

013501121 可见，当c = 0时，方程组有解。且

???????

?

???

????

?

-

→00005153

10535101A

原方程组的一般解为

???

????

+=-=323

153515153x x x x （x 3是自由未知量）