(整理)C语言常用算法.

八、常用算法

（一）考核知识要点

1．交换、累加、累乘、求最大（小）值

2．穷举

3．排序（冒泡、插入、选择）

4．查找（顺序、折半）

5．级数计算（递推法）

6．一元方程求解（牛顿迭代法、二分法）

7．矩阵（转置）

8．定积分计算（矩形法、梯形法）

9．辗转相除法求最大公约数、判断素数

10．数制转换

（二）重点、难点精解

教材中给出的算法就不再赘述了。

1．基本操作：交换、累加、累乘

1）交换

交换算法的要领是“借助第三者”（如同交换两个杯子里的饮料，必须借助第三个空杯子）。例如，交换两个整型变量里的数值：int a=7,b=9,t;

t=a; a=b; b=t;

(不借助第三者，也能交换两个整型变量里的数值，但不通用，只是一个题目而已。

例如：int a=7,b=9; a=a+b; b=a-b; a=a-b;)

2）累加

累加算法的要领是形如“s=s+A”的累加式，此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累加功能。“A”通常是有规律变化的表达式，s在进入循环前必须获得合适的初值，通常为0。

3）累乘

累乘算法的要领是形如“s=s*A”的累乘式，此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累乘功能。“A”通常是有规律变化的表达式，s在进入循环前必须获得合适的初值，通常为1。

2．非数值计算常用经典算法

1）穷举法

也称为“枚举法”，即将可能出现的各种情况一一测试，判断是否满足条件，一般采用循环来实现。

例如，用穷举法输出“将1元人民币兑换成1分、2分、5分硬币”的所有方法。

main()

{int y,e,w;

for(y=0;y<=100;y++)

for(e=0;e<=50;e++)

for(w=0;w<=20;w++)

if(1*y+2*e+5*w==100)

printf("%d,%d,%d\n",y,e,w);

}

2）有序序列的插入算法

就是将某数据插入到一个有序序列后，该序列仍然有序。以下给出用数组描述该算法的例子：

将x插入一升序数列后，数列仍为升序排列。

#define n 10

main()

{

int a[n]={-1,3,6,9,13,22,27,32,49},x,j,k; /*注意留一个空间给待插数*/

scanf("%d",&x);

if(x>a[n-2]) a[n-1]=x ; /*比最后一个数还大就往最后一个元素中存放*/

else

{

/*查找待插位置*/

j=0;

while( j<=n-2 && x>a[j])

j++;

/*从最后一个数开始直到待插位置上的数依次后移一位*/

for(k=n-2; k>=j; k- -)

a[k+1]=a[k];

a[j]=x; /*插入待插数*/

}

for(j=0;j<=n-1;j++)

printf("%d ",a[j]);

}

3）折半查找（二分法查找）

顺序查找的效率较低，当数据很多时，用二分法查找可以提高效率。使用二分法查找的前提是数据必须有序。

二分法查找的思路是：要查找的关键值同数组的中间一个元素比较，若相同则查找成功，结束；否则判别关键值落在数组的哪半部分，就在这半部分中按上述方法继续比较，直到找到或数组中没有这样的元素值。

例如，任意读入一个整数x，在升序数组a中查找是否有与x等值的元素。

#define n 10

main()

{int a[n]={2,4,7,9,12,25,36,50,77,90};

int x,high,low,mid;/*x为关键值*/

scanf("%d",&x);

high=n-1;

low=0;

mid=(high+low)/2;

while(a[mid]!=x&&low

{if(x

else low=mid+1;

mid=(high+low)/2;

}

if(x= =a[mid]) printf("Found %d,%d\n",x,mid);

else printf("Not found\n");

}

3．数值计算常用经典算法

1）级数计算

级数计算的关键是“描述出通项”，而通项的描述法有两种：一为直接法、二为间接法又称递推法。

直接法的要领是：利用项次直接写出通项式；递推法的要领是：利用前一个通项写出后一个通项。

可以用直接法描述通项的级数计算例子有：

（1）1+2+3+4+5+……

（2）1+1/2+1/3+1/4+1/5+……

等等。

可以用间接法描述通项的级数计算例子有：

（1）1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……

（2）1+1/2!+1/3!+1/4! +1/5!+……

等等。

下面举一个通项的一部分用直接法描述，另一部分用递推法描述的级数计算的例子： 计算级数??? ??∑∞

=+2202!1x n n n 的值，当通项的绝对值小于eps 时计算停止。

#include

float g(float x,float eps);

main()

{float x,eps;

scanf("%f%f",&x,&eps);

printf("\n%f,%f\n",x,g(x,eps));

}

float g(float x,float eps)

{int n=1;float s,t;

s=1;

t=1;

do

{t=t*x/(2*n);

s=s+(n*n+1)*t; /*加波浪线的部分为直接法描述部分，t 为递推法描述部分*/ n++;

}while(fabs(t)>eps);

return s;

}

2）牛顿迭代法

牛顿迭代法又称牛顿切线法：先任意设定一个与真实的根接近的值x0作为第一次近似根，由x0求出f(x0),过(x0，f(x0))点做f(x)的切线，交x轴于x1，把它作为第二次近似根，再由x1求出f(x1),过(x1，f(x1))点做f(x)的切线，交x轴于x2，……如此继续下去，直到足够接近真正的根x*为止。

而f '(x0)=f(x0)/( x1- x0)

所以x1= x0- f(x0)/ f ' (x0)

例如，用牛顿迭代法求下列方程在1.5附近的根：2x3-4x2+3x-6=0。

#include "math.h"

main()

{float x,x0,f,f1;

x=1.5;

do

{x0=x;

f=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;

f1=6*x0*x0-8*x0+3;

x=x0-f/f1;

}while(fabs(x-x0)>=1e-5);

printf ("%f\n",x);

}

3）二分法

先指定一个区间[x1, x2]，如果函数f(x)在此区间是单调变化的，则可以根据f(x1)和f(x2)是否同号来确定方程f(x)=0在区间[x1, x2]内是否有一个实根；如果f(x1)和f(x2)同号，则f(x) 在区间[x1, x2]内无实根，要重新改变x1和x2的值。当确定f(x) 在区间[x1, x2]内有一个实根后，可采取二分法将[x1, x2]一分为二，再判断在哪一个小区间中有实根。如此不断进行下去，直到小区间足够小为止。

具体算法如下：

（1）输入x1和x2的值。

（2）求f(x1)和f(x2)。

（3）如果f(x1)和f(x2)同号说明在[x1, x2] 内无实根，返回步骤（1），重新输入x1

和x2的值；若f(x1)和f(x2)不同号，则在区间[x1, x2]内必有一个实根，执行步骤（4）。

（4）求x1和x2的中点：x0=（x1+ x2）/2。

（5）求f(x0)。

（6）判断f(x0)与f(x1)是否同号。

①如果同号，则应在[x0, x2]中寻找根，此时x1已不起作用，用x0代替x1，用

f(x0)代替f(x1)。

②如果不同号，则应在[x1, x0]中寻找根，此时x2已不起作用，用x0代替x2，

用f(x0)代替f(x2)。

（7）判断f(x0)的绝对值是否小于某一指定的值（例如10-5）。若不小于10-5，则返

回步骤（4）重复执行步骤（4）、（5）、（6）；否则执行步骤（8）。

（8）输出x0的值，它就是所求出的近似根。

例如，用二分法求方程2x3-4x2+3x-6=0在(-10，10)之间的根。

#include "math.h"

main()

{float x1,x2,x0,fx1,fx2,fx0;

do

{printf("Enter x1&x2");

scanf("%f%f",&x1,&x2);

fx1=2*x1*x1*x1-4*x1*x1+3*x1-6;

fx2=2*x2*x2*x2-4*x2*x2+3*x2-6;

}while(fx1*fx2>0);

do

{x0=(x1+x2)/2;

fx0=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;

if((fx0*fx1)<0)

{x2=x0;

fx2=fx0;

}

else

{x1=x0;

fx1=fx0;

}

}while(fabs(fx0)>1e-5);

printf("%f\n",x0);

}

4）梯形法求定积分

定积分?b

a dx x f )(的几何意义是求曲线y=f(x)、x=a 、x=

b 以及x 轴所围成的面积。

可以近似地把面积视为若干小的梯形面积之和。例如，把区间[a, b]分成n 个长度相等的 小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n ，第i 个小梯形的面积为

[f(a+(i-1)·h)+f(a+i ·h)]·h/2，将n 个小梯形面积加起来就得到定积分的近似值： ∑?=??++?-+≈n i b

a h h i a f h i a f dx x f 12/)]())1(([)(

根据以上分析，给出“梯形法”求定积分的N-S 结构图： 输入区间端点：a ，b

输入等分数n

h=(b-a)/2, s=0

i 从1到n

si=(f(a+(i-1)*h)+f(a+i*h))*h/2

s=s+si

输出s

例如：求定积分?102sin dx x 的值。

上述程序的几何意义比较明显，容易理解。但是其中存在重复计算，每次循环都要计算小梯形的上、下底。其实，前一个小梯形的下底就是后一个小梯形的上底，完全不必重复计 算。为此做出如下改进：

?∑-=?+++?≈b

a n i h i a f

b f a f h dx x f 11)](2/)(2/)([)(

矩形法求定积分则更简单，就是将等分出来的图形当作矩形，而不是梯形。

4．其他常见算法

1）求最大值或最小值

在若干个数中求最大值，一般先假设一个较小的数为存放最大值变量的初值，若无法估计较小的值，则取第一个数为存放最大值变量的初值；然后将存放最大值变量的值与其余每一个数比较，若某数大于存放最大值变量的值，将该数赋值给存放最大值的变量；再依次逐一比较。

求最小值的方法同样，仅先假设一个较大的数或第一个数为最小值。

例如，任意读入10个整数，输出其中的最大值、最小值以及分别是第几个被读入的。 main （）

{ int a[10], k, x1, x2;

int max, min;

for(k=0;k<10;k++)

scanf(“%d ”, &a[k]);

max=min=a[0];

x1=x2=0;

for(k=1;k<10;k++)

if(a[k]>max) {max=a[k];x1=k;}

else if(a[k]

printf(“MAX:%d, XB:%d\n ”, max, x1+1);

printf(“MIN:%d, XB:%d\n ”, min, x2+1);

}

2）迭代法

其基本思想是把一个复杂的计算过程转化为简单过程的多次重复。每次重复都从旧值的基础上递推出新值，并由新值代替旧值。

例如，猴子吃桃问题。猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个。第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。到第10天早上想再吃时，就只剩一个桃子了。编程求第一天共摘多少桃子。

main()

{int day,peach;

peach=1;

for(day=9;day>=1;day--)

peach=(peach+1)*2;

printf("The first day:%d\n",peach);

}

又如，用迭代法求x=a的根。

求平方根的迭代公式是：x n+1=0.5×(x n+a/ x n )

[算法]

（1）设定一个初值x0。

（2）用上述公式求出下一个值x1。

（3）再将x1代入上述公式，求出下一个值x2。

（4）如此继续下去，直到前后两次求出的x值（x n+1和x n）满足以下关系：

| x n+1- x n|<10-5

#include "math.h"

main()

{float a,x0,x1;

scanf("%f",&a);

x0=a/2;

x1=(x0+a/x0)/2;

do

{x0=x1;

x1=(x0+a/x0)/2;

}while(fabs(x0-x1)>=1e-5);

printf("%f\n",x1);

}

3）辗转相除法求最大公约数

求任意两个正整数（m和n）的最大公约数，可采用辗转相除法：

（1）先算出m除以n的余数r；

r=m%n;

（2）判断r是否为0，若为0，则n即为所求；否则，将m的值修改为n，n的值修改为r；

（3）再算出新m除以新n的余数r，重复（2）……

main()

{int m,n,r;

scanf("%d%d",&m,&n);

if(m<=0||n<=0){printf("Input error\n");exit(0);}

r=m%n;

while(r!=0)

{m=n;

n=r;

r=m%n;

}

printf("%d\n",n);

}

4）数制转换

一个十进制正整数m转换成r进制数的思路是，将m不断除以r取余数，直到商为0时止，以反序输出余数序列即得到结果。

注意，转换得到的不是数值，而是数字字符串或数字串。

例如，任意读入一个十进制正整数，将其转换成二至十六任意进制的字符串。

void tran(int m,int r,char str[],int *n)

{char sb[]="0123456789ABCDEF";

int i=0,g;

do

{g=m%r;

str[i]=sb[g];

m=m/r;

i++;

}while(m!=0);

*n=i;

}

main()

{int x,r0;/*r0为进制*/

int i,n; /*n中存放生成序列的元素个数*/

char a[50];

scanf("%d%d",&x,&r0);

if(x>0&&r0>=2&&r0<=16)

{

tran(x,r0,a,&n);

for(i=n-1;i>=0;i--)

printf("%c",a[i]);

printf("\n");

}

else exit(0);

}