高等数学上册练习题
高数练习题
一、选择题。 4、1
1lim
1
--→x x x （ ）。
a 、1-=
b 、1=
c 、=0
d 、不存在
5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。
a 、x 1sin
b 、x x sin
c 、12--x
d 、x ln 7、()=--→1
1sin lim 21x x x （ ）。
a 、1
b 、2
c 、0
d 、2
1
9、下列等式中成立的是（ ）。
a 、e n n n =??? ??+∞
→21lim b 、e n n n =?
?? ??++∞→2
11lim
c 、e n n
n =??? ??+∞→211lim d 、e n n
n =??
?
??+∞
→211lim
10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。
a 、是低阶无穷小量
b 、是同阶无穷小量
c 、是等阶无穷小量
d 、是高阶无穷小量
11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。 a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) .
（A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x
(B)
x
(C)1
ln(12)2x + (D) x (x +2)
14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）.
（A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值 （B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值
（C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0
lim ()x x f x →+
与0
lim ()x x f x →-
存在，则（ ）.
（A ）0
lim ()x x
f x →存在且00
lim ()()x x
f x f x →=
（B ）0
lim ()x x
f x →存在但不一定有00
lim ()()x x
f x f x →=
（C ）0
lim ()x x
f x →不一定存在
（D ）0
lim ()x x
f x →一定不存在
16、下列变量中（ ）是无穷小量。
0) (x e .A x
1-→ 0) (x x 1sin .B → )3 (x 9x 3x .C 2→-- )1x (x ln .D → 17、=∞→x
x
x 2sin lim
（ ）
A.1
B.0
C.1/2
D.2
18、下列极限计算正确的是（ ）
e x 11lim .A x
0x =??? ??+→ 1x 1sin x lim .B x =∞→ 1x 1sin x lim .C 0x =→ 1x x sin lim .D x =∞→
19、下列极限计算正确的是（ ）
1x x sin lim .A x =∞→ e x 11lim .B x
0x =??? ??+→ 5126x x 8x lim .C 232x =-+-→ 1x x lim .D 0x =→
A. f(x)在x=0处连续
B. f(x)在x=0处不连续，但有极限
C. f(x)在x=0处无极限
D. f(x)在x=0处连续，但无极限 23、1
lim sin
x x x
→∞
=（ ）. （A ）∞ （B ）不存在 （C ）1 （D ）0
24、221sin (1)
lim (1)(2)
x x x x →-=++（ ）.
（A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23
25、设1sin 0()3
0x x f x x a
x ?≠?
=??=?，要使()f x 在(,)-∞+∞处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 （C ）1/3 （D ）3
26、点1x =是函数311
()1
131x x f x x x x -
==??->?
的（ ）. （A ）连续点 （B ）第一类非可去间断点 （C ）可去间断点 （D ）第二类间断点
)
(, 0 x 1 x 2
0 x 1 x ) x ( f . 20、 2 则下列结论正确的是 设 ? ? ? ≥ + < + =
28
、0()0x f x k x ≠=?=?
，如果()f x 在0x =处连续，那么k =（ ）. （A ）0 （B ）2 （C ）1/2 （D ）1
30、设函数()???=x
xe x f x
00≥?x x 在点x=0处（ ）不成立。
a 、可导
b 、连续
c 、可微
d 、连续，不可异 31、函数()x f 在点0x 处连续是在该点处可导的（ ）。 a 、必要但不充分条件 b 、充分但不必要条件
c 、充要条件
d 、无关条件
32、下列函数中（ ）的导数不等于x 2sin 2
1
。
a 、x 2sin 21
b 、x 2cos 41
c 、x 2
cos 2
1- d 、x 2cos 411-
33、设)1ln(2++
=x x y ，则y ′= ( ).
①11
2++x x ②11
2+x
③122++x x x ④12+x x
34、已知4
4
1x y =
，则y ''=（ ）． A . 3x B . 2
3x C . x 6 D . 6
36、下列等式中，（ ）是正确的。
()
x 2d
dx x
21.A =
?
??
??=x 1d dx .B lnx
??? ??=2x 1d dx x 1.C -
()c o s x d s i n x d x .D =
37、d(sin2x)=( )
A. cos2xdx
B. –cos2xdx
C. 2cos2xdx
D. –2cos2xdx 39、曲线y=e 2x 在x=2处切线的斜率是( ) A. e 4 B. e 2 C. 2e 2 D.2
40、曲线11=+=x x y 在处的切线方程是（ ）
232x y .A +=
232x y .B -= 232x y .C --= 232x y .D +-=
41、曲线2
2y x x =-上切线平行于x 轴的点是 ( ).
A 、 (0, 0)
B 、(1, -1)
C 、 (–1, -1)
D 、 (1, 1)
42、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理的有（ ）。
a 、x y = []2,1-
b 、15423-+-=x x x y []1,0
c 、()
21ln x y += []3,0 d 、2
12x
x
y +=
[]1,1- 43、函数23++=x x y 在其定义域内（ ）。
a 、单调减少
b 、单调增加
c 、图形下凹
d 、图形上凹 44、下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．sin x B ．
e x C ．x 2 D ．3 - x
45、下列结论中正确的有（ ）。
a 、如果点0x 是函数()x f 的极值点，则有()0x f '=0 ；
b 、如果()0x f '=0，则点0x 必是函数()x f 的极值点；
c 、如果点0x 是函数()x f 的极值点，且()0x f '存在， 则必有()0x f '=0 ；
d 、函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值。 46、函数()x f 在点0x 处连续但不可导，则该点一定（ ）。 a 、是极值点 b 、不是极值点 c 、不是拐点 d 、不是驻点 52、函数f(x)=x 3+x 在（ ）
()单调减少
+∞∞-,.A ()单调增加+∞∞-,.B
()()单调增加
单调减少+∞--∞-,,,.C 11 ()()单调增加单调减少+∞∞-,,,.C 00
53、函数f(x)=x 2+1在[0，2]上（ ）
A.单调增加
B. 单调减少
C.不增不减
D.有增有减 54、若函数f(x)在点x 0处取得极值,则( )
0)x (f .A 0=' 不存在)x (f .B 0' 处连续在点0x )x (f .C 不存在或)x (f 0)x (f .D 00'='
55、函数f(x)=e x
-x-1的驻点为（ ）。
A. x=0
B.x=2
C. x=0，y=0
D.x=1，e -2 56、若(),0='x f 则0x 是()x f 的（ ）
A.极大值点
B.最大值点
C.极小值点
D.驻点 57、若函数f (x )在点x 0处可导，则
()()=--→h
x f h x f h 22lim
000
)
x (f .A 0' )x (f 2.B 0' )x (f .C 0'- )x (f 2.D 0'
-
58、若,)1(x x
f =则()='x f （ ）
x 1.A x 1-.B
2x 1.C 2x 1.D - 59、函数x x y -=3
3
单调增加区间是（ ） A.(-∞，-1) B.( -1，1) C.(1，+∞) D.(-∞,-1)和(1，+∞)
60、=-?
)d(e x
x （ ）．
A ．c x x
+-e
B ．c x x x ++--e e
C ．c x x +--e
D ．c x x x
+---e e
61、下列等式成立的是( ) ． A ．x x x 1d
d ln = B ．21d d 1x
x x -= C ．x x x sin d d cos = D ．x x x 1
d d 12= 62、若)(x f 是)(x g 的原函数，则（ ）.
（A ）
?+=C x g dx x f )()( （B ）?+=C x f dx x g )()(
（C ）?
+='C x g dx x g )()( （D ）?+='C x g dx x f )()(
64、若
?+=c e x
dx x f x 22
)(，则=)(x f （ ）.
（A ）x
xe 22 （B ）x
e x 22
2 （C ）x
xe 2 （D ）)1(22x xe x + 65、设x
e
-是)(x f 的一个原函数，则?
=dx x xf )(（ ）.
（A ）c x e x +--)1( （B ）c x e x ++-)1( （C ）c x e x +--)1( （D ）c x e x ++--)1( 66、若
?+=c x
dx x f 2
)(，则?=-dx x xf )1(2（ ）.
（A ） c x +-22)1(2 （B ） c x +--22)1(2 （C ）
c x +-22)1(21 （D ） c x +--22)1(2
1
67、?
=xdx 2sin （ ）.
（A ）
c x +2cos 2
1
（B ）c x +2sin （C ）c x +-2
cos （D ）c x +-2cos 2
1
68、下列积分值为零的是（ ）
?
+-π
π
xdx sin x .A ?--+1
1x
x dx 2e e .B ?---11x x dx 2e e .C ()?+
-+22dx x x cos .D π
π
71、若
=+=?)(,2sin )(x f c x dx x f 则
A.2cos2x
B. 2sin2x
C. -2cos2x
D. -2sin2x
73、若
()?=+1
2dx k x ，则k=（ ）
a 、0
b 、1
c 、1-
d 、
2
3 75、
?+-
=+π
π
dx x x e x )sin (2cos （ ）
3π.A 3 3π2.B 3 32π2e .C 3-1+ 32πe -e .D 3-1+
76、
?
=-2
1dx x
A.0
B.1
C.2
D.-2 77、无穷积分
?
+∞
=1
2
1
dx x （ ） A.∞ B.1
31
.C
D.-1
78、=?-])(arctan [0
2
x dt t dx d （ ）。
（A ）2arctant 2
11
t
+ （B ）2)(arctan x - （C ） 2)(arctan x （D ）2)(arctan t - 二、填空题
2、函数x
x x f --
+=21)5ln()(的定义域是 ．
3、若
2211
()3f x x x x
+=++，则()f x =________.
4、=+∞→x
x
x x sin lim
．
5、如果0x →时，要无穷小量(1cos )x -与2
sin
2
x
a 等价，a 应等于________. 6、设2
0()()0
ax b
x f x a b x x x +≥?=?++
7、、函数)(x f =
1
1
-x 的间断点是_____________ 8、1
1
3--=x x y 的间断点是_______________．
9、曲线x y =
在点（4, 2）处的切线方程是
．
10、设)(x f 是可导函数且0)0(=f ，则x
x f x )
(lim
→＝________________； 11、曲线x x y arctan +=在0=x 处的切线方程是______________；
12、设由方程0y
x e
e xy -+=可确定y 是x 的隐函数，则
x dy dx
==
13、函数x y tan =在0=x 处的导数为 ； 14、设x e y 2=, 求 0=''x y ＝__________________．
15、若函数x y ln =，则y ''=
．
16、函数y x =-312
()的驻点是 .
18.指出曲线2
5x x
y -=
的渐近线 ．
17、已知)(x f 的一个原函数为x
-e ，则)(x f = ．
20、
?
=-dx x
x 2
)1( .
23、设)(x f 连续，且
?
=30
)(x x dt t f ，则=)8(f .
24、20
3
sin lim
x
x t dt x
→=?
25、
1
5xdx -=?
26、若函数3ln =y ，则y '=
． 27、若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) =
．
28、函数y x =-312()的单调增加区间是 .
29、过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程是y = ．
30、函数x
xe y -= 的驻点是 ，拐点是 ，凸区间为 ，凹区间为 。
31、=+?dx x x 1
02
2
1______________.
32.=?)sin (2
1
2dx x dx d __________________. 33.设?=x
tdt x F 1
tan )(,则=')(x F ___________.
34. 设?=2
1
tan )(x tdt x F ,则=')(x F ___________.
36、_______________)
3(5
42
=-?
x dx
。 39、?-=+-1
1
11ln
dx x
x
_______________________. 三、计算题 （一）求极限
（1）()432lim 2
1+-→x x x （2）34lim 23--→x x x （3）1
2
3lim 221-+-→x x x x （4）321lim 3--+→x x x （5）39lim 9--→x x x （6）22011lim x
x x +-→
（8）??
? ??---→1112
lim 21x x x （10）4332lim 22++-∞→x x x x （11）x x x x x 7153lim 23+++∞→ （12）336lim
2+++∞→x x x x （14）??? ?
?---→x x x 1113
lim 31
（16）x x x 5sin 3sin lim
0→ （17）x x x x x sin sin 2lim 0+-→ （18）1
)
1sin(lim 21--→x x x （19）20cos 1lim x x x -→ （20） x x x x sin cos 1lim 0-→（22）x
x x 311lim ??? ??+∞→ （23）x
x x -∞→??
?
??+21lim （24）x
x x ??
?
??-∞→21lim （25）()x x x 1031lim +→ （26）()x x x 1021lim -→ （29） ()x x x +→1ln lim 0
（30）30sin lim x x x x -→ （31）x e e x x x -→-0lim （32）x x e
x 2
lim +∞→ （33）2ln lim x x x +∞→ （34）??? ?
?--→x x x ln 111
lim 1 （35）)111(lim 0--→x x e x 1cos )1(lim 0--→x e x x x （二）求导数或微分
（1）．求下列函数的导数．
1. x xe y 2=,
2. ,
3. 102)12(+-=x x y ,
4. x y 4sin =, 6.3
x e y =,7. )2sin ln(2++=x x y , 8. 5
sin
cos 712π
++=
x x
y ,9.)32arcsin(+=x y ,
10. )ln(sin x y =, 11. 3)(ln x y =, 12. x x y 2ln 12+=, 13. 2cos 3sin x x y +=,
15.已知?????==-t
t
te
y e
x 2, 求 dx dy , 16. 求由方程F （x,y ）=0所确定的隐函数y=f(x)的导数（1）y x y ln = （2）y xe y +=1 （3）y x y ln += （4）122=-+xy y x
(2)．求下列函数的微分．
１. x x x y ln sin =, 2. x y 2sin =, 3. x x y 2sin =, 4. )1ln(x e y +=, 5. x xe y cos =, （三）求下列函数的单调区间和极值
（1）159323+--=x x x y （2）1--=x e x y （3）2224+-=x x y （4）x x y -+=1 （四）积分．
１. ?dx e x
2,2. ?+dx x 1
31
,3. ?xdx 2cos , 4. ?-dx x x 1
2, 5. ?dx xe x 2
, 6. ?xdx x cos sin 3, 7.
?+dx x x 1ln 12?+dx x x
21 13.
?-dx e x x x
x )2(, 15. ?dx e x
, 16.
?xdx x 2cos ,
17.?
xdx x sin 2
,21. ?+1
02
3dx x x
,, 24.
dx e
x ?
-2
1
1
2,25
2
cos x xdx π
??
26.
1
x
xe dx ?
, 27.
?10
arccos xdx ,
28.
dx x ?
π
20
sin ,29.设?
??≤<≤≤=-31,1
0,)(x e x x x f x
, 求dx x f ?
3
)(, 30.
dx x ?
4
1
1
,31.
dx x ?
-1
29
41, 32.
dx e x
?
+∞
-0
，33.?
+∞
∞-+2
1x dx
。
（五）、定积分的应用
1利用定积分求曲线所围成区域的面积
（1 ） 求曲线x y 2=，直线x=0,x=3和x 轴所围成的曲边梯形的面积； （3）求由曲线2x y =，直线x=0,x=1和x 轴所围成的图形的面积； 2利用定积分求旋转体的体积
（1） 求由连续曲线x y cos =和直线2
,0π
==x x 和x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所成旋
转体的体积；
（3）求由曲线轴绕x y x x y ,0,2,3===旋转所得旋转体的体积；
（4）求由曲线轴绕y y x x x y ,0,4,1,====旋转所得旋转体的体积。
四、证明。
（1）证明方程010732
4=-+-x x x 在1与2之间至少有一个实根； （2）证明方程12=?x
x 至少有一个小于1的正根。 （3）证明方程135
=-x x 在（1，2）内至少存在一个实根；
（4）方程sin x a x b =+，其中0,0a b >>，至少有一个正根，并且它不超过a b +.
（5）证明当0>x 时，
x x x
x
<+<+)1ln(1。 （6）证明当1>x 时，x
x 1
32->。
(7)已知函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且1)1(,0)0(==f f 证明:(1)存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f ；
(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得1)()(=''ζηf f ．
五、应用题
（1）一个圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆柱的底半径及高应是多少？
（2）某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
（3）某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆。截面的面积为5平方米，问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小？
(4). 某厂每批生产A 商品x 台的费用为()5200C x x =+(万元),得到的收入为
201.010)(x x x R -=(万元), 问每批生产多少台才能使企业获得最大利润.
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
高等数学 上册 答案
第六章 定积分的应用 1、[]求曲线和在上所围成的平面图形的面积y x y x ==2 3 01,. 2、.,2 2 积轴旋转所得旋转体的体围成的平面图形绕 求由曲线ox y x x y == 2 112212121)()()()() ( )(,,3s s D s s C s s B s s A dx x f s s b a ---+=? 则如图表示的面积和、 ????= <<===a b b a e e e e x b a y b a xdx D dx e C dy e B xdx A A y b a b y a y x y ln )()()(ln )()0(ln ,ln ,ln 4ln ln ln ln 面积为轴所围成的平面图形的及、曲线 dy y y D dx x x C dy y y B dx x x A A x y x y )43 ( )()34()()43( )()34()(4,351 4 4 1 2 3 121 42 2 ????------ ------= -== 积所围成的平面图形的面 、曲线 dx x x D dx x x C dx x x B dx x x A A y x x y )32 ( )()2 3()()32( )()23()(3,2 62 1 1 2 1 1 22 2 22 2 2 2 22 2 22 -- - -----= =+=????--- - 面部分的面积所围成的平面图形上半 、求曲线 4 1 )(31)(21)(1)(72 积是 所围成的平面图形的面和、曲线D C B A x y x y = =
2 3 )(3)(21)(1)(83 3 积为 所围成的平面图形的面和、曲线D C B A x y x y = = 3 4 )(320)(1217)(1273)(: 293 2 积为所确定的平面图形的面及、由不等式D C B A x x y x ≤≤≤ 3 )(1)(0)(2)(0,cos ,sin 10 积是 所围成的平面图形的面及、曲线D C B A x x x y x y π==== 3 24)(21)(1)(32 4)(2 0sin sin 113 2 - += ===ππ π 积为 所围成的平面图形的面及和、曲线D C B A x x y x y 6 25)(29)(6)(4)(223122 积所围成的平面图形的面与直线、曲线D C B A A y x x y = =+-= 12 13 )(49)(94)(421)() ( )1(2)4,0(42132 002 的平面图形的面积 所围成 与曲线处的切线上点、曲线D C B A A x y T M M x x y =-=+-= 1 1 )()1 1(2)(1 )(1)(0,1ln 14+-+-= === =e D e C e e B e e A A y e x e x x y 积所围成的平面图形的面 及与直线、曲线 15、积为所围成的平面图形的面 与直线抛物线x y x x y =-=)2(____________． π ππππθθ29 )(9)(2)(4)()20(c o s 216 积为 所围成的平面图形的面 、曲线D C B A r ≤≤+= 4 )(41)(3)( 2)(02)1(173 2 π π π 旋转体的体积为 轴旋转所得的 所围成的平面图形绕 和直线、由曲线D C B A x x x y =-=
高等数学练习答案1-10
习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中 高数练习题 一、选择题。 4、1 1lim 1 --→x x x （ ）。 a 、1-= b 、1= c 、=0 d 、不存在 5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。 a 、x 1sin b 、x x sin c 、12--x d 、x ln 7、()=--→1 1sin lim 21x x x （ ）。 a 、1 b 、2 c 、0 d 、2 1 9、下列等式中成立的是（ ）。 a 、e n n n =??? ??+∞ →21lim b 、e n n n =? ?? ??++∞→2 11lim c 、e n n n =??? ??+∞→211lim d 、e n n n =?? ? ??+∞ →211lim 10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。 a 、是低阶无穷小量 b 、是同阶无穷小量 c 、是等阶无穷小量 d 、是高阶无穷小量 11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。 a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) . （A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x (B) x (C)1 ln(12) 2x + (D) x (x +2) 14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）. （A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值 （B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0 lim ()x x f x →+ 与0 lim ()x x f x →- 存在，则（ ）. （A ）0 lim ()x x f x →存在且00 lim ()()x x f x f x →= （B ）0 lim ()x x f x →存在但不一定有00 lim ()()x x f x f x →= （C ）0 lim ()x x f x →不一定存在 （D ）0 lim ()x x f x →一定不存在 16、下列变量中（ ）是无穷小量。 0) (x e .A x 1-→ 0) (x x 1 sin .B → )3 (x 9x 3x .C 2→-- )1x (x ln .D → 17、=∞→x x x 2sin lim （ ） 2 18、下列极限计算正确的是（ ） e x 11lim .A x 0x =??? ??+→ 1x 1sin x lim .B x =∞→ 1x 1sin x lim .C 0x =→ 1x x sin lim .D x =∞→ 19、下列极限计算正确的是（ ） 1x x sin lim .A x =∞→ e x 11lim .B x 0x =??? ??+→ 5126x x 8x lim .C 232x =-+-→ 1x x lim .D 0x =→ A. f(x)在x=0处连续 B. f(x)在x=0处不连续，但有极限 C. f(x)在x=0处无极限 D. f(x)在x=0处连续，但无极限 23、1 lim sin x x x →∞ =（ ）. （A ）∞ （B ）不存在 （C ）1 （D ）0 24、221sin (1) lim (1)(2) x x x x →-=++（ ）. （A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23 ) ( , 0 x 1 x 2 0 x 1 x ) x ( f . 20、 则下列结论正确的是 设 上册练习题 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt = -? ，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ()( , )(2)( )(1 =+=? x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且 设 （A ）2 2x （B ）2 2 2 x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 )31(lim . 6. , )(cos 的一个原函数 是已知 x f x x = ? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 22 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 121 2 2 11 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. . d ) 1(17 7x x x x ? +-求 高等数学上册试题B 一、单项选择题（下面每道题目中有且仅有一个答案正确，将所选答案填入题后括号内。共24分） 1．（3分）设()x f 的定义域为[]1,0，()x f ln 的定义域为（ ） Ａ．[]1,0 Ｂ．()2,0 Ｃ．[]e ,1 Ｄ．()1,0 2．（3分）设()x x x f =，()2 2x x =?，则()[]x f ?是（ ） Ａ．x x 2 Ｂ．22x Ｃ．x x 22 Ｄ．x x 2 3．（3分）在区间()+∞∞-,内，函数()() 1lg 2 ++=x x x f 是（ ） Ａ．周期函数 Ｂ．有界函数 Ｃ．奇函数 Ｄ．偶函数 4．（3分） ()??? ??=≠=0,0,2tan x a x x x x f ，当a 为何值时，()x f 在0=x 处连续（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．0 Ｄ．4- 5．（3分）设 ()()???? ?=≠+=0,0,11 x x x x f x α，要使()x f 在0=x 处连续，则=α（ ） Ａ．0 Ｂ．0 Ｃ．e Ｄ．e 1 6．（3分）函数1+=x y 在0=x 处满足条件（ ） Ａ．连续但不可导 Ｂ．可导但不连续 Ｃ．不连续也不可导 Ｄ．既连续已可导 7．（3分）已知()()()()()d x c x b x a x x f ----=且()()()()d c b c a c k f ---='，则=k （ ） Ａ．a Ｂ．b Ｃ．c Ｄ．d 8．（3分）下列函数中，是同一函数的原函数的函数对是（ ） Ａ．x 2sin 21与x 2cos 41 - Ｂ．x ln ln 与x 2 ln Ｃ．2 x e 与x e 2 Ｄ．2tan x 与x x 2sin 1 cot +- 二、填空题 9．（3分） = →x x x x 2sin 1sin lim 220 2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用 了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。 高 数练习 题 一、选择题。 4、1 1lim 1 --→x x x （ ）。 a 、1-= b 、1= c 、=0 d 、不存在 5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。 a 、x 1sin b 、 x x sin c 、12--x d 、x ln 7、()=--→1 1sin lim 21x x x （ ）。 a 、1 b 、2 c 、0 d 、2 1 9、下列等式中成立的是（ ）。 a 、e n n n =??? ??+∞→21lim b 、e n n n =? ?? ??++∞ →2 11lim c 、e n n n =??? ??+∞→211lim d 、 e n n n =? ? ? ??+∞ →211lim 10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。 a 、是低阶无穷小量 b 、是同阶无穷小量 c 、是等阶无穷小量 d 、是高阶无穷小量 11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。 a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) . （A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x (B) x (C)1 ln(12)2x + (D) x (x +2) 14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）. （A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值 （B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0 lim ()x x f x →+与0 lim ()x x f x →-存在，则（ ）. （A ）0 lim ()x x f x →存在且00 lim ()()x x f x f x →= （B ）0 lim ()x x f x →存在但不一定有00 lim ()()x x f x f x →= （C ）0 lim ()x x f x →不一定存在 （D ）0 lim ()x x f x →一定不存在 16、下列变量中（ ）是无穷小量。 17、=∞→x x x 2sin lim （ ） 2 18、下列极限计算正确的是（ ） 19、下列极限计算正确的是（ ） A. f(x)在x=0处连续 B. f(x)在x=0处不连续，但有极限 C. f(x)在x=0处无极限 D. f(x)在x=0处连续，但无极限 23、1lim sin x x x →∞ =（ ）. （A ）∞ （B ）不存在 （C ）1 （D ）0 24、221sin (1) lim (1)(2) x x x x →-=++（ ）. （A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23 25、设1sin 0()3 0x x f x x a x ?≠? =??=?，要使()f x 在(,)-∞+∞处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 （C ）1/3 （D ）3 ) ( , 0 x 1 x 2 0 x 1 x ) x ( f . 20、 2 则下列结论正确的是 设 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 高等数学（上）第一章练习题 一．填空题 1． 12sin lim sin _________.x x x x x →∞??+= ??? 2． lim 9x x x a x a →∞+??= ?-?? ， 则__________.a = 3． 若21lim 51x x ax b x →++=-，则___________,___________.a b == 4． 02lim __________.2x x x e e x -→+-= 5． 1(12)0()ln(1)0 x x x f x x k x ?-<=?++≥?在0x =连续，则k = 6． 已知当0x →时，()1 2311ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________.a = 7． 设21()cos 1 x k x f x x x π?+≥=??? 在0x =处间断,则常数a 和b 应满足关系____________. 9．()1lim 123n n n n →∞++= 10 ．lim x →+∞?=? 11 ．lim x ax b →+∞?-=? 0 ，则a = b = 12．已知111()23x x e f x e +=+ ，则0x =是第 类间断点 二．单项选择题 13． 当0x →时, 变量211sin x x 是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 有界变量但不是无穷小, D. 无界变量但不是无穷大. 14．. 如果0 lim ()x x f x →存在，则0()f x ____________. A. 不一定存在, B. 无定义, C. 有定义, D. 0=. 15． 如果0lim ()x x f x -→和0 lim ()x x f x +→存在, 则_____________. 2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划 《高等数学》上册（一----七） 第一单元、函数极限连续 使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版； 同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点： 1.函数的概念及表示方法； 2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性； 3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念； 4.基本初等函数的性质及其图形； 5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系； 6.极限的性质及四则运算法则； 7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法； 8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限； 9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型； 10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最 小值定理、介值定理），会用这些性质. 天数学 习 时 间 学 习 章 节 学习知识点 习 题 章 节 必做题目 巩固习题 （选做） 备注 第一天2 h 第 1 章 第 1 节 映 射 与 函 数 函数的概念 函数的有界性、单调性、 周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段 函数和隐函数 初等函数具体概念和形 式，函数关系的建立 习 题 1 － 1 4(3) (6) (8),5(3)★, 9(2),15(4) ★,17★ 4(4)(7),5(1), 7(2),15(1) 本节有两部分内容 考研不要求，不必 学习： 1. “二、映射”； 2. 本节最后—— 双曲函数和反双曲 函数 第二天3 h 1 章 第 2 节 数 列 的 极 限 数列极限的定义 数列极限的性质(唯一 性、有界性、保号性) 习 题 1 － 2 1(2) (5) (8) ★ 3(1) 1. 大家要理解数 列极限的定义中各 个符号的含义与数 列极限的几何意 义； 2. 对于用数列极 限的定义证明，看 懂即可。 第 1 章 第 3 节 函 数 的 极 限 函数极限的概念 函数的左极限、右极限与 极限的存在性 函数极限的基本性质（唯 一性、局部有界性、局部 保号性、不等式性质，函 数极限与数列极限的关 系等） 习 题 1 － 3 2,4★3, 1. 大家要理解函 数极限的定义中各 个符号的含义与函 数极限的几何意 义； 2. 对于用函数极 限的定义证明，看 懂即可。 第三天3 h 第 1 章 第 4 节 无 穷 小 与 无 穷 大 无穷小与无穷大的定义 无穷小与无穷大之间的 关系 习 题 1 － 4 4,6★1,5 大家要搞清楚无穷 大与无界的关系 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? t x 1+ ln x x 1 ? ?? 1 x x x = ? 第六章 定积分 练习题 1． F (x ) = ? 1 (2 - 1 )dt (x > 0) 的单调增加区间为 . ( , +∞) 4 2. 函数 F (x ) = x te -t dt 在点 x = 处有极值. 3. 设 f (x ) = 1 ? sin x sin t 2dt , g (x ) = x - sin x ，则当 x → 0 时有( A ). 2 0 (A) f (x ) ~ g (x ) (B) f (x ) 与 g (x ) 同阶，但 f (x ) 不等价于 g (x ) (C) f (x ) = o (g (x )) (D) g (x ) = o ( f (x )) sin 3 x sin 5 x 2 4. 计算 2 sin 2 x ? c os 3 xdx . [ - 0 3 5 2 0 15 2 5. 计算 ? 1 dx . 2( -1) x t (1 1 - ln t )dt 在[1, e ] 上的最大值与最小值. 最大值 1 (e 2 - 3) ，最小值 0 4 ? xe x 2 x ≥ 0 4 7.设 函 数 1 (tan1+ e 4 -1) 2 f (x ) = ? ?1+cos2x -1 < x < 0 ， 计 算 ? 1 f (x - 2)dx . 8. ? x (sin t )'dt = ( C ) (其中 x > ). 2 (A) (C) t sin x x sin x - 2 x 2 (B) (D) sin x + C x sin x - 2 + C x 3 1 9. 设 f (x ) 是连续函数,且 f (t )dt = x ,则 f (8) = . 12 ?0 ln(1 + sin t )dt 2 ?0 cos tdt 10. lim x →0 1 - cos x = 1 ； lim x →0 ln(1 + x = 1 . ) 3 ? ] e 6.求函数 I (x ) = ? 2 2018年全国统一高考物理试卷（新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，第1～5题只有一项符合题目要求，第6～8题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 1．（6.00分）如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度，木箱获得的动能一定（） A．小于拉力所做的功B．等于拉力所做的功 C．等于克服摩擦力所做的功D．大于克服摩擦力所做的功 2．（6.00分）高空坠物极易对行人造成伤害。若一个50g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下，与地面的碰撞时间约为2ms，则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为（） A．10N B．102N C．103N D．104N 3．（6.00分）2018年2月，我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10﹣11N?m2/kg2．以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（） A．5×104kg/m3B．5×1012kg/m3C．5×1015kg/m3D．5×1018kg/m3 4．（6.00分）用波长为300nm的光照射锌板，电子逸出锌板表面的最大初动能为 1.28×10﹣19J，已知普朗克常量为6.63×10﹣34J?s，真空中的光速为3.00×108m?s﹣1，能使锌产生光电效应的单色光的最低频率约为（） A．1×1014Hz B．8×1014Hz C．2×1015Hz D．8×1015Hz 5．（6.00分）如图，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下，一边长为l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动，线框中感应电流i随时间变化的正确图线可能是（） 高等数学第六版（上册）总复习习题答案及解析 1. 填空: 设常数k >0, 函数k e x x x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________. 解 应填写2. 提示: e x x f 1 1)(-=', 21)(x x f -=''. 在(0, +∞)内, 令f '(x ) 0, 得唯一驻点x e . 因为f ''(x )<0, 所以曲线k e x x x f +-=ln )(在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x e 一定是 最大值点, 最大值为f (e )k >0. 又因为-∞=+→)(lim 0 x f x , -∞=+∞ →)(lim x f x , 所以曲线经过x 轴两次, 即零点的个数为2. 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)f (0)或f (0)f (1)几个数的大小顺序为( ). (A )f '(1)>f '(0)>f (1)f (0); (B )f '(1)>f (1)f (0)>f '(0); (C )f (1)f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)f (1)>f '(0). 解 选择B . 提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)f (0)f '(), ∈[0, 1], 所以 f '(1)> f (1)f (0)>f '(0). 3. 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a b ](a b )内除某一点外处处 (a b )内不存在点ξ f (b )f (a ) f '(ξ)(b a ). 解 取f (x )|x |, x ∈[1, 1]. 易知f (x )在[1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )1; 当x >0时, f '(x )1; f '(0)不存在, 即f (x )在[1, 1]上除x 0外处处可导. 注意f (1)f (1)0, 所以要使f (1)f (1)f '()(1(1))成立, 即f '()0, 是不可能的. 因此在(1, 1)内不存在点ξ f (1)f (1)f '()(1(1)). 4. 设k x f x ='∞ →)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞ →. 解 根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '( )?a , 介于x +a 与x 之间. 当x →∞ 时, → ∞, 于是 ak f a a f x f a x f x x ='=?'=-+∞ →∞ →∞ →)(lim )(lim )]()([lim ξξξ. 5. 证明多项式f (x )x 3 3x a 在[0, 1]上不可能有两个零点. 证明 f '(x )=3x 2-3=3(x 2 -1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少. 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点. 6. 设1 21 0++???++n a a a n 0, 证明多项式f (x )a 0a 1x +???+a n x n 在(0,1)内至少有 一个零点. 机密★启用前 2013届全国硕士研究生入学统一考试 （启航考研公共课标准课程基础阶段测试卷答案） 高数上 答题注意事项 1．本试卷考试时间90分钟，满分100分。 2．试卷后面附有参考答案，供学员测试后核对。 一、(本题满分5分) 【答案】A ． 【解析】由已知易得n x ＞0,n y ＞0．因为,2 11++=+≤ =n n n n n n y y x y x x 所以 ,1n n n n n n x x x y x x =≥=+ 故 ,2 21n n n n n n y y y y x y =+≤+= + 所以，数列{n x }单调递增, 数列{n y }单调递减．又,121b y y x x x a n n =≤≤≤≤≤≤= 所以，数列{n x },数列{n y }都有界,根据“单调有界数列必收敛”准则,知n n x ∞ →lim 与n n y ∞ →lim 都 存在,故排除选项C 和D ． 下面讨论两个数列是否收敛于同一值． 设lim n n x A →∞ =,lim n n y B →∞ =,由21n n n y x y += +,有2 lim lim 1n n n n n y x y +=∞→+∞→,即 2 A B B += ,解得A ＝B ,故选A ． 二、(本题满分5分) 【答案】B ． 【解析】当0＜x ≤3时, 2 ] )3(1ln[3ln lim 2]})3(1[3ln{lim )(+++=++=∞→∞→n x n n x x f n n n n n )13 0(2] )3(1ln[lim 23ln lim ≤<++++=∞→∞→x n x n n n n n ;3ln 03ln =+= 当x ＞3时, 2 ] 1)3ln[(ln lim 2]}1)3[(ln{lim )(+++=++=∞→∞→n x x n n x x x f n n n n n )130(2] 1)3 ln[(lim 2ln lim <<++++=∞→∞→x n x n x n n n n ,ln 0ln x x =+= 所以 ?? ?>≤<=, 3, ln , 30, 3ln )(x x x x f 显然)(x f 在(0,＋∞)内连续,故选B ． 三、(本题满分5分) 【答案】D ．高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
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