高考真题之圆锥曲线问题的浅析

高考真题之圆锥曲线问题的浅析

摘要圆锥曲线作为高考试题的“压轴”题目，因题目形式多样，运算求解复杂，很多学生在碰到圆锥曲线问题感到束手无策，自动放弃。本文通过分析从2006年到2018年全国卷和新课标卷圆锥曲线真题，寻找出了全国卷在圆锥曲线问题上的一些规律，并给出备考建议。

关键词研究考纲；专题训练；定值定点

圆锥曲线作为高考试题的“压轴”题目，充分体现数学学科的数形结合思想，等价转化思想，特殊与一般的思想，考查学生的运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力和学生的个性品质。由于圆锥曲线问题的命题形式和考查内容丰富多样，运算求解能力要求高的特点，很多学生在碰到圆锥曲线问题感到束手无策，加之考试时间紧迫，学生在求解过程不得已自动放弃，本文就自2006年到2018年全国Ⅰ卷、新课标卷的高考真题中的圆锥曲线问题进行进行汇总分析，寻找出一些规律，并研究圆锥曲线问题的备考策略和建议。

1.命题规律

1.1 试题的变化跟随考纲变化

从2006年至今，全国Ⅰ卷对圆锥曲线的考查非常严格的遵循考试大纲对知识点掌握层次的要求。在2011年之前，全国Ⅰ卷对圆锥曲线的考查形式多样，双曲线也曾以解答题的形式出现，如2009年

的第21题，这是因为在2011年之前，全国Ⅰ卷的考纲明确指出，对双曲线的考试要求为“掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质”。从2012年开始，新的考纲修订之后，考纲对双曲线的要求由“掌握”降低到“了解”。自2012年开始，双曲线均选择题和填空题的形式出现，主要考查双曲线的定义，几何性质等基本知识，考纲的变化随之在高考试题中体现，双曲线的考查难度随之降低。

如2013年全国卷第4题：已知双曲线：

（）的离心率为，则的渐近线方程为（）

....

此题考查双曲线的基本定义，用定义简单计算后就可以迎刃而解，可以看出高考对双曲线知识的考查难度并不太高。

1.2 考查形式和内容相对固定

1.2.1 全国Ⅰ卷对圆锥曲线的考查形式非常固定，即“两小一大”

自2012年之后，圆锥曲线命题规律非常明显，每年均为两道小题和一道解答题，命题形式相对固定，双曲线知识年年考查，抛物线和椭圆问题随机考查。

1.2.2 全国Ⅰ卷对圆锥曲线的考查内容非常固定，即“三线皆考”

从表1的统计可以看出，除了2013只考查了双曲线和椭圆两种曲线之外，其它年份三种曲线均在试题中涉及，体现出圆锥曲线在高考试题中的分量。并且解答题考查的载体用过圆和抛物线（如2012第20题，2009年第21题），圆和椭圆（如2016年第20题，2013年第20题），不侧重两类圆锥曲线的整合和考查，只侧重于直线与圆锥曲线的联系或者圆与圆锥曲线的联系。

1.2.3 抛物线和切线（导数）联系密切

全国Ⅰ卷对抛物线的考查经常和导数或者切线方程联系在一起，因为开口向上的抛物线可以直接求导，这在高考真题中体现的淋漓尽致。

如2009年第4题：设双曲线（）的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于( ) （A）（B）（C）（D）

1.2.4 小题考基础，大题考能力

依据考纲的要求，全国Ⅰ卷对圆锥曲线的考查在小题中主要考查三种曲线的基本概念，几何性质，特别是基本量的考查，如标准方程、离心率、渐近线等，对于这些题目，只要明确概念，掌握好三种曲线的几何性质，问题就会迎刃而解。而解答题方面，思维量的考查是全国Ⅰ卷的一个明显特征，通过分析这13年的圆锥曲线解答题发现，除了2009年第21题运算较大之外，其他年份的题目运算并不是很大，属于常规的运算求解问题，甚至有的年份解答题不使用韦达定理就能求解计算，如2012年第20题。另外定值、定点、

最值、取值范围的问题是考查的热点问题，从2006年至今，定值、定点、最值、取值范围类似的问题在解答题中共有9次出现，属于考查的热点内容。

2.复习备考建议

2.1 基础知识常抓不懈，常见结论了然于胸

全国Ⅰ卷对圆锥曲线非常注重三种曲

线基本概念，几何性质，基本量的考查。

比如从2011年到2018年14道小题中有6

道小题考查的是圆锥曲线的标准方程和离心率，其它小题的计算量也较小，没有出现偏、难、怪的题目，但要求学生有较强的作图能力，能迅速通过作图得出各个几何量之间的关系。另外，掌握圆锥曲线问题的一些固定结论，能在解题时直接应用，迅速解题，快速得分。

如2017年第15题：已知双曲线的右顶点为，以为圆心，

为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点．若，则的离心率为________．如右图所示，如果能看出为等边三角形，则点到渐

近线的距离为，由，从而得出离心率为。

另外，掌握圆锥曲线问题的一些固定结论，能在解题时直接应用，迅速解题，快速得分。

如2017年第10题：已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）

A．16 B．14 C．12 D．10

分析：如右图所示，如果学生能

掌握抛物线过焦点且倾斜角为

的弦长公式为，借助

柯西不等式，能迅速求解答案。

通过以上几道高考真题不难看出，作图能力对解决圆锥曲线问题的重要性，所以在平时教学中，应让学生自己独立作图，准确作图。通过让学生自己作图，体会各个几何量之间的关系。其次，教师再强调基本量的求解同时，一些固定结论也应让学生自己推到并掌握，如点差法，过椭圆或圆锥曲线的焦点并垂直于对称轴的弦长

为，过抛物线焦点弦的一些结论，过轴上点的直线往往设成等运算技巧和结论，都应让学生真正理解、掌握并会应用。

2.2 定值定点问题一般化，范围问题“”

通过研究全国卷的圆锥曲线一些定值定点答题不难发现，很多题目的结论具有一般形式，这给我们的教学建议是在平时训练中，当

遇到定点定值问题时，应让学生通过一般方程推导出固定结论，加深对定点定值问题的认识，同时对提高学生的运算能力，掌握圆锥曲线内在的几何性质有很大的帮助。而取值范围的问题往往和判别式联系密切，通过判别式，得到某个参量的取值范围，再借助均值不等式得出相应几何量的最值或取值范围。下面结合高考题进行说明。

2017年第20题的一般结论是已知椭圆

，为椭圆上任意一点，设直线不经过点且与C相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为常数，则直线过定点

。

2.3 课堂训练“限时化”，专题训练树信心

突破圆锥曲线的“障碍”，限时训练必不可少，教师在选择训练的题目要难度适中，紧扣考纲，尽量能做到多题同解或一题多解，总结规律，发现本质，能通过练习让学生自己体会到知识与题目之间的内在练习。对计算出错的题目一定要让学生纠错改正，直到计算出正确答案为止，绝对不能存在侥幸心理，认为指导思路即可，以后能够计算正确，殊不知在考场上因计算失误或中途放弃的学生大有人在。学生通过亲自操作得出正确答案也是对学生自信心的一个自我鼓励。

高考考纲对学生的个性品质提出明确要求：考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。教师引领鼓励，学生限时练习，专题训练到位，拿下圆锥曲线问题不是梦想！