(完整版)常微分方程习题及答案.[1]

第十二章常微分方程

(A)

一、是非题

1．任意微分方程都有通解。( )

2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( )

3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=

2ln 2

(C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9．

221xy y x dx

+++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题

1．在横线上填上方程的名称

①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x

y dx dy x

ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。

2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06

='-''?y y y 是阶微分方程。

7．x y 1

所满足的微分方程是。 8．x

y 2='的通解为。

9．

0=+x

dy y dx 的通解为。 10．()2511

2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。

11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题

1．微分方程()043

='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。

A ．3

B ．4

C ．5

D ． 2

2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。

A ．3

B ．5

C ．4

D ． 2

3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3

23y y ='的一个特解是( )。

A ．13+=x y

B ．()3

2+=x y C ．()2

C x y +=

D ． ()3

1x C y +=

5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。

A ．0=+'y y

B ．02=+'y y

C ．0=+y y n

D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。

A ．1+=x

e y B ．x

e y 2= C ．2

2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=

C ．()x b x a x y cos sin *+=

D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。 A ．02=-''y y B ．032=+'-''y y x y C ．045=-''x y D ． 012=+'-''y y

10．微分方程0=-'y y 满足初始条件()10=y 的特解为( )。 A ．x e B ．1-x e C ．1+x e D ． x e -2

11．在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是( )。 A ．1=y B ．x y = C ．x y sin = D ． x e y =

12．过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系是( )。 A ．x y 2=' B ．x y 2='' C ．x y 2='，()31=y D ． x y 2=''，()31=y 13．下列微分方程中，可分离变量的是( )。

A ．

e x y dx dy =+ B ．()()y b a x k dx dy

--=(k ,a ,b 是常数) C ．x y dx

=-sin D ． x e y xy y ?=+'2

14．方程02=-'y y 的通解是( )。

A ．x y sin =

B ．x e y 24?=

C ．x e C y 2?=

D ．x e y = 15．微分方程

0=+x

dy y dx 满足4|3==x y 的特解是( )。 A ．2522=+y x B ．C y x =+43 C ．C y x =+22 D ． 722=-y x 16．微分方程

=?-y x

dx dy 的通解是=y ( )。 A ．x C B ．Cx C ．C x

D ． C x +

17．微分方程0=+'y y 的解为( )。 A ．x e B ．x e - C ．x x e e -+ D ． x e -

18．下列函数中，为微分方程0=+ydy xdx 的通解是( )。

A ．C y x =+

B ．

C y x =+22 C ．0=+y Cx

D ． 02=+y Cx

19．微分方程02=-dx ydy 的通解为( )。

A ．C x y =-2

B ．

C x y =- C ．C x y +=

D ．C x y +-= 20．微分方程xdx ydy sin cos =的通解是( )。 A ．C y x =+cos sin B ．C x y =-sin cos C ．C y x =-sin cos D ． C y x =+sin cos 21．x e y -=''的通解为=y ( )。

A ．x e --

B ．x e -

C ．21C x C e x ++-

D ．21C x C e x ++-- 22．按照微分方程通解定义，x y sin =''的通解是( )。 A ．21sin C x C x ++- B ．21sin C C x ++- C ．21sin C x C x ++ D ． 21sin C C x ++ 四、解答题

1．验证函数x x e e C y 23--+?=(C 为任意常数)是方程y e dx

x 32-=-的通解，并求出满足初始条件0|0==x y 的特解。

2．求微分方程()()???==-++=1

11022x y dy x y dx y x 的通解和特解。

解：C x

y =-+2

11，1222=+y x 3．求微分方程x

x y dx dy tan +=的通解。解：Cx x

=sin

。 4．求微分方程???

?=+='=2|1

x y x y y x y 的特解。解：()2ln 222+=x x y 。

5．求微分方程x e x y y sin cos -=?+'的通解。解：()C x e y x +=-sin

6．求微分方程x x

dx dy sin =+的通解。解：()C x x x x

y +-=

cos sin 1

7．求微分方程()()?????==+--'+=1

121027

x y x y y x 的特解。

解：()()2

2313113

2+??????++=x x y

8．求微分方程1

+'=''x x

y y 满足初始条件0=x ，1=y ，3='y 的特解。解：133++=x x y

9．求微分方程y y y '=''2满足初始条件0=x ，1=y ，2='y 的特解。解：4arctan π

=x y 或??? ?

+=4tan πx y

10．验证二元方程C y xy x =+-22所确定的函数为微分方程

()y x y y x -='-22的解。

11．求微分方程()()0=++-++dy e e dx e e y y x x y x 的通解。解：()()C e e y x =-+11

12．求

x x y dx dy

sec tan =?-，0|0==x y 的特解。解：x

y cos =

13．验证x y ωcos 1=，x y ωsin 2=都是02=+''y y ω的解，并写出该方程的通解。

14．求微分方程x

x y y 2

2-='的通解。

解：x x Cx y ln 22-= 15．求微分方程01

=++

'x e y x

y 满足初始条件()01=y 的特解。

解：ex x

e y x

-= 16．求微分方程

()3

2+=+-x y x dx dy 的通解。解：()()??

???+++=C x x y 21122

17．求微分方程

011=+-+dy x

dx y x 满足条件()10=y 的特解。解：()()5322233=-+-x y x y

18．求微分方程02=-'+''y y y 的通解。解：x x e C e C y 221-+=

19．求微分方程052=+'+''y y y 的通解。解：()x C x C e y x 2sin 2cos 21+=-

20．求微分方程044=+'+''y y y 的通解。解：()x e x C C y 221-+=

21．试求x y =''的经过点()1,0M 且在此点与直线12

+=x

y 相切的积分曲线。解：12

613++=

x x y (B)

一、是非题

1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。( )

2．若()x y 1，()x y 2都是()()x Q y x P y =+'的特解，且()x y 1与()x y 2线性无关，则通解可表为()()()()[]x y x y C x y x y 211-+=。( )

3．函数x x e e y 21λλ+=是微分方程()02121=+'+-''y y y λλλλ的解。( ) 4．曲线在点()y x ,处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是C x y +='2(C 是任意常数)。( )

5．微分方程y x e y -='2，满足初始条件0|0==x y 的特解为12

12+=

y e e 。( )

二、填空题

1．x y cos 1=与x y sin 2=是方程0=+''y y 的两个解，则该方程的通解为。 2．微分方程032=-'-''y y y 的通解为。 3．微分方程02=+'-''y y y 的通解为。 4．微分方程x e y 2='''的通解是。 5．微分方程'y y =''的通解是。 6．微分方程xy dx

2=的通解是。三、选择题

1．微分方程044=+'-''y y y 的两个线性无关解是( )。

A ．x e 2与x e 22?

B ．x e 2-与x e x 2-?

C ．x e 2与x e x 2?

D ． x e 2-与x e 24-? 2．下列方程中，不是全微分方程的为( )。

A ．()()046632222=+++dy y y x dx xy x

B ．()02=-?+dy y e x dx e y y

C ．()022=--dy x dx y x y

D ． ()02=--xdy dx y x 3．下列函数中，哪个函数是微分方程()g t s -=''的解( )。

A ．gt s -=

B ．2gt s -=

C ．221gt s -=

D ． 22

gt s =

4．下列函数中，是微分方程0127=+'-''y y y 的解( )。 A ．3x y = B ．2x y = C ．x e y 3= D ． x e y 2= 5．方程()012='--y x y x 的通解是( )。

A ．2

1x C y -= B ．2

1x C

y -= C ．Cx x y +-=321 D ． 221

x Cxe y -=

6．微分方程ydy x xdx y ln ln ?=?满足1|1==x y 的特解是( )。 A ．y x 22ln ln = B ．1ln ln 22=+y x C ．0ln ln 22=+y x D ． 1ln ln 22+=y x

7．微分方程()()01122=+++dx y dy x 的通解是( )。

A ．C y x =+arctan arctan

B ．

C y x =+tan tan C ．C y x =+ln ln

D ． C y x =+cot cot 8．微分方程()x y -=''sin 的通解是( )。 A ．()x y -=sin B ．()x y --=sin C ．()21sin C x C x y ++--= D ． ()21sin C x C x y ++-= 9．方程3=+'y y x 的通解是( )。 A ．3+=

x C y B ．C x y +=3 C ．3--=x C y D ． 3-=x

y 四、解答题

1．求微分方程()x x x y y 3sin 23cos 6249--=+''的通解。解：()()x x x x C x x C y 3sin 23cos 221-+++= 2．求微分方程x y y y sin 67=+'-''的通解。解：()x x e C e C y x x sin 5cos 774

261++

+= 3．求微分方程()()0223222=-+-+dy xy x dx y xy x 的通解。解：x

x xy y =

--22 (C)

一、是非题

1．只要给出n 阶线性微分方程的n 个特解，就能写出其通解。

2．已知二阶线性齐次方程()()0=?+'?+''y x Q y x P y 的一个非零解y ，即可求出它的通解。( ) 二、填空题

1．微分方程054=++''y y y 的通解是。

2．已知1=y ，x y =，2x y =某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为。

3．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为。三、选择题

1．微分方程()

+=+

'x x x y y 的通解为( )。 A ．C x +arctan B ．()C x x +arctan 1 C ．C x x +arctan 1 D ．

x +arctan 2．微分方程1=-'y y 的通解是( )。

A ．x e C y ?=

B ．1+?=x e

C y C ．1-?=x e C y

D ．()x e C y ?+=1

3．???==+'=0

1x y y y x 的解是( )。

A ．???

?-=x y 113 B ．()x y -=13 C ．x y 11-= D ． x y -=1

4．微分方程x

x y dx dy tan +=的通解为( )。 A ．Cx x y =sin

B ．Cx

x y 1

sin =

C ．Cx y x =sin

D ． Cx y x 1sin = 5．已知微分方程()()2

1+=+'x y x p y 的一个特解为()27*

+=x y ，则此微分

方程的通解是( )。

A ．()()2721321+++x x C

B ．()()272

111

21+++x x C C ．()()272

11121+++x x C D ． ()()272

21+++x x

6．微分方程1+='-''x e y y 的一个特解应具有形式(式中a ，b 为常数)( )。 A ．b ae x + B ．b axe x + C ．bx ae x + D ． bx axe x + 四、解答题

1．设x e y =是微分方程()x y x p y x =+'的一个解，求此微分方程满足条件

0|2ln ==x y 的特解。

解：代入x e y =到方程()x y x p y x =+'中，得()x xe x p x -=- 原方程为()x y x xe y x x =?-+'-

()x e x e C e y -?+=1，()11=?-+'y e y x ∵2ln =x ，0=y ∴2

--=e C 。

???

? ??-=--211x e x e e y 。 2．已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

解：x e y y -=-31，x x e e y y --=-2223均是齐次方程的解且线性无关。

()

x x x e e C e C ---+2221是齐次方程的通解。当21=C ，12=C 时，齐次方程的

特解为x e 2

x e - 、x e 2都是齐次方程的解且线性无关。

∴x x e C e C 221+-是齐次方程的通解。

由此特征方程之根为-1，2，故特征方程022=--r r 。相应的齐次方程为02=-'-''y y y 故所求的二阶非齐方程为 ()x f y y y =-'-''2

1y 是非齐次方程的特解代入上式得 ()()x e x x f ?-=21

所以()x e x y y y 212-=-'-''为所求的微分方程。 3．已知()2

f ，试确定()x f ，使()[]

()0=++dy x f ydx x f e x 为全微分方程，并求此全微分方程的通解。

解：()()y x f e P x +=，()x f Q =，由

x Q ??=??得 ()()x f e x f x +='，即()()x e x f x f =-'

∴()[]

()C x e C e e e x f x dx x dx

+=+?=??---

∵()C f ==

210，∴()??? ?

+=21x e x f x ，

得全微分方程：02121=??? ??

++?????

???? ??++dy x e ydx x e e x x x

解得()y x e dy x e dx y x u x y

x x

??? ?

+=??? ??++=??21210,00。

故此全微分方程的通解为C y x e x =??? ?

+21。

第十二章微分方程

(A)

一、是非题

1．×；2．×；3． √；4．×；5．√；6．×；7．×；8．√；9．√。二、填空题

1．在横线上填上方程的名称

①可分离变量微分方程；②可分离变量微分方程；③齐次方程； ④一阶线性微分方程；⑤二阶常系数齐次线性微分方程。

2．3；3．21241C x C e x ++-； 4．21cos 2sin 4

C x C x x +++-5．3；

6．2；7．02=+'y y ；8．2Cx y =； 9．C y x =+22； 10．()2

1+=x C y ； 11．2

x Cxe y =；12．3216

120

1C x C x C x y +++=

2。三、选择题

1．D ； 2．A ；3．B ； 4．B ；5．C ；6．A ；7．B ；8．C ；9．A ；10．A ；11．C ；12．C ；13．B ；14．C ；15．A ；16．B ；17．B ；18．B ；19．A ；20．D ；21．C ； 22．A ．四、解答题

1．验证函数x x e e C y 23--+?=(C 为任意常数)是方程y e dx

x 32-=-的通解，并求出满足初始条件0|=x y 的特解。

2．求微分方程()()???==-++=1

11022x y dy x y dx y x 的通解和特解。

解：C x

y =-+2

211，122

2=+y x 。 3．求微分方程

x y dx dy tan +=的通解。

解：Cx x

=sin

。 4．求微分方程???

?=+='=2|1x y x y y x y 的特解。解：()2ln 222+=x x y 。

5．求微分方程x e x y y sin cos -=?='的通解。解：()C x e y x +=-sin 。 6．求微分方程x x

dx dy sin =+的通解。解：()C x x x x

y +-=

cos sin 1

。 7．求微分方程()()?????==+--'+=1

|012102

x y x y y x 的特解。

解：()()2

2313113

2+??????++=x x y 。

8．求微分方程1

+'=

''x x

y y 满足初始条件0=x ，1=y ，3='y 的特解。解：133++=x x y 。

9．求微分方程y y y '=''2满足初始条件0=x ，1=y ，2='y 的特解。解：4arctan π

=x y 或??? ?

+=4tan πx y 。

10．验证二元方程C y xy x =+-22所确定的函数为微分方程

()y x y y x -='-22的解。

解：略。

11．求微分方程()()0=++-++dy e e dx e e y y x x y x 的通解。解：()()C e e y x =-+11。

12．求

x x y dx dy

sec tan =?-，0|0==x y 的特解。解：x

y cos =。

13．验证x y cos 1=，x y ωsin 2=都是02=+''y y ω的解，并写出该方程的通

解。

解：略。

14．求微分方程x

x y y 2

2-='的通解。

解：x x Cx y ln 22-=。 15．求微分方程01

=++

'x e y x

y 满足初始条件()01=y 的特解。解：ex x

e y x

-=。 16．求微分方程

()3

2+=+-x y x dx dy 的通解。解：()()??

??+++=C x x y 21122

。 17．求微分方程

011=+-+dy x

dx y x 满足条件()10=y 的特解。解：()()5322233=-+-x y x y 。 18．求微分方程02=-'+''y y y 的通解。解：x x e C e C y 221-+=。

19．求微分方程052=+'+''y y y 的通解。解：()x C x C e y x 2sin 2cos 21+=-。 20．求微分方程044=+'+''y y y 的通解。解：()x e x C C y 221-+=。

21．试求x y =''的经过点()1,0M 且在此点与直线12

+=x

y 相切的积分曲线。解：12

613++=

x x y 。 (B)

一、是非题

1．×；2．√；3．√；4．×；5．×。二、填空题

1．x C x C y sin cos 21+=； 2．x x e C e C y 321+=- ；3．()x e x C C y 21+=；

4．322128

1C x C x C e y x +++=；5．21C e C y x += 6．2

x e C y ?=

三、选择题

1．C ；2．C ；3．C ；4．C ；5．D ；6．A ；7．A ；8．C ；9．A ．四、解答题

1．求微分方程()x x x y y 3sin 23cos 6249--=+''的通解。解：()()x x x x C x x C y 3sin 23cos 221-+++=。 2．求微分方程x y y y sin 67=+'-''的通解。解：()x x e C e C y x x sin 5cos 774

261++

+=。 3．求微分方程()()0223222=-+-+dy xy x dx y xy x 的通解。解：x

C x xy y =

--22。 (C)

一、是非题

1．×；2．√；二、填空题

1．()x C x C e y x sin cos 212+=； 2．()()111221+-+-=x C x C y ； 3．()1sin cos 21++=x C x C e y x 三、选择题

1．B ；2．C ；3．A ；4．A ；5．D ；6．D ．四、解答题

1．设x e y =是微分方程()x y x p y x =+'的一个解，求此微分方程满足条件

0|2ln ==x y 的特解。

解：代入x e y =到方程()x y x p y x =+'中，得()x xe x p x -=- 原方程为()x y x xe y x x =?-+'-

()x e x e C e y -?+=1，()11=?-+'y e y x

∵2ln =x ，0=y ∴2

-=e C 。

???

? ??-=--211x e x

e e y 。 2．已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

解：x e y y -=-31，x x e e y y --=-2223均是齐次方程的解且线性无关。

()

x x x e e C e C ---+2221是齐次方程的通解。当21=C ，12=C 时，齐次方程的

特解为x e 2

x e - 、x e 2都是齐次方程的解且线性无关。

∴x x e C e C 221+-是齐次方程的通解。

由此特征方程之根为-1，2，故特征方程022=--r r 。相应的齐次方程为02=-'-''y y y 故所求的二阶非齐方程为 ()x f y y y =-'-''2

1y 是非齐次方程的特解代入上式得 ()()x e x x f ?-=21

所以()x e x y y y 212-=-'-''为所求的微分方程。 3．已知()2

f ，试确定()x f ，使()[]

()0=++dy x f ydx x f e x 为全微分方程，并求此全微分方程的通解。

解：()()y x f e P x +=，()x f Q =，由

x Q ??=??得 ()()x f e x f x +='，即()()x e x f x f =-'

∴()[]

()C x e C e e e x f x dx x dx

+=+?=??---

∵()C f ==

210，∴()??? ?

+=21x e x f x ，

得全微分方程：02121=??? ??

++?????

???? ??++dy x e ydx x e e x x x

解得()y x e dy x e dx y x u x y x x ??? ?

+=??? ??++=??21210,00。

故此全微分方程的通解为C y x e x =??? ?

+21。

常微分方程试题库

常微分方程试题库二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解，（2分）当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ，（2分）积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分）（分）（22 3. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t

常微分方程第三版答案

常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是。

8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+x dy y dx 的通解为。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3）（4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

一阶常微分方程解法总结

第一章一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果；当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果；当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ；当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

《常微分方程》第三次作业

《常微分方程》第三次作业第3章一阶线性微分方程组 1．完成定理3.1的证明． 2．完成定理3.1′的证明 3．将下列方程式化为一阶方程组（1）0)()(=++x g x x f x &&& （2）)(d d d d 22t f kx t x c t x m =++ （3）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y 4．求解方程组 ?????? ?+=+=y t p x t q t y y t q x t p t x )()(d d )()(d d 其中)(),(t q t p 在[a , b ]上连续． 5．设n n ?矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组 X A X )(d d 1t t = 与X A X )(d d 12t t = 有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A ． 6．求解下列方程组：（1）???????==y t y x t x 2d d d d （2）???????+=+=x y t y x y t x 54d d 45d d （3）???????+-=+=y x t y y x t x αββαd d d d 7．求解下列方程组：（1）???-=+=x y y y x x 23&& （2）??? ??+-=-+=+-=z y x z z y x y z y x x 222&&& 8．求解下列方程组：（1）???????=+=y t y y x t x 3d d 3d d （2）???? ?????=+=+=333222 11 2d d 2d d 2d d y x y y y x y y y x y （3）?????+=+=2 e 2t x y y x t && （4）???++=++=t y x y t y x x e 823532&&

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结来源：文都教育复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来，如何将零散的知识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆，使知识自成体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例，本部分内容涉及可分离变量、一阶齐次、一阶非齐次、全微分方程、高阶线性微分方程等内容，在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多，遇到具体的题目不知该如何下手，这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程得到 x du dx 一阶线性微分方程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况：二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根，令特解 y*x2Q m (x)e x；（2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

常微分方程作业答案

1.第1题设就是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中就是连续函数、则 A、的朗斯基行列式一定就是正的; B、的朗斯基行列式一定就是负的; C、的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零; D、的朗斯基行列式恒不为零、 A、A B、B C、C D、D 您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 2.第2题满足初始条件与方程组的解为 ( )、 A、; B、 ; C、 ; D、、

A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 3.第6题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个、 (i) , (ii) , (iii) , (iv) 、 A、1 B、2 C、3 D、4 您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2、0 4.第8题就是某个初值问题的唯一解,其中方程就是, 则初始条件应该就是( )、 A、,

B、, C、, D、、 A、A B、B C、C D、D 您的答案:A 题目分数:2 此题得分:2、0 5.第9题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A、; B、 ; C、; D、、 A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2、0 6.第15题

可将六阶方程化为二阶方程的变换就是( )、 A、; B、 ; C、 ; D、、 A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 7.第16题设,及就是连续函数,与就是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题就是

A、B、 C、D、 A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 8.第18题设与就是方程组的两个基解矩阵, 则 A、存在某个常数方阵C使得, 其中; B、存在某个常数方阵C使得, 其中 ; C、存在某个常数方阵C使得, 其中; D、存在某个常数方阵C使得, 其中、 A、、 B、、

常微分方程试题库.

常微分方程一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o

8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^=

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*）将x y u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.

秋华师《常微分方程》在线作业

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奥鹏1７春16秋华师《常微分方程》在线作业一、单选题（共20 道试题，共60 分。）１. 微分方程ｙ''+y=sinx的一个特解具有形式()。 A. y*=asinx B．y＊＝acosx C．ｙ*=x(ａsiｎｘ＋bcosx) D．y*＝acｏsx+bｓinx 正确答案: 2. y'''+ｓｉnxy＇-ｘ=cｏsx的通解中应含(）个独立常数。 A. １ B. 2 C．3 D. ４正确答案： 3．微分方程xyy''+x（y')^3-y^4-ｙ'＝0的阶数是()。 A. 3 B. 4 C. 5 Ｄ. 2 正确答案：４．微分方程ｙ'''-ｘ^2ｙ'＇-x^5＝１的通解中应含的独立常数的个数为（)。 A. 3 B. 5 C. 4 D． 2 正确答案： 5. 过点(１,3)且切线斜率为2x的曲线方程y=ｙ(x)应满足的关系是（）。 A.y'＝2x B. ｙ''＝２ｘ C. y＇＝2x,y(１)=３Ｄ. ｙ''＝2x,ｙ(1）＝3 正确答案：６.方程dy/ｄx=3y（2/３)过点(0，0）有（)． A. 无数个解 B. 只有一个解 C．只有两个解 D．只有三个解

正确答案：７. 方程y'-２y=0的通解是（)。 A. y＝sinx B. y=4e^(２ｘ) C．ｙ=Ce^(2ｘ) Ｄ．ｙ=ｅ^x 正确答案： 8. 下列函数中,是微分方程y＇'-7y'+1２ｙ＝0的解()。Ａ. y=ｘ^３ B. y=x^2 C. ｙ=e^(3x) D．y=ｅ^（2x) 正确答案： 9．按照微分方程通解定义,ｙ＇'=sinx的通解是()。 A. -sｉnｘ+C1x+C2 Ｂ. －ｓinx+C1+Ｃ2 Ｃ. siｎx+C１ｘ＋C2 D．ｓinx+C１x+C2 正确答案: 10．方程组dY/ｄx＝F(x,Y),ｘ∈R，Y∈R^n的任何一个解的图象是（）维空间中的一条积分曲线. A. n B.n+１ C．n-1 D. n－２正确答案: 1１．下列函数中，哪个是微分方程dｙ-２ｘdx=0的解（)。 A. y=2x Ｂ．y=x^2 C. ｙ=-2x D．y=－x 正确答案：１２. 微分方程cosｙdy=ｓｉnxdx的通解是()。Ａ. sinｘ+cｏsｘ=C B．ｃosｙ-ｓinx=Ｃ C. cosｘ－siny＝C D.cｏｓx+sinｙ=C 正确答案: 13. 微分方程2ydｙ-ｄx=0的通解为（)。 A. y^2-x=C B. ｙ-x＾(１/2)＝C C. y=x+C D. y＝-x+C 正确答案：

常微分方程作业答案

1．第1题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则 A. 的朗斯基行列式一定是正的; B. 的朗斯基行列式一定是负的; C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零; D. 的朗斯基行列式恒不为零. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 2．第2题满足初始条件和方程组的解为 ( ). A. ; B. ; C. ; D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 3．第6题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个. (i) , (ii) ,

(iii) , (iv) . 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 4．第8题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ). A. , B. , C. , D. . 您的答案：A 题目分数：2 此题得分： 5．第9题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A. ； B. ； C. ； D. . A..

B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 6．第15题可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ). A.; B. ; C.; D.. A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 7．第16题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是 A. B. C. D. A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2

此题得分： 8．第18题设和是方程组的两个基解矩阵, 则 A. 存在某个常数方阵C使得, 其中; B. 存在某个常数方阵C使得, 其中; C. 存在某个常数方阵C使得, 其中; D. 存在某个常数方阵C使得, 其中. A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2 此题得分： 9．第20题微分方程的一个解是( ). A. , B. , C. , D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：2 此题得分： 10．第22题设有四个常微分方程： (i) , (ii) , (iii) , (iv) .

常微分方程习题

第一章习题 1-1求下列两个微分方程的公共解。（1）422x x y y -+=' （2）2422y y x x x y --++=' 解两方程的公共解满足条件 4224222x x y y y x x x -+=--++，即 022224=-+-y x y x ， 0))(122(22=-++y x y x ，所以2 x y =或2212 x y +-=。代入检验可知2 212 x y +-=不符合，所以两方程的公共解为2x y =。评注：此题是求解方程满足一定条件的解，即求两个微分方程的公共解。在求解时由于令其导数相等，很容易产生增解，因而要对所求结果回代原方程进行检验，舍去增解。 1-2 求微分方程02 =-'+'y y x y 的直线积分曲线。解设直线积分曲线为b ax y +=，则a y ='，代入原方程得 02≡--+b ax xa a ，即0)()(2 ≡-+-b a a a x ，所以 ???=-=-0 02b a a a ，可得0==b a 或1==b a 。因而所求直线积分曲线为0=y 或1+=x y 。评注：此题是求解方程的部分解，采用的是待定系数法。待定系数法是求解常微分方程常用的方法之一，有待定常数法和待定函数法。本题首先设出满足题设条件的含有待定常数

的解，然后代入原方程来确定待定常数，解决此类问题的关键在于正确地设出解的形式。 1-3 微分方程32224xy y y x =-'，证明其积分曲线是关于坐标原点成中心对称的曲线。证设)(x y ?=满足微分方程，只须证明)(x y --=?也满足方程即可。作变换x t -=，则证明)(t y ?-=满足方程即可，代入方程两端，并利用)(x y ?=满足此方程，得左=)())((42222t dx dt t t ??-'， )()1)((42222t t t ??--'= )()(4222t t t ??-'=)(3t t ?==右故)(t y ?-=也满足方程32224xy y y x =-'。评注：为了验证)(x y --=?也满足方程，利用积分曲线的性质，进行变量代换x t -=，将)(x y --=?变换成)(t y ?-=后，问题就很容易解决了。 1-4 物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比，如果物体在20分钟内由100℃冷却至60℃，那么，在多长时间内，这个物体由100℃冷却至30℃？假设空气的温度为20℃ 解设物体在空气中时刻t 的温度为)(t T T =，则依牛顿冷却定理得 )20(--=T k dt dT ，其中k 是比例常数。两边积分，得通解为kt Ce T -+=20。由于初始条件为：,100)0(=T 故得80=C ，所以kt e T -+=8020。将60,20==T t 代入上式后即得：202ln = k ，即 20202ln )2 1(80208020t t e T ?+=+=-。故当30=T 时，有20)2 1(802030t ?+=，从中解出60=t （分钟），因此，在一小时内，可使物体由100℃冷却至30℃。

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2）这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3）其中n t hn =，0h >称为步长。在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法：（i.4）从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

常微分方程基本概念习题附解答

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3