西南大学陈鹏热力学统计物理期末复习重点习题整理

第一章热力学的基本规律

1.8 满足n pV C =的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量n C 为

n V n C C n γ

- 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量

0lim .n T n n

Q U V C p T T T ?→???????

==+ ? ? ?????????? （1）对于理想气体，能U 只是温度T 的函数，

,V n

U C T ???

= ???? 所以

.n V n

V C C p T ???=+ ???? （2）

将多方过程的过程方程式n pV C =与理想气体的物态方程联立，消去压强p 可得

11n TV C -=（常量）。（3）

将上式微分，有

12(1)0,n n V dT n V TdV --+-=

所以

.(1)n

V V T n T ???

=- ?

?-?? （4）代入式（2），即得

,(1)1

n V V pV n C C C T n n γ-=-

=-- （5）其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。

1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。

解：假设在p V -图中两条绝热线交于C 点，如图所示。设想一等温线与

两条绝热线分别交于A 点和B 点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程ABCA 中，系统在等温过程AB 中从外界吸取热量Q ，而在循环过程中对外做功W ，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有

W Q =。

这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。因此两条绝热线不可能相交。

第二章均匀物质的热力学性质

2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：

(),p f V T =

试证明其能与体积无关.

解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：

(),p f V T = （1）

故有

().V

p f V T ???= ???? （2）但根据式（2.2.7），有

,T V

U p T p V T ??????

=- ? ??????? （3）所以

()0.T

U Tf V p V ???=-= ???? （4）

这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的能与体积无关，只是温度T 的函数.

2.4 已知0T U V ???

= ????，求证0.T

U p ???= ?

??? 解：对复合函数

(,)(,(,))U T P U T V T p = （1）

求偏导数，有

.T T T

U U V p V p ?????????= ? ? ?????????? （2）如果0T

U V ???

????，即有

0.T

U p ??

?= ???? （3）式（2）也可以用雅可比行列式证明：

(,)(,

)(,)(,)(,

)(,)

T U U T p p T U T V T V T p T ????= ?

??????=

.T T

U V V p ??????= ? ??????? （2）

第六章近独立粒子的最概然分布

6.3 试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2，在ε到ε+d ε的能量围，量子态数为

D(ε) d ε =επmd h

L 22

证明：对于二维自由粒子，有y y x x n L

h p n L h p ==

, y y x x dn L

dp dn L h dp ==∴,

所以，在面积L 2，在y y y x x x dp p p dp p p +→+→,的量子态数为

y x y x dp dp dn dn 22

L ＝

换为极坐标，则动量大小在dp p p +→的量子态数为

??d dp h

L pdpd h L dn 222

222==

对φ从0至2π积分，并利用m

p 22

=ε则可得在ε到ε+d ε的能量围，量子态数为

D(ε) d ε =επmd h

L 22

2，证毕

第七章玻耳兹曼统计

7.8稀薄气体由某种原子组成. 原子两个能级能量之差为

210.εεω-=

当原子从高能级2ε跃迁到低能级1ε时将伴随着光的发射. 由于气体中原子的速度分布和多普勒（Doppler ）效应，光谱仪观察到的不是单一频率0ω的谱线，而是频率的一个分布，称为谱线的多普勒增宽. 试求温度为T 时谱线多普勒增宽的表达式.

解：我们首先根据在原子跃迁发射光子过程中动量和能量的守恒关系导出多普勒效应.

为明确起见，假设光谱仪接受沿z 轴传播的光，原子的誓师为m ，初态处在能级2ε，速度为2υ，发射能量为ω，动量为k （平行于z 轴）的光子后跃迁到能级1ε，速度变为1v 动量守恒和能量守恒要求

12,m n +=υk υ （1）

112211.22

m υm υεωε++=+ （2）

将式（1）平方并除以2m ，得

2211211,222

k m υm υm ++?=υk 代入式（2），注意210.εεω-=即有

01,2k m

ωω=-?-υk

或

102

.2z υc mc ωωωω=-- （3）

式（3）右方后两项的大小估计如下：考虑

262-1115-110kg,310m s ,10s ,

m υω-??

即有

6192

10,

10.

υc

因此右方第三项完全可以忽略，且ω与0ω的差别很小. 将式（3）改写为

11011.z z

υc υc ωωω=

-??≈+ ??

（4）

式（4）给出多普勒频移. 多普勒频移通常表达为：当原子以速度v 面对观察者运动时，观察者看到的光频是

01,υc

ωω??

=+ ??

其中0ω是静止原子发出的光的频率.

根据式（7.3.7），温度为T 时，气体中原子速度的z 分量z υ到z z υd υ+之间的概率与下式成正比：

d .z m υkT

z υ- （5）

将式（4）代入上式可以得到光的频率分布

()

020

d .c m kT c

ωωωωω--

（6）

这是以0ω为中心的高斯（Gaussian ）型分布. 可以将式（6）表示为高斯型分布的标准形式：

()()

()2

2122

2F ωωδωπδ--=

（7）

其中12

02.kT mc δω??

函数()F ω满足归一化条件

()d 1.F ωω=? （8）

式（7）可以从实验加以验证. 这是实验上验证麦氏速度分布的方法之一.

7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为

()22

221,2x y z p p p ax bx m

ε=

++++ 其中,a b 是常量，求粒子的平均能量.

解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式ε中2ax 和bx 两面三刀项都是x 的函数，不能直接将能量均分定理用于2ax 项而得出21

ax kT =的结论. 要通过配方将ε表达为

()2

2222

1.224x y z b b p p p a x m a a ε??=++++- ??

? （1）在式（1）中，仅第四项是x 的函数，又是平方项. 由能量均分定理知

()2

2222

124x y z b b p p p a x m a a ε??=++++- ??

2.4b kT a

=- （2）

7.21 定域系统含有N 个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级0ε和()110.εεε>求在温度为T 的热平衡状态下粒子在两能级的分布，以及系统的能和熵. 讨论在低温和高温极限下的结果.

解: 首先分析粒子在两能级的分布. 配分函数为

()01

101e e e

1e .

Z βεβεβεβεε-----=+??=+??

处在两能级的最概然粒子数分别为

()001001e e 1e

N N n Z αβεβεβεε-----==

（1）

()

e e

N N

βεε

αβεβε

βεε

---

===

（2）

其中10

εε

=是系统的特征温度. 式（1）和（2）表明，01

n n随温度的变化取决于特征温度与温度的比值，如图所示. 在低温极限Tθ

<<下，01

,0.

n N n

≈≈粒

子冻结在低能级. 在高温极限Tθ

>>下，01

n n

≈≈，意味着在高温极限下两能

级级能量的差异对粒子数分布已没有可能觉察的影响，粒子以相等的概率处在两个能级.

系统的能为

()

U N Z N

βεε

εε

β-

=-=+

()

1e T

εε

（3）在低温极限Tθ

<<下，有

U Nε

≈

在高温极限Tθ

>>下，有

()

Uεε

≈+

这是容易理解的.

系统的热容量为

C Nk

θ-

（4）热容量随温度的变化如图所示. 在低温极限Tθ

<<下，有

e,T

C Nk

θ-

≈ ?

它趋于零. 在高温极限Tθ

>>下，有

C Nk

θ??

≈ ?

也趋于零. 这结果也是易于理解的. 值得注意，C随温度的变化有一个尖峰，

其位置由

确定（大致在~

Tθ附近）. 热容量这一尖峰称为热容量的肖脱基（Shottky）反常（解释见后）.

系统的熵为

ln lnZ

S Nk Zβ

()

ln1e.

Nkβεε

βεε

=++

??+

（5）S随温度的变化如下图所示. 在低温极限下，

S≈