97高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解97

高中数学高考总复习几何证明选讲习题

(附参考答案)

一、选择题

1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )

A ．y 是x 的增函数

B ．y 是x 的减函数

C ．y 随x 的增大先增大再减小

D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D

[解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝1

2AR ，∵R 固

定，∴AR 是常数，即y 为常数．

2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 [答案] C

[解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝1

2

×4×3＝6，

∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.

3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q

和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( )

A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D

[解析] 由切割线定理知：

PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5.

4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝3 2，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )

A ．5 6 B.562 C.15 D.3102

[答案] B

[解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，

∴CE ＝12AB ＝562

.

5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )

A ．(0,1)

B ．(0,2)

C ．(0，2010

2009) D ．(0，2009

2010

) [答案] A

[解析] 由题意知圆与x 轴交点为A (2010,0)，

B (－2009,0)，与y 轴交点为

C (0，－2010×2009)，

D (0，y 2)．设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0

令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，此方程两根为2010和－2009，∴F ＝－2010×2009 令x ＝0得y 2＋Ey －2010×2009＝0 ∴－2010×2009×y 2＝－2010×2009 ∴y 2＝1，故选A.

[点评] 圆与x 轴交点A (2010,0)，B (－2009,0)与y 轴交点C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)，

∵A 、C 、B 、D 四点共圆，∴AO ·OB ＝OC ·OD ， ∴OD ＝1，∴y 2＝1.

6．设平面π与圆柱的轴的夹角为β (0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )

A.12

B.22

C.33

D.32

[答案] B

[解析] ∵Dandelin 双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，

∴2b ＝2c ，∴e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝c 2c ＝2

2.

二、填空题

7．如图，PT 切⊙O 于点T ，P A 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝________.

[答案] 15

[解析] 由相交弦定理得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.

由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )．又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15.

8．(09·天津)如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆

的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为______________．

[答案] 2

[解析] ∵AB ∥A 1B 1且AB ＝1

2A 1B 1，∴△AOB ∽△A 1OB 1，∴两三角形外接圆的直径之

比等于相似比，

∴△A 1OB 1的外接圆直径为2.

9．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．

[答案] 99°

[解析] 连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得， ∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，

可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝1

2

(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.

[点评] 可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .

10．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，P AB 为割线，PC ＝4，PB ＝8，∠B ＝30°，则BC ＝

________.

[答案] 4 3

[解析] (1)由切割线定理 PC 2＝P A ·PB ， ∴P A ＝2，∠ACP ＝∠B ＝30°，

在△P AC 中，由正弦定理2sin30°＝4sin ∠P AC ，

∴sin ∠P AC ＝1，

∴∠P AC ＝90°，从而∠P ＝60°，∠PCB ＝90°， ∴BC ＝PB 2－PC 2＝82－42＝4 3.

11．(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等，设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos

α1

3cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33

＝____________.

[答案] －12

[解析] 如图，O 1、O 2、O 3为三个圆的圆心，A 1、A 2、A 3分别是每两个圆的交点，则∠A 1P A 2

＋∠A 2P A 3＋∠A 3P A 1＝1

2

(α1＋α2＋α3)＝2π，∴α1＋α2＋α3＝4π，

∴cos α13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α3

3

＝cos α1＋α2＋α33＝cos 4π

3＝cos ????π＋π3 ＝－cos π3＝－1

2

.

12．(2010·广东中山市四校联考)如图，P A 切圆O 于点A ，

割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．

[答案]

7

[解析] 由图可知，P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴P A ＝3，∴∠AOP ＝60°， 又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1， ∴cos ∠POD ＝22＋12－PD 22×2×1＝－1

2，∴PD ＝7.

三、解答题

13．(2010·南京市调研)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．

[解析] 连接OC .

设∠P AC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CP A ＝θ，∠COP ＝2θ. 又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC . 所以3θ＝90°.所以θ＝30°.

设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中， r ＝CP ·tan30°＝1×

33＝3

3

. 14．(2010·江苏盐城调研)如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．

[解析] 连结OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .

∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形，

∴∠CBO ＝∠COB ＝60°， 又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，

∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，

而∠OAC ＝∠ACO ＝1

2∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，

在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝1

2

AB ＝4.

15．(2010·辽宁实验中学)如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4，

(1)求PF 的长度．

(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度． [解析] (1)连结OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系， 结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝

∠AOC ，

又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ， 从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ， ∴

PF PC ＝PD

PO

， 由割线定理知PC ·PD ＝P A ·PB ＝12， 故PF ＝PC ·PD PO ＝124

＝3.

(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1，

所以OB 是圆F 的直径，且过P 点的圆F 的切线为PT ， 则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2.