第4章《利息和利率》习题与答案
第4 章利息和利率
一、本章重点
1. 马克思揭示了利息的本质，指出利息是剩余价值的转化形式，是利润的一部分。
2. 利率可按不同的标准进行划分: 比如以时间的长短，可划分为长期利率和短期利率；以物价的涨幅，可划分为实际利率和名义利率；以不同的计息标准，可划分为单利和复利，等等。连续复利。
3. 影响利率水平的因素主要有：资本的边际生产效率；货币供求；通货膨胀；货币政策；国民生
产总值；财政政策等。
4. 利率作为一种经济杠杆，在国民经济的稳定和发展中起着重要的调节作用。利率对资金的积
累、信用规模的调节、国民经济结构的调节和抑制通货膨胀等都有着不可忽视的作用。
5. 在经济运行中，利率的杠杆作用能否很好发挥，关键在于客观条件是否具备。
6. 西方经济学家对利率有各种理论分析。古典利率理论认为利率是由投资需求与储蓄意愿的均衡
所决定。可贷资金利率理论认为利率是由可贷资金的供求确定。其中最有影响力的是当代西方经济学家凯
恩斯提出的“流动性偏好说”，认为利息是在一特定时期内人们放弃周转流动性的报酬。
7. 利率的期限结构是指其他特征相同而期限不同的各债券利率之间的关系。预期理论、市场分割
理论和选择停留论是三种有代表性的利率期限结构理论。
二、难点释疑
1. 利息本质的论述，在西方经济学中和马克思主义的经济学中有不同的观点。西方经济学中对利息本质论述的代表人物及其观点有: 威廉·配第认为利息是因暂时放弃货币的使用权而获得的报酬：亚当·斯密认为借款人借款之后，可用于生产，也可用于消费，若用于生产，则利息来源于利润，若用于消费，则利息
来源于地租等；凯恩斯认为利息是在一定时期内放弃资金周转灵活性的报酬。但他们都没有真正认识到利
息的真实源泉，只有马克思才认识到利息的真实源泉，利息来源于利润，由劳动者创造的利润，这才是利
息的本质。
2. 到期收益率是指从债务工具上获得的报酬的现值与其今天的价值相等的利率，要从现值的角度
来考虑。不同种类的债务工具，到期收益率的计算公式不一样，但其思想是相同的。
3. 在历史上有影响的利率决定理论有三种：
1) 古典学派的储蓄投资理论，它是从储蓄和投资等实物因素来讨论利率的决定，认为利率的变动能够便储蓄和投资自动达到一致，从而使经济始终维持在充分就业水平。这一理论忽视了任何货币数量变动的影响，这是不恰当的，也不符合实际情况。
2) 凯恩斯学派的流动性偏好利率理论，认为货币影响利率，利率与实质因素、忍欲和生产率无关，利率是由货币的供给与货币的需求两个因素共同决定的。这一理论完全否定了实质因素的影响，这是不对的，也不符合实际。
3) 新古典学派的可贷资金利率理论，综合了前两者的观点，认为在利率决定问题上应同时考虑货币因素和实质因素，利率是借贷资金的价格，借贷资金的价格决定于金融市场上的资金供求关系。它弥补了古典利率理论的不足，把货币因素对利率的影响考虑了进去，所以叫新古典利率理论。
练习题
一、单项选择题
1. 利息是资金的() 。
A.价值
B. 价格
C.指标
D.水平
2. 利率是衡量利息高低的() 。
A.价值
B. 价格
C.指标
D.水平
3. 马克思经济学认为利息是()。
A. 劳动者创造的
B. 来源于地租
C.放弃货币流动性的补偿
D.放弃货币使用权的
报酬
4. 利率是一种重要的() 。
A. 经济杠杆
B. 政治手段
C.法制手段
D.经济措施
5. 我国利率目前是以() 为主。
A. 市场利率
B. 官定利率
C.浮动利率
D.长期利率
8. 西方国家一般以() 为基准利率。
A. 长期利率
B. 浮动利率
C.中央银行的再贴现利率
D.中央银行的再贷款利率
9. 我国目前是以() 为基准利率。
A. 长期利率
B. 浮动利率
C.中央银行的再贴现利率
D.中央银行的再贷款利率
10. 衡量利率最精确的指标通常是() 。
A. 存款利率
B. 贷款利率
C.到期收益率
D.基准利率
11. 我国发行的国库券经常采用() 计算利息。
A. 复利法
B. 单利法
C.到期收益率法
D.现值法
12. 我国的银行存款经常采用() 计算利息。
A. 复利法
B. 单利法
C.到期收益率法
D.现值法
13. 现值也叫() 。
A.贴现
B. 贴现值
C.贴现系数
D.终值
14. 我国主要实行的是() 利率政策。
A. 管制性
B. 放开性
C.市场性
D.计划性
15. 美国主要实行的是() 利率政策。
A. 管制性
B. 放开性
C.市场性
D.计划性
16. () 的出现，使利率管制越来越不适应经济发展的要求。
A. 金融创新
B. 双轨制
C.金融产品
D.金融工具
17. 期限相同的各种信用工具利率之间的关系是() 。
A. 利率的风险结构
B. 利率的期限结构
C.利率的信用结构
D.利率的补偿结构
18. 流动性偏好利率理论是指() 。
A. 古典利率理论
B. 凯恩斯学派的利率理论
C. 新古典的利率理论
D.可贷资金的利率理论
19. 定期定额的系列现金流叫()
A.年金
B. 现值
C.终值
D.复利
20. 信用的基本特征是()。
A．平等的价值交换B．无条件的价值单方面让渡
C．以偿还为条件的价值单方面转移D．无偿的赠予或援助
19．短期金融市场中具有代表性的利率是()，其他短期借贷利率通常比照此利率加一定的幅度来确定。A．存款利率B．贷款利率C．同业拆借利率D．国债利率20．下列哪项因素变动会导致利率水平上升()。A．投资需求减少B．居民储蓄增加C．中央银行收缩银根D．财政预算减少21．下列利率决定理论中，哪一理论强调投资与储蓄对利率的决定作用？()。A．马克思的利率理论B．流动偏好利率理论
C．可贷资金利率理论D．古典学派的真实利率理论22．期限相同的各种信用工具利率之间的关系是() 。A．利率的风险结构B．利率的期限结构
C．利率的信用结构D．利率的补偿结构
4. 某公司债券面值100 元，票面利率4%，若每季度计息一次，年终付息，按照复利计算其每年利息为() 。
A．4B．4.06C．16.98D ．4.04
5. 通常情况下，市场利率上升会导致证券市场行情() 。
A．看涨B．看跌C．看平D．以上均有可能
二、多项选择题
6. 利率可以表现为() 。
A. 存款利率
B. 贷款利率
C.购买证券的收益率
D.利息
E. 经济变量
7. 利率按期限可以分为() 。
A. 长期利率
B. 短期利率
C.固定利率
D.浮动利率
E. 存款利率
21. 利息的计算方法有() 。
A.单利法
B.复利法
C.现值法
D.终值法
E. 年金法
22. 下列属于年金的有() 。
A. 分期偿还贷款
B. 分期支付工程款
C.发放养老金
D.分期付款赊销
E.收到销售收入
23. 融资工具的类型有() 。
A.普通贷款类
B. 息票债券类
C.无息债券类
D.定期定额清偿贷款
E.贴现发行债券类
24. 决定利率水平的因素有() 。
A.平均利润率
B. 经济周期
C.通货膨胀
D.经济政策
E.均衡利率
25. 利率结构有() 。
A. 利率的风险结构
B. 利率的期限结构
C.利率的时间结构
D.利率的稳定结构
E.利率的波动结构
26. 利率对() 有影响。
A.消费
B. 投资
C.储蓄
D.物价
E.计划经济
27. 利率管理政策有() 。
A.管制性政策
B. 放开性政策
C.Q 号规则
D.1933 年法案
E. 临时利率调整法
28. 利率与期限的关系有() 。
A.利率与期限不发生关系
B. 利率是期限的增函数
C.利率是期限的减函数
D.利率受税收因素的影响
E. 利率受违约风险的影响
29. 利率的风险结构受() 影响。
A. 违约风险
B. 证券的流动性
C.税收因素
D.时间的长短
E. 预期利率
30. 按利率是否可以根据市场变化而变动，利率分为() 。
A. 市场利率
B. 官定利率
C.浮动利率
D.固定利率
E. 名义利率
31. 以借贷期内利率是否调整为标准，利率分为() 。
A. 市场利率
B. 官定利率
C.浮动利率
D.固定利率
E. 名义利率
32. 若考虑通货膨胀的因素，利率分为() 。
A. 市场利率
B. 官定利率
C.名义利率
D.实际利率
E. 固定利率
33. 可以作为基准利率的有() 。
A. 市场利率
B. 浮动利率
C.中央银行的再贴现利率
D.中央银行的再贷款利率
E.名义利率
34. 在经济生活中，()才是人们更应看重的。
A．实际利率B. 名义利率C.到期收益率D.官定利率E. 固定利率
35. 利率自由化会() 。
A. 加剧金融机构之间的竞争
B.促使借贷资金的有效分配
C.提高借贷资金的使用效益
D. 把资金到向最有利的途径
E. 使国家对利率不再有任何干预和影响。
36. 我国的存款利率是() 。
A．法定利率B．市场利率C．浮动利率D．固定利率E．名义利率
三、判断分析题
6. 一般来说，长期利率比短期利率高。
7. 浮动利率是指在借贷期内随市场利率的变化而自由变化利率。
8. 利率上升，债券价格上升；利率下降，债券价格也下降。
9. 到期收益率是指从证券上获得的报酬。
10. 在经济周期的危机阶段，由于生产过剩，商品积压，利率也下降。
11. 市场经济国家的利率政策是完全自由化的。
12. 利率对投资有重要的影响，利率越低越能激发投资热情。
13. 利率自由化是利率改革的趋势。
14. 在现实生活中，经常会出现利率随时间的延长而下降的势。
37. 利息来源于地租。
四、名词解释
15. 利息率2.基准利率3. 市场利率4.实际利率5.浮动利率6. 负利率
8. 优惠利率8. 到期收益率
五、简答题
1. 利率的风险结构受哪些因素的影响?
2. 名义利率和实际利率的关系。
六、论述题
1. 如何认识利息的本质?
2. 试述利率在现代经济生活中的作用。
3. 如何评价三种利率决定理论? 4．决定和影响利率水平的因素有哪些？
七、计算题
1．某人以900元的价格购买一张面额为1000元的1年期国库券，1年后按照1000 元的现值偿还。计算该债券的到期收益率与贴现收益率。
2．B公司在2001年2月1 日购买一张面额为1000元的债券，其票面利率为8%，每年2 月1日计算并支付一次利息，并于5年后的1月31日到期。该公司持有该债券至到期日。问：（1）当以1000 元的价格购买该债券时，计算其到期收益率；
（2 ）当以1105 元的价格购买该债券时，计算其到期收益率；
（3）当以900 元的价格购买该债券时，计算其到期收益率；
（4）比较以上三个计算结果，得出什么结论？（提示：根据债券是平价发行、溢价发行、折价发行，其到期收益率与票面利率的关系）
3. 某人于2000 年1 月1 日以120 元的价格购买了面值为100 元、利率为10%、每年1 月1 日支付一次利息的1999 年发行的10 年期国库券。
（1 ）若此人持有该债券到2001 年1 月1 日以125 元的价格卖出，则该债券的当期收益率是
多少？资本利得率是多少？持有期收益率是多少？三者有何关系？
（2 ）若此人持有该债券到2005 年1 月1 日以140 元的价格卖出，则该债券的持有期收益率
是多少？
4．某人于2004 年1 月5 日将5 万元存入商业银行，选择了2 年期的定期存款，将于2006 年
1 月份到期。但在2005 年1 月5 日由于急于购买住房，需要资金，鉴于定期存款未到期支取将视同活期存款，损失很多利息收入，因此，决定不将存款取出，而是先向商业银行申请1 年期贷款，然后等存款到期时归还。上述决定是否合理？试阐述你的理由。（2004 年1 月份2年期定期存款利率为2.25%，2005年1 月活期存款利率为%，2005年1 月份1年期贷款利率为5.58%）。
参考答案
、单项选择题
1. B
2.C
3.A
4.A
5.B
6.C
7.D
8.C
9.B10.B11.B12.A13.B14.A
15.A16.B17.A18 ．C19．C20．C21．D22．A23．B24．B 二、多项选择题
1. ABC
2.AB
3.AB
4.ABCD
5.ABCD
6.ABCD
7.AB
8.ABCD
9.AB10.ABC11.ABC
12.AB13.CD14.CD15.CD16.AC17.ABCD18．ACE
三、判断分析题
1. 正确。一般来说，期限越长的投资，未知因素越多，风险概率就越大，利率就越高; 期限
越短的投资，未知因素越少，利率就越低。
2. 错误。浮动利率是指在借贷期内随市场利率的变化而定期调整的利率，而并非自由变化，一般调整期为半年。
38. 错误。债券价格与利率成负相关的关系。利率上升，债券价格下降；利率下降，债券价格上升。
39. 错误。到期收益率是指从债务工具上获得的回报的现值与其今天的价值相等的利率，是用现值思想来考虑的。
40. 错误。经济周期影响利率水平的变化，在危机阶段，由于生产过剩，商品积压，物价下跌，工厂倒闭，工人失业，社会各方面对借贷资金的需求和对支付手段的需求极其强烈，但由于借贷风险的加大，而使借贷资金的供给量明显减少，造成利率大幅度上涨。
41. 错误。市场经济的国家虽然以市场为调节经济的主要手段，但并不是说没有政府的参与。以利率来说，虽说主要实行的是市场利率，利率随市场的变化而变化，但在不同时期、不同程度上都出现过政府管制的现象，并非完全自由化。
42. 错误。利率对投资有影响。一般来说，低利率有利于激发投资热情，但低利率也有一个限度，若利率太低，使投资者无利可图，这时的低利率对投资热情没有什么影响。
43. 正确。由于经济条件的变化，新的金融机构的出现，特别是金融创新的出现与深入，竞争日益加强，利率管制越来越不适宜经济的发展要求，各个国家分别放松了对利率的管制，形成了一股国际范围内的利率自由化倾向。
44. 错误。在现实生活中，最常见的现象是利率随时间的延长而呈递增的趋势，即时间越长，利率越高。相反则反。
45. 错误。利息是由劳动者创造的，来源于利润，是利润的一部分。
四、名词解释
16. 利息率：简称利率，是指一定时期内利息额与相应的借贷本金额的比率，即，利率=利息
额/ 本金额。
17. 基准利率：指在多种利率并存的条件下起决定作用的利率。在国外，通常以中央银行的再贴现利率为基准利率；在我国，基准利率指中国人民银行对商业银行的贷款利率。
18. 市场利率：指按市场规律自由变动、金融机构自主掌握的利率。
19. 实际利率：指根据已知的名义利率和通货膨胀率推算的结果，反映实际获利的水平。
20. 浮动利率：指在借贷期间，可以根据市场变化情况对利率进行相应调整的利率管理方式。
21. 负利率：指名义利率低于通货膨胀率，使实际利率小于零的情况。
22. 优惠利率：指在信用放款时，低于一般利率的利率。优惠利率一般提供给信誉好、经营状况好且有良好发展前景的借款人。
23. 到期收益率是指从债务工具上获得的报酬的现值与其今天的价值相等的利率，要从现值的角度来考虑。
五、简答题
9. 影响利率结构风险的因素有: 违约风险、证券的流动性、证券利息收人的纳税情况等。
10. 在经济生活中，看是否考虑了通货膨胀的因素，利率可分为名义利率和实际利率。名义利率是指借贷契约上写明的利率，而实际利率是指名义利率减去通货膨胀率。实际利率才是人们更应看重的。
六、论述题
3. 关于利息本质的论述，在西方经济学中和马克思主义的经济学中有不同的观点。西方经济学中对利息本质论述的代表人物及其观点有: 威廉·配第认为利息是因暂时放弃货币的使用权而获得的报酬; 亚当·斯密认为借款人借款之后，可用于生产，也可用于消费，若用于生产，则利息来源于利润，若用于消费，则利息来源于地租等; 凯恩斯认为利息是在一定时期内放弃资金周转灵活性的报酬。但他们都没有真正认识到利润的真实源泉。只有马克思才认识到利息的真实源泉，利息来源于利润，由劳动者创造的利润，这才是利息的本质。
4. 利率作为一种重要的经济杠杆，对宏观经济和微观经济运行都有极其重要的调节作用。适当的利率可以促进消费基金转化为生产资金，增加建设资金的力量; 可以促进企业降低成本，改善经营管理; 调节储蓄和消费的关系，有利于投资和经济的发展。
5. 在历史上有影响的利率决定理论有三种: 古典学派的储蓄投资理论，它是从储蓄和投资等
实物因素来讨论利率的决定，认为利率的变动能够便储蓄和投资自动达到一致，从而使经济始终维持在充分就业水平。这一理论忽视了任何货币数量变动的影响，这是不恰当的，也不符合实际情况。凯恩斯学派的流动性偏好利率理论，认为货币影响利率，利率与实质因素、忍欲和生产率无关，利率是由货币的供给与货币的需求两因素共同决定的，这一理论完全否定了实质因素的影响，也是不对的，不符合实际。新古典学派的可贷资金利率理论，综合了前两者的观点，认为在利率决定问题上应同时考虑货币因素和实质因素，利率是借贷资金的价格，借贷资金的价格决定于金融市场上的资金供求关系，它弥补了古典利率理论的不足，把货币因素对利率的影响考虑了进去，所以叫新古典利率理论。
4．（1）平均利润率。理论上贷款利率不应超过社会平均利润率
（2）银行成本。要保持合理的利差，银行才有利润可赚。
（3）通货膨胀预期。在预期通货膨胀率上升期间，利率水平有很强的上升趋势；而当预期通货膨胀率下降时，利率水平也将下降。
（4）中央银行政策。中央银行运用某些政策工具通过银行影响可供贷款。当中央银行想要刺激经济时，将采取措施以鼓励银行增加可供贷款数量时，利率下降。中央银行要限制经济活动时，将采取迫使银行收回贷款的措施，利率上升。
（5）商业周期。利率的波动表现出很强的周期性，在商业周期扩张阶段上升而在经济紧缩阶段下降。
（6）借贷资金供求状况。在利率市场化条件下，市场利息率一般是在借贷资金市场上由资金的供求双方协商确定。供大于求，利率低；反之，利率高。
（7 ）政府预算赤字。如果其他因素不变，政府预算赤字增加则利率上升。
（8 ）国际利率水平。通过两条渠道实现：一是国际信贷渠道；二是国际贸易渠道。
七、计算题
1000 1000900
900 i 46.% 1．（1）到期收益率i 1i 900
1000900360
i d 24.%
（2 ）贴现收益率1000365
2．每年应计利息I=1000 × 8%=80
（1 ）以1000 元价格购买该债券，到期收益率为i ，
80808080801000
1000 23455
1i（1i）（1i）（1i ）（1i）（1i）
5
801000
t5
1
t（1i ）（1i ）
解该方程要用试错法，先用8%试算：等式右边=1000=左边，可见，平价发行的债券，到期收益率=票面利率。
（2）买价为1105 时，通过前面的试算已知，i=8%时等式右边为1000 元，小于1105 ，可判断收益率低于8%,降低贴现率进一步试算：
用i=4%试算：等式右边=1178、16，贴现结果高于1105，可判断收益率高于4%。用内插法计算：
R4%11051178.16
8%4%10001178.16R=5、6%
（3）买价为900 时，i=8%时等式右边为1000 元，大于900 ，可判断收益率高于8%，提高贴现率进一步试算：
用i=12%试算：等式右边=855、78，贴现结果低于900，可判断收益率低于12%。用内插法计算：
12%R855.78900
12%8%855.781000R=10、8%
（4 ）结论：对于每年付息一次的债券，附息债券的价格与到期收益率负相关。
（1 ）当附息债券的价格与面值相等时，到期收益率等于息票率。
数学必修2 直线与方程典型 例题
第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°， 得到直线，则的倾斜角为（）。 A. B. C. D. 当0°≤α＜135°时为，当135°≤α＜180°时，为 题型二求直线的斜率 例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练：已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值. 题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）. A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2
拓展一三点共线问题 例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 变式训练: 若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）. A． B． C． D． 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 变式训练： 已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.
拓展三利用斜率求最值 例 6 已知实数、满足当2≤≤3时，求的最大值与最小值。 变式训练：利用斜率公式证明不等式：且 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）： 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？ 变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（）. A．4 B．1 C．1或3 D．1或4
信号与系统期末考试试题(有答案的)
信号与系统期末考试试题 一、选择题（共10题，每题3分 ，共30分，每题给出四个答案，其中只有一个正确的） 1、 卷积f 1(k+5)*f 2(k-3) 等于 。 （A ）f 1(k)*f 2(k) （B ）f 1(k)*f 2(k-8)（C ）f 1(k)*f 2(k+8)（D ）f 1(k+3)*f 2(k-3) 2、 积分 dt t t ? ∞ ∞ --+)21()2(δ等于 。 （A ）1.25（B ）2.5（C ）3（D ）5 3、 序列f(k)=-u(-k)的z 变换等于 。 （A ） 1-z z （B ）-1-z z （C ）11-z （D ）1 1--z 4、 若y(t)=f(t)*h(t),则f(2t)*h(2t)等于 。 （A ） )2(41t y （B ）)2(21t y （C ）)4(41t y （D ）)4(2 1 t y 5、 已知一个线性时不变系统的阶跃相应g(t)=2e -2t u(t)+)(t δ,当输入f(t)=3e —t u(t)时，系 统的零状态响应y f (t)等于 （A ）(-9e -t +12e -2t )u(t) （B ）(3-9e -t +12e -2t )u(t) （C ）)(t δ+(-6e -t +8e -2t )u(t) （D ）3)(t δ +(-9e -t +12e -2t )u(t) 6、 连续周期信号的频谱具有 （A ） 连续性、周期性 （B ）连续性、收敛性 （C ）离散性、周期性 （D ）离散性、收敛性 7、 周期序列2)455.1(0 +k COS π的 周期N 等于 （A ） 1（B ）2（C ）3（D ）4 8、序列和 ()∑∞ -∞ =-k k 1δ等于 （A ）1 (B) ∞ (C) ()1-k u (D) ()1-k ku 9、单边拉普拉斯变换()s e s s s F 22 12-+= 的愿函数等于 ()()t tu A ()()2-t tu B ()()()t u t C 2- ()()()22--t u t D 10、信号()()23-=-t u te t f t 的单边拉氏变换()s F 等于 ()A ()()()232372+++-s e s s ()() 2 23+-s e B s
数学必修2---直线与方程典型例题(精)
第三章 直线与方程 ３.1 直线的倾斜角与斜率 3.１．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 １.直线的倾斜角: ２.直线的斜率: 3.直线的斜率公式: 【典型例题】 题型 一 求直线的倾斜角 例 １ 已知直线l 的斜率的绝对值等于3,则直线的倾斜角为（ ). Ａ. 6０° B ． ３０° Ｃ. 60°或120° D. ３0°或１50° 变式训练： 设直线l 过原点,其倾斜角为α,将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转4５°,得到直线1l ,则 1l 的倾斜角为( ）。 A. 45α+? B ． 135α-? C. 135α?- Ｄ. 当0°≤α＜1３5°时为45α+?,当１3５°≤α＜1８0°时,为135α-? 题型 二 求直线的斜率 例 ２如图所示菱形ＡBCD 中∠BAD =6０°，求菱形A ＢＣD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练： 已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°,求实数m 的值. 题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系 例３右图中的直线l １、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ）. A .k 1＜k 2<ｋ3? Ｂ． ｋ3 变式训练: 若三点P (2，3)，Q （3,a ),R (4，b )共线,那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B.1b a -= C.23a b -= D.23a b -= 拓展 二 与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- ３) , B (3, 0) ,过点Ｐ （-1， ２）的直线l 与线段AB 始终有公共点,求直线l 的斜率k 的取值范围. 变式训练: 已知(2,3),(3,2)A B ---两点,直线l 过定点(1,1)P 且与线段ＡＢ相交,求直线l 的斜率k 的取值范围. 拓展 三 利用斜率求最值 例 6 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x 的最大值与最小值。 变式训练： 利用斜率公式证明不等式:(0a m a a b b m b +><<+且0)m > 3.1.２ 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 《信号与系统》复习题 1． 已知f(t)如图所示，求f(-3t-2)。 2． 已知f(t)，为求f(t0-at)，应按下列哪种运算求得正确结果？（t0和a 都为正值） 3．已知f(5-2t)的波形如图，试画出f(t)的波形。 解题思路：f(5-2t)?????→?=倍 展宽乘22/1a f(5-2×2t)= f(5-t) ??→?反转f(5+t)??→?5 右移 f(5+t-5)= f(t) 4．计算下列函数值。 （1） dt t t u t t )2(0 0--?+∞ ∞-） （δ （2） dt t t u t t )2(0 --?+∞ ∞-） （δ （3） dt t t e t ?+∞ ∞ --++）（2)(δ 5．已知离散系统框图，写出差分方程。 解：2个延迟单元为二阶系统，设左边延迟单元输入为x(k) 左○ ∑:x(k)=f(k)-a 0*x(k-2)- a 1*x(k-1)→ x(k)+ a 1*x(k-1)+ a 0*x(k-2)=f(k) (1) 右○ ∑: y(k)= b 2*x(k)- b 0*x(k-2) (2) 为消去x(k)，将y(k)按（1）式移位。 a 1*y(k-1)= b 2* a 1*x(k-1)+ b 0* a 1*x(k-3) (3) a 0*y(k-2)= b 2* a 0*x(k-2)-b 0* a 0*x(k-4) (4) (2)、（3）、（4）三式相加：y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b 2*[x(k)+ a 1*x(k-1)+a 0*x(k-2)]- b 0*[x(k-2)+a 1*x(k-3)+a 0*x(k-4)] ∴ y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b 2*f(k)- b 0*f(k-2)═>差分方程 6．绘出下列系统的仿真框图。 )()()()()(10012 2t e dt d b t e b t r a t r dt d a t r dt d +=++ 7．判断下列系统是否为线性系统。 （2） 8．求下列微分方程描述的系统冲激响应和阶跃响应。 )(2)(3)(t e dt d t r t r dt d =+ 考点1：倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 例1例1. 若θ为三角形中最大内角，则直线0tan :=++m y x l θ的倾斜角的范围是（ ） A.??? ?????? ??32,22,0πππ B.??? ?????? ??32223ππππ，， C.??? ?????? ??πππ，，330 D.?? ? ?????? ??πππ，，3220 2 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．,63ππ?????? B ．,62ππ?? ??? C ．,32ππ?? ??? D ．,62ππ?????? （二）直线的斜率及应用 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例2、设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++= 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3．已知直线l 则直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 4．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -= 5．右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2 6．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ . 7．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 8．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围. 9、直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 考点2：求直线的方程 例3. 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 2、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是（ ）A. x ＋y －5＝0 B. 2x －y －1＝0 C. 2y －x －4＝0 D. 2x ＋y －7＝0 3、直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线方程为________． 4、过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_____________． 5、已知点A (2，－3)是直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0与直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点，则经过两个不同点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x －3y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0 C ．2x －3y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0 6、.过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)的距离相等的直线方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0 7.如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半轴于A 、B 两点。（1）当⊿AOB 信科0801《信号与系统》复习参考练习题一、单项选择题： 14、已知连续时间信号,) 2(100)2(50sin )(--=t t t f 则信号t t f 410cos ·)(所占有的频带宽度为（） A ．400rad ／s B 。200 rad ／s C 。100 rad ／s D 。50 rad ／s f如下图（a）所示，其反转右移的信号f1(t) 是（） 15、已知信号)(t f如下图所示，其表达式是（） 16、已知信号)(1t A、ε（t）＋2ε(t－2)－ε(t－3) B、ε(t－1)＋ε(t－2)－2ε(t－3) C、ε(t)＋ε(t－2)－ε(t－3) D、ε(t－1)＋ε(t－2)－ε(t－3) 17、如图所示：f（t）为原始信号，f1(t)为变换信号，则f1(t)的表达式是（） A、f(－t+1) B、f(t+1) C、f(－2t+1) D、f(－t/2+1) 18、若系统的冲激响应为h(t),输入信号为f(t),系统的零状态响应是（ ） 19。信号)2(4sin 3)2(4cos 2)(++-=t t t f π π 与冲激函数)2(-t δ之积为（ ） A 、2 B 、2)2(-t δ C 、3)2(-t δ D 、5)2(-t δ ，则该系统是（）＞－系统的系统函数．已知2]Re[,6 51)(LTI 202s s s s s H +++= A 、因果不稳定系统 B 、非因果稳定系统 C 、因果稳定系统 D 、非因果不稳定系统 21、线性时不变系统的冲激响应曲线如图所示，该系统微分方程的特征根是（ ） A 、常数 B 、 实数 C 、复数 D 、实数+复数 22、线性时不变系统零状态响应曲线如图所示，则系统的输入应当是（ ） A 、阶跃信号 B 、正弦信号 C 、冲激信号 D 、斜升信号 12.连续信号 )(t f 与)(0t t -δ的乘积，即=-)()(0t t t f δ（ ）. A. )()(00t t t f -δ B. )(0t t f - C. )(t δ D. )()(0t t f δ 13.已知系统响应 ()y t 与激励()f t 的关系为（ ） 2(51)()()5()[()]t y t ty t y t f t '''-++=则该系统是( )系统。 A. 线性非时变 B. 非线性非时变 C. 线性时变 D. 非线性时变 14. 下列系统那个是因果、线性、时不变的连续系统( )。 A ．)()(2)(3)(t f t y t y t y '=+'+'' B. )()()(3)(t f t f t y t y ='+'' C ． )()()(3)(t f t ty t y t y =+'+'' D ． )(2)1(3)(t f t y t y =+-'+'' 15.若对连续时间信号进行频域分析，则需对该信号进行（ ）. A. LT B. FT C. Z 变换 D. 希尔伯特变换 16.)()52(t e t j ε+-的频谱函数为（ ） A. ωj e j 521- B. ωj e j 521+ C. j )5(21 ω++ D. j )5(21 ω++- 17.若收敛坐标落于原点，S 平面有半平面为收敛区，则（ ） A. 该信号是有始有终信号 B. 该信号是按指数规律增长的信号 C. 该信号是按指数规律衰减的信号 D. 该信号的幅 度既不增长也不衰减而等于稳定值，或随时间n t t ，成比例增长的信号 18. ) 22(3 )(2 +++= s s s s s F ，则根据终值定理有=∞)(f （ ） A. 0 B. 1.5 C. ∞0 D. 1 第三章直线与方程 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角与斜率 设直线I斜率为k且1 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0, 2 5)，试判断^与12是否平行？ 2 变式训练：经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，贝U m的值是(). A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A的坐标. 变式训练：(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2，-1 )、Q (3，-6)，问h与12是否垂直？ (2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3)，直线S经过点C (2，3)、D (-1，a-2) (1)如果I1//I2，则求a的值；(2)如果11丄12，则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状. 《信号与系统》复习题 1．已知 f(t) 如图所示，求f(-3t-2) 。 2．已知 f(t) ，为求 f(t0-at) ，应按下列哪种运算求得正确结果？（t0 和 a 都为正值） 3．已知 f(5-2t) 的波形如图，试画出f(t) 的波形。 解题思路：f(5-2t)乘a 1 / 2展宽 2倍f(5-2 × 2t)= f(5-t) 反转 右移 5 f(5+t) f(5+t-5)= f(t) 4．计算下列函数值。 （ 1） （ 2） （ t ） t 0 )dt t 0 u(t 2 （t t 0）u(t 2t 0 )dt （ 3） (e t t ) （t 2）dt 5．已知离散系统框图，写出差分方程。 解： 2 个延迟单元为二阶系统，设左边延迟单元输入为 x(k) ∑ 0 1 1) → 左○ :x(k)=f(k)-a *x(k-2)- a*x(k- x(k)+ a 1*x(k-1)+ a 0*x(k-2)=f(k) (1) ∑ y(k)= b 2*x(k)- b 0*x(k-2) (2) 右○ : 为消去 x(k) ，将 y(k) 按（ 1）式移位。 a 1*y(k-1)= b 2 * a 1*x(k-1)+ b * a 1*x(k-3) (3) a 0*y(k-2)= b 2 * a 0*x(k-2)-b 0* a 0*x(k-4) (4) (2) 、（ 3）、（ 4）三式相加： y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b *[x(k)+ a 1 *x(k-1)+a *x(k-2)]- b *[x(k-2)+a 1*x(k-3)+a *x(k-4)] 2 0 0 0 ∴ y(k)+ a 1 *y(k-1)+ a *y(k-2)= b 2 *f(k)- b *f(k-2) ═ >差分方程 第三章 直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即k=tan α。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180 ,90∈α时，0 模拟试题一及答案 一、（共20分，每小题5分）计算题 1.应用冲激函数的性质，求表示式25()t t dt δ∞ -∞?的值。 2．一个线性时不变系统，在激励)(1t e 作用下的响应为)(1t r ，激励)(2t e 作用下的响应为)(2t r ，试求在激励1122()()D e t D e t +下系统的响应。 （假定起始时刻系统无储能）。 3．有一LTI 系统，当激励)()(1t u t x =时，响应)(6)(1t u e t y t α-=,试求当激励())(23)(2t t tu t x δ+=时，响应)(2t y 的表示式。（假定起始时刻系统无储能）。 4．试绘出时间函数)]1()([--t u t u t 的波形图。 二、（15分，第一问10分，第二问5分）已知某系统的系统函数为25 ()32 s H s s s +=++，试 求（1）判断该系统的稳定性。（2）该系统为无失真传输系统吗？ 三、（10分）已知周期信号f (t )的波形如下图所示，求f (t )的傅里叶变换F (ω)。 四、（15分）已知系统如下图所示，当0 1)0('=-f 。试求： （1）系统零状态响应；（2）写出系统函数，并作系统函数的极零图；（3）判断该系统是否为全通系统。 六． （15分，每问5分）已知系统的系统函数()2 105 2+++=s s s s H ，试求：（1）画出直 接形式的系统流图；（2）系统的状态方程；（3）系统的输出方程。 一、（共20分，每小题5分）计算题 1.解:25()500t t dt δ∞ -∞=?=? 2．解: 系统的输出为1122()()D r t D r t + 3．解: ()()t t u t u t dt -∞?=?， ()()d t u t dx δ= ，该系统为LTI 系统。 故在()t u t ?激励下的响应126()6()(1)t t t y t e u t dt e ααα ---∞ =?=--? 在()t δ激励下的响应2 2 ()(6())6()6()t t d y t e u t e u t t dx αααδ--==-+ 在3()2()tu t t δ+激励下的响应1818 ()12()12()t t y t e e u t t αααδαα --=--+。 4 二、（10分）解:（1） 21255 ()32(2)(1)1,s s H s s s s s s s ++= = ++++∴=-=-2,位于复平面的左半平面 所以,系统稳定. (2) 由于6 ()(3)4) j H j j j ωωωω+= ≠+常数＋（，不符合无失真传输的条件，所以该系统不能对 输入信号进行无失真传输。 三、（10分） 直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 基础卷 一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是 （A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α （C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为 （A ）3 （B ）－3 （C ）33 （D ）－3 3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是 （A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4 3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为 （A ）4π （B ）54π （C ）4π或54 π （D ）－4π 5．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α=－5 4，则直线l 的斜率为 信号与系统 习题 1 一、填空题 1.离散信号()2()k f k k ε=，则该信号的单边Z 变换为 ① 。 2.信号()f t 的傅里叶变换为()F j ω，则(23)f t -的傅里叶变换为 ① 。 3.已知周期信号()cos(230)sin(4+60)f t t t =++，则其周期为 ① s ，基波频率为 ② rad/s 。 4、已知)(1t f 和)(2t f 的波形如下图所示，设)()()(21t f t f t f *=，则=-)1(f ① ， =)0(f ② 。 5、单边拉氏变换()) 4(2 2 += s s s F ，其反变换()=t f ① 。 6、一离散系统的传输算子为2 3)(22+++=E E E E E H ，则系统对应的差分方程为 ① ， 单位脉冲响应为 ② 。 二、单项选择题 1. 下列说法不正确的是______。 A. 每个物理系统的数学模型都不相同。 B. 同一物理系统在不同的条件下，可以得到不同形式的数学模型。 C. 不同的物理系统经过抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的数学模型。 D. 对于较复杂的系统，同一系统模型可有多种不同的数学表现形式。 2. 周期信号f (t )的傅立叶级数中所含有的频率分量是______。 A. 余弦项的奇次谐波，无直流 B. 正弦项的奇次谐波，无直流 C. 余弦项的偶次谐波，直流 D. 正弦项的偶次谐波，直流 3. 当周期矩形信号的脉冲宽度缩小一半时，以下说确的是_____。 A. 谱线间隔增加一倍 B. 第一个过零点增加一倍 C. 幅值不变 D. 谱线变成连续的 4. 图3所示的变化过程，依据的是傅立叶变换的_____。 图3A. 时移性 B. 频移性 C. 尺度变换 D. 对称性 5. 对抽样信号进行恢复，需将信号通过_____。 A. 理想带通滤波器 B. 理想电源滤波器 C. 理想高通滤波器 D. 理想低通滤波器 6. 连续周期信号的频谱有_____。 A. 连续性、周期性 B. 连续性、收敛性 C. 离散性、周期性 D. 离散性、收敛性 7. 若对)(t f 进行理想取样，其奈奎斯特取样频率为s f ，对)231 (-t f 进行取样，其奈奎斯 特取样频率为_____。 A. 3s f B. s f 31 C. 3(s f －2) D. )2(3 1 -s f 8. 信号f (t )变成)12 1 (+t f 的过程为_____。 A. 先将f (t )的图形向左移一个单位，再时间上展宽1/2倍 B. 先将f (t )的图形向左移一个单位，再时间上展宽1/2倍 C. 先将f (t )的图形向左移一个单位，再时间上展宽1/2倍 D. 先将f (t )的图形向左移一个单位，再时间上展宽1/2倍 9. 下列傅里叶变换性质中错误的是_____。 A. 时间与频率标度)(1 )(ω? F a at f F B. 时移特性)()(00ω-ω-?F e t t f t j F C. 频移特性)()(00ω-ω?ωF t f e F t j (b ) ω (ω)ω π 2πτ4πτ (d )2π τ － 4πτ － o －π ?(b ) (a ) －1 必修二 第一章 空间几何体 知识点： 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3= 3、球的体积公式：33 4 R V π= ，球的表面积公式：24 R S π= 4、柱体h s V ?=，锥体h s V ?=31，锥体截面积比：22 2 1 21h h S S = 5、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积； l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积： l r S ??=π侧面 典型例题： ★例1：下列命题正确的是( ) Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形 Ｂ.棱锥的底面一定是三角形 Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 ★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A 21 倍 B 42倍 C 2倍 D 2倍 ★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（ ） Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱 Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱 Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱 ★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A ．28cm π B 2 12cm π. C 216cm π． D ．220cm π 二、填空题 ★例1：若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________． ★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识点： 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简 称线线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简 称线面平行，则面面平行）。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称 面面平行，则线线平行）。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和 这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 （简称线线垂直，则线面垂直）。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直， 第三章直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ① 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即 k=tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,α=0°,k = tan0 =0;° 当直线 l 与 x 轴垂直时 ,α= 90k°不,存在 . 当0,90时， k0 ；当90 ,180时， k0；当90 时，k不存在。 例 .如右图，直线l 1的倾斜角 =30°，直线 l1⊥ l 2，求直线 l1和 l2的斜率 . y 解： k1=tan30° =3∵ l1⊥ l2∴ k1· k2 =— 1l 1 3 ∴ k2 =—32x 1 例：直线 x 3 y50 的倾斜角是()o l2 °°°° ②过两点 P1 (x1， y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式： k y2y 1 ( x1x 2 ) x2x1 注意下面四点： (1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与 P1、 P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 例 .设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)， 当 (1) l / / l 2(2) l⊥l时分别求出 m 的值 111 ※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。 3. 直线方程 ① 点斜式：y y1k( x x1 )直线斜率k，且过点x1, y1 注意：当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都 一、选择题： 1．直线 x- 3 y+6=0 的倾斜角是（ ） A 60 B 120 C 30 0 D 150 2. 经过点 A(-1,4), 且在 x 轴上的截距为 3 的直线方程是（ ） A x+y+3=0 B x-y+3=0 C x+y-3=0 D x+y-5=0 3．直线 (2m 2+m-3)x+(m 2 -m)y=4m-1 与直线 2x-3y=5 平行，则的值为（ ） A- 3 或1 B1 C- 9 D - 9 或 1 2 8 8 4．直线 ax+(1-a)y=3 与直线 (a-1)x+(2a+3)y=2 互相垂直，则 a 的值为（ ） A -3 B 1 C 0 3 D 1 或-3 或- 2 5．圆（ x-3 ） 2+(y+4) 2 =2 关于直线 x+y=0 对称的圆的方程是（ ） A. (x+3) 2 +(y-4) 2 =2 B. (x-4) 2 +(y+3) 2=2 C .(x+4) 2 +(y-3) 2=2 D. (x-3) 2 +(y-4) 2=2 6、若实数 x 、y 满足 ( x 2) 2 y 2 3，则 y 的最大值为（ ） x A. 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 3 7．圆 (x 1) 2 ( y 3) 2 1 的切线方程中有一个是 A ． x －y ＝0 B ．x ＋ y ＝0 C ．x ＝0 D ． y ＝0 8．若直线 ax 2 y 1 0 与直线 x y 2 0 互相垂直，那么 a 的值等于 A ． 1 B ． 1 C 2 D ． 2 3 ． 3 9．设直线过点 (0, a), 其斜率为 1，且与圆 x 2 y 2 2 相切，则 a 的值为 （ ） Ａ． 4 Ｂ． 2 2 Ｃ． 2 Ｄ． 2 10． 如果直线 l 1 ,l 2 的斜率分别为二次方程 x 2 4x 1 0 的两个根，那么 l 1 与 l 2 的夹角为（ A ． B ． 4 C ． D ． 3 6 8 11．已知 M {( x, y) | y 9 x 2 , y 0}， N {( x, y) | y x b} ，若 M I N b A ．[ 3 2,3 2] B ． ( 3 2,3 2) （ ） （ ） ） ，则 （ ） C ． ( 3,3 2] D ． [ 3,3 2]直线与方程(经典例题)
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