高考函数大题训练高三
高考函数大题训练
一．解答题（共13小题）
1．已知函数f（x）=．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线程；
（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．
2．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值围．
3．已知函数．
（1）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（0，1）有极值，试求a的取值围．
4．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x（a∈R），直线l：是曲线y=f（x）的一条切线．
（1）求a的值；
（2）设函数g（x）=xe x﹣2x﹣f（x﹣a）﹣a+2，证明：函数g（x）无零点．5．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的定义域的极值点的个数；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，数b的最大值．
6．已知函数，a∈R．
（1）试讨论函数f（x）极值点个数；
（2）当﹣2＜a＜ln2﹣2时，函数f（x）在[1，+∞）上最小值记为g（a），求g （a）的取值围．
7．已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x2﹣（2a+1）x+（a+1）lnx．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；
（2）当a≥1时，求证：程f（x）=g（x）有唯一实根．
8．已知函数f（x）=klnx﹣1+，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y 轴垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）＞ax 对0＜x＜1恒成立，数a的取值围．
9．函数f（x）=ax2﹣（1+a）x+lnx（a≥0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，程f（x）=mx在区间[1，e2]有唯一实数解，数m的取值围．10．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞0时，f（x）≥x2恒成立，数a的取值围．
11．已知函数f（x）=2lnx﹣ax2（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）的图象始终在函数g（x）=2x3图象的下，数a的取值围．12．已知函数f（x）=﹣ax+（a﹣1）lnx，其中a＞2．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，恒有，求a的取值围．13．已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线x﹣y﹣1﹣ln2=0相切，数a的值；（Ⅱ）若不等式（x+1）f（x）≤lnx﹣在定义域恒成立，数a的取值围．
高考函数大题训练
参考答案与试题解析
一．解答题（共13小题）
1．已知函数f（x）=．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线程；
（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．
【解答】解：（1）=﹣．
∴f′（0）=2，即曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=2，
∴曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线程程为y﹣（﹣1）=2x．
即2x﹣y﹣1=0为所求．
（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，
可得=﹣．
令f′（x）=0，可得，
当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，
注意到a≥1时，函数g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1＞0
函数g（x）的图象如下：
∵a≥1，∴，则≥﹣e，
∴f（x）≥﹣e，
∴当a≥1时，f（x）+e≥0．
2．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x的导数为
f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x．
由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，
解得a=1；
（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x=（x﹣2）（ax﹣1）e x，若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．x=2处f（x）取得极大值，不符题意；
若a＞0，且a=，则f′（x）=（x﹣2）2e x≥0，f（x）递增，无极值；
若a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，
可得f（x）在x=2处取得极小值；
若0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；
若a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意．
综上可得，a的围是（，+∞）．
3．已知函数．
（1）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（0，1）有极值，试求a的取值围．
【解答】解：（1）求导，f′（x）=﹣a（1﹣）=，
当a≤0时，对于?x∈（0，+∞），e x﹣ax＞0恒成立，
∴f′（x）＞0，x＞1；
f′（x）＜0，0＜x＜1，
∴单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；
（2）若f（x）在（0，1）有极值，则f′（x）=0在x∈（0，1）有解，
令f′（x）=0，e x﹣ax=0，a=，
设g（x）=，x∈（0，1），则g′（x）=，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0恒成立，
g（x）单调递减，又g（1）=e，
又当x→0时，g（x）→∞，即g（x）在（0，1）上的值域为（e，+∞），∴当a＞e时，f′（x）=0，
设H（x）=e x﹣ax，则H′（x）=e x﹣a，x∈（0，1），