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2019年高考数学总复习专题正弦定理和余弦定理导学案理

2019年高考数学总复习专题正弦定理和余弦定理导学案理
2019年高考数学总复习专题正弦定理和余弦定理导学案理

第七节 正弦定理和余弦定理

最新考纲

1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.

2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 知识梳理

1．正弦定理和余弦定理

C

(1)S ＝1

2a ·h a (h a 表示边a 上的高)；

(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1

2bc sin A ；

(3)S ＝1

2r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．

4. 三角形中的常见结论 (1) A ＋B ＋C ＝π，变形：

A ＋

B 2＝

π

2－C

2

. (2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B

a>b

sinA>sinB.

(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(4)在三角形中有：s in 2A ＝sin 2B ?A ＝B 或2A+2B=π ?三角形为等腰或直角三角形； （5）三角形中的三角函数关系：

sin(A ＋B )＝sin C ； cos(A ＋B )＝－cos C ；sin A ＋B

2＝cos C 2； cos A ＋B 2＝sin C

2

. 典型例题

考点一 正弦定理解三角形

【例1】 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c. 【答案】当A ＝60°时，C ＝75°，c ＝

6＋22；当A ＝120°时，C ＝15°，c ＝6－2

2

. 【解析】由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，即3sinA ＝2sin45°， ∴ sinA ＝3

2.

∵ a>b ，∴ A ＝60°或A ＝120°.

当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsinC sinB ＝6＋2

2；

当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝

bsinC sinB ＝6－2

2

. 规律方法 正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用. 【变式训练1】在△ABC 中，

(1) 若a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，则b ＝________． (2) 若b ＝3，c ＝2，C ＝45°，则a ＝________． (3) 若AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，则∠A＝________． 【答案】(1) 2 2.(2) 无解．(3) ∠A ＝45°或135°.

【解析】(1) 已知两角和一边只有一解，由∠B＝30°，∠C ＝105°，得∠A＝45°.由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝4sin30°

sin45°

＝2 2. (2) 由正弦定理得sinB ＝bsinC C ＝3

2>1，∴ 无解．

(3) 由正弦定理BC sinA ＝AB sinC ，得6sinA ＝312，∴ sinA ＝2

2

.

∵ BC>AB ，∴ A>C ，∴ ∠A ＝45°或135°. 考点二 余弦定理解三角形

【例2】 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b

2a ＋c

.

(1) 求角B 的大小；

(2) 若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 【答案】(1) B ＝23π.(2) S △ABC ＝33

4

.

规律方法 (1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．

(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．

【变式训练2】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π

3.

(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；

(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 【答案】(1) a ＝2，b ＝2. (2) S ＝23

3

.

【解析】(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2

＋b 2

－ab ＝4. 因为△ABC 的面积等于3，所以1

2

absinC ＝3，得ab ＝4.

联立方程组?

????a 2

＋b 2

－ab ＝4，

ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.

(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA. 当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝23

3.

当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，

联立方程组?

????a 2

＋b 2

－ab ＝4，b ＝2a ， 解得a ＝233，b ＝43

3.

所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝23

3.

考点三 三角形形状的判定

【例3】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

【答案】 B

【解析】 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2

A ，∴sin(

B ＋

C )＝sin 2

A ，即sin A ＝sin 2

A .又sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．

【题点发散1】 本例条件变为若a b ＝

cos B

cos A

，判断△ABC 的形状．

【答案】△ABC 为等腰三角形或直角三角形．

【解析】 由a b ＝cos B cos A ，得sin A sin B ＝cos B

cos A

，

∴sin A cos A ＝cos B sin B ，∴sin2A ＝sin2B . ∵A 、B 为△ABC 的内角，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π

2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．

【题点发散2】 本例条件变为若a ＝2b cos C ，判断△ABC 的形状． 【答案】三角形定是等腰三角形．

【解析】法一：因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得，a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab

，整理得b 2＝c 2

，则此三角形一定

是等腰三角形．

法二：∵sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin(B －C )＝0，∵－π

B ＝

C ，则此三角形定是等腰三角形．

【题点发散3】 本例条件变为若c b

【解析】 依题意得sin C

sin B

即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0.

所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形． 规律方法 利用正、余弦定理判定三角形形状的技巧

(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.

注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. 【变式训练3】已知△ABC 中，b·cosC c ·cosB ＝1＋cos2C

1＋cos2B ，试判断△ABC 的形状．

【答案】△ABC 为等腰或直角三角形．

考点四 正弦定理、余弦定理的综合应用

【例4】 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且bcosB 是acosC 、ccosA 的等差中项．(1) 求B 的大小；

(2) 若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积． 【答案】(1) B ＝π3.(2) S △ABC ＝3

2

.

【解析】(1) 由题意，得acosC ＋ccosA ＝2bcosB.由正弦定理， 得sinAcosC ＋cosAsinC ＝2sinBcosB ， 即sin(A ＋C)＝2sinBcosB.

∵ A ＋C ＝π－B ，0＜B ＜π， ∴ sin(A ＋C)＝sinB ≠0. ∴ cosB ＝12，∴ B ＝π

3.

(2) 由B ＝π3，得a 2

＋c 2

－b 2

2ac ＝12，即（a ＋c ）2

－2ac －b 2

2ac ＝1

2，∴ ac ＝2.

∴ S △ABC ＝12acsinB ＝3

2

.

规律方法 三角形面积公式的应用方法：

(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1

2bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

【变式训练4】已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，acosC ＋3asinC －b －c ＝0.(1) 求A ； (2) 若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b 、c. 【答案】(1) A ＝π

3

.(2) b ＝c ＝2.

【解析】(1) 由acosC ＋3asinC －b －c ＝0及正弦定理得sinAcosC ＋3sinAsinC －sinB －sinC ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sinAsinC －cosAsinC －sinC ＝0.

由于sinC ≠0，所以sin ? ????A －π6＝1

2. 又0

3.

(2) △ABC 的面积S ＝1

2

bcsinA ＝3，故bc ＝4.

而a 2

＝b 2

＋c 2

－2bccosA ，故b 2

＋c 2

＝8. 解得b ＝c ＝2. 课堂总结

1.在解三角形中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象．

2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. 课后作业

1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2

3，则b ＝( )

A ． 2

B ． 3

C ．2

D ．3

【答案】D

【解析】由余弦定理得5＝b 2

＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13

(舍去)，故选D ．

2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 【答案】75°.

【解析】 如图，由正弦定理，得

3sin 60°＝6sin B ，∴sin B ＝22

.

又c >b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°.

3．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________. 【答案】2 3.

【解析】由题意及余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2＋16－122×4×c ＝12，解得c ＝2，所以S ＝12bc sin A ＝

1

2

×4×2×sin 60°＝2 3.

4．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________． 【答案】等腰三角形或直角三角形.

【解析】由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即

A ＝

B 或A ＋B ＝π

2

，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．

5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1

4，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.

【答案】 4

【解析】 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝3

2

a ＝3.由余弦定理的推论得cos C ＝

a 2＋

b 2－

c 22ab ，得－14＝22＋32－c

2

2×2×3

，解得c ＝4. 6.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. 【答案】

2π3

【解析】 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，a ＝53b ，又b ＋c ＝2a ，所以c ＝7

3

b .

根据余弦定理的推论cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

，

把a ＝53b ，c ＝73b 代入，化简得cos C ＝－12，所以C ＝2π3

.

7. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________. 【答案】

π

3

【解析】 法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理， 得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π

3

.

法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝1

2.

又0

3

.

8. [2016·全国卷Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝5

13，a ＝1，则b ＝

________. 【答案】

21

13

【解析】 由条件可得sin A ＝35，sin C ＝12

13，从而有sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋

cos A sin C ＝6365.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可知b ＝a sin B sin A ＝21

13

.

9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

【答案】 C

【解析】 根据正弦定理可得a 2

＋b 2

＜c 2

.由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

＜0，故C 是钝角．

10.已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2

B ＝2sin A sin

C ． (1)若a ＝b ，求cos B ；

(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 【答案】(1) 1

4

. (2)1.

11. [2017·全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 2

3sin A

.

(1)求sin B sin C ；

(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 【答案】(1)2

3

.(2)3＋33.

【解析】(1)由题设得12ac sin B ＝a 2

3sin A ，即12c sin B ＝a

3sin A .

由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A .故sin B sin C ＝2

3

.

(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－1

2.

所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π

3

.

由题意得12bc sin A ＝a 2

3sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2

－bc ＝9，

即(b ＋c )2

－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.

12. [2017·全国卷Ⅲ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b

＝2. (1)求c ；

(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 【答案】(1) c ＝4..(2) 3.

13.[2017·全国卷Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2

B

2.

(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 【答案】(1) 15

17

..(2) 2.

【解析】(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2

B

2

，

故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2

B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，或cos B ＝1517.故cos B ＝15

17.

(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝4

17ac .

又S △ABC ＝2，则ac ＝17

2

.

由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2

＝a 2

＋c 2

－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×? ????

1＋1517＝4.所以b ＝2.

余弦定理知识点+经典题(有答案)

余弦定理 余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即： 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 2.利用余弦定理解三角形： （1）已知两边和它们所夹的角： （2）已知三边： 余弦定理 1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1 3 ，那么AC 等于( )A ．6 B ．2 6 C ．3 6 D ．4 6 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ 3ac ， 则∠B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 6．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4

7．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( ) A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．2 8．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 9．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．10．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c 的值为________． 11．在△ABC中，a＝32，cos C＝1 3 ，S△ABC＝43，则b＝________. 12．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________． 13．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c2 4 ，则角C＝________. 14．(2015年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 15．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A

1正弦定理和余弦定理-教学设计-教案

教学准备 教学目标 1. 知识目标：理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；技能目标：理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性情感态度价值观：培养学生 在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； /难点教学重点2. 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判 断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理 教学过程 讲授新课在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角 根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC．与边的等式关系。如图11-2，在Rt中，设角三角函数中正弦函数的定义，有 . ，又，则，中，ABC从而在直角三角 形．

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： ，根上的高是CDABC1（证法一）如图．1-3，当是锐角三角形时，设边AB CD=据任意角三角函数的定义，有，则. . 同理可得，从而

是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后ABC类似可推出，当自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ] 理解定理[）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系 数为同1 （ ；使一正数，即存在正数k，，

等价于2（），，。从而知正弦定理的基本作用为： ；①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 . 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。． 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 2（1）题。）、（页练习第第随堂练习[]511

《正弦定理和余弦定理》典型例题.

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一：正弦定理的应用： 例1．已知在ABC ?中，10c =，45A = ，30C = ，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C = ， ∴sin 10sin 45sin sin 30c A a C ?=== ∴ 180()105B A C =-+= ， 又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304 c B b C ?====?= 总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 【变式1】在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中，已知075B =，0 60C =，5c =，求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴a =【变式3】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在60,1ABC b B c ?=== 中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .

正弦定理、余弦定理经典练习题

学科数学版本人教版大开本、3+x 期数2339 年级高一编稿老师梁文莉审稿教师 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： §5.9正弦定理、余弦定理 目标：使学生理解正弦定理、余弦定理的证明和推导过程，初步运用它们解斜三角形。并会利用计算器解决解斜三角形的计算问题。培养学生观察、分析、归纳等思维能力、运算能力、逻辑推理能力，渗透数形结合思想、分类思想、化归思想，以及从特殊到一般、类比等方法，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。 二. 重点、难点： 重点： 正弦定理、余弦定理的推导及运用。 难点： （1）正弦定理、余弦定理的推导过程； （2）应用正弦定理、余弦定理解斜三角形。 ［学法指导］ 学习本节知识时可采用向量法、等积法（面积相等）等不同方法来推导正弦定理，以加深对定理的理解和记忆，由于已知两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形，此时三角形可能出现两解、一解、无解三种情况，因此解此类三角形时，要注意讨论。 深刻领会向量的三角形法则及平面向量的数量积是用向量法推导余弦定理的关键。注意余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量。当有一个角为90°时，即为勾股定理。因此，勾股定理可看作是余弦定理的特例。 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。一般地，利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC（R 为ΔABC外接圆半径），可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A＋B＋C＝π。 可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题。在三角形中，有一个角的余弦值为负值，该三角形为钝角三角形；有一个角的余弦值为零，便是直角三角形；三个角的余弦值都为正值，便是锐角三角形。 【例题分析】

(完整版)正弦定理与余弦定理练习题

正弦定理与余弦定理 1．已知△ABC 中，a=4，ο 30,34==A b ，则B 等于（ ） A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30° 3．已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 32π D ．6 5π 4．在?ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若 sin sin C A =2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ） A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ?中，75 6,8,cos 96 BC AC C ===，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形 7．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ． 2π B ．3π C ．4π D ．6 π 8．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＜sin 2 C ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9．在ABC ?中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A. 14 B.23 C.23- D.14 - 10．在ABC ?中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos 2 =，则△ABC 为（ ）三角形． A ．正 B ．直角 C ．等腰直角 D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4 ，则B 等于（ ） A ．B=45°或135° B ．B=135° C ．B=45° D ．以上答案都不对 13．在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += 且a b >,则B ∠=（ ）

正弦定理与余弦定理地综合应用

正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b23bc，sin C3B，则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b，代入a2-b23得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b， 所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ，所以角A= π 6.

3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度 为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2 ， 因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???，

正弦定理、余弦定理综合应用典型例题

正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<， 所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，． 例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ， 所以60C =o ． 例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ， 且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值； 解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中， C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=

正弦定理余弦定理

第七节 正弦定理、余弦定理应用举例 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 解析 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦 定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×? ?? ??－12＝3a 2， ∴AB ＝3a . 答案B 2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A ．2 2 km B ．3 2 km

C ．3 3 km D ．2 3 km 解析 如图，由条件知AB ＝24×15 60＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝AB sin45°sin30°＝3 2. 答案B 3．轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船B 的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( ) A ．35海里 B ．352海里 C ．353海里 D ．70海里 解析 设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是E ，F ，则依题意有CE ＝25×2＝50，CF ＝15×2＝30，且∠ECF ＝120°， EF ＝CE 2＋CF 2－2CE ·CF cos120° ＝ 502＋302－2×50×30cos120°＝70. 答案D 4．(2014·济南调研)为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m

正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)

正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等； (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 【助学·微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有

时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 考点自测 1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________． 解析 记三角形三边长为a －4，a ，a ＋4，则(a ＋4)2＝(a －4)2＋a 2－2a (a －4)cos 120°，解得a ＝10，故S ＝12×10×6×sin 120°＝15 3. 答案 15 3 2．若海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里． 解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°) .解得BC ＝56(海里)． 答案 5 6 3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/时． 解析 由正弦定理，得MN ＝68sin 120°sin 45°＝346(海里)，船的航行速度为3464＝ 176 2(海里/时)． 答案 176 2 4．在△ABC 中，若23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，则△ABC 的形状是________． 解析 由23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 相加，得a 2＋b 2＝ 2ab sin ? ????C ＋π6.又a 2＋b 2≥2ab ，所以 sin ? ????C ＋π6≥1，从而sin ? ????C ＋π6＝1，且a ＝b ，C ＝π3时等号成立，所以△ABC 是等边三角形． 答案 等边三角形

人教新课标版数学高二-2014版数学必修五练习1-1正弦定理与余弦定理

习题课 正弦定理与余弦定理 双基达标 (限时20分钟) 1．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )． A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B . 答案 C 2．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是 ( )． A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．60° 解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ b 2＋ c 2 －bc 2bc ＝ ????b －c 22＋3c 2 4 2bc ＞0，∴0°＜A ＜90°. 答案 A 3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于 ( )． A.21 B.106 C.69 D.154 解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a 2. 在△ABM 中， AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a 2×4·cos ∠AMB ① 在△ACM 中， AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a 2·cos ∠AMB ② ①＋②得：72＋62＝42＋42＋1 2 a 2，

∴a ＝106. 答案 B 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________． 解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π 6. 答案 π 6 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． 解析 由sin B ＋cos B ＝2sin ????B ＋π 4＝2得 sin ????B ＋π4＝1，∴B ＝π 4. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得 sin A ＝a sin B b ＝ 2sin π 4 2 ＝12 ， ∴A ＝π6或56 π. ∵a ＜b ，∴A ＜B ，A ＝π 6. 答案 π6 6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a ，b ，c 满足2b 2＝3ac ，求A . 解 由A 、B 、C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°得B ＝60°，A ＋C ＝120°. 由2b 2＝3ac 及正弦定理得 2sin 2B ＝3sin A sin C ， 故sin A sin C ＝12 . cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －1 2， 即cos A cos C －12＝－1 2， cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0，

(完整版)正弦定理余弦定理应用实例练习含答案

课时作业3应用举例 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是() A．103海里B．106海里 C．52海里D．56海里 【答案】 D 【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°， 则∠C＝45°， 由正弦定理得： BC＝AB·sin A sin C ＝10×sin60° sin45° ＝5 6. 2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()

A ．502m B ．503m C ．252m D.2522m 【答案】 A 【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根 据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝AB sin45°，解得AB ＝502m ，选A. 3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m. 【答案】 521 【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35，

设电视塔高度为h m，则OA＝3 3h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB， 即352＝(3 2＋h2－2×33h×h×(－32) 3h) 解得h＝521. 4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？ 【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．

正弦定理与余弦定理

第28讲 正弦定理与余弦定理 1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于(C) A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12， 又因为0°

余弦定理教学设计经典

1.1．2余弦定理教学设计 一、教学目标 认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形； 能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。 二、教学重难点 重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。 难点：利用向量法证明余弦定理的思路；对余弦定理的熟练应用。 探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。学生已经具备了勾股02220定理的知识，即当∠C=90时，有c=a+b。作为一般的情况，当∠C≠90时，三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点拨、启发，鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加强学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，激发学生学习兴趣，这是本节课教学的重点，也是难点。 三、学情分析和教学内容分析 本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式，指出了“已知三角形的两边和夹角，无法用正弦定理去解三角形”，进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系，然后通过构造直角三角形去完成对余弦定理的推证过程，教科书上还进一步的启发学生用向量的方法去证明余弦定理，最后通过3个例题巩固学生对余弦定理的应用。 在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上，教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子，学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题，从而引发学生的学习兴趣，引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时，考虑到它比正弦定理形式上更加复杂，教师可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时，学生可能会遇到证明思路上的困难，教师可以适当的点拨。

正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳

正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-

●高考明方向 掌握正弦定理、余弦定理， 并能解决一些简单的三角形度量问题． ★备考知考情 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考 考查的热点． 2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题 中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的 判断等问题． 3.三种题型都有可能出现，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62 知识点一 正弦定理 (其中R 为△ABC 外接圆的半径) 变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222= ==a b c A B C R R R 变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：(补充) 关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式 均可利用正弦定理进行边角互化。 知识点二 余弦定理

222 222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2?+-=??=+-?+-??=+-?=??=+-???+-?=?? b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：(补充) （1）关于边的二次式或关于角的余弦 均可考虑利用余弦定理进行边角互化。 （2）勾股定理是余弦定理的特例 （3）在?ABC 中，222090?? <+?<

讲义1 正弦定理和余弦定理

讲义一 正弦定理和余弦定理以及其应用 洞口三中 方锦昌 一、知识与技能： 掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。 二、知识引入与讲解： Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用： 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C ==2R 例1．（1）、已知?ABC 中，∠A 060= ，a =求sin sin sin a b c A B C ++++ (=2) （2）、已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3） Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用： 例2．（1）、在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A （ =b 060.=A ） （2）、在?ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。 例3．在?ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断?ABC 的类型。 分析：由余弦定理可知 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+???>+???<+??ABC 是锐角三角形 ? （注意：是锐角A ?ABC 是锐角三角形?） 解：222753>+，即222a b c >+， ∴ABC 是钝角三角形?。 练习： （1）在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断?ABC 的类型。 （2）已知?ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断?ABC 的类型。 （答案：（1）ABC 是钝角三角形? ；（2）?ABC 是等腰或直角三角形） 例4．在?ABC 中，060A =，1b =，求sin sin sin a b c A B C ++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222 S ab C ac B bc A ===以及正弦定理sin sin a b A B =sin c C ==sin sin sin a b c A B C ++++ 解：由1sin 2 S bc A ==得2c =，则2222cos a b c bc A =+-=3，即a 从而 sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A == 例题5、某人在M 汽车站的北偏西20?的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。公路的走向是M 站的北偏东40?。开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？

(完整版)立体几何典型例题精选(含答案)

F E D C B A 立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=，3AE =. （1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示． (1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．

热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值． 变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理 【知识梳理】 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?????===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三： 形式四： 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2222cos a b c bc A =+- 222 2cos b c a ca B =+- 2222cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 【典型例题】 111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?===::sin :sin :sin a b c A B C =sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-=222 cos 2a b c C ab +-=

题型一：利用正弦定理解三角形 1.在ABC ?中，若5b =，4B π∠=,1sin 3A =，则a = . 2.在△ABC 中，已知a = 3,b =2,B=45°,求A 、C 和c . 题型二：利用余弦定理解三角形 1.设ABC ?的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，4 1cos = C . （Ⅰ）求ABC ?的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值. 2. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-c a b +2.（1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.

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