4.2.2指数函数应用举例
合集下载
课件3：4.2.2 指数函数的图象和性质
规律方法 (1)指数方程的类型可分为： ①形如 af(x)＝ag(x)(a>0，且 a≠1)的方程化为 f(x)＝g(x)求解； ②形如 a2x＋b·ax＋c＝0(a>0，且 a≠1)的方程，用换元法求解．
(2)指数不等式的类型为 af(x)>ag(x)(a>0，且 a≠1)． ①当 a>1 时，f(x)>g(x)； ②当 0<a<1 时，f(x)<g(x)． 含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成同底的 指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不 等式求解．
5．已知集合
M＝x3x＋1≤19
x－2，x∈R
，则当 x∈M 时，
求函数 y＝2x 的值域．
解：由 3x＋1≤19x－2， 得 3x＋1≤34－2x. 因为函数 y＝3x 在定义域 R 上是增函数， 所以 x＋1≤4－2x，解得 x≤1. 因为函数 y＝2x 是增函数， 所以当 x≤1 时，2x≤21＝2，
解：(1)因为 3x－1>9x，所以 3x－1>32x， 又 y＝3x 在定义域 R 上是增函数， 所以 x－1>2x，所以 x<－1.即 x 的取值范围是(－∞，－1)．
(2)当 a>1 时，因为 a－5x>ax＋7，所以－5x>x＋7，解得 x<－76； 当 0<a<1 时，因为 a－5x>ax＋7，所以－5x<x＋7，解得 x>－76. 综上所述，当 a>1 时，x 的取值范围是－∞，－76； 当 0<a<1 时，x 的取值范围是－76，＋∞.
指数函数的 会解决与指数函数有关
实际应用 的实际问题
核心素养 逻辑推理 数学建模
中职数学-4.2.2指数函数应用举例(教案)
学科中职数学课题 4.2.2 指数函数应用举例课型新授课授课班级授课人
教学目标知识与技能
1.通过具体例子使学生了解指数型函数在社会生活中的广泛应
用
2.结合实例理解和体会指数型函数增长（或递减）的函数模型
的意义。
过程与方法
通过对现实生活中指数型函数的研究和探讨，灵活运用得到的函
数模型去解决实际问题，发展学生提出、分析、解决问题的能力
情感态度价
值观
经历合作学习过程，培养学生合作意识，加深学生感情。
培养学生勇于提出问题、分析和解决问题的能力。
培养和提升学生数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养。
让学生充分体会到数学与自然社会的关系的重要性，进一步感受
用数学解决问题的方法，体会数学的价值。
教学重难点教学重点指数型函数的应用
教学难点
1.学生对题意的理解
2.数学建模比较困难
3.计算比较复杂
教学准备学生准备课前完成预设导学案，熟悉指数型函数教师准备教学课件（PPT）
教学方式讲练结合、合作探究
教学
环节
项目与任务教师活动学生活动设计意图
知识回顾播放课件
和学生一
起回顾上
节课指数
函数图像
和性质
结合课件回
顾指数函数
图像和性质
并记忆
加深记忆
承上启下
教材分析：本节课是学生在已掌握了指数函数及其性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数模型及在生活自然社会中的应用，并归纳解函数应用题的一般思路。
经常听到有的学生问：学数学有什么用？它很好的诠释了数学并不是特立独行，而是与生活，与自然社会等各方面息息相关的。
4.2.2 指数函数的图象和性质
如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx 的图象，则 a，b， c，d 与 1 的大小关系是( B )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
解析：如图，作直线 x＝1，与四个图象分别交于 A，B，C，D 四点， 则 A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知 b<a<1<d<c.
3．关于求解指数不等式的教学 建议教师先讲清楚求解指数不等式的理论依据，即指数函数的单调 性，然后给出一定量的练习题，通过练习掌握解题规律． 4．关于指数函数值域的教学 建议教师在教学中让学生理解指数函数的性质，掌握底数对指数函数 的图象及单调性的影响，能够借助于图象和性质解决与指数函数有关的值 域问题．
D．y3>y1>y2
解析：因为 y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝12－1.5＝21.5， 又函数 y＝2x 在 R 上是增函数，1.8＞1.5＞1.44，所以 21.8＞21.5＞21.44，故 y1＞y3＞y2.
2．当 0<a<1 时，不等式 a2x－1<ax＋1 的解集为 (2，＋∞) ．
解析：当 0＜a＜1 时，指数函数 y＝ax 是单调递减的，所以由不等式 a2x－1＜ax＋1，可得 2x－1＞x＋1，解得 x＞2.
(备选题)已知函数 f(x)＝12，－x，x>x0≤，0， 则满足 f(x＋2)<f(2x)的 x 的取
值范围是 (－∞，0)
．
解析：作出函数 f(x)＝21，－x，x>x0≤0， 的图象，如图所示， 因为 f(x＋2)<f(2x)，
4.2.2指数函数的图象与性质(课件)高一数学(湘教版2019必修第一册)
(3)函数是区间(−∞, +∞)上的减函数.
当然，作出来的图象是有限的，接下来我们借助“网络画板”，来看一下底
数对指数函数图象走势的影响吧！
新知探索
从动画中看指数函数 = ( > 0且 ≠ 1)的性质，和理性认识相符.
新知探索
1
如果底数 ∈ (0,1)，则它的倒数 > 1.若点(, )在函数 = (0 < < 1)的
(4)课本P110的习题4.2的10、11、12、13、14、15题.
谢谢学习
Thank you for learning
新知探索
活动1(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
通过列表、描点连线(也可借助信息技术在计算机上作图)，得图以下.
…
−2
−1
0
1
2
…
= 2
…
0.25
0.5
1
2
4
…
= 10
…
…
−1
0.1
−0.5
0.32
0
1
0.5
3.16
1
10
…
…
新知探索
活动(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
1
73
=
1
，
343
例析
例 6
一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩余的量是原来的84%，画
出这种物质的剩余量随时间变化的图象，并从图象上观察大约要经过多少年，剩余
量是原来的50%.
解 可设原来的量是1个单位，经过年后，剩余量是个单位.
可得函数解析式为 = 0.84 .列表如下：
中职数学-指数函数应用举例
教学方式
启发、合作探究
教学环节
项目与任务
教师活动
学生活动
设计意图
兴趣导入
播发“新冠肺炎数据分析”短视频
思考1：这么严重的疫情我们为什么现在能够安然学习？
（因为我们背后有强大的祖国和医护人员及消防战士为我们负重）
思考2：中国对疫情防控采取的重要手段是什么？
（武汉封城，全民居家隔离）
引入：如果不隔离会怎样呢？我们来看这样一个实际问题。
学科
中职数学
课题
4.2.2指数函数应用举例
课型
新授课
授课班级
授课人
教学目标
知识与技能
通过实例了解指数模型在生活中的广泛应用
结合实例理解指数模型增长和指数衰减型的意义
过Байду номын сангаас与方法
通过对现实生活中学生感兴趣的问题探讨，研究分析，建立指数模型，培养学生提出、分析与解决问题的能力，以及建模思想.
情感态度价值观
指数增长模型，
提出问题
引导学生建立数学模型
了解题意
分析讨论
建模计算
逐步引导培养学生建模思维，数据对比让学生感受指数爆炸，为后面知识做铺垫
归纳新知
1.函数解析式可以写成 的形式，其中 为常数，底a>0且a≠1．函数模型 叫做指数模型．当a>1时，叫做指数增长模型；当0<a<1时，叫做指数衰减模型．
讲解
回忆
领会
通过例题引入概念让知识成“立体化”
典例巩固
例2.服用某种感冒药，每次服用的药物含量为 ，随着时间 的变化，体内的药物含量为 （其中 以小时为单位）．问服药4小时后，体内药物的含量为多少？8小时后，体内药物的含量为多少？
启发、合作探究
教学环节
项目与任务
教师活动
学生活动
设计意图
兴趣导入
播发“新冠肺炎数据分析”短视频
思考1：这么严重的疫情我们为什么现在能够安然学习？
（因为我们背后有强大的祖国和医护人员及消防战士为我们负重）
思考2：中国对疫情防控采取的重要手段是什么？
（武汉封城，全民居家隔离）
引入：如果不隔离会怎样呢？我们来看这样一个实际问题。
学科
中职数学
课题
4.2.2指数函数应用举例
课型
新授课
授课班级
授课人
教学目标
知识与技能
通过实例了解指数模型在生活中的广泛应用
结合实例理解指数模型增长和指数衰减型的意义
过Байду номын сангаас与方法
通过对现实生活中学生感兴趣的问题探讨，研究分析，建立指数模型，培养学生提出、分析与解决问题的能力，以及建模思想.
情感态度价值观
指数增长模型，
提出问题
引导学生建立数学模型
了解题意
分析讨论
建模计算
逐步引导培养学生建模思维，数据对比让学生感受指数爆炸，为后面知识做铺垫
归纳新知
1.函数解析式可以写成 的形式，其中 为常数，底a>0且a≠1．函数模型 叫做指数模型．当a>1时，叫做指数增长模型；当0<a<1时，叫做指数衰减模型．
讲解
回忆
领会
通过例题引入概念让知识成“立体化”
典例巩固
例2.服用某种感冒药，每次服用的药物含量为 ，随着时间 的变化，体内的药物含量为 （其中 以小时为单位）．问服药4小时后，体内药物的含量为多少？8小时后，体内药物的含量为多少？
4.2.2指数函数应用举例
题
例4
兴趣导入
某市2008年国民生产总值为20亿元,计划在未来10年内,
平均每年按8%的增长率增长,分别预测该市2013年与2018
年的国民生产总值(精确到0.01亿元)．
国民生产总值每年按8%增长是指，后一年的国民生
分 析
产总值是前一年的（1+8%）倍．需要先通过分析得 到函数关系，再分别求出5年后与10年后的函数值．
解 设10 g磷−32经过x天衰变，残留量为y g．
依题意可以得到经过x天衰变，
残留量函数为 y=10×0.9527x， 故经过14天衰变，残留量为y=10×0.952714≈5.07（g）．
计算器
巩固知识
例6
典型例题
服用某种感冒药，每次服用的药物含量为 a ，随着时间 t 的变化，体内
t f ( t ) 0.57 a （其中 t 以小时为单位） 的药物含量为 ．问服药 4 小时后，
练
经过月份数的函数关系，并求4个月后，该种试剂的约消耗量 （精确到0.1)． 2． 某省2008年粮食总产量为150亿kg．现按每年平均增长
习
10．2%的增长速度．求该省10年后的年粮食总产量(精确到 0.01亿kg)． 3． 一台价值100万元的新机床．按每年8%的折旧率折旧,问 20年后这台机床还值几万元(精确到0.01万元)?
你还有冲击挡板的激情吗？ .....心理学家将一只饥饿的鳄鱼和一些小鱼放在水族箱 的两端，中间用透明的玻璃板挡开。 .....刚开始，鳄鱼毫不犹豫地向小鱼发动攻击，它失败 了，但它毫不气馁；接着，它又向小鱼发动第十次更 猛烈地攻击，它又失败了，并且受了重伤；它还要攻 击，第十三次，第十四次……多次攻击无望后，它不 再攻击了。 .....这个时候，心理学家将挡板拿开，鳄鱼已经不再攻 击小鱼了。它依然无望地看着那些小鱼在眼皮底下悠 闲地游来游去，它放弃了一切的努力。 大道理： 遗憾的是：像这条鳄鱼一样，我们很多人在 多次的挫折、打击和失败之后，就逐渐失去了战斗力 。激情死了，梦想死了，剩下的只有黯淡的眼神和悲 伤的叹息，无奈，无助和无力。
例4
兴趣导入
某市2008年国民生产总值为20亿元,计划在未来10年内,
平均每年按8%的增长率增长,分别预测该市2013年与2018
年的国民生产总值(精确到0.01亿元)．
国民生产总值每年按8%增长是指，后一年的国民生
分 析
产总值是前一年的（1+8%）倍．需要先通过分析得 到函数关系，再分别求出5年后与10年后的函数值．
解 设10 g磷−32经过x天衰变，残留量为y g．
依题意可以得到经过x天衰变，
残留量函数为 y=10×0.9527x， 故经过14天衰变，残留量为y=10×0.952714≈5.07（g）．
计算器
巩固知识
例6
典型例题
服用某种感冒药，每次服用的药物含量为 a ，随着时间 t 的变化，体内
t f ( t ) 0.57 a （其中 t 以小时为单位） 的药物含量为 ．问服药 4 小时后，
练
经过月份数的函数关系，并求4个月后，该种试剂的约消耗量 （精确到0.1)． 2． 某省2008年粮食总产量为150亿kg．现按每年平均增长
习
10．2%的增长速度．求该省10年后的年粮食总产量(精确到 0.01亿kg)． 3． 一台价值100万元的新机床．按每年8%的折旧率折旧,问 20年后这台机床还值几万元(精确到0.01万元)?
你还有冲击挡板的激情吗？ .....心理学家将一只饥饿的鳄鱼和一些小鱼放在水族箱 的两端，中间用透明的玻璃板挡开。 .....刚开始，鳄鱼毫不犹豫地向小鱼发动攻击，它失败 了，但它毫不气馁；接着，它又向小鱼发动第十次更 猛烈地攻击，它又失败了，并且受了重伤；它还要攻 击，第十三次，第十四次……多次攻击无望后，它不 再攻击了。 .....这个时候，心理学家将挡板拿开，鳄鱼已经不再攻 击小鱼了。它依然无望地看着那些小鱼在眼皮底下悠 闲地游来游去，它放弃了一切的努力。 大道理： 遗憾的是：像这条鳄鱼一样，我们很多人在 多次的挫折、打击和失败之后，就逐渐失去了战斗力 。激情死了，梦想死了，剩下的只有黯淡的眼神和悲 伤的叹息，无奈，无助和无力。
数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质课件
轴且与轴无交点.
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
4.2.2指数函数的图像与性质课件3-高一上学期数学人教A版
第四章 指数函数与对数函数
4.2.2 指数函数的图像与性质3
复习引入
指 数 函 数 的 图 像 和 性 质
函数 y ax (a 1)
y ax (0 a 1)
图象
定义域
R
R
R
值域
(0,+∞) (0,+∞) (0,+∞)
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
过定点 （0，1） （0，1）（0，1）
课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？
例4 如图，某城市人口呈指数增长. (1)根据图像，估计该城市人口每翻一番所需时间； (2)该城市人口从80万开始，经过20年会增长到多少万人?
解: (1)观察图，发现20年约为10万人，经过40 年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口 所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一 番所需时间约为20年.
则 g(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34图象关于直线 t＝12对称， ∴g(t)在14，12上单调递减，在12，2上单调递增， ∴当 t＝12(此时 x＝1)时，取到最小值 g12＝34，
当 t＝2(此时 x＝－1)时，取到最大值 g(2)＝3， ∴f(x)的最小值为34，最大值为 3.
角度2 指数函数图象和性质的综合运用 例3 函数 f(x)＝a－2x＋2 1.
因为 1＋3－2x>1，所以 0<1＋23－2x<2， 所以－1<1＋23－2x－1<1，
所以函数 y＝g(x)的值域是(－1，1).
强化2
.函数y＝2－x2＋ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是__[_2_，__＋__∞_).
由函数的单调性知， y＝－x2＋ax 的对称轴 x＝2a≥1，即 a≥2.
4.2.2 指数函数的图像与性质3
复习引入
指 数 函 数 的 图 像 和 性 质
函数 y ax (a 1)
y ax (0 a 1)
图象
定义域
R
R
R
值域
(0,+∞) (0,+∞) (0,+∞)
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
过定点 （0，1） （0，1）（0，1）
课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？
例4 如图，某城市人口呈指数增长. (1)根据图像，估计该城市人口每翻一番所需时间； (2)该城市人口从80万开始，经过20年会增长到多少万人?
解: (1)观察图，发现20年约为10万人，经过40 年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口 所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一 番所需时间约为20年.
则 g(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34图象关于直线 t＝12对称， ∴g(t)在14，12上单调递减，在12，2上单调递增， ∴当 t＝12(此时 x＝1)时，取到最小值 g12＝34，
当 t＝2(此时 x＝－1)时，取到最大值 g(2)＝3， ∴f(x)的最小值为34，最大值为 3.
角度2 指数函数图象和性质的综合运用 例3 函数 f(x)＝a－2x＋2 1.
因为 1＋3－2x>1，所以 0<1＋23－2x<2， 所以－1<1＋23－2x－1<1，
所以函数 y＝g(x)的值域是(－1，1).
强化2
.函数y＝2－x2＋ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是__[_2_，__＋__∞_).
由函数的单调性知， y＝－x2＋ax 的对称轴 x＝2a≥1，即 a≥2.
4.2.2指数函数的图像和性质2(指数型函数)课件高一上学期数学人教A版【02】
练2：求下列函数的值域
二、指数型复合函数
例3：求下列函数的奇偶性 非奇非偶函数可以尝试特殊值举反例。
所以是非奇非偶函数。
所以是偶函数。 函数。
定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶
二、指数型复合函数
练3：求下列函数的奇偶性
二、指数型复合函数
例4：求下列函数的单调性和单调区间
任意的
二、指数型复合函数
(4)单调性： 减函数 (5)奇偶性：非奇非偶 (6)当x>o时,0<y<1,
当x<0时，y>1.
一、定点问题
(0,1) (2,1) (2,4)
a0 1
二、指数型复合函数
例1：求下列函数的定义域
二、指数型复合函数
练1：求下列函数的定义域
二、指数型复合函数
例2：求下列函数的值域
二、指数型复合函数
复合函数单调性
减函数 减函数
复合函数
（2）
单调区间
（-∞，0） （0，+∞）
内函数单调性
减函数 增函数
外函数单调性
增函数 增函数
复合函数单调性
减函数 增函间
（-∞，1）
内函数单调性
减函数
外函数单调性
减函数
复合函数单调性
增函数
复合函数
（4）
单调区间
[0，+∞）
内函数单调性
增函数
练习：1、求函数
的定义域、 值域及单调增区间
2、求函数
的定义域、 值域及单调增区间
解： x2 2 x 0, x2 2 x 0, 0 x 2
令u x2 2x (x 1)2 1, 在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减， y 2u 单调递增, y 2 x2 2x 在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
二、指数型复合函数
例3：求下列函数的奇偶性 非奇非偶函数可以尝试特殊值举反例。
所以是非奇非偶函数。
所以是偶函数。 函数。
定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶
二、指数型复合函数
练3：求下列函数的奇偶性
二、指数型复合函数
例4：求下列函数的单调性和单调区间
任意的
二、指数型复合函数
(4)单调性： 减函数 (5)奇偶性：非奇非偶 (6)当x>o时,0<y<1,
当x<0时，y>1.
一、定点问题
(0,1) (2,1) (2,4)
a0 1
二、指数型复合函数
例1：求下列函数的定义域
二、指数型复合函数
练1：求下列函数的定义域
二、指数型复合函数
例2：求下列函数的值域
二、指数型复合函数
复合函数单调性
减函数 减函数
复合函数
（2）
单调区间
（-∞，0） （0，+∞）
内函数单调性
减函数 增函数
外函数单调性
增函数 增函数
复合函数单调性
减函数 增函间
（-∞，1）
内函数单调性
减函数
外函数单调性
减函数
复合函数单调性
增函数
复合函数
（4）
单调区间
[0，+∞）
内函数单调性
增函数
练习：1、求函数
的定义域、 值域及单调增区间
2、求函数
的定义域、 值域及单调增区间
解： x2 2 x 0, x2 2 x 0, 0 x 2
令u x2 2x (x 1)2 1, 在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减， y 2u 单调递增, y 2 x2 2x 在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
4.2.2指数函数的图象和性质课件——高一上学期数学人教A版必修第一册
y 2x
y 1 x
列表如下：
2
x -3 -2 -1
2 x 0.13 0.25 0.5
1
x
8
4
2
2
- 0.5 0 0.71 1
1.4 1
0.5 1 2 3 1.4 2 4 8
0.71 0.5 0.25 0.13
思考：这两个函数图象有什么关系？由一个能否得到另一个？
y 2x
y 1 x 2
88
-0.5
1
2
3
4
5
Hale Waihona Puke 6运用规律 解决问题
（2）0.80.1＜ 0.80.2
解：∵函数 y 在 0R.8上x是减函数，
而指数-0.1>-0.2
∴ 0.80.1 0.80.2
1.8 1.6
fx = 0.8x 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
运用规律 解决问题
高中数学必修1
4.2.2指数函数的图象和性质
设计问题 创设情景
复习幂函数及其研究方法
y (yx13)
幂函数
y x2
y x, y x2, y x3,
1
y x 2 , y x1
y=x
(＝1 1
y x2
1
O
1(y
(0
x 1
0)
x
1
的图象.
学生探索 尝试解决
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
2
23
信息交流 教学相长
例2.如图4.2-7，某城市人口呈指数
增长。
（1）根据图象，估计该城市人口每
4.2.2指数函数的图像和性质课件高一上学期数学人教A版【01】
A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案：B
小试身手：
5、函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 C．0<a<1，b>0
B．a>1，b>0 D．0<a<1，b<0
答案：D
小试身手：
6、 比较下列各组数的大小： ； ； ； (4)a与a(a>0且a≠1)．
0.35
-1
2
-0.5
0.71
0
1
1
0.5
1.41
1
2
1.5
2.83
2
4
思考探究
观察表格和图象，你发现了什么
结论 ：
底数互为倒数的两个指数函数的 图象关于y轴对称
思考探究
对于底数函数y=ax（a>0且a≠1），继续选取底数a的若干值，观
察函数的图象：（分别取a=2,3,4及 1 , 1 , 1 ） 234
学习目标
1. 运用描点法画指数函数的图像，运用图像来研究指数函 数的性质。
2．结合实例，体会从特殊到一般问题的研究方法。 3.能通过数形结合，解决定点、单调性等问题。
复习回顾
1. 指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量， 函数的定义域是R.
借助函数图像是了解函数性质最快的方法，如何 绘制函数图像呢？
规律小结：
比较幂的大小的方法：
1、同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较. 2、指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取 相同幂指数时可观察出函数值的大小. 3、底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数 比较，或借助“1”与两数比较. 4、当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.
答案：B
小试身手：
5、函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 C．0<a<1，b>0
B．a>1，b>0 D．0<a<1，b<0
答案：D
小试身手：
6、 比较下列各组数的大小： ； ； ； (4)a与a(a>0且a≠1)．
0.35
-1
2
-0.5
0.71
0
1
1
0.5
1.41
1
2
1.5
2.83
2
4
思考探究
观察表格和图象，你发现了什么
结论 ：
底数互为倒数的两个指数函数的 图象关于y轴对称
思考探究
对于底数函数y=ax（a>0且a≠1），继续选取底数a的若干值，观
察函数的图象：（分别取a=2,3,4及 1 , 1 , 1 ） 234
学习目标
1. 运用描点法画指数函数的图像，运用图像来研究指数函 数的性质。
2．结合实例，体会从特殊到一般问题的研究方法。 3.能通过数形结合，解决定点、单调性等问题。
复习回顾
1. 指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量， 函数的定义域是R.
借助函数图像是了解函数性质最快的方法，如何 绘制函数图像呢？
规律小结：
比较幂的大小的方法：
1、同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较. 2、指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取 相同幂指数时可观察出函数值的大小. 3、底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数 比较，或借助“1”与两数比较. 4、当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.
21-22版：4.2.2 指数函数的图象与性质(二)（步步高）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.函数f(x)＝3－x在[－2,1]上的值域是
A.[3,9]
√B.13，9
C.13，3
D.19，31
解析 ∵函数 f(x)＝3－x＝13x 在 R 上是减函数， ∴f(x)max＝f(－2)＝13－2＝9，f(x)min＝f(1)＝13， 即函数 f(x)＝3－x 在[－2,1]上的值域是13，9.
(2)求f(x)在[1,3]上的值域.
解 由(1)可知 f(x)＝4x＋41x，
设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝4x1
1 4x1
4x2
1 4x2
4x1 4x2
1
1 4x1 x2
.
因为0<x1<x2，所以4x1 4x2 ，
所以 4x1 4x2 <0.
√B.x＝32
C.x＝1
解析 ∵42x－1＝42，∴2x－1＝2，∴x＝32.
D.x＝2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.若142a＋1<148－2a，则实数 a 的取值范围是
√A.74，＋∞
B.(1，＋∞)
C.(－∞，1)
D.－∞，74
解析 因为函数 y＝14x 在 R 上为减函数， 且142a＋1<148－2a，所以 2a＋1>8－2a，所以 a>74.
4.函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在
[0,1]上的最大值是
A.6
B.1
√C.3
3 D. 2
第4章 4.2.2 指数函数及其性质的应用-2021学年高一数学同步人教A版2019必修第一册)
指数型函数的实际应用
[例4] (链接教材P118例4)某城市现有人口总数为100万人， 如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系 式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)
∴y＝0.8x在R 上是减函数． ∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1， 而0.8－0.2＝45－0.2＝1.250.2， 即0.8－0.1＜1.250.2.
(2)∵1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1， ∴1.70.3＞0.93.1. (3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值． 当0<a<1时，函数y＝ax在R 上是减函数．∵0.5<0.6，
2．下列判断正确的是 A．2.52.5＞2.53 C．π2＜π 2
B．0.82＜0.83 D．0.90.3＞0.90.5
解析：∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3， ∴0.90.3＞0.90.5.
答案：D
()
3．函数y＝121－x的单调递增区间为
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
答案：{x|x≥1或x≤－2}
2．已知函数f(x)＝ 12x－7，x<0， x，x≥0，
若f(a)<1，则实数a的取值
范围是________．
a<0， 解析：由题意，知f(a)<1等价于12a－7<1
或a≥a<01，，
解得－3<a<0或0≤a<1，所以－3<a<1.
答案：(－3,1)
人教A版必修第一册4.2指数函数课件
y 4x
y 4x3
y 1x
y ( 3)x
y (2x)x
y x4
y ( 2)x ( 3)x
3
2
y (4)x
新知应用：指数函数的概念
[例1]若函数f (x)=(a2－7a+7)ax是指数函数，求实数a的值.
a2 7a 7 1 a 1或a 6
解 : f (x)是指数函数 ,a 0
思考：5分与0.05元不一样吗？
钱某的本意
老板的理解
y 5x
y 0.05x
描点绘图，看图索质
y 2x
y 2x与y 1 x的图象关于 y轴对称 2
y
1
x
2
减函数
增函数
新知2：指数函数y=ax的图象及性质
(3) y ax均为非奇非偶函数 .
(4)
y
a
x与y
1
x
的图象关于
y轴对称
a
,即a 0
,得a 6.
a 1
a 1
[例2]若指数函数 f (x) ax过点(3, ),求f (0), f (1), f (3)的值.
解 : 依题意得 a3
a 3
1
x
3 , f (x) 3 .
f
(0)
0
1;
f
(1)
1
3
3
;
f
(3)
1
1
.
[变式]若指数函数 f (x)的图象过点 (2,9),求f (x)及f (2).
第28天，杰米支出134万多(227)元，收入10万元。
结果，杰米在一个月(31天)得到310万元的同时，共给韦伯2100多万元！杰米破产了。
指数的故事
4.2.2指数函数的图象和性质课件
y=ax (a>1)
y=ax (0<a<1)
1 1
0
x
00
11
1
0 xx
x
归纳性质
函数
图象
y＝ax (a>0，且a≠1)
0<a<1
a>1
定义域
R
值域
( 0 , +∞ )
性 质
定点
函数值 变化规
律
单调性
（ 0，1 ）
当x<0时, 当x＝0时, 当x>0时,
y0y=<>y11<1；； ．
减函数
当x<0时, 0< y <1
总结规律
（1）函数的单调性与底数a有怎样的关系？ 减函数 增函数
（2）函数图象恒过哪个定点？
(0 , 1)
（3）图象的位置与底数有怎样的关系？
？ 在第一象限，底越大，图越高！
深入探究
y
y
1 2
x
y
1 3
x
如何通过图象判断底的大小？
y 3x y 2x
3 2
1
0
1
在第一象限
底大图高
x
例题示范
< （3） 1.012.7
1.013.5 增函数
> （4） 0.993.3
0.994.5 减函数
同指不同底
练习 6 2，7 2
作图法
（3）通过作图比较不同函 数在同一自变量下函数值的 大小关系；
不同底不同指 练习 1.20.5，0.51.2 ；
y=1
知识总结
1.同底不同指： 利用指数函数的单调性来比较大小
知识小结
4.2指数函数的图象与性质课件(人教版)
需的时间（倍增期）；
（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会
增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而
同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以
从图象中选取适当的点计算倍增期．
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到
20年与倍增期的数量关系．
解：（1）视察图，发现该城市人口经过20年
或中间变量进行
比较
三、应用三
（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递增的是（ C ）
A． f ( x) ln x
C． f ( x)
1
x
1
B． f ( x) x
2
| x 1|
D． f ( x) 3
三、应用四
如图，某城市人口呈指数增长．
（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所
4
7
3
7
不同底但可化同底
5 0.3
0.3
与 0.2
<
0.3
不同底但同指数
6
0.3
1.7
>
同底指数幂比大
小，构造指数函数，
利用函数单调性
与0.9
3.1
底不同，指数也不同
7
与
8
<
5
12
不同底数幂比大小
，利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
y 的图象，探究两个函数的图象有什
2
两个函数图像关于y轴对称
8
fx = 2x
7
6
x
x
y
y
5
-2
4
（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会
增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而
同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以
从图象中选取适当的点计算倍增期．
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到
20年与倍增期的数量关系．
解：（1）视察图，发现该城市人口经过20年
或中间变量进行
比较
三、应用三
（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递增的是（ C ）
A． f ( x) ln x
C． f ( x)
1
x
1
B． f ( x) x
2
| x 1|
D． f ( x) 3
三、应用四
如图，某城市人口呈指数增长．
（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所
4
7
3
7
不同底但可化同底
5 0.3
0.3
与 0.2
<
0.3
不同底但同指数
6
0.3
1.7
>
同底指数幂比大
小，构造指数函数，
利用函数单调性
与0.9
3.1
底不同，指数也不同
7
与
8
<
5
12
不同底数幂比大小
，利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
y 的图象，探究两个函数的图象有什
2
两个函数图像关于y轴对称
8
fx = 2x
7
6
x
x
y
y
5
-2
4
4.2.2 指数函数的图象及性质(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
，则下列结论中，一定成立的是（
A． < 0, < 0, < 0
C． < 0, = − , > 0
）
B． < 0, ≥ 0, > 0
D．3 + 3 > 2
【答案】D
【解析】由图示可知 < 0 ， 的符号不确定， > 0 ，
故A、B错；
( ) = |3 − 1|, ( ) = |3 − 1|，
> 时， < <
> 时， >
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
新知1：指数函数图像与性质
例3.比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5 ，1.73 ；(2)0.8− 2 ，0.8− 3 ；(3)1.70.3 ，0.93.1 .
解：(1)∵ = 1.7 在定义域上单调递增
=
3
2
1
−2
（6） =
2 4
3
1
1
【解析】（1） = 2 3− 的定义域为R，
值域为 0, +∞ ；
（2） = 5 6 +1 的定义域为R，值域为 0, +∞ ；
（3） =
（3） =
1 3
；
2
的定义域为 −∞, 2 ⋃ 2, +∞ ，
1
1
由于 −2
≠ 0，故
1
−2
∴ 所过定点坐标为 2022,2024 ．
故答案为： 2022,2024 ．
典型例题
题型二：指数函数的图象问题
【例2】（2023·上海·高一专题练习）如图所示，函数 = 2 − 2 的图象是（
A． < 0, < 0, < 0
C． < 0, = − , > 0
）
B． < 0, ≥ 0, > 0
D．3 + 3 > 2
【答案】D
【解析】由图示可知 < 0 ， 的符号不确定， > 0 ，
故A、B错；
( ) = |3 − 1|, ( ) = |3 − 1|，
> 时， < <
> 时， >
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
新知1：指数函数图像与性质
例3.比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5 ，1.73 ；(2)0.8− 2 ，0.8− 3 ；(3)1.70.3 ，0.93.1 .
解：(1)∵ = 1.7 在定义域上单调递增
=
3
2
1
−2
（6） =
2 4
3
1
1
【解析】（1） = 2 3− 的定义域为R，
值域为 0, +∞ ；
（2） = 5 6 +1 的定义域为R，值域为 0, +∞ ；
（3） =
（3） =
1 3
；
2
的定义域为 −∞, 2 ⋃ 2, +∞ ，
1
1
由于 −2
≠ 0，故
1
−2
∴ 所过定点坐标为 2022,2024 ．
故答案为： 2022,2024 ．
典型例题
题型二：指数函数的图象问题
【例2】（2023·上海·高一专题练习）如图所示，函数 = 2 − 2 的图象是（
4.2.2指数函数的图像和性质教学说课课件高一上学期数学人教A版
“授之以鱼,不如授之以渔”,方法的掌握,思想的形成,才能使学生受益终身，所以 我进行了以下学法指导: (1)类比学习法: 与幂函数类比学习指数函数的图象和性质. (2)探究定向性学习法: 学生在教师建立的情境下,通过思考、分析、操作、探索，归 纳出指数函数的图象和性质. (3)主动合作式学习法: 学生在归纳得出指数函数的图象和性质时,通过小组讨论,使 问题得以圆满解决.
类比幂函数的研究方法和过程研究指数函数： 背景→定义→图象→性质→应用
问题1、你准备归纳指数函数的哪些性质？如何归纳其性质？
设计意图：让学生亲自在课前准备好的坐标系里画图，而不是采用几何画板直接得到图象， 目的是使学生更加信服，从而加深学生对图象的印象，从而为以后画图解题，采用数形结合 的思想方法打下基础.小组合作的方式共同探究性质，自己归纳并设计表格展示性质，整个 过程体现了“从具体到抽象，从特殊到一般”的思维方式，使学生的思维得到升华.培养学 生的抽象概括、归纳能力、语言表达能力以及主动性．
必做题：教科书135页习题1-3，140页到141页习题4.4第2、4题 选做题：习题4.4 的12、13题
设计意图：检验学生指数函数的图象和性质的掌握，以及指数函数的图象和性质的应用. 在选做题部分是对指数函数的图象和性质的拓展与延伸，目的是提高学生运用所学知识 解决问题的能力.
设计意图：这样的板书简明清楚,重点突出,加深学生对图象和性质的理解,便于记忆,有利于 提高教学效果.
4.2.2 指数函数的图象和性质
课堂教学
一、情景引入
问题1、这两个是什么函数？
二、探索新知
类比幂函数的研究方法和过程研究指数函数： 背景→定义→图象→性质→应用
问题1、你准备归纳指数函数的哪些性质？如何归纳其性质？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练
经过月份数的函数关系，并求4个月后，该种试剂的约消耗量 （精确到0.1)． 2． 某省2008年粮食总产量为150亿kg．现按每年平均增长
习
10．2%的增长速度．求该省10年后的年粮食总产量(精确到 0.01亿kg)． 3． 一台价值100万元的新机床．按每年8%的折旧率折旧,问 20年后这台机床还值几万元(精确到0.01万元)?
体内药物的含量为多少？8 小时后，体内药物的含量为多少？
解 因为f (t)=0.57ta，代入t=4和t=8，利用计算器可以求得： f (4)=0.574a≈ f (8)=0.578a≈ ； .
计算器
运用知识
强化练习
练习4.2.2
1． 某企业原来每月消耗某种试剂1000，现进行技术革新， 陆续使用价格较低的另一种材料替代该试剂，使得该试剂的 消耗量以平均每月10%的速度减少，试建立试剂消耗量与所
尝试解决
动脑思考 探索新知
函数模型 y ca x 叫做指数模型，
概念
其中 c 0 为常数，底 a>0 且 a≠1． 当 a>1 时，叫做指数增长模型； 当 0<a<1 时，叫做指数衰减模型．
巩固知识
例5
典型例题
设磷−32经过一天的衰变，其残留量为原来的95．27%．
现有10g磷−32，经过14天衰变还剩下多少克（精确到0.01)？
你还有冲击挡板的激情吗？ .....心理学家将一只饥饿的鳄鱼和一些小鱼放在水族箱 的两端，中间用透明的玻璃板挡开。 .....刚开始，鳄鱼毫不犹豫地向小鱼发动攻击，它失败 了，但它毫不气馁；接着，它又向小鱼发动第十次更 猛烈地攻击，它又失败了，并且受了重伤；它还要攻 击，第十三次，第十四次……多次攻击无望后，它不 再攻击了。 .....这个时候，心理学家将挡板拿开，鳄鱼已经不再攻 击小鱼了。它依然无望地看着那些小鱼在眼皮底下悠 闲地游来游去，它放弃了一切的努力。 大道理： 遗憾的是：像这条鳄鱼一样，我们很多人在 多次的挫折、打击和失败之后，就逐渐失去了战斗力 。激情死了，梦想死了，剩下的只有黯淡的眼神和悲 伤的叹息，无奈，无助和无力。
解 设10 g磷−32经过x天衰变，残留量为y g．
依题意可以得到经过x天衰变，
残留量函数为 y=10×0.9527x， 故经过14天衰变，残留量为y=10×0.952714≈5.07（g）．
计算器
巩固知识
例6
典型例题
服用某种感冒药，每次服用的药物含量为 a ，随着时间 t 的变化，体内
t f ( t ) 0.57 a （其中 t 以小时为单位） 的药物含量为 ．问服药 4 小时后，
第四章 指数函数与对数函数
4.2 .2 指数函数应用举例
小壁虎断尾巴 一只小壁虎被蛇咬住了尾巴，它拼命地挣扎，尾巴 断了，小壁虎得以逃命。 一位农夫见了，对小壁虎说：“你这可怜的小东西 ，刚断了尾巴，是不是很痛啊！” 小壁虎含泪点了点头。 “来，我给你包扎上，这草药是止痛的。”农夫拿 出一包草药说。 “不，我很感谢这疼痛，因为是痛让我知道自己还 活着，而且，你包扎了我的伤口，它怎么能长出新的尾 巴来呢？”说完，小壁虎带着钻心的疼痛爬走了。 大道理：痛苦带给人们的不一定是负面效应，有时痛苦 也孕育着希望，能感觉到痛苦，就说明还有知觉，还 有活下去的希望，这个时候，能够痛苦岂不是一件很 令人开心的事情？
归纳ห้องสมุดไป่ตู้结
自我反思
1. 你学习了哪些内容？
2. 你会解决哪些新问题？
3. 在学习方法上你有哪些体会？
布置作业
继续探究
阅 读 教材章节4.2
书 写 学习与训练4.2
实践
了解指数模型在生活中的应用
再
见
创设情景
问 题
例4
兴趣导入
某市2008年国民生产总值为20亿元,计划在未来10年内,
平均每年按8%的增长率增长,分别预测该市2013年与2018
年的国民生产总值(精确到0.01亿元)．
国民生产总值每年按8%增长是指，后一年的国民生
分 析
产总值是前一年的（1+8%）倍．需要先通过分析得 到函数关系，再分别求出5年后与10年后的函数值．