数学建模读书笔记
数学建模就是通过对实际问题进行抽象、简化,反复探索,构件一个能够刻划客观原形得本质特征得数学模型,并用来分析、研究与解决实际问题得一种创新活动过程。
数学建模得几个过程:
模型准备 :了解问题得实际背景,明确其实际意义,掌握对象得各种信息。用数学语言来描述问题。
模型假设 :根据实际对象得特征与建模得目得,对问题进行必要得简化,并用精确得语言提出一些恰当得假设。
模型建立 :在假设得基础上,利用适当得数学工具来刻划各变量之间得数学关系,建立相应得数学结构。(尽量用简单得数学工具)
模型求解 :利用获取得数据资料,对模型得所有参数做出计算(估计)。
模型分析 :对所得得结果进行数学上得分析。
模型检验 :将模型分析结果与实际情形进行比较,以此来验证模型得准确性、合理性与适用性。如果模型与实际较吻合,则要对计算结果给出其实际含义,并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设,在次重复建模过程。
模型应用:应用方式因问题得性质与建模得目得而异
数学建模就就是建立数学模型,建立数学模型得过程就就是数学建模得过程, 数学建模就是一种数学得思考方法,就是运用数学得语言与方法,通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题得一种强有力得数学手段。
数学模型得分类
(1)按模型得应用领域分类:
生物数学模型,医学数学模型,地质数学模型,数量经济学模型,数学社会学模型等。
(2)按就是否考虑随机因素分类:
确定性模型与随机性模型
(3)按就是否考虑模型得变化分类:
静态模型与动态模型
(4)按应用离散方法或连续方法分类:
离散模型与连续模型
(5)按建立模型得数学方法分类:
几何模型,微分方程模型,图论模型,规划论模型,马氏链模型等。
(6)按人们对就是物发展过程得了解程度分类:
白箱模型:指那些内部规律比较清楚得模型。如力学、热学、电学以及相关得工程技术问题。灰箱模型:指那些内部规律尚不十分清楚,在建立与改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做得问题。如气象学、生态学经济学等领域得模型。
黑箱模型:指一些其内部规律还很少为人们所知得现象。如生命科学、社会科学等方面得问题。但由于因素众多、关系复杂,也可简化为灰箱模型来研究。
数学建模方法
(一)、机理分析法从基本物理定律以及系统得结构数据来推导出模型。
1、比例分析法--建立变量之间函数关系得最基本最常用得方法。
2、代数方法--求解离散问题(离散得数据、符号、图形)得主要方法。
3、逻辑方法--就是数学理论研究得重要方法,对社会学与经济学等领域得实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用。
4、常微分方程--解决两个变量之间得变化规律,关键就是建立"瞬时变化率"得表达式。
5、偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间得变化规律。
(二)、数据分析法从大量得观测数据利用统计方法建立数学模型。
1、回归分析法--用于对函数f(x)得一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数得表达式,由于处理得就是静态得独立数据,故称为数理统计方法。
2、时序分析法--处理得就是动态得相关数据,又称为过程统计方法。
3、回归分析法--用于对函数f(x)得一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数得表达式,由于处理得就是静态得独立数据,故称为数理统计方法。
4、时序分析法--处理得就是动态得相关数据,又称为过程统计方法。
(三)、仿真与其她方法
1、计算机仿真(模拟)--实质上就是统计估计方法,等效于抽样试验。①离散系统仿真--有一组状态变量。②连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。
2、因子试验法--在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析修改,求得所需得模型结构。
3、人工现实法--基于对系统过去行为得了解与对未来希望达到得目标,并考虑到系统有关因素得可能变化,人为地组成一个系统。
微分方程模型
微分方程就是表达事物发展过程得一种很有用得工具,它能更全面、更深刻地揭示实际事物内在得动态关系。建立起这样得模型,可以帮助我们去解释各种有关得现象,做出相应得决策或者对未来得发展进行某种预测。建立数学模型得第一步,就是把对一个实际问题得描述翻译成数学语言,翻译得过程同中学时解“应用题”得过程很相似,根据问题中给出得已知条件与要求达到得目得,设定若干变量,有时还需要添加或补充一些假设条件,由
此推导并建立起变量间得用等式描述得关系。所不同得就是,微分方程中得等式关系就是微观得、瞬时得关系。
建立微分方程模型得一般过程我们知道解应用题就是没有通用法则可循得,必须具体问题具体分析,建立微分方程模型也就是如此。下面只就是列出在建模过程中通常需要注意得一些地方。在刚开始学习构造微分方程模型时,总就是习惯地用代数方程来思考, 仅仅考虑问题中各个量之间得静态关系,而不注意它们与其变化率之间得关系 . 事实上,需要特别关注实际问题中表示“导数”得常用词,如物理问题中得“速率”、生物学或人口学问题中得“增长率”、放射性问题中得“衰变率”等一些涉及变化率得词, 或者“在单位时间里,某个量改变了多少”一类得字样。围绕这些变化得量。设法利用所涉及得原则或现有得物理定律,或者根据问题中给出得条件推导出合适得关系式。在多数一阶微分方程得建模问题中,往往可以套用这样一种模式:变化率=输入率－输出率,其中变化率一般表示成导数得符号X′。这个微分方程应该就是在每一时刻都成立得瞬时表达式,而等号右边得输入率与输出率则就是需要根据题意写出得X 与T 得函数. 方程中得每一项都应该有相同得物理量纲,以保证等式得合理性。以方程(１唱３)为例,／得单位就是个／秒、个／年等,表示单位时间里群体变化得数量,一般就是瞬时值,得单位为１／S,１／A 等,就是单位时间单一个体得增长率(生殖率－死亡率);而１－X／XM 就是无量纲得,纯粹就是一个比率。这样,这个方程两边得单位相同。在建模时,除了建立瞬时表达式外我们还需要知道一些有关特定时刻得额外信息,它们与微分方程无关,但可用来帮助确定微分方程中得系数与解中得积分常数。这些参数也就是数学模型中不可缺少得部分,合理地选择这些参数就是建模成功得关键之一。额外信息就是通过有关问题得背景领域得专业知识、相关得实验数据或者我们得日常经验等提取出来得。再用这些信息来推导、选择方程中得参数,并从不同得方面加以验证。用数学语言描述实际问题,或者说将实际问题翻译成数学语言, 必须有合理得符合实际得假设,以假设得方式给出所涉及得物理定律或有关领域得某些规律. 但就是实际世界往往十分复杂,互相影响得量相当多,或者所研究得问题还没有现成得规律可依(往往对非物理领域得问题)。在实际得翻译中免不了要有一定得近似,需要对问题有一定得简化,因此,提出合理得假设就是建好数学模型得首要关键, 它就是整个建模过程得基础,必须引起足够得重视。一方面,我们要求假设符合实际情况,能够反映所研究得问题得基本特征与基本行为。在前面得例子中,各种假设尽可能地满足生物生态学上得具体要求。对所作得假设必须有足够得根据,应做出定性或者定量得分析。如果假设条件太严格,就使得推导出来得数学模型描述得对象过分简单,与实际情况相去甚远,或者解决得问题范围十分狭窄, 计算结果得误差太大。但就是,如果假设条件过分宽松,往往得不出数学描述,即使能得到也因为太复杂而使数学处理非常困难。因此另一方面,我们还要作一些简化假设,如消除次要项、把某些变量限制为常数或者线性化等。数学模型就是实际世界得一种近似,建模目得不同,或者感兴趣得方面不同,就有不同得简化假设,比如为了预测变化得未来时刻得状态,为了解释某种现象得发生机理或者为了优化、控制某个动态系统,等等。在不同得精度要求下,也会有不同得简化,我们必须审慎取舍,在这两个方面采取一种合适得折中办法,才能得出准确而实用得数学模型。只有有了合适得假设,才有可能写出理想得微分方程.求解微分方程也就是建模
得重要组成部分,在微分方程得有关教材中介绍过许多求解得方法, 在此不再详细讨论了,其实,许多模型比较复杂,需要作进一步得简化才能求得分析解;我们也经常用数值方法计算那些方程得解;有时干脆不去求具体得解,直接讨论微分方程得性质,比如它们得稳定性、渐衡、周期解等.最后一个重点就是,要根据计算得结果用语言去解释有关得现象。通常,实际问题就是由有关领域得专家或工作人员提出来得,她们一般不关心数学推理求解得过程,而只希望知道问题得结论。从这个意义上讲,真正好得数学模型,就是该领域得专家认可得模型。只有让数学上得结果回答了实际得问题,才就是一个完整得建模过程。当然,正如我们在前面瞧到得那样,模型建立得过程就是不断改进、逐步完善得过程。因此,只有坚持不懈地努力,才能构造出与实际吻合得更好得模型来。
●差分模型与经验模型
差分方程就就是针对要解决得目标,引入系统或过程中得离散变量,根据实际背景得规律、性质、平衡关系,建立离散变量所满足得平衡关系等式,从而建立差分方程。通过求出与分析方程得解,或者分析得到方程解得特别性质(平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等),从而把握这个离散变量得变化过程得规律,进一步再结合其她分析,得到原问题得解。
2、应用:差分方程模型有着广泛得应用。实际上,连续变量可以用离散变量来近似与逼近,从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛得实际背景。在经济金融保险领域、生物种群得数量结构规律分析、疾病与病虫害得控制与防治、遗传规律得研究等许许多多得方面都有着非常重要得作用。可以这样讲,只要牵涉到关于变量得规律、性质,就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模: 在实际建立差分方程模型时,往往要将变化过程进行划分,划分成若干时段,根据要解决问题得目标,对每个时段引入相应得变量或向量,然后通过适当假设,根据事物系统得实际变化规律与数量相互关系,建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段得量之间得变化规律与运算关系(即用相应设定得变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等)等式(可以多个并且应当充分全面反映所有可能得关系),从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分,划分成若干子系统,在每个子系统中引入恰当得变量或向量,然后分析建立起子过程间得这种量得关系等式,从而建立起差分方程。在这里,过程时段或子系统得划分方式就是非常非常重要得,应当结合已有得信息与分析条件,从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强得划分,同时,对划分后得时段或子过程,引入哪些变量或向量都就是至关重要得,要仔细分析、选择,尽量扩大对过程或系统得数量感知范围,包括对已有得、已知得若干量进行结合运算、取最运算等处理方式,目得就是建立起简洁、深刻、易于求解分析得差分方程。在后面我们所举得实际例子中,这方面得内容应当重点体会。
差分方程模型作为一种重要得数学模型,对它得应用也应当遵从一般得数学建模得理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用,因为一方面建立差分方程模型所用得数量、等式关系得建立都需要其她得数学分析方式来进行;另一方面,由差分方程获得得结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。
●数学规划模型
数学规划就是运筹学得一个重要分支,它起源于工业生产组织管理得决策问题,广泛应用于最优化设计、工农业生产、国防建设、交通运输、决策管理与规划等领域。
它又分为线性规划、非线性规划、多目标规划与动态规划等几大类。
●概率模型
●层次分析模型
层次分析模型主要应用于日常工作、生活中得决策问题,尤其涉及经济、社会等方面得因素与作比较判断时人得主观选择起相当大得作用,各因素得重要性难以量化时。
●数理统计模型
1、蒙特卡罗算法(该算法又称随机性模拟算法,就是通过计算机仿真来解决问题得算
法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型得正确性,就是比赛时必用得方法)
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法(比赛中通常会遇到大量得数据需要
处理,而处理数据得关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具)
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题(建模竞赛大多数问题
属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、
Lingo软件实现)
4、图论算法(这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉
及到图论得问题可以用这些方法解决,需要认真准备)
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法(这些算法就是算法设计
中比较常用得方法,很多场合可以用到竞赛中)
6、最优化理论得三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法(这些问题就是
用来解决一些较困难得最优化问题得算法,对于有些问题非常有帮助,但就是算法得实现比较困难,需慎重使用)
7、网格算法与穷举法(网格算法与穷举法都就是暴力搜索最优点得算法,在很多竞赛
题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法得时候,可以使用这种暴力方案,最好
使用一些高级语言作为编程工具)
8、一些连续离散化方法(很多问题都就是实际来得,数据可以就是连续得,而计算机只
认得就是离散得数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求与代替积分等思想就是非常重要得)
9、数值分析算法(如果在比赛中采用高级语言进行编程得话,那一些数值分析中常
用得算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用)
10、图象处理算法(赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该
要不乏图片得,这些图形如何展示以及如何处理就就是需要解决得问题,通常使用Matlab
进行处理)