∴a-1>0,1-ln(a-1)≥1-ln[(1+e)-1]=0,
∴F(x)≥0,即f(x)≤x成立.
综上,当1≤a≤1+e时,有f(x)≤x.
法二:令g(a)=x-f(x)=-xa+x+e x,
只要证明g(a)≥0在1≤a≤1+e时恒成立即可.
g(1)=-x+x+e x=e x>0,①
g(1+e)=-x·(1+e)+x+e x=e x-e x,
设h(x)=e x-e x,则h′(x)=e x-e,
当x<1时,h′(x)<0;当x>1时,h′(x)>0,
∴h(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴h(x)≥h(1)=e1-e·1=0,
即g(1+e)≥0.②
由①②知,g(a)≥0在1≤a≤1+e时恒成立.
∴当1≤a ≤1+e 时,有f (x )≤x . [针对训练]
(2014·东北三校联考)已知函数f (x )=12x 2-1
3ax 3(a >0),函数g (x )=f (x )+e x (x -1),函数g (x )的导函数为g ′(x ).
(1)求函数f (x )的极值; (2)若a =e ,
(ⅰ)求函数g (x )的单调区间;
(ⅱ)求证:x >0时,不等式g ′(x )≥1+ln x 恒成立. 解:(1)f ′(x )=x -ax 2
=-ax ? ?
?
??x -1a ,
∴当f ′(x )=0时,x =0或x =1
a ,又a >0, ∴当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )<0;当x ∈? ??
??0,1a 时, f ′(x )>0;当x ∈? ??
??
1a ,+∞时,f ′(x )<0, ∴f (x )的极小值为f (0)=0,
f (x )的极大值为f ? ??
??1a =16a 2. (2)∵a =e ,∴g (x )=12x 2-13e x 3+e x
(x -1), g ′(x )=x (e x -e x +1).
(ⅰ)记h (x )=e x -e x +1,则h ′(x )=e x -e , 当x ∈(-∞,1)时,h ′(x )<0,h (x )是减函数; x ∈(1,+∞)时,h ′(x )>0,h (x )是增函数, ∴h (x )≥h (1)=1>0, 则在(0,+∞)上,g ′(x )>0; 在(-∞,0)上,g ′(x )<0,
∴函数g (x )的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0). (ⅱ)证明:x >0时,g ′(x )=x (e x
-e x +1)≥1+ln x e x
-e x +1≥1+ln x
x ,
由(ⅰ)知,h (x )=e x -e x +1≥1,
记φ(x )=1+ln x -x (x >0),则φ′(x )=1-x
x , 在区间(0,1)上,φ′(x )>0,φ(x )是增函数; 在区间(1,+∞)上,φ′(x )<0,φ(x )是减函数, ∴φ(x )≤φ(1)=0,即1+ln x -x ≤0,1+ln x
x ≤1, ∴e x
-e x +1≥1≥1+ln x
x ,即g ′(x )≥1+ln x 恒成立.
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明: (1)()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点; (2)()f x 有且仅有2个零点. 【解析】(1)设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>;当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞. (i )由(1)知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. (ii )当0,2x π?? ∈ ???时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而
专题5 导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)
〖专题5〗导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容,也是我们高考复习的重点.从这几年来的高考试题来看,含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中,因此在高考复习中更应引起我们的重视. 一、思想方法: 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈?∈?> 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论. 二、典例讲解 [典例1]讨论x a x x f + =)(的单调性,求其单调区间. 解:x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I )当0≤a 时,)0(0)('≠>x x f 恒成立, 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数, 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -≠>或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数, )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数, 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结:1、先求函数的定义域, 2、求导函数(化为乘除分解式,便于讨论正负), 3、先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况, 4、再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界), 5、注意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并. [变式练习1]讨论x a x x f ln )(+=的单调性,求其单调区间.
导数应用:含参函数的单调性讨论(二)
导数应用:含参函数的单调性讨论(二) 对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论,若有多个讨论点时,要注意讨论层次与顺序,一般先根据参数对导函数类型进行分类,从简单到复杂。 一、典型例题 例1、已知函数3 2 ()331,f x ax x x a R =+++∈,讨论函数)(x f 的单调性. 分析:讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增,在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定0)('>x f 的解区间;确定函数的减区间就是确定0)('时,/2 ()3(21)f x ax x =++的图像开口向上,36(1)a ?=- I) 当136(1)0,a a ≥?=-≤时,时,/ ()0f x ≥,所以函数()f x 在R 上递增; II) 当0136(1)0,a a <=->时,时,方程/ ()0f x =的两个根分别为 1211x x a a ---+= =且12,x x < 所以函数()f x 在1(, a --∞,1(,)a -+∞上单调递增, 在11( a a --+上单调递减; (3) 当0a <时,/2 ()3(21)f x ax x =++的图像开口向下,且36(1)0a ?=-> 方程/ ()0f x =的两个根分别为1211,,x x a a --= =且12,x x > 所以函数()f x 在1(, a --∞,1()a -+∞上单调递减, 在11( )a a -+--上单调递增。 综上所述,当0a <时,所以函数()f x 在11( ,a a --上单调递增, 在1(, a -+-∞,1(,)a -+∞上单调递减; 当0a =时,()f x 在1(,]2-∞-上单调递增,在1 [,)2 -+∞上单调递减; 当01a <<时,所以函数()f x 在(-∞,)+∞上单调递增, 在上单调递减; 当1a ≥时,函数()f x 在R 上递增; 小结: 导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论(先讨论其为0情形),然后讨论判别式(先讨论判别式为负或为0的情形,对应导函数只有一种符号,原函数在定义域上为单调的),判别式为正的情况下还要确定两根的大小(若不能确定的要进行一步讨论),最后根据导函数正负确定原函数相应单调性,记得写出综述结论。
2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总
2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数综合大题 【2007新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数2()ln()f x x a x =++ (I )若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (II )若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于e ln 2 . 【解析】(Ⅰ)1()2f x x x a '= ++,依题意有(1)0f '-=,故32a =. 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ,∞,当312x -<<-时,()0f x '>; 当1 12 x -<<-时,()0f x '<; 当1 2 x >- 时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????,,, ∞单调增加,在区间112?? -- ??? ,单调减少. (Ⅱ)()f x 的定义域为()a -+,∞,2221 ()x ax f x x a ++'=+. 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-. (ⅰ)若0?< ,即a << ()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 的极值. (ⅱ)若0?= ,则a a = 若a = ()x ∈+ ,2 ()f x '= . 当x =时,()0f x '=,
当2 x ? ??∈-+ ? ????? ,∞时, ()0f x '>,所以()f x 无极值. 若a =)x ∈+,()0f x '= >,()f x 也无极值. (ⅲ)若0?>,即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-,,从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点, 故()f x 无极值. 当a > 1x a >-,2x a >-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点, 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==,取得极值. 综上,()f x 存在极值时,a 的取值范围为)+. ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=. 【2008新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ,,曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为y =3. (Ⅰ)求()f x 的解析式: (Ⅱ)证明:函数()y f x =的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值. 21.解:(Ⅰ)2 1 ()() f x a x b '=- +,
高中数学含参导数问题
由参数引起的案—— 含参导数问题 一、已知两个函数k x x x f -+=168)(2 ,x x x x g 452)(2 3 ++=,按以下条件求k 的范围。 (1)对于任意的]3,3[-∈x ,都有)()(x g x f ≤成立。 (构造新函数,恒成立问题) (2)若存在成立。,使得)()(]3,3[000x g x f x ≤-∈ (与恒成立问题区别看待) (3)若对于任意的).()(]3,3[2121x g x f x x ≤-∈,都有、 (注意21,x x 可以不是同一个x ) (4)对于任意的)()(],3,3[]3,3[1001x f x g x x =-∈-∈使得,总存在。 (注意:哪个函数的值域含于哪个函数的值域取决于:谁的x 是任意取的,谁的x 是总存在的。) (5)若对于任意0x []3,3∈-,总存在相应的[]12,3,3x x ∈-,使得102()()()g x f x g x ≤≤成立; (与(4)相同) 二、已知函数()2 1ln (1)2 f x a x x a x =+-+, a R ∈ (1)函数f (x )在区间(2,﹢∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 ,
(2)函数f (x )在区间(2,3)上单调,则实数a 的取值范围是 . 三、设函数3()3f x x ax =- (a R ∈),若对于任意的[]1,1-∈x 都有()1f x ≤成立,求实数a 的取值范围. 四、含参数导数问题的三个基本讨论点 一、 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论。 二、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内,从而引起讨论。 三、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落 在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。 例1、设函数3221 ()23()3 f x x ax a x a a R =-+-+∈.求函数)(x f 的单调区间和极值; (可因式分解,比较两根大小,注意别丢两根相等情况) 解: 2 2 ()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时,()0f x '≤,(,)-∞∞是函数的单调减区间;无极值;……………6分 0a >时,在区间(,),(3,)a a -∞∞上,()0f x '<; 在区间(,3)a a 上,()0f x '>, 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间,(,3)a a 是函数的单调增区间, 函数的极大值是(3)f a a =;函数的极小值是3 4()3 f a a a =- ;………………8分 0a <时,在区间(,3),(,)a a -∞∞上,()0f x '<; 在区间(3,)a a 上,()0f x '>, 因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间,(3,)a a 是函数的单调增区间 函数的极大值是3 4()3 f a a a =- ,函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 例1变式.若2 '()(1)f x x a x a =-++,若(0,)x ∈+∞,讨论()f x 的单调性。(比较根大小,考虑定义域)
导数与函数、方程、不等式综合含参问题处理方法归纳总结学生版
含参问题归纳总结 一、与函数零点(或者方程的根)有关的参数范围问题 函数的零点,即的根,亦即函数的图象与轴交点横坐标,与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数交点问题),进而确定参数的取值范围. 题型1.有关()x f 型 1.已知函数f(x)= e x x ?a ,g(x)= 3(e x ?ax) e x ,若方程f(x)=g(x)有4个不同的 实数解,则实数a 的取值范围是 A . (?∞,e ) B . (e,3)∪(3,+∞) C . (?∞,0)∪(e,+∞) D . (e,+∞) 2.若函数f(x)={e x ,?x ≥0?x 2+2x +1,?x <0 (其中e 是自然对数的底数),且函数y = |f(x)|?mx 有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是( ) A . (0,1) B . (0,e) C . (?∞,0)∪(1,+∞) D . (?∞,0)∪(e,+∞) 3.设函数f (x )是定义在R 上周期为2的函数,且对任意的实数x ,恒f (x )? f (?x )=0,当x ∈[?1,0]时,f (x )=x 2.若 g (x )=f (x )?log a x 在x ∈(0,+∞)上有且仅有三个零点,则a 的取值范围为( ) A . [3,5] B . [4,6] C . (3,5) D . (4,6) ()f x ()0f x =()f x x x
4.已知函数f(x)={xlnx?2x,x>0 x2+3 2 x,x≤0,若方程f(x)?mx+1=0恰有四个不 同的实数根,则实数m的取值范围是( ( A.(?1,?1 3)B.(?1,?1 2 )C.(?3 4 ,?1 2 )D.(?2,?1 2 ) 5.设f(x)=lnx+1 x ,若函数y=|f(x)|?ax2恰有3个零点,则实数a的取值范围为() A.(0,e2 3)B.(e2 3 ,e)C.(1 e ,1)D.(0,1 e )∪{e2 3 } 6.已知函数f(x)={x+1 x?1 ,x>1 2?e x,x≤1 ,若函数g(x)=f(x)?m(x?1)有两个零点,则实数m的取值范围是 7.若函数f(x)={ 2x+2?a,x≤0 x3?ax+2,x>0 有三个不同的零点,则实数a的取值范围 是_____.
运用导数解决含参问题
运用导数解决含参问题 运用导数解决含参函数问题的策略 以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及导数应用为目标,是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题,主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围。 解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想,通过不断地转化,把不熟悉、不规范、 复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。 解决的主要途径:是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特 征,恰当地构造函数,等价转化为:含参函数的最值讨论。 一、含参函数中的存在性问题 利用题设条件能沟通所求参数之间的联系,建立方程或不等式(组)求解。这是求存在性范围问题最显然的一个方法。 例题讲解 例1:已知函数x x x f ln 2 1)(2+= ,若存在],1[0e x ∈使不等式 m x f ≤)(0,求实数m 的取值范围 二、含参函数中的恒成立问题 可先利用题设条件建立变量的关系式,将所求变量和另一已知变量分离,得到函数关系,从而使这种具有函数背景的范围问题迎 刃而解,再由已知变量的范围求出函数的值域,即为所求变量的范围。类型有:(1)双参数
中知道其中一个参数的范围;(2)双参数中的范围均未知。 一、选择题 1 .(2013年课标Ⅱ)已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是( ) A .0x ?∈R,0()0 f x = B.函数()y f x =的图像是中心对称图形 C .若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D .若0x 是()f x 的极值点,则0'()0 f x = 2 .(2013年大纲)已知曲线()4 2 1-128=y x ax a a =+++在点,处切线的斜率为,() A .9 B .6 C .-9 D .-6 3 .(2013年湖北)已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是( ) A .(,0)-∞ B .1 (0,)2 C .(0,1) D .(0,)+∞ 4.若函数3 2 ()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是: ( )
利用导数解决函数零点问题
利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下,找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注: ①求导分解定义域,这1分必拿, )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ,构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ,重复上面步骤, 042)(22>+='x x xe e x g , )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(, +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 ④综上所述送1分. )(x f ' )(x f
(三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2 --=存在唯一 的极大值点0x ,且202 2)(--<高考理科数学全国卷三导数压轴题解析
2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- (1) 若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2) 若0x =是()f x 的极大值点,求a . 考点分析 综合历年试题来看,全国卷理科数学题目中,全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中,很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问,主要通过函数的单调性证明不等式,第2小问以函数极值点的判断为切入点,综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题,对思维能力(化归思想与分类讨论)的要求较高。 具体而言,第1问,给定参数a 的值,证明函数值与0这一特殊值的大小关系,结合函数以及其导函数的单调性,比较容易证明,这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式,比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点,把ln(1)x +前面的系数化为1,判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系,仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数,解法更加容易,思维比较巧妙。总体来讲,题目设置比较灵活,不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系:对于任意函数,在极值点,导函数一定等于0么(存在不存在)?导函数等于0的点一定是函数的极值点么?因此,任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中,0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增),对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减),因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围,所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上,可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求,难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况,非常巧妙,但是思维跨度比较大,在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是,官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视,这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现,这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势,对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高,符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。
导数复习专题(含参问题汇总)
高二理数期中专题复习卷----导数专题(二) 【知识点5:含参数的单调性问题】 1.若3 2 ()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值,则a 的取值围是( ) A .12a -<< B .2a >或1a <- C .2a ≥或1a ≤- D .12a a ><-或 2.已知函数3 2 ()1f x x ax x =-+--在(),-∞+∞上单调递减,则实数a 的取值围是( ) A.( ),33,?-∞-+∞ ? U B.3,3?- ? C.(),33,-∞-+∞ U D.(3,3 3.若函数2 ()2ln f x x x =-在定义域的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数,则实数k 的取值围是 . 4.已知函数2 ()ln (2)f x x ax a x =-+-,讨论()f x 的单调性. 5.设函数1 ()(2)ln 2.f x a x ax x =-+ + (1)当0a =时,求()f x 的极值; (2)设1 ()()g x f x x =-在[)1,+∞上单调递增,求a 的取值围; (3)当0a ≠时,求()f x 的单调区间. 【知识点6:含参数的零点个数问题】 1.设a 为实数, 函数3 ()3f x x x a =-++ (1)求()f x 的极值; (2)若方程()0f x =有3个实数根,求a 的取值围; (3)若()0f x =恰有两个实数根,求a 的值. 2.已知函数32 11(),,32 a f x x x ax a x R -= +--∈其中0a >. (1)求函数()f x 的单调区间; (2)若函数()f x 在区间(2,0)-恰有两个零点,求a 的取值围. 3.已知函数()1x a f x x e =-+ (,a R e ∈为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴, 求a 的值. (2)求函数()f x 的极值; (3)当1a =时,,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.
导数应用_含参函数的单调性讨论(一)
导数应用:含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法: 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈?∈?>Y Y Y Y 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性,求其单调区间 步骤小结:1、先求函数的定义域, 2、求导函数(化为乘除分解式,便于讨论正负), 3、先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况, 4、再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界), 5、注意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性,求其单调区间 例2.讨论x ax x f ln )(+=的单调性
小结: 导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界,但要注意其定义域和连续性。即先求出)('x f 的零点,再其分区间然后定)('x f 在相应区间的符号。一般先讨论0)('=x f 无解情况,再讨论解 0)('=x f 过程产生增根的情况(即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 围扩 大而出现有根,但根实际上不在定义域的),即根据)('x f 零点个数从少到多,相应原函数单调区间个数从少到多讨论,最后区间(最好结合导函数的图象)确定相应单调性。 变式练习2. 讨论x ax x f ln 2 1)(2 += 的单调性 小结: 一般最后要综合讨论情况,合并同类的,如i),ii)可合并为一类结果。 对于二次型函数(如1)(2 +=ax x g )讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。 例3. 求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间
函数与导数经典例题高考压轴题含答案
函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈,其中t R ∈. (Ⅰ)当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间; (Ⅲ)证明:对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点. 2. 已知函数21 ()32 f x x = +,()h x = (Ⅰ)设函数F (x )=18f (x )-x 2[h (x )]2,求F (x )的单调区间与极值; (Ⅱ)设a ∈R ,解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---; (Ⅲ)设*n ∈N ,证明:1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥L . 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(,0>a (Ⅰ)求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)求所有实数a ,使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立. 注:e 为自然对数的底数. 4. 设2 1)(ax e x f x +=,其中a 为正实数. (Ⅰ)当3 4 = a 时,求()f x 的极值点;(Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数,求a 的取值范围. 5. 已知a , b 为常数,且a ≠0,函数f (x )=-ax+b+axlnx ,f (e )=2(e=2.71828…是自然对数 的底数)。 (I )求实数b 的值; (II )求函数f (x )的单调区间; (III )当a=1时,是否同时存在实数m 和M (m导数讨论含参单调性习题(含详细讲解问题详解)
1.设函数. (1)当时,函数与在处的切线互相垂直,求的值; (2)若函数在定义域不单调,求的取值围; (3)是否存在正实数,使得对任意正实数恒成立?若存在,求出满足条件的实数;若不存在,请说明理由. 2.已知函数是的导函数,为自然对数的底数.(1)讨论的单调性; (2)当时,证明:; (3)当时,判断函数零点的个数,并说明理由. 3.已知函数(其中,). (1)当时,若在其定义域为单调函数,求的取值围; (2)当时,是否存在实数,使得当时,不等式恒成立,如果存在,求的取值围,如果不存在,说明理由(其中是自然对数的底数,). 4.已知函数,其中为常数. (1)讨论函数的单调性; (2)若存在两个极值点,求证:无论实数取什么值都有. 5.已知函数(为常数)是实数集上的奇函数,函数是区间上的减函数. (1)求的值; (2)若在及所在的取值围上恒成立,求的取值围;
6.已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+,其中0,0x a ><. (1)若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性,数a 的取值围; (2)若21,a e ??∈-∞- ??? ,且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ,求M 的最小值. 7.已知函数()ln x m f x e x +=-. (1)如1x =是函数()f x 的极值点,数m 的值并讨论的单调性()f x ; (2)若0x x =是函数()f x 的极值点,且()0f x ≥恒成立,数m 的取值围(注:已知常数a 满足ln 1a a =). 8.已知函数()()2 ln 12 x f x mx mx =++-,其中01m <≤. (1)当1m =时,求证:10x -<≤时,()3 3 x f x ≤; (2)试讨论函数()y f x =的零点个数. 9.已知e 是自然对数的底数,()()()12ln ,13x F x e x x f x a x -=++=-+. (1)设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证:()T x 在()0,+∞上单调递增; (2)若()()1,x F x f x ?≥≥,数a 的取值围. 10.已知函数()2x f x e ax =+- (1)若1a =-,求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值; (2)若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性; (3)若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且 [][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立,求a 的取值围。
例说导数含参问题的处理策略
例说导数含参问题的处理策略详解 (完美终结篇) 张成 壹叁捌叁捌伍叁捌贰肆贰 一、 和单调性有关的含参问题 1. 求单调区间:本质是解含参不等式 例1:求2 ()()x a f x x -= 的单调区间 【解】2 ()() ()x a a x f x x -+'= 12x a x a ==- 当0a =时,()10f x '=>,故只有增区间:(,0),(0,)-∞+∞不能并哦 当0a >时,由2 ()() ()0x a x x f a x -+'= >即()(x a)0x a -+>得,x a x a <->, 由()(x a)0x a -+<得a x a -<< 当0a <时,由()0f x '>得,x a x a <>- 由()0f x '<得a x a <<- 综上所述:当0a =时函数增区间为(,0),(0,)-∞+∞ 当0a >时函数增区间为:(,),(,)a a -∞-+∞减区间为:(,)a a - 当0a <时函数增区间为:(,),(,)a a -∞-+∞减区间为:(,)a a - 例2:求函数f (x )=x 2e ax 的单调区间. 【解】 函数f (x )的导数f ′(x )=2x e ax +ax 2e ax =(2x +ax 2)e ax . 1220x x a ==- (1)当a =0时,由f ′(x )<0得 x <0;由f ′(x )>0,得x >0 所以当a =0时,函数f (x )在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(0,+∞)上为增函数. 当a ≠0时,1220 x x a ==- (2)当a >0时,由2x +ax 2>0,得x <-2a 或x >0;由2x +ax 2<0,得-2 a <x <0. 所以当a >0时,函数f (x )在(-∞,-2a )和(0,+∞)上为增函数,在区间(-2 a ,0)上为减函数. (3)当a <0时,由2x +ax 2>0,得0<x <-2a ;由2x +ax 2<0,得x <0或x >-2 a , 所以当a <0时,函数f (x )在区间(-∞,0)和(-2a ,+∞)上为减函数,在区间(0,-2 a )上为增函数 总结:两个根大小不定时要讨论 2. 逆向问题:已知函数在某区间上单调性,求参数取值范围 (1) 解析式含参时:本质是恒成立问题: ()0f x '≥(()0f x '≤)恒成立 思路1:转化为求非含参一段函数的最值(范围) 思路2:数形结合 注意事项:端点能否取等号要注意
导数复习专题(含参问题汇总)
A 3,?+∞?( 3,+∞ 2 )2ln x x =-1)上不是单调函数
【知识点7:含参数的恒成立问题】 1.若函数32 1()(1)132 a f x x x a x = -+-+在区间(1,4)上是减函数,在区间(6,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围为 . 2.已知函数()3 2 3()1,2 f x ax x x R =-+∈其中0a >. (1)若1a =,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程; (2)若在区间11,22?? -???? 上,()0f x >恒成立,求a 的取值范围. 3.已知2 ()2ln .f x x x =- (1)求()f x 的最小值; (2)若21 ()2f x tx x ≥-在(]0,1x ∈内恒成立,求t 的取值范围. 4.已知函数3 ()3f x x ax b =-+(,)a b R ∈在2x =处的切线方程914y x =-. (1)求()f x 的单调区间; (2)令2 ()2g x x x k =-++,若对任意[]10,2x ∈,均存在[]20,2x ∈,使得()()12f x g x <,求实数k 的取值范围. 5.已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈. (1)讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数. (2)若函数()f x 在1x =处取得极值,对(0,)x ?∈+∞,()2f x bx ≥-恒成立,求实数b 的取值范围. (3)当1x y e >>-时,证明ln(1) ln(1) x y x e y -+> +.
高二理数期中专题复习卷----导数专题(二) (答案) 【知识点5】 1. B 2.B 3. 3 1, 2?? ???? 4. . 5.
高考导数压轴题题型(精选.)
高考导数压轴题题型 李远敬整理 2018.4.11 一.求函数的单调区间,函数的单调性 1.【2012新课标】21. 已知函数()f x 满足满足12 1()(1)(0)2 x f x f e f x x -'=-+; (1)求()f x 的解析式及单调区间; 【解析】 (1)12 11()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得:(0)1f = 1211 ()(1)(0)(1)1(1)2 x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得:21 ()()()12 x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+ ()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得:()f x 的解析式为21()2 x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ 2.【2013新课标2】21.已知函数f (x )=e x -ln(x +m ). (1)设x =0是f (x )的极值点,求m ,并讨论f (x )的单调性; 【解析】 (1)f ′(x )=1 e x x m - +. 由x =0是f (x )的极值点得f ′(0)=0,所以m =1. 于是f (x )=e x -ln(x +1),定义域为(-1,+∞),f ′(x )=1 e 1 x x -+. 函数f ′(x )=1 e 1 x x -+在(-1,+∞)单调递增,且f ′(0)=0. 因此当x ∈(-1,0)时,f ′(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0. 所以f (x )在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. 3.【2014新课标2】21. 已知函数()f x =2x x e e x --- (1)讨论()f x 的单调性; 【解析】 (1)+ -2≥0,等号仅当x=0时成立,所以f (x )在(—∞,+∞)单调递 增 【2015新课标2】21. 设函数 f (x )=e mx +x 2-mx 。 (1)证明: f (x )在 (-¥,0)单调递减,在 (0,+¥)单调递增; (2)若对于任意 x 1,x 2?[-1,1],都有 |f (x 1)-f (x 2)|£e -1,求m 的取值范围。
导数应用:含参函数的单调性讨论(一)
导数应用:含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法: 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈?∈?> 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性,求其单调区间 解:x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I )当0≤a 时,)0(0)('≠>x x f 恒成立, 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数, 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -≠>或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数, )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数, 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结:1、先求函数的定义域, 2、求导函数(化为乘除分解式,便于讨论正负), 3、先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况, 4、再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界), 5、注意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性,求其单调区间 解:x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I )当0≥a 时,)0(0)('>>x x f 恒成立, 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数,
导数讨论含参单调性习题(含详细讲解答案解析)
精品 1.设函数. (1)当时,函数与在处的切线互相垂直,求的值; (2)若函数在定义域内不单调,求的取值范围; (3)是否存在正实数,使得对任意正实数恒成立?若存在,求出满足条件的实数;若不存在,请说明理由. 2.已知函数是的导函数,为自然对数的底数.(1)讨论的单调性; (2)当时,证明:; (3)当时,判断函数零点的个数,并说明理由. 3.已知函数(其中,). (1)当时,若在其定义域内为单调函数,求的取值范围; (2)当时,是否存在实数,使得当时,不等式恒成立,如果存在,求的取值范围,如果不存在,说明理由(其中是自然对数的底数,). 4.已知函数,其中为常数. (1)讨论函数的单调性; (2)若存在两个极值点,求证:无论实数取什么值都有. 5.已知函数(为常数)是实数集上的奇函数,函数是区间上的减函数. (1)求的值; (2)若在及所在的取值范围上恒成立,求的取值范围; 感谢下载载
word 格式整理版 范文范例 学习指导 (3)讨论关于的方程的根的个数. 6.已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+,其中0,0x a ><. (1)若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性,求实数a 的取值范围; (2)若21,a e ??∈-∞- ??? ,且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ,求M 的最小值. 7.已知函数()ln x m f x e x +=-. (1)如1x =是函数()f x 的极值点,求实数m 的值并讨论的单调性()f x ; (2)若0x x =是函数()f x 的极值点,且()0f x ≥恒成立,求实数m 的取值范围(注:已知常数a 满足ln 1a a =). 8.已知函数()()2 ln 12 x f x mx mx =++-,其中01m <≤. (1)当1m =时,求证:10x -<≤时,()3 3 x f x ≤; (2)试讨论函数()y f x =的零点个数. 9.已知e 是自然对数的底数,()()()12ln ,13x F x e x x f x a x -=++=-+. (1)设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证:()T x 在()0,+∞上单调递增; (2)若()()1,x F x f x ?≥≥,求实数a 的取值范围. 10.已知函数()2x f x e ax =+- (1)若1a =-,求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值; (2)若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性; (3)若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且 [][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立,求a 的取值范围。