高中数学选修2-2“导数及其应用”教材分析及教学建议

高中数学选修2－2“导数及其应用”教材分析及教学建议

“导数”是“微积分”的重要内容之一，也是高中数学的传统内容之一，是进一步学习数学和其他自然学科的基础，是研究现代科学技术必不可少的工具。《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）与《全日制普通高级中学数学教学大纲》（以下简称《大纲》）相比，在教学内容、教学要求上都有很大的变化。本文就《标准》和《普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2》（以下简称“教材”）中对这一内容与要求的变化进行简要的分析，并对教学中应该注意的问题谈一些设想和建议，供大家参考。

1．明确教学内容和教学要求的新变化

1．1 教学内容的变化

《标准》与《大纲》的内容相比，删去了极限；微分的概念与运算；不定积分的概念与运算；定积分在求旋转体体积中的应用等内容。

1．2 教学要求上的变化

认识（要求把导数作为一种重要的数学思想、方法来学习），提高对导数应用性的要求，降低了对求导计算和定积分计算的要求。

2．把握“教材”的编写特点

2．1 突出探索性，注重本质

以往的教材在编排上从极限概念开始学习，把导数作为一种特殊极限来处理，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了学生对导数思想和本质的认识和理解。而几个版本的“教材”对这部分内容的处理是，不讲极限概念，不把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是运用丰富的实际背景和具体应用实例，让学生通过观察、实验、类比、归纳、抽象等数学活动，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和了解导数的概念，掌握和理解导数思想和本质的。

例如，人民教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2》对“导数概念”的处理就是通过“研究气球膨胀率”和“研究高台跳水运动员从腾空到进入水面的过程中不同时刻的速度”让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，引出瞬时速度的概念，从而抽象出导数概念的。

2．2 突出应用性，淡化计算

在以往微积分的教学中，更多的是要求学生会用公式和法则进行计算，对计算的要求很高，而忽视了导数作为数学思想、方法的工具性作用。几个版本“教材”的处理则淡化了计算，教学

目标要求明确了能用定义求常见函数c y =、x y =、2x y =、x y 1=、x y =的导数；能直

接用基本初等函数的导数公式及运算法则求简单函数的导数；对复合函数只限于求形如)(b ax f +的导数；对定积分能用定义及微积分基本定理进行简单的计算。在教学参考书上还明确要求：“对导数的计算要避免过量的形式化运算练习”。特别加强了导数在研究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和在解决最高等优化问题中的应用，并通过与初等方法比较，让学生感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。

3．教学中应注意的几个问题

从上面的分析我们看到，“教材”中的“导数及其应用”与原教材相比，不仅在内容上有删减，在教学要求上也有很大的变化。教学中要根据学生的实际，准确把握教学要求，实事求是地确定教学目标，同时在设计教学过程时还要注意以下几个问题。

3．1 注重概念的形成过程

导数和定积分概念的建立基于“无限趋近”的过程，这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同。为此，教学中应注意以下两点：第一，要根据学生生活经验，通过实际背景创设丰富的情境；第二，教学中要通过“问题串”引导学生用心体会“无限趋近”的内涵是“量变到质变”、“近似与精确”的哲学原理，不要急于得出形式化的定义，应努力追求水到渠成的教学效果。同时要注意对概念的教学不要用极限理论，以免涉及过多的极限知识而冲淡或干扰对概念本质的理解。

案例1：导数的概念形成过程的教学设计

（1）问题情境

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h （t ）=－4.9t 2＋6.5t ＋10。计算运动员在65049

t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：

①运动员在这段时间里是静止的吗？

②你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

点评：学生通过计算发现平均速度为“0”，而运动员在这段时间内并没有“静止”，从而引起学生的好奇，意识到平均速度不能精确地刻画物体运动，有必要研究某个时刻的速度，即瞬时速

度。

（2）学生活动

（首先给出瞬时速度的定义。）

问题1：如何求运动员的瞬时速度？

（取一个具体时刻如t=2，研究它附近的平均速度变化情况来寻找解决问题的思路，使抽象问题具体化。）

问题2：如何计算2秒附近某段时间间隔内的平均速度？

（在t=2之前或之后，任意取一个时刻2＋△t ，△t 是时间改变量。当△t<0时，计算区间[2+△t ，2]内的平均速度v ；当△t>0时，计算区间[2，2+△t]内的平均速度v 。）

问题3：当Δt 趋近于0时，平均速度v 有怎样的变化趋势？

（首先让学生动手计算，然后教师用电脑演示：Δt 逐渐趋近于0时，v 逐渐趋近于－13.1。）

问题4：t=2s 时的瞬时速度是多少？

（t=2s 时的瞬时速度是－13.1m/s ，可以表示为0(2)(2)lim 13.1t h t h t

?→+?-=-?）点评：让学生动手运算，并运用多媒体演示，多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，使学生经历和体会“无限逼近”的过程，深化了对导数概念的理解和认识。

问题5：运动员在某个时刻t 0的瞬时速度如何表示呢？

（类比问题4可以得到答案）

点评：这里不提及极限概念,而是通过类比“无限趋近”的过程来定义t 0时刻的瞬时速度，符合学生的认知规律，也体现了从特殊到一般的思维方法。

（3）建构数学

问题6：函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率怎样表示？

（通过师生交流，引导学生类比上面问题得出结论，从而抽象出导数的概念。）

点评：引导学生舍弃具体问题的实际意义,抽象得出函数在某点出的瞬时变化率，即导数，帮助学生实现了认识的飞跃。本案例通过“问题串”层层设疑，把学生推向问题的中心，在让学生经历动手操作、直观观察、用心体会的过程中感受数学思想，认识数学本质，主动地参与到数学教学活动中来，促进了“三维目标”的达成。

2．2 加强应用意识和数学建模能力的培养

数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。它是数学学习的一种新的方式，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识。导数在解决实际问题中有着广泛的应用。导数是描述事物变化率的数学模型，任何与变化率有关的问题一般都可以用导数加以解决。教学中应注意选取一些生活中与变化率有关的问题，设计数学探究活动，引导学生运用导数思想、方法和相关知识加以解决，从而培养学生的应用意识和数学建模能力。

案例2：数学探究活动：磁盘的最大存储量问题

教学设计如下：

（1）问题情境

你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？你知道磁盘的结构吗？如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？

【背景知识】

计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域。磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索的方便，磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数。

（2）抽象出数学问题

现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时，磁盘具有最大的存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

（3）数学建模

①分析磁盘的存储量的计算方法：存储量＝磁道数×每磁道的比特数。

②引导学生讨论，建立数学模型：磁盘的磁道数最多可达

m r

R-

，每条磁道上的比特数为

n rπ2

，所以磁盘的总存储量为：)

(

)

。

③引导学生运用导数解决问题。

（4）问题的延伸

如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是

r越小，磁盘的存储量越大？

（师生讨论、交流，找到解决问题的方案。）

……

2．3 加强数学思想方法的教学

“知识是数学的躯体，问题是数学的心脏，数学思想方法则是数学的灵魂”，加强数学思想方法教学的重要性是不言而喻的。本章主要涉及到数形结合的思想、“无限趋近”和“局部以直代曲”的思想方法等，在教学中应予以充分的关注。

通过数形结合，能使抽象的知识直观化。导数和定积分概念的教学，几何意义的探究，导数与函数的关系研究，以及微积分基本定理的给出，都是数形结合的经典范例。在教学中要充分运用“数”与“形”的有机结合，让学生直观去认识和感受，这样既可以简化严格的推导过程，减少学生学习的困难，也可以使抽象枯燥的数学教学充满活力。

“无限趋近”的本质是极限的思想。在导数和定积分概念的形成、导数几何意义的探究中，运用“无限趋近”来描述其本质形象直观，容易理解。“无限趋近”在以往的数学学习中没有涉及到，在教学中要注意让学生体会和感受这种思想的实际意义和作用。

“局部以直代曲”是微积分的核心所在。在微积分中，研究与曲线有关的问题时，一般都是运用“以直代曲”的辨证思想来进行的。例如，在研究“曲线上点P处的切线”问题时，我们可以采用形象直观的“放大图形”的方法，随着点P附近的曲线被放大，再放大，我们发现，曲线在点P附近看上去几乎成了直线。因此在点P附近，我们可以用直线代替曲线（即在很小范围内以直代曲）。再如，在研究“曲边梯形的面积”问题时，我们可以将曲边梯形分割成许多小曲边梯形，对其中的任意一个小曲边梯形，都可以用“直边”来代替“曲边”（即可以在很小范围内以直代曲），从而可以近似的求出曲边梯形的面积。

2．4 关注算法思想的渗透，以及与信息技术的整合

“算法”是高中数学课程中新增加的内容，《标准》明确指出：渗透算法思想是算法学习的一个重要方面。在教学中，我们可以通过两个渠道渗透算法思想：一是在计算中向学生渗透算法思想。本章的计算较多，如，平均变化率的计算，导数的计算、曲边梯形面积的计算、定积分的计

算等都是渗透算法思想的好素材；二是通过阅读材料向学生渗透算法思想。如让学生阅读“用牛顿法求方程的近似解”、“用蒙特卡罗法计算曲边梯形的面积”等。

在教学中，还应重视教学内容与信息技术的有机整合，重视利用信息技术来呈现课堂教学中难以呈现的教学内容。如在导数概念的教学中，由平均变化率到瞬时变化率的产生过程，可以用电脑演示“无限趋近”过程的数值变化；在研究导数的几何意义、研究导数与函数单调性的关系等内容的教学中，运用电脑动画演示直观易懂；在让学生阅读“用牛顿法求方程的近似解”和“用蒙特卡罗法计算曲边梯形的面积”时，教师可以引导学生先设计算法框图，再利用计算机求解等。应该说，本章内容与信息技术整合的空间较大，教师在教学中要作深入的探索。

2．5 加强对数学的文化的渗透

数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。通过数学文化的学习，可以使学生了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值和人文价值，并从中受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。在本章的教学中，可以引导学生搜集有关微积分创立的时代背景和有关人物（如笛卡儿、牛顿、莱布尼茨柯西等）资料进行交流，体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

参考文献：

1 中华人民共和国教育部制订。普通高中数学课程标准（实验）[M]。北京：人民教育出版社，

2003

2 数学课程标准研制组。普通高中数学课程标准（实验）解读[M]。南京：江苏教育出版社，2004

3 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心。普通高中课程标准实

验教科书数学选修1－2、2－2[M]。北京：人民教育出版社，2006

4 单壿。普通高中课程标准实验教科书数学选修1－2、2－2[M]。南京：江苏教育出版社，2006