人教版本初中九年级的数学上册的讲义全册.docx
人教版九年级数学上册讲义( 全册 )
第二十一章二次根式
教材内容
1．本单元教学的主要内容：
二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．
2．本单元在教材中的地位和作用：
二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的 ,它也是今后学习其他数学知识的基础．
教学目标
1．知识与技能
（1）理解二次根式的概念．
（ 2）理解 a （a≥0）是一个非负数,（ a ）2=a（a≥0）,a2=a（a≥0）．
（ 3）掌握 a · b ＝ab （a≥0,b≥0）,ab = a · b ；
a =a
（a≥0,b>0）,
a
=
a
（a≥0,b>0）．
b b b
b
（ 4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．
2．过程与方法
（1）先提出问题 ,让学生探讨、分析问题 ,师生共同归纳 ,得出概念． ?再对概念的内涵进行分析 ,得出几个重要结论 ,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．
（2）用具体数据探究规律 ,用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定,?并运用规定进行计算．
（3）利用逆向思维 ,?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．
（4）通过分析前面的计算和化简结果 ,抓住它们的共同特点 ,?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念 ,来对相同的二次根式进行合并 ,达到对二次根式进行计算和化简的目的．
3．情感、态度与价值观
通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重点
1．二次根式a（ a≥0）的内涵．a（ a≥ 0）是一个非负数；（a）2＝ a（ a≥ 0）；a2 =a（ a≥ 0） ? 及其运用．
2．二次根式乘除法的规定及其运用．
3．最简二次根式的概念．
4．二次根式的加减运算．
教学难点
1．对 a （a≥0）是一个非负数的理解；对等式（ a ）2＝a（a≥0）及a2=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．
3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．
教学关键
1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力,突出重点 ,突破难点．
2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力,?培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分
21． 1二次根式 3 课时
21． 2二次根式的乘法 3 课时
21． 3二次根式的加减 3 课时
教学活动、习题课、小结 2 课时
21． 1二次根式
第一课时
教学内容
二次根式的概念及其运用
教学目标
理解二次根式的概念,并利用 a （a≥0）的意义解答具体题目．
提出问题 ,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题．
教学重难点关键
1．重点：形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．难点与关键：利用“ a （a≥0）”解决具体问题．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：
3
问题 1：已知反比例函数y= ,那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________．
x
问题 2：如图 ,在直角三角形ABC 中 ,AC=3,BC=1, ∠C=90 °,那么 AB 边的长是 __________．
A
B C
问题 3：甲射击 6 次 ,各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S2,那么 S=_________．老师点评：
问题 1：横、纵坐标相等 ,即 x=y,所以 x2=3．因为点在第一象限,所以 x= 3 ,所以所求点的坐标（ 3 , 3 ）．问题 2：由勾股定理得AB= 10
问题 3：由方差的概念得4 S=. 6
二、探索新知
4
很明显 3 、10 、,都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子,我们就把它
6
称二次根式．因此,一般地 ,我们把形如 a （a≥0）?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号．（学生活动）议一议：
1． -1 有算术平方根吗？
2． 0 的算术平方根是多少？
3．当 a<0, a 有意义吗？
例 1．下列式子 ,哪些是二次根式 ,哪些不是二次根式：
2 、 3
3 、 1
、 x （x>0 ）、 0 、 4 2 、 - 2 、
1
x
、
x y （ x ≥ 0,y?≥ 0）．
x y
分析 ：二次根式应满足两个条件：第一 ,有二次根号“
”；第二 ,被开方数是正数或 0．
解：二次根式有：
2 、 x （ x>0 ）、 0 、- 2 、 x
y （ x ≥ 0,y ≥ 0）；不是二次根式的有： 3 3 、 1 、
1
x 4
2 、
．
x y
例 2． 当 x 是多少时 , 3x 1 在实数范围内有意义？ 分析 ：由二次根式的定义可知 ,被开方数一定要大于或等于
0,所以 3x-1 ≥ 0,? 3x 1 才能有意义．
1 解：由 3x-1 ≥ 0,得： x ≥
3
当 x ≥ 1
时 , 3x 1 在实数范围内有意义．
3
三、巩固练习
教材 P 练习 1、2、 3．
四、应用拓展
例 3． 当 x 是多少时 ,
2x
1
在实数范围内有意义？
3 +
1 x 1
2x 3 中的≥ 0 和
1
分析 ：要使 2x
3 + 在实数范围内有意义 ,必须同时满足
中的 x+1≠ 0．
x 1
x
1
解：依题意 ,得
2x
3 0
x 1 0
3
由①得： x ≥ -
2
由②得： x ≠ -1
当 x ≥ -
3
且 x ≠ -1 时 , 2x
3 +
1
在实数范围内有意义．
2
x
1
例 4(1) 已知 y=
2 x + x
2 +5,求 x
的值． (答案 :2)
y
(2)若 a
1 + b 1 =0,求 a
2004
+b
2004
的值． (答案 :
2
)
5
五、归纳小结 （学生活动 ,老师点评） 本节课要掌握： 1．形如
a （a ≥ 0）的式子叫做二次根式 ,“
”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义 ,必须满足被开方数是非负数．
六、布置作业
1．教材 P 8 复习巩固 1、综合应用 5． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业 :《同步训练》
第一课时作业设计
1．下列式子中 ,是二次根式的是（）
A ． - 7B．37C．x D ． x 2．下列式子中 ,不是二次根式的是（）
A ．4B．16C．8
1 D．
x
3．已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）
A ． 5
B ．5C．1
D ．以上皆不对5
二、填空题
1．形如 ________的式子叫做二次根式．
2．面积为 a 的正方形的边长为________．
3．负数 ________平方根．
三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为 1m3的产品包装盒 ,其高为 0.2m,按设计需要 ,?底面应做成正方形 ,试问底面边长应是多少？
2．当 x 是多少时 ,2x3
x+x
2在实数范围内有意义？
3．若 3 x +x 3 有意义,则x 2=_______ ．
4.使式子( x5)2有意义的未知数x 有（）个．
A ． 0
B ． 1C． 2 D ．无数
5.已知 a、 b 为实数 ,且 a 5 +2102a =b+4,求a、b的值．
第一课时作业设计答案:
一、 1．A2． D 3． B
二、 1． a （a≥0）2．a3．没有
三、 1．设底面边长为x,则 0.2x 2=1, 解答： x= 5．
2x 3 0x3
2
2．依题意得：,
x 0x0
∴当 x>- 3
且 x≠ 0时,2x
3
＋ x2在实数范围内没有意义．
12x
3.
3
4． B
5． a=5,b=-4
21.1二次根式(2)
第二课时教学内容
1． a （a≥0）是一个非负数；
2．（ a ）2=a（a≥0）．
教学目标
理解 a （ a ≥ 0）是一个非负数和（
a ） 2=a （ a ≥ 0） ,并利用它们进行计算和化简．
通过复习二次根式的概念 ,用逻辑推理的方法推出
a （ a ≥0）是一个非负数 ,用具体数据结合算术平方根
的意义导出（
a ）2=a （ a ≥ 0）；最后运用结论严谨解题．
教学重难点关键
1．重点：
a （ a ≥ 0）是一个非负数； （ a ） 2=a （ a ≥ 0）及其运用．
2．难点、关键：用分类思想的方法导出
a （ a ≥ 0）是一个非负数； ?用探究的方法导出（
a ）2=a （ a
≥0）．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）口答
1．什么叫二次根式？
2．当 a ≥ 0 时 , a 叫什么？当 a<0 时 , a 有意义吗？ 老师点评（略） ．
二、探究新知
议一议：（学生分组讨论 ,提问解答）
a （a ≥ 0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习
,我们可以得出
a （ a ≥ 0）是一个非负数．
做一做：根据算术平方根的意义填空：
（ 4 ） 2=_______ ；（ 2 ） 2=_______ ；（ 9 ） 2=______；（ 3 ） 2=_______ ；
（
1
） 2
=______；（
7
） 2=_______；（ 0 ） 2=_______．
3
2
老师点评：
4 是 4 的算术平方根 ,根据算术平方根的意义 ,
4 是一个平方等于 4 的非负数 ,因此有（
4 ）
2
=4 ．
同理可得：（
2 ） 2=2, （ 9 ）2=9,（
3 ） 2
=3, （
1
）2
= 1 ,（
7 ） 2= 7 ,（ 0 ） 2=0,所以
3
3
2 2
（
a ） 2=a （ a ≥ 0）
例 1 计算
1．（
3
） 2
2．（ 3 5 ）
2
3．（
5
） 2
4．（
7
）2
2
6
2
分析 ：我们可以直接利用（ a ） 2=a （a ≥ 0）的结论解题．
解：（
3 ） 2
= 3 ,（ 3 5 ）2 =32·（ 5 ） 2=32
· 5=45,
2
2
（
5
） 2
= 5
,（
7 ） 2= ( 7) 2 7 ．
6
6
2
22
4
三、巩固练习
计算下列各式的值：
（ 18 ）2
（
2
） 2
（
9
） 2
（ 0 ） 2
（4
7
） 2
3
4
8
(3 5) 2 (5 3) 2
四、应用拓展
例 2计算
1．（x 1）2（x≥ 0）2．（a2）23．（a22a 1 ）2
4．（4x2 12 x 9 ）2
分析：（ 1）因为 x≥ 0,所以 x+1>0 ；（ 2） a2≥ 0；（ 3） a2+2a+1= （ a+1）≥ 0；
（4） 4x2 -12x+9= （ 2x）2-2· 2x· 3+3 2=（ 2x-3）2≥ 0．
所以上面的 4 题都可以运用（a）2=a（ a≥ 0）的重要结论解题．解：
（ 1）因为 x≥ 0,所以 x+1>0
（x 1 ）2=x+1
（ 2）∵ a2≥0,∴（a2）2 =a2
（3）∵ a2+2a+1= （ a+1）2
又∵（ a+1）2≥ 0,∴ a2+2a+1≥ 0,∴a22a 1 =a2+2a+1
（ 4）∵ 4x2-12x+9= （2x）2-2· 2x· 3+32=（ 2x-3 ）2
又∵（2x-3 ）2≥ 0
∴ 4x 2-12x+9 ≥0,∴（4x212x9 ）2=4x2-12x+9
例 3 在实数范围内分解下列因式:
（ 1） x2-3（ 2）x4-4(3) 2x 2-3
分析： (略 )
五、归纳小结
本节课应掌握：
1． a （a≥0）是一个非负数；
2．（ a ）2=a（a≥0）;反之:a=（a ）2（a≥0）．
六、布置作业
1．教材 P8复习巩固2．（ 1）、（ 2）P97．
2．选用课时作业设计．
3.课后作业 :《同步训练》
第二课时作业设计
一、选择题
1．下列各式中15 、3a 、b2 1 、 a2b2、 m220 、144 ,二次根式的个数是（）．
A ． 4
B ． 3C． 2 D ． 1
2．数 a 没有算术平方根,则 a 的取值范围是（）．
A ． a>0
B ． a≥ 0C． a<0D． a=0
二、填空题
1．（ - 3 ）2=________．
2．已知x 1 有意义,那么是一个_______数．
三、综合提高题
1．计算
（ 1）（9 ）2（ 2）- （ 3 ）2（ 3）（1
6 ）2（ 4）（ - 3
2
） 2 23
(5)(2 3 3 2)(2 3 3 2)
（ 1） 5
（ 2） 3.4
（ 3）
1 （4） x （ x ≥ 0）
6
3．已知 x y 1 +
x 3 =0, 求 x y 的值．
4．在实数范围内分解下列因式 :
（ 1） x 2- 2
（ 2）x 4-9 3x
2
-5
第二课时作业设计答案
:
一、 1．B 2． C
二、 1．3 2．非负数
三、 1．（ 1）（ 9 ） 2
=9
（ 2） -（ 3 ） 2
=-3
（3）（
1
6 ） 2
= 1
× 6=
3
2
4
2
2 2 (5)-6
（ 4）（ - 3
） 2
=9× =6
3
3
2．（ 1）5= （ 5 ） 2 （2） 3.4=（ 3.4 ） 2
（ 3） 1 =（
1
）2
（ 4） x= （ x ）2 （ x ≥ 0）
6
6
x y 1 0 x
3
3．
3
y
x y
=3 4
=81
x
4
4.（ 1）x 2- 2=（ x+
2 ）（ x- 2 ）
（ 2） x 4- 9=（ x 2+3）（ x 2- 3） =（ x 2+3）（x+ 3 ）（ x- 3 ）
(3) 略
21.1 二次根式 (3)
第三课时
教学内容
a 2 ＝ a （ a ≥0）
教学目标
理解
a 2 =a （a ≥ 0）并利用它进行计算和化简．
通过具体数据的解答 ,探究
a 2 =a （ a ≥ 0）,并利用这个结论解决具体问题．
教学重难点关键
1．重点：
a 2 ＝ a （ a ≥0）．
2．难点：探究结论．
3．关键：讲清 a ≥ 0 时 , a 2 ＝ a 才成立．
教学过程
一、复习引入
老师口述并板收上两节课的重要内容；
2． a （ a ≥ 0）是一个非负数； 3． ( a ) 2＝ a （a ≥ 0）．
那么 ,我们猜想当 a ≥ 0 时 , a 2 =a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．
二、探究新知
（学生活动）填空：
22 =_______；
0.012 =_______；
( 1 )2 =______ ；
10
( 2 )2
=________ ； 02 =________ ；
( 3)2 =_______ ．
3
7
（老师点评） ：根据算术平方根的意义 ,我们可以得到：
22
=2； 0.01
2
=0.01； ( 1 ) 2
= 1 ； ( 2 ) 2
= 2
； 02
=0； ( 3 )2 = 3 ．
10
10 3
3
7
7
2
因此 ,一般地：
a =a （ a ≥ 0）
（ 1） 9
（ 2）
( 4)2
（ 3） 25
（ 4） ( 3)2
分析 ：因为（ 1） 9=-32,（ 2）（ -4） 2=42,（ 3） 25=5 2,
（4）（ -3） 2=3 2,所以都可运用
a 2 =a （ a ≥ 0） ?去化简．
解：（ 1）
9 =
2 2
2
3 =3 （ ）
( 4) = 4
=4
2
（ 3） 25 = 52 =5 （ 4） ( 3)2 = 32 =3
三、巩固练习
教材 P 7 练习 2．
四、应用拓展
例 2
填空：当 a ≥0 时 ,
a 2 =_____；当 a<0 时 , a 2 =_______,? 并根据这一性质回答下列问题．
（ 1）若 a 2 =a,则 a 可以是什么数？ （ 2）若 a 2 =-a, 则 a 可以是什么数？
（ 3） a 2 >a,则 a 可以是什么数？
分析 ：∵ a 2 =a （ a ≥ 0 ）,∴要填第一个空格可以根据这个结论 ,第二空格就不行 ,应变形 ,使“（
） 2”中
的数是正数 ,因为 ,当 a ≤ 0 时 ,
a 2 = ( a)2 ,那么 -a ≥ 0．
（ 1）根据结论求条件； （ 2）根据第二个填空的分析 ,逆向思想；（ 3）根据（ 1）、（ 2）可知 a 2 =│a │ ,而
│ a │要大于 a,只有什么时候才能保证呢？ a<0．
解：（ 1）因为 a 2 =a,所以 a ≥ 0；
（ 2）因为
a 2 =-a, 所以 a ≤ 0；
（ 3）因为当 a ≥ 0 时 a 2
=a, 要使
a 2 >a, 即使 a>a 所以 a 不存在；当 a<0 时 , a 2 =-a, 要使 a 2 >a, 即
使 -a>a,a<0 综上 ,a<0
例 3 当 x>2, 化简 (x 2)2 - (1 2x)2 ．
分析 ： (略 )
五、归纳小结
六、布置作业
1．教材 P 习题 21． 13、 4、 6、8．
8
2．选作课时作业设计．
3.课后作业 :《同步训练》
第三课时作业设计一、选择题
1．(21
)2( 2
1
) 2的值是（）．33
A ． 0
2
C． 4
2
D．以上都不对B ．
3
3
2 ． a≥0 时 ,a2、( a)2、-a2, 比较它们的结果 , 下面四个选项中正确的是（）．
A ．a2=( a)2≥- a2
B ．a2 > ( a)2 >- a2
C ．a2<( a)2<- a2
D ． - a2 > a2 = ( a)2
二、填空题
1 ． -0.0004 =________．
2．若20m 是一个正整数,则正整数m的最小值是________．
三、综合提高题
1．先化简再求值：当a=9 时 ,求 a+ 1 2a a2的值,甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式 =a+(1a) 2=a+（ 1-a ） =1；
乙的解答为：原式 =a+(1a) 2=a+（ a-1 ） =2a-1=1 7．
两种解答中 ,_______的解答是错误的 ,错误的原因是 __________．
2．若│ 1995-a │+ a2000 =a,求a- 19952的值．
（提示：先由 a-200 0≥ 0,判断 1995-a ?的值是正数还是负数,去掉绝对值）
3. 若 -3 ≤ x≤ 2 时 , 试化简│ x-2 │ + (x 3)2+ x210x25 。
答案 :
一、 1．C 2． A
二、 1．-0 ． 02 2 ． 5
三、 1．甲甲没有先判定1-a 是正数还是负数
2．由已知得 a-?2000? ≥ 0,?a? ≥ 2000
所以 a-1 995+ a2000 =a, a 2000 =1995,a-200 0=19952,
所以 a- 19952=2000．
3. 10-x
21． 2二次根式的乘除
第一课时
教学内容
a ·
b ＝ab （a≥0,b≥0）,反之ab = a · b （a≥0,b≥0）及其运用．
教学目标
理解
a ·
b ＝ ab （ a ≥ 0,b ≥ 0） , ab = a · b （ a ≥ 0,b ≥ 0） ,并利用它们进行计算和化简
由具体数据 , 发现规律 , 导出
a ·
b ＝ ab （ a ≥ 0,b ≥ 0）并运用它进行计算；
?利用逆向思维 , 得出
ab = a · b （a ≥ 0,b ≥ 0）并运用它进行解题和化简．
教学重难点关键
重点：
a ·
b ＝ ab （ a ≥ 0,b ≥ 0） , ab = a · b （a ≥0,b ≥ 0）及它们的运用．
难点：发现规律 ,导出 a · b ＝ ab （a ≥ 0,b ≥ 0）．
关键：要讲清
ab （ a<0,b<0）= ag b ,如
( 2) ( 3) = ( 2) ( 3) 或 ( 2) ( 3) = 2 3 = 2
× 3 ．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空
（ 1） 4 × 9 =_______, 4 9 =______；
（ 2） 16 ×
25 =_______, 16 25 =________ ．
（ 3） 100 × 36 =________, 100 36 =_______ ． 参考上面的结果 ,用“ >、<或＝”填空．
4 × 9 _____ 4 9 ,
16 ×
25 _____ 16 25 ,
100 × 36 ________ 100 36
2．利用计算器计算填空
（ 1） 2 ×
3 ______ 6 ,（ 2） 2 × 5 ______ 10 , （ 3） 5 × 6 ______
30 ,（ 4） 4 ×
5 ______ 20 ,
（ 5） 7 × 10 ______
70 ．
老师点评（纠正学生练习中的错误）
二、探索新知
（学生活动）让 3、 4 个同学上台总结规律． 老师点评：（ 1）被开方数都是正数；
（ 2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式 ,?并且把这两个二次根式中的数相乘 ,作为等号另一边二次根式中的被开方数．
一般地 ,对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ ab
反过来 :
ab = a · b
．（ a ≥ 0,b ≥ 0）
（ a ≥ 0,b ≥ 0）
例 1．计算
（ 1） 5 × 7
（ 2）
1
× 9 （ 3） 9 × 27
（ 4）
1
× 6
3
2
分析： 直接利用 a · b ＝ ab （ a ≥ 0,b ≥0）计算即可．
解：（ 1） 5 × 7 = 35
（2）
1
× 9 =
1
9 = 3
3 3
（3） 9 × 27 = 9 27
92 3 =9 3
（4）
1
× 6 =
1 6 = 3
2
2
例 2 化简
（1） 9 16
（2） （4）
9x 2 y 2
（ 5）
16 81
（ 3） 81 100
54
分析：利用 ab = a · b （ a ≥0,b ≥ 0）直接化简即可． 解：（ 1） 9 16 = 9 × 16 =3× 4=12 （ 2） 16
81 = 16 × 81 =4×9=36
（ 3） 81 100 =
81 × 100 =9×10=90
（ 4） 9x 2 y 2 = 32 ×
x 2 y 2 = 32 × x 2 × y 2 =3xy
（ 5） 54 =
9 6 = 32 × 6 =3 6
三、巩固练习
（ 1）计算（学生练习 ,老师点评）
①
16 ×
8
② 3 6 × 2 10
③ 5a ·
1
ay
5
(2) 化简 :
20 ; 18 ; 24 ;
54 ;
12a 2b 2
教材 P 11 练习全部
四、应用拓展
例 3． 判断下列各式是否正确 ,不正确的请予以改正：
（ 1） ( 4) ( 9)
4
9
（ 2）
12 × 25
× 12 ×
25 12 × 25 =4 12 =8 3 4
=4
25
=4
25
25
解：（ 1）不正确．
改正：
( 4) ( 9) =
4 9 ＝ 4 × 9 =2 × 3=6
（ 2）不正确．
改正：
4
12
× 25 = 112 × 25 = 112 25 = 112 = 16 7 ＝ 4 7
25 25 25
五、归纳小结
本节课应掌握： （1） a · b ＝ ab =（ a ≥ 0,b ≥ 0）, ab = a ·
b （ a ≥ 0,b ≥0）及其运用．
六、布置作业
1．课本 P 15 1,4,5,6．（ 1）（ 2）．
2．选用课时作业设计．
3.课后作业 :《同步训练》
第一课时作业设计
一、选择题
1．若直角三角形两条直角边的边长分别为
15 cm 和 12 cm,?那么此直角三角形斜边长是（
）．
A ． 3 2 cm
B ．3 3 cm
C ． 9cm
D ． 27cm
1
2．化 a的果是（）．
a
A ．a B． a C．- a D．- a
3．等式x1g x 1x2 1 成立的条件是（）
A ． x≥ 1
B ． x≥ -1
C ． -1 ≤ x≤ 1
D ． x≥ 1 或 x≤-1
4 ．下列各等式成立的是（）．
A． 45× 25=85B．53× 42=205
C． 43× 32=75D． 53×42=206
二、填空题
1．1014 =_______．
2．自由落体的公式S=1g t2（ g 重力加速度 ,它的 10m/s2） ,若物体下落的高度720m,下落的是 _________ ．
2
三、综合提高题
1．一个底面 30cm× 30cm 方体玻璃容器中装水,?将一部分水例入一个底面正方形、高 10cm 桶中 ,当桶装水 ,容器中的水面下降了20cm,桶的底面是多少厘米？
2．探究程：察下列各式及其程．
（ 1） 22
=2
2 33
： 22=22×2=222=23(232) 2 33333
23222(221)2
=22
=
12212212213 22
（ 2） 33=33
88
： 33= 32×3=33=3333
888321
3(321)33(321)3
=33
=
1321328 321
同理可得： 4
4
4
4 1515
5
55
,??
5
2424
通上述探究你能猜出：a
a
=_______ （ a>0）,并你的．a21
答案 :
一、 1．B 2． C 3.A 4.D
二、 1．1362． 12s
三、 1．：底面正方形桶的底面x,
x2× 10=30× 30×20,x 2=30 ×30× 2,
x=30 30 × 2 =30 2 ．
a
=a a
2． a
a21
a21
验证： a a=a2a
1a3
1
a21a2a2
=a3a a a3a a a(a2 1)a
= a
a
. a21a21a2 1
=
2
a2 1 a2 1a1
21．2 二次根式的乘除
第二课时
教学内容
a =a
（a≥0,b>0）,反过来
a
=
a
（a≥0,b>0）及利用它们进行计算和化简．
b
b b
b 教学目标
理解a
=
a
（a≥0,b>0）和
a
=
a
（a≥0,b>0）及利用它们进行运算．b b b b
利用具体数据 ,通过学生练习活动 ,发现规律 ,归纳出除法规定 ,并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
教学重难点关键
1．重点：理解a
=
a
（a≥0,b>0）,
a
=
a
（a≥0,b>0）及利用它们进行计算和化简．b b b b
2．难点关键：发现规律,归纳出二次根式的除法规定．教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题：
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
（ 1）99
=_________ ；
=________,
16
16
（ 2）1616
=________ ；
=________,
36
36
（ 3）44
=_________ ；
=________,
16
16
（ 4）3636
=________ ．=________,
81
81
规律：9______9 ；16______16 ；4_______ 4 ；
161636361616
36 _______ 36 ． 81
81
3．利用计算器计算填空 :
（ 1）
3
2 2
=______,（ 4）
7
=_________, （ 2）
3
=_________,（ 3）
=________ ．
4
5
8
规律：
3 ______ 3 ；
2 _______ 2 ；
2 _____ 2 ；
7 _____ 7 。
4
4 3 3
5 5
8 8
每组推荐一名学生上台阐述运算结果． （老师点评）
二、探索新知
刚才同学们都练习都很好
,上台的同学也回答得十分准确 ,根据大家的练习和回答 ,我们可以得到：
一般地 ,对二次根式的除法规定：
a a （ a ≥ 0,b>0 ） ,
=
b
b
反过来 ,
a
=
a （ a ≥ 0,b>0 ）
b
b
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
12 （2）
3 1 1 1 64
例 1． 计算：（ 1）
2
8
（ 3）
16
（ 4）
3
4
8
分析 ：上面 4 小题利用
a = a
（ a ≥0,b>0）便可直接得出答案．
b
b
解：（ 1）
12
=
12 = 4 =2
3
3
（2）
3 1
3 1
2 =
2 8
8
（3）
1 1 1 1 4
=
4 16
16 （4）
64
64
8 =2 2
==
8
8
例 2． 化简：
3 8 3
4 = 3 × =2 3
2
1 16 = 4 =2
4
3 （ 2）
64b 2 9x 5x
（ 1）
9a 2
（ 3）
2
（ 4）
2
64
64y 169 y 分析：直接利用
a = a
（ a ≥ 0,b>0）就可以达到化简之目的．
b
b
解：（ 1）
3 3 3
=
64 8
64
64b 2
64b 2 8b
（ 2）
9a 2 = 9a 2
3a
9 x 9x
3 x （ 3）
64 y 2
=
64 y 2
8y
5x 5x 5x （ 4）
169y 2
=
169 y 2
13y
三、巩固练习
教材 P14
练习 1．
四、应用拓展
9 x 9 x x 2 5x 4
的值．
例 3． 已知
6
x ,且 x 为偶数 ,求（ 1+x ）
x 2
1
x
6 a =
a
分析： 式子
,只有 a ≥ 0,b>0 时才能成立．
b
b
因此得到 9-x ≥0 且 x-6>0, 即 6 9 x 0 x 9 解：由题意得 x 6 ,即 x 6 ∴ 6 ∵ x 为偶数 ∴ x=8 ∴原式 =（ 1+x ） (x 4)( x 1) (x 1)(x 1) x 4 =（ 1+x ） 1 x x 4 = (1 x)( x 4) =（ 1+x ） 1) ( x ∴当 x=8 时 ,原式的值 = 4 9 =6 ． 五、归纳小结 本节课要掌握 a = a （ a ≥ 0,b>0 ）和 a = a （ a ≥ 0,b>0）及其运用． b b b b 六、布置作业 1．教材 P 15 习题 21． 2 2、 7、 8、 9． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业 :《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题 1．计算 1 1 2 1 1 2 3 3 5 2 5 2 A ． B ． 7 7 2．阅读下列运算过程： 的结果是（ ）． C ． 2 2 D ． 7 1 3 3 2 2 5 2 5 3 3 3 3 , 5 5 5 5 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” ,那么 ,化简 2 的结果是（ ）． 6 A ． 2 B ．6 1 6 D ． 6 C ． 3 二、填空题 1 ．分母有理化 :(1) 1 =_________;(2) 1 10 2=________;(3) 2 =______. 3 12 5 2．已知 x=3,y=4,z=5, 那么 yzxy 的最后结果是 _______． 三、综合提高题 1．有一种房梁的截面积是一个矩形 ,且矩形的长与宽之比为 3 ： 1,?现用直径为 3 15 cm 的一种圆木做 原料加工这种房梁 ,那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 2．计算 （ 1） n n ·（ - 1 n 3 ）÷ n （ m>0,n>0） m 2m 3 m m 3 2m 3 （ 2） -3 3m 2 3n 2 ÷（ 3 m n ）× a 2 （ a>0） 2a 2 2 a 2 m n 答案 : 一、 1．A 2． C 3 3 ;(3) 10 2 5 2 二、 1．(1) ;(2) 5 2 5 2 6 6 2 2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表 示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a （3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元 人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号 右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 第二十一章 一元二次方程 1．一元二次方程 预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ． 例题讲解 【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数． 基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值． 第16讲相似形及比例线段 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用，通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础。其次主要讲解比例线段的有关概念和性质，重点在于理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题。最后学习平行线分线段成比例定理，为下面相似三角形的学习奠定基础。 知识梳理 讲解用时：30分钟 相似形的概念及性质 1、相似形的概念 把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形。 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边 的长度成比例；当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比 值为1。 比例线段相关概念及性质 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或表示为a b ）；如果::a b c d =（或a c b d = ），那么就说a 、b 、c 、d 成比例。 2、比例的性质 （1）基本性质： 如果a c b d =，那么ad bc =； 如果a c b d = ，那么b d a c =，a b c d =，c d a b =． （2）合比性质： 如果a c b d = ，那么a b c d b d ++=； 如果a c b d =，那么a b c d b d --=． （3）等比性质： 如果a c k b d ==，那么a c a c k b d b d +===+（如果是实数运算，要注意强 调0b d +≠）。 3、比例线段的概念 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a c b d = ），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 4、黄金分割 如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中， 51 0.6182 AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数。 A P B 九年级上册数学讲义 姓名： 电话： 第二十一章 一元二次方程 1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如 ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中ax bx c 2，，分别叫做 一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。 如：24102 x x -+=满足一般形式ax bx c a 2 00++=≠（），2412 x x ，，-分别是二次项、一 次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。 注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。 ●夯实基础 例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。 （1） 272y y =- （2） ()()512152y y y +-=- （3）()m x n mx x 2 2 10++-=（是未知数） 例2 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 例3 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． ●能力提升 例4若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数 ●培优训练 例5 m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程． 第一讲 一元二次方程的定义 人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点： a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）） （4）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （5）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。 人教版九年级上册数学 全 册 教 案 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 教学目标 知识技能 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2.了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 数学思考与问题解决 通过丰富的实例，列出一元二次方程，让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识． 情感态度 使学生经历类比一元一次方程得到一元二次方程概念的过程，减少学生对新知识的陌生感，提高学生学习数学的兴趣． 重点难点 重点：通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点：一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项系数的识别． 教学设计 活动一：创设情境 1．什么是方程？什么是一元一次方程？ 2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别是什么方程？ (1)3x＋4＝1；(2)6x－5y＝7；(3)－＝0；(4)y＝5；(5)x2－70x ＋825＝0；(6)7＋＝4；(7)x(x＋5)＝150；(8)－＝0. 3．什么是“元”？什么是“次”？ 活动二：一元二次方程及其相关概念的学习 自学教材第2～3页，思考教师所提下列问题： 1．问题1中列方程的等量关系是________，所列方程为________，化简后为________． 2．问题2中列方程的等量关系是________，为什么要乘？所列方程为________，化简后为________． 3．观察上面化简后的方程，会发现：等号两边都是________，只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程，叫做一元二次方程． 4．任何一个方程都要化成它的一般形式，一元二次方程的一般形式为________(a≠________)．为什么？ 5．说出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项，在确定各个系数时要注意什么？ 设计意图：通过设问的方式来加深学生对一元二次方程的理解，排除学生对一元二次方程及其相关概念理解的障碍，让学生体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型，同时，通过设问也给学生学习探究搭建了交流平台． 活动三：尝试练习 1．判断下列方程是否为一元二次方程． (1)3x＋2＝5y－3；(2)x2＝4；(3)3x2－＝0；(4)x2－4＝(x＋2)2； 人教版九年级数学上册讲义（全册） 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）． （3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·； =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点 1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神． 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式3课时 21．2 二次根式的乘法3课时 21．3 二次根式的加减3课时 教学活动、习题课、小结2课时 《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥02=a（a≥0（a≥0）． （3（a≥0，b≥0； a≥0，b>0a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1a≥0a≥0）2＝a（a≥0）； （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0） x 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动 1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． 1 (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3) ＋1＝0 (4)x 2＝1 3．下列哪个实数是方程 2x －1＝3 的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动 2 探究新知 根据题意列方程． 1．教材第2页问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ (此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 数学教案（七年级上册） 第1章有理数 第2章整式的加减 第3章一元一次方程 第4章图形认识初步 第一章有理数 1.1正数和负数 教学目标： 1、了解正数与负数是从实际需要中产生的。 2、能正确判断一个数是正数还是负数，明确0既不是正数也 不是负数。 3、会用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量。 重点：正、负数的概念 重点：负数的概念、正确区分两种不同意义的量。 2、正数和负数 教师：如何来表示具有相反意义的量呢？我们现在来解决问题4提出的问题。 结论：零下5℃用－5℃来表示，零上5℃用5℃来表示。 为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量。如零上、向东、收入和高于等规定为正的，而把与它相反的量规定为负的。正的用小学学过的数（0除外）表示，负的用小学学过的数（0除外）在前面加上“－”（读作负）号来表示。根据需要，有时在正数前面也加上“+”（读作正）号。 注意：①数0既不是正数，也不是负数。0不仅仅表示没有，也可以表示一个确定的量，如温度计中的0℃不是没有表示没有温度，它通常表示水结成冰时的温度。②正数、负数的“+”“－”的符号是表示量的性质相反，这种符号叫做性质符号。 三、巩固知识 1、课本P3 练习 2、课本P4例 义。 四、总结 ①什么是具有相反意义的量？②什么是正数，什么是负数？③引入负数后，0的意义是什么？ 五、布置作业 课本P5习题1.1第1、2题。 1.2.1有理数 教学目标： 1、正确理解有理数的概念及分类，能够准确区分正整数、0、负整数、正分数、负分数。 2、掌握有理数的分类方法，会对有理数进行分类，体验分类是数学上常用的处理问题的方法。 重点：正确理解有理数的概念 重点：有理数的分类 教学过程： 一、知识回顾，导入新课 什么是正数，什么是负数？ 问题1：学习了负数之后，我们对数的认识范围扩大了，你能写出三个不同类型的数吗？（请三位同学上黑板上写出，其他同学在自己的练习本上写出，如果有出现不同类型的数，同学们可上黑板补充。）问题2：观察黑板上的这么数，并给它们分类。 先让学生独立思考，接着讨论和交流分类的情况，得出数的类型有5类：正整数、0、负整数、正分数、负分数。 二、讲授新课 1、有理数的定义 引导学生对前面的数进行概括，得出：正整数、零、负整数统称为整数；正分数和负分数统称分数。整数可以看作分母为1的分数，正整数、零、负整数、正分数和负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数，即整数和分数统称有理数。 2、有理数的分类 让学生在总结出5类数基础上，进行概括，尝试进行分类，通过交流和讨论，再加上老师适当的指导，逐步得出下面的两种分类方式。 （1）按定义分类：（2）按性质分类： 新人教版初中数学九上圆周角教学设计 一、内容和内容解析 本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。 圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。 圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。 教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，垂视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。 基于上述分析，确定本节教学重点是： 直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法。 二、目标和目标解析 1．理解圆周角的定义。通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角。 2．掌握圆周角定理及其推论。经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理 的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育。 3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。 4．引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答 问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心。 三、问题诊断分析 教师教学可能存在的问题：（1）创设问题情景，以具体的实际问题为载体，引导学生对概念和性质的学 习是新课程倡导的教学方法，在本课中要求列举一些典型的、贴近学生生活实际的例子是不容易做到的；（2）不能设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学问题，展开有效的数学教学活动，引导学 生积极地探索圆周角的性质，发展学生的教学思维；（3）过分强调知识的获得，忽略了数学思想和方法 的渗透；（4）对学生学习过程中所体现出来的态度和情感关注不够，以至于不能很好地激发好奇心和求 知欲，体验成功的乐趣，培养自信心。 学生学习中可能出现的问题：（1）对圆柱形海洋馆的构造缺乏了解，致使不能很好地理解视角、圆周角 等概念；（2）对完全归纳法、分类讨论等数学思想和方法理解有困难；（3）一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的书写等都将是学生学习过程中的弱点。 鉴于上述分析，确定本节的教学难点是：列举典型的、贴近学生生活实际的例子，通过设计有效的、有思维含量的数学问题，激活学生的数学思维，引导探索圆周角的性质，理解分类讨论证明数学命题的思想和方法。 四、教学支持条件设计 教学中，为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系，在学生动手操作的基础上，利用《几何画板》的度量功能和动画功能，准确、全面验证在试验操作中发现的结论，直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系，感受过程的真实性，增强了学生的参与程度，提高了学习的积极性。 一元二次方程 概念、解法、根的判别式（讲义） 一、知识点睛 1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成 _______________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 思考次序：______________、__________、_______________． 2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程 的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数． 3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要 解法有：________________，________________，_____________，_____________等． 4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________； 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根． 5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此 _________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）； 当__________时，方程没有实数根（无根或无解）． 二、精讲精练 1. 下列方程：①3157x x +=+；② 21 10x x +-=； ③2 5ax bx -=（a ，b 为常数）；④322 =-m m ；⑤2 02 y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________． 2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是 ______． 3. 若关于x 的方程2 1(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为 ___________． 第二十一章 二次根式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。 2、一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 3、a （a ≥0）是一个非负数.当a 为带分数是，要把a 改写成假分数，即53 22要写成 53 8 4、二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0）， 2 a =a （a ≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定：a ×b =ab （a ≥0,b ≥0） 7、二次根式的除法规定：b a =b a （a ≥0, b ＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率，任何非零数的零次幂都是1，（ab ）m =a m b m 第二十二章 一元二次方程 1、 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2、 一元二次方程的一般形式：ax 2 +bx+c=0(a ≠0),其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 4、 解一元二次方程的方法： （1） 直接开方法：如果方程能化成x 2 =p 或（mx+n ）2 =p(p ≥0)的形式，那么可得x=p ± 或mx+n=p ± （2） 配方法：步骤：第一步，把方程化成一般形式（二次项系数是1）；第二步，把常 数项移到方程的右边；第三步，配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式，即（x-k ）2 =h(h ≥0)；第五步，用直接开平方法解方程。 （3） 公式法：Δ=b 2-4ac 叫做方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)根的判别式。当Δ＞0时，方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个相 解一元二次方程 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是一元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法，为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。 知识梳理 讲解用时：30分钟 A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．无实数根 【答案】D 【解析】考查了直接开平方法解一元二次方程， 由原方程得到：（x﹣2019）2=﹣2019， ①（x﹣2019）2≥0， ﹣2019＜0，①该方程无解，故选：D. 讲解用时：2分钟 解题思路：先移项，然后利用直接开平方法解方程。 教学建议：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：余干县校级期末年份：2019秋【练习1】 已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（）。 A．n=0 B．mn同号C．n是m的整数倍D．mn异号【答案】D 【解析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程， n， mx2+n=0，则mx2=﹣n，即x2=﹣ m ①x2≥0，m≠0，①mn异号，故选：D. 讲解用时：2分钟 n，再解题思路：由mx2+n=0移项得mx2=﹣n，再两边同时除以m，可得x2=﹣ m 根据偶次幂的非负性可得mn异号。 教学建议：解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解。 难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：海原县校级期中年份：2019秋【例题2】 在实数范围内定义运算“①”，其规则为a①b=a2﹣b2，则方程（4①3）①x=13的根为。 【答案】x1=6，x2=﹣6 【解析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程， 根据新定义可以列方程： （42﹣32）①x=13，则72﹣x2=13， ∴49﹣x2=13，则x2=36， ①x1=6，x2=﹣6，故答案为：x1=6，x2=﹣6. 第二十三章旋转 23.1 图形的旋转（1） 教学内容 1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 教学目标 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题． 1．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用． 2．难点与关键：从活生生的数学中抽出概念． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面各题． 1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′． 3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质． （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）?的对称图形并口述它既有的一些性质． （3）什么叫轴对称图形？ 二、探索新知 我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？?从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ （口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．?如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度． 2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略）3．第1、2两题有什么共同特点呢？ 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度． 像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫 九年级数学上册期末测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有（ ） A ．221 x x + B ．02=++c bx ax C ．()()121=+-x x D ．05232 2 =--y xy x 2．化简 1 321 21++ -的结果为（ ） A 、23+ B 、23- C 、322+ D 、223+ 3.已知关于x 的方程2 60x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2- 4．要使二次根式1-x 有意义，那么x 的取值范围是（ ） （A ）x ＞－1 （B ） x ＜1 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1 5．有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上（如图 2），从中任意一张是数字3的概率是（ ） A 、61 B 、31 C 、21 D 、3 2 6．已知x 、y 是实数，3x ＋4 ＋y 2 －6y ＋9＝0，则xy 的值是（ ） A ．4 B ．－4 C ．94 D ．－94 7、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A B C D 8．已知两圆的半径分别是5cm 和4cm ，圆心距为7cm ，那么这两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．外离 9．如图3，⊙Ｏ的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（ ） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 10．已知：如图4, ⊙O 的两条弦AE 、BC 相交于点D,连接AC 、BE. 若∠ACB ＝60°,则下列结论中正确的是（ ） A ．∠AO B ＝60° B ． ∠ADB ＝60° C ．∠AEB ＝60° D ．∠AEB ＝30° 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．方程 x 2 = x 的解是______________________ 12．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个 五角星可以由一 个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度． 13．若实数a 、b 满足1 112 2+-+-= a a a b ，则a+b 的值为 ________． 14．圆和圆有不同的位置关系.与下图不同的圆和圆的位置关系是_____.(只填一种) 15．若关于x 方程kx 2–6x+1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 . 16．如图6，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=2。分别以A 、B 、C 为圆心，以2 1AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是______. 17．已知：如图7，等腰三角形ABC 中，AB=AC=4，若以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，DE ∥AB ，DE 与AC 相交于点E ，则DE=____________。 18. 如图，是一个半径为6cm ，面积为π12cm 2的扇形纸片，现需要一个半径为R 的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R 等于 cm 三．解答题 19．（6 分）计算：÷ （6分）解方程：2（x+2）2=x 2 -4 图2 O A B M 图3 图4 图5 图7 图 6 12题图 部编人教版初三数学上册知识点总结 初三数学上册知识点总结第21-22章 第21章二次根式 学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式” 一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。 在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论： 注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到并运用它们进行二次根式的化简。 “二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。 第22章一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。 本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念， “22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。 (1)在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 (2)在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。 (3)在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。 “22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目，分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 初三数学上册知识点总结第23-24章 第23章旋转 学生已经认识了平移、轴对称，探索了它们的性质，并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。“旋转”一章就来认识这种变换，探索它的性质。在此基础上，认识中心对称和中心对称图形。 “23.1旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上，通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。 “23.2中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上，通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后，通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系，以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳
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