常微分方程考研讲义第三章一阶微分方程解的存在定理
常微分方程考研讲义第三章－一阶微分方程解的存在定理
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第三章一阶微分方程解的存在定理
［教学目标]
1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法,熟练近似解的
误差估计式。
2.了解解的延拓定理及延拓条件。
3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点］解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
［教学方法] 讲授,实践。
［教学时间]12学时
［教学内容]解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件,解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标］
1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2．熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3．利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法
微分方程来源于生产实践际,研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律,能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要,从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论,稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程
2dy
y dx
= 过点(0,0)的解就是不唯一,易知0y =是方程过(0,0)的解,此外,容易验证,2y x =或更一般地,函数
2
0 0() c<1
x c
y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题,它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外,由于能得到精确解的微分方程为数不多,微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提,如果解本身不存在,而近似求解就失去意义;如果存在不唯一,不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。
１.存在性与唯一性定理: （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx
dy
= (3.1）
这里),(y x f 是在矩形域:00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (3.2) 上连续。
定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件:１）在R 上连续：２）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Ｌi ｐs ｃh ｉtz )条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点
1(,)x y ,2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1)存在唯
一的解()y x ?=,在区间0||x x h -≤上连续,而且满足初始条件
00()x y ?=
(3．３) 其中,min(,
),max (,)x y R b
h a M f x y M
∈==,L 称为Lipschi ｔz 常数.
思路:
1） 求解初值问题(3.1）的解等价于积分方程 0
0(,)x
x y y f x y dx =+?
的连续解。
2） 构造近似解函数列{()}n x ?
任取一个连续函数0()x ?,使得00|()|x y b ?-≤，替代上述积分方程右端的
y ，得到
100()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
如果10()()x x ??≡,那么0()x ?是积分方程的解,否则,又用1()x ?替代积分方程右端的
y ，得到
201()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
如果21()()x x ??≡,那么1()x ?是积分方程的解,否则,继续进行,得到 0
01()(,())x
n n x x y f x x dx ??-=+?
（3.4）
于是得到函数序列{()}n x ?.
3） 函数序列{()}n x ?在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ?,即 lim ()()n n x x ??→∞
=
存在，对（3.4)取极限,得到
00
010lim ()lim (,()) =(,())
x
n n x n n x
x x y f x x dx
y f x x dx ???-→∞
→∞=++??
即0
0()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
.
4) ()x φ是积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+
?
在00[,]x h x h -+上的连续解.
这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理.
为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似.
命题1 设()y x ?=是方程(3.１)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件
00()x y ?= （3.３)
的解，则()y x ?=是积分方程 0
0(,)x
x y y f x y dx =+?
00x x x h ≤≤+
(3.5)
的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解．反之亦然.
证明 因为()y x ?=是方程(3．1)满足00()x y ?=的解,于是有 ()
(,())d x f x x dx
??= 两边取0x 到x 的积分得到
0()()(,())x
x x x f x x dx ???-=?
00x x x h ≤≤+
即有0
0()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
00x x x h ≤≤+
所以()y x ?=是积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+
?
定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解.
反之,如果()y x ?=是积分方程(３.5)上的连续解,则
0()(,())x
x x y f x x dx ??=+? 00x x x h ≤≤+
（３.6)
由于),(y x f 在R 上连续，从而(,())f x x ?连续,两边对x 求导，可得
()
(,())d x f x x dx
??= 而且 00()x y ?=,
故()y x ?=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ?=的解.
构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ?．
0000100()()(,()) x n
n x x y x y f d x x x h ??ξ?ξξ-=??
?=+≤≤+???(1,2,)n =
（3.7）
命题2 对于所有的n ,(3.6）中的函数()n x ?在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且满足不等式
0|()|n x y b ?-≤ （3.8）
证明 用数学归纳法证明 当1n =时，0
100()(,)x
x x y f y d ?ξξ=+?
,显然1()x ?在00x x x h ≤≤+上有定
义、连续且有
10000|()||(,)||(,)|()x x
x x x y f y d f y d M x x Mh b ?ξξξξ-=≤≤-≤≤??
即命题成立．
假设n k =命题2成立,也就是在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等式 0|()|k x y b ?-≤ 当1n k =+时，
10()(,())x
k k x x y f dx ?ξ?ξ+=+
?
由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())k f x x ?在00x x x h ≤≤+上连续，于是得知1()k x ?+在
00x x x h ≤≤+上有定义、连续，而且有
100|()||(,())|()x
k k x x y f d M x x Mh b ?ξ?ξξ+-≤
≤-≤≤?
即命题2对1n k =+时也成立．由数学归纳法知对所有的n 均成立．
命题３ 函数序列{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.
记lim ()()n n x x ??→∞
=,00x x x h ≤≤+
证明 构造函数项级数 011
()[()()]k
k k x x x ??
?∞
-=+-∑ 00x x x h ≤≤+
(3.9） 它的部分和为
011
()()[()()]()n
n k
k n k S x x x x x ??
??-==+
-=∑
于是{()}n x ?的一致收敛性与级数（3．９)的一致收敛性等价． 为此,对级数（3．９)的通项进行估计.
1000|()()||(,())|()x
x x x f d M x x ??ξ?ξξ-≤≤-?
(3．10)
2110|()()||(,())(,())|x
x x x f f d ??ξ?ξξ?ξξ-≤-?
由Lipsc ｈｉtz 条件得知
2110020|()()||()()|ξ
() ()2!
x
x x
x x x L d L M x d ML
x x ???ξ?ξξξ-≤-≤-≤
-??
设对于正整数n ,有不等式
1
10|()()|() !
n n n n ML x x x x n ??---≤- 成立，则由Li ｐsc ｈi ｔｚ条件得知,当00x x x h ≤≤+时,有
01110
1
0|()()||(,())(,())| |()()|ξ
() ! ()(+1)!
x
n n n n x x
n n x n x n
x n
n x x f f d L d ML x d n ML x x n ??ξ?ξξ?ξξ
?ξ?ξξξ+--+-≤-≤-≤-≤-???
于是由数学归纳法可知， 对所有正整数k ,有
1110|()()|() !!
k k k
k k k ML ML x x x x h k k ??----≤-≤ 00x x x h ≤≤+
(3．１１) 由正项级数
1
1
!
k
K k h ML
k ∞
-=∑ 的收敛性，利用Ｗeierstr ａss 判别法,级数(3.9)在00x x x h ≤≤+上一致收敛.因而序列{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛．
设lim ()()n n x x ??→∞
=,则()x ?也在00x x x h ≤≤+上连续，且
0|()|x y b ?-≤
命题4 ()x ?是积分方程（３．5）的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.
证明 由L ｉｐsc ｈitz 条件
|(,())(,())||()()|n n f x x f x x L x x ????-≤-
以及{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛于()x ?，可知(,())n f x x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛于(,())f x x ?.因此
000101lim ()lim (,())
=lim (,())
x
n n x n n x
n x n x y f d y f d ?ξ?ξξξ?ξξ-→∞
→∞-→∞
=++??
即 0
0()(,()) x
n x x y f d ?ξ?ξξ=+
?
故()x ?是积分方程（3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.
命题5 设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解，则()()x x ?ψ≡,00x x x h ≤≤+.
证明 设()|()()|g x x x ?ψ=-，则()g x 是定义在00x x x h ≤≤+的非负连续函数，由于
0()(,()) x
x x y f d ?ξ?ξξ=+
?
0()(,()) x
x x y f d ψξψξξ=+?
而且(,)f x y 满足Ｌｉｐschit ｚ条件,可得
()|()()||[(,())(,())]|
|(,())(,())| |()()|()x
x x
x x
x
x x g x x x f f d f f d L d L g d ?ψξ?ξξψξξξ?ξξψξξ
?ξψξξξξ
=-=-≤
-≤-=??
??
令0
()()x
x u x L
g d ξξ=?
，则()u x 是00x x x h ≤≤+的连续可微函数,且0()0u x =,
0()()g x u x ≤≤,()()u x Lg x '=，()()u x Lu x '≤,(()())0Lx u x Lu x e -'-≤,
即(())0Lx u x e -'≤,于是在00x x x h ≤≤+上, 00()()0Lx Lx u x e u x e --≤= 故()()0g x u x ≤≤,即()0g x ≡,00x x x h ≤≤+,命题得证.
对定理说明几点:
(1)存在唯一性定理中min(,
)b
h a M
=的几何意义.
在矩形域R 中(,)f x y M ≤,故方程过00(,)x y 的积分曲线()y x ?=的斜率必介于M -与M 之间,过点00(,)x y 分别作斜率为M -与M 的直线.
当b M a ≤
时,即b a M ≤,(如图(a)所示）,解()y x ?=在00x a x x a -≤≤+上有定义;当b M a ≥时,即b a M
≤,(如图(b)所示），不能保证解在00x a x x a -≤≤+上有定义，它
有可能在区间内就跑到矩形R 外去，只有当00b b
x x x M M
-≤≤+
才能保证解()y x ?=在R 内，故要求解的存在范围是
0||x x h -≤.
(2)、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的,而我们能够用一个较强的,但却易于验证的条件来代替他,即如果函数),(y x f 在矩形域R 上关于y 的偏导数),('y x f y 存在并有界，即'(,)y f x y L ≤，则李普希兹条件条件成立. 事实上
212121212(,())
|(,)(,)||
|||
||
f x y y y f x y f x y y y y L y y θ?+--=-?≤-
这里12(,),(,),01x y x y R θ∈<<． 如果),('y x f y 在R 上连续，它在R 上当然满足李普希兹条件．但是,满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如函数
(,)||f x y y =在任何区域都满足李普希兹条件,但它在0y =处没有导数
.
（3)、设方程(3.1)是线性的,即方程为
()()dy
P x y Q x dx
=+ 易知,当(),()P x Q x 在区间[,]αβ上连续时,定理１的条件就能满足,且对任一初值
000(,),[,]x y x αβ∈所确定的解在整个区间[,]αβ上有定义、连续．
实际上,对于一般方程（3.1),由初值所确定的解只能定义在0||x x h -≤上,是因为在构造逐步逼近函数序列{()}n x ?时,要求它不越出矩形域R ，此时，右端函数对y 没有任何限制，只要取0[,]
max |()()|x M P x y Q x αβ∈=+.
(4）、Li ｐｓchitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如 试证方程
0 =0
ln || 0
y dy y y dx y ≠?=?
? 经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的. 证明 0y ≠时, (,)ln ||f x y y y =,在0y ≠上连续, (,)1ln ||y f x y y '=+也在
0y ≠上连续，
因此对x 轴外的任一点00(,)x y ,方程满足00()y x y =的解都是唯一存在的.又由
ln ||dy
y y dx
= 可得方程的通解为 x
ce y e
=±,其中
x
ce y e
=为上半平面的通解，
x
ce y e
=-为
下半平面的通解，它们不可能与0y =相交.注意到0y =是方程的解，因此对x 轴上的任一点0(,0)x ，只有0y =通过,从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的． 但是
|(,)(,0)||ln ||||ln |||||f x y f x y y y y -== 因为0
lim |ln |||y y →=+∞,故不可能存在0L >,使得
|(,)(,0)|||f x y f x L y -≤
所以方程右端函数在0y =的任何邻域并不满足Li ｐschitz 条件.
此题说明Ｌip ｓchitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件,而非必要条件.
2)考虑一阶隐方程
(,,)0F x y y '= （3.1２）
由隐函数存在定理,若在000
(,,)x y y '的某一邻域内F 连续且000(,,)0F x y y '=,而0F
y ?≠'
?，则必可把y 唯一地表为,x y 的函数 (,)y f x y '= (3.１3)
并且(,)f x y 于00(,)x y 的某一邻域连续,且满足0
00(,)y f x y '= 如果F 关于所有变元存在连续的偏导数，则(,)f x y 对,x y 也存在连续的偏导数,并且
/f F F y y y ???=-'
??? （3．1４)
显然它是有界的,由定理１可知，方程(3.１3)满足初始条件的0()0y x =解存在且唯一．从而得到下面的定理.
定理2 如果在点000
(,,)x y y '的某一邻域中: ⅰ) (,,)F x y y '关于所有变元(,,)x y y '连续，且存在连续的偏导数；
ⅱ）000
(,,)0F x y y '= ⅲ）
000
(,,)0F x y y y '?≠'
?
则方程(3.１２)存在唯一的解
0() || y y x x x h =-≤(h 为足够小的正数) 满足初始条件
0000
(), ()y x y y x y ''== (3.15)
1、 近似计算和误差估计
求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法
0000100()()(,()) x
n
n x x y x y f d x x x h ??ξ?ξξ-=??
?=+≤≤+??? 对方程的第n 次近似解()n x ?和真正解()x ?在0||x x h -≤内的误差估计式
1
|()()|(1)!
n n n ML x x h n ??+-≤
+ （3.16)
此式可用数学归纳法证明. 0
00|()()||(,())|()x
x x x f d M x x Mh ??ξ?ξξ-≤≤-≤?
设有不等式
1110|()()|() !!
n n n
n n ML ML x x x x h n n ??----≤-≤ 成立,则
01101
10|()()||(,())(,())| |()()|ξ
()
! ()(+1)!(+1)!
x
n n x x
n x n x n
x n n n n x x f f d L d ML x d n ML ML x x h
n n ??ξ?ξξ?ξξ
?ξ?ξξξ--++-≤-≤-≤-≤-≤??? 例1 讨论初值问题
22dy
x y dx
=+, (0)0y = 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解，其中, :11,11R x y -≤≤-≤≤.
解 (,)1
max |(,|2,1,1,min{,
}2
x y R
b M f x y a b h a M ∈======,由于|
||2|2f
y L y
?=≤=?,根据误差估计式(３．１6） 11
|()()|0.05(1)!(1)!
n n n ML x x h n n ??+-≤
=<++
可知3n =.于是 0()0x ?=
3
2
2
10
0()[()]3
x
x x x x dx ??=+=?
37
2
2
21
0()[()]363
x
x x x x x dx ??=+=+?
371115
2
2
32
0()[()]363207959535
x
x x x x x x x dx ??=+=+++?
3()x ?就是所求的近似解,在区间11
22
x -≤≤上，这个解与真正解得误差不超过０.0５.
§2 解的延拓
上节我们学习了解的存在唯一性定理，当
),(y x f dx
dy
=的右端函数),(y x f 在R 上满足解的存在性唯一性条件时,初值问题?????==)
()
,(00x y y y x f dx dy
的解在0||x x h -≤上存在且
唯一. 但是,这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是很小的． 可能随着
),(y x f 的存在区域的增大,而能肯定的解得存在区间反而缩小。例如，上一节的例1,
当定义区域变为:22,22R x y -≤≤-≤≤时,21
8,min{2,}84
M h ===,解的范围缩小
为01
||4
x x -≤． 在实际引用中，我们也希望解的存在区间能尽量扩大,下面讨论解的延
展概念，尽量扩大解的存在区间,把解的存在唯一性定理的结果由局部的变成大范围的.
１、饱和解及饱和区间
定义１ 对定义在平面区域G 上的微分方程 ),(y x f dx
dy
= (3.1)
设()y x ?=是方程(3.1)定义在区间1I R ?上的一个解,如果方程(3．1)还有一个定义在区间2I R ?上的另一解()y x ψ=,且满足 （1) 12I I ?;但是12I I ≠
（２）当1x I ∈时,()()x x ?ψ≡
则称1(),y x x I ?=∈是可延拓的,并称()y x ψ=是()y x ?=在2I 上的延拓.否则如果不存在满足上述条件的解()y x ψ=，则称1(),y x x I ?=∈是方程(3.1）的不可延拓解或饱和解,此时把不可延拓解的区间1I 称为一个饱和区间.
２、局部李普希兹条件
定义２ 若函数),(y x f 在区域G 内连续，且对G 内每一点P ,都存在以P 点为中心，完全含在G 内的闭矩形域p R ,使得在p R 上),(y x f 关于y 满足李普希兹条件（对于不同的点,闭矩形域p R 的大小和李普希兹常数L 可能不同）,则称),(y x f 在G 上关于y 满足局部李普希兹条件.
定理3 （延拓定理）如果方程
),(y x f dx
dy
=的右端函数),(y x f 在（有界或无界）区域2G R ∈上连续,且在关于y 满足局部李普希兹条件，则对任意一点00(,)x y G ∈，方程),(y x f dx
dy =以),(00y x 为初值的解)(x ?均可以向左右延展,直到点(,())x x ?任意接近区域G 的边界.
以向x 增大的一方来说，如果()y x ?=只能延拓到区间上,则当x m →时,(,())x x ?趋于区域G 的边界。
证明 00(,)x y G ?∈,由解的存在唯一性定理,初值问题
?????==)
()
,(00x y y y x f dx dy
(1）
存在唯一的解()y x ?=,解的存在唯一区间为00||x x h -≤.取100x x h =+,
11()y x ?=，以11(,)x y 为中心作一小矩形1R G ∈,则初值问题
11(,)
()
dy
f x y dx y y x ?=???=?
（2）
存在唯一的解()y x ψ=,解的存在唯一区间为11||x x h -≤.
因为 11()()x x ?ψ=，有唯一性定理,在两区间的重叠部分应有()()x x ?ψ=,即当
111x h x x -≤≤时()()x x ?ψ=.定义函数
0000
00001(),()(),x x h x x h x x x h x x h h ??ψ*
-≤≤+?=?+≤≤++?
则()y x ?*=是方程(3．1）满足(1)(或(2)) 的,在0011[,]x h x h -+上有定义的唯一的解.这样,把方程（3.１)满足(1)的解()y x ?=在定义区间上向右延伸了一段.即把解
()y x ?*=看作方程(3.1)的解()y x ?=在定义区间00||x x h -≤的向右延拓,延拓到更大
区间00001x h x x h h -≤≤++.同样的方法,也可把解()y x ?=向左延拓．这种将曲线向左右延拓的办法可继续进行下去,最后将得到一个解~
()y x ?=,不能再向左右延拓了．这个解称为方程(3．1)的饱和解．
推论１ 对定义在平面区域G 上的初值问题
?????==)
()
,(00x y y y x f dx dy
其中00(,)x y G ∈
若),(y x f 在区域G 内连续且关于y 满足局部Lips ｃh ｔiz 条件，则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.
推论2 设~
()y x ?=是初值问题
?????==)
()
,(00x y y y x f dx dy
其中00(,)x y G ∈
的一个饱和解,则该饱和解的饱和区间I 一定是开区间.
证明 若饱和区间I 不是开区间,不妨设(,]I αβ=,则~
(,())G β?β∈,这样解
~()y x ?=还可以向右延拓,从而~
()y x ?=是非饱和解，矛盾.对[,)I αβ=时，同样讨论，
即x β-→(或x α+→）时， (,())x x G ?→?.
推论３ 如果G 是无界区域,在上面解的延拓定理的条件下,方程(３.1）通过00(,)x y 点的解()y x ?=可以延拓,以向x 增大(减小)一方的延拓来说，有以下两种情况：
(1) 解()y x ?=可以延拓到区间0[,)x +∞(或0(,]x -∞)；
(2) 解()y x ?=只可延拓到区间0[,)x m (或0(,]m x ),其中为有限数,则当x m
→时,或者()y x ?=无界，或者点(,())x x G ?→?.
例1讨论方程212dy y dx -=分别通过点(0,0)和点(ln 2,3)-的解的存在区间. 解 此方程右端函数21
(,)2
y f x y -=在整个xy 平面上满足解的存在唯一性定理
及解的延拓定理的条件.易知方程的通解为
11x
x
ce y ce +=-
故通过点(0,0)的解为(1)/(1)x x y e e =-+,这个解的存在区间为x -∞<<+∞; 通过点(ln 2,3)-的解为(1)/(1)x x y e e =+-,这个解的存在区间为0x <<+∞ (如图所示）.注意, 过点(ln 2,3)-的解为(1)/(1)x x y e e =+-向右方可以延拓到
+∞，但向左方只能延拓到0，因为当0x +→时,y →-∞.
例2讨论方程
1ln dy
x dx
=+过(1,0)点的解的存在区间. 解 方程右端函数(,)1ln f x y x =+在右半平面0x >上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.区域G （右半平面)是无界开域,y 轴是它的边界. 易知问题的解为ln y x x =,它于区间0x <<+∞ 上有定义、连续且当0x →时,
0y →,即所求问题的解向右方可以延拓到+∞,但向左方只能延拓到0，且当0x →时
积分曲线上的点(,)x y 趋向于区域G 的边界上的点．
例３ 考虑方程
),()(22y x f a y dx
dy
-=,假设(,)f x y 和),('y x f y 在xoy 平面上连续，试证明:对于任意0x 及a y <0，方程满足00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.
证明 根据题设,易知方程右端函数在整个xoy 平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件．又y a =±为方程在(,)-∞+∞上的解，由延拓定理可知,对
00,||x y a ?<,满足00)(y x y =的解()y y x =应当无限远离原点,但是，由解的唯一性， ()y y x =又不能穿过直线y a =±,故只能向两侧延拓，而无限远离原点，从而解应在(,)-∞+∞存在.
注： 如果函数(,)f x y 于整个xoy 平面上定义、连续和有界,同时存在关于y 的一阶连续偏导数,则方程(3.1)的任一解均可以延拓到区间x -∞<<+∞.
练习 试证对任意0x ，0y ,方程1
222
++=
y x x dx dy 满足初始条件00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.
§3 解对初值的连续性和可微性定理
在初值问题?????==)()
,(00x y y y x f dx dy
中我们都是把初值),(00y x 看成是固定的数值，然后再去
讨论方程),(y x f dx
dy
=经过点),(00y x 的解.但是假如00(,)x y 变动,则相应初值问题的
解也随之变动,也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量x ,还依赖于初值00(,)x y ．例
如:y y x f =),(时,方程y y ='的解是x ce y =，将初始条件00)(y x y =带入,可得
00x x e y y -=.很显然它是自变量x 和初始条件00(,)x y 的函数.因此将对初值问题
?????==)
()
,(00x y y y x f dx
dy
的解记为),,(00y x x y ?=,它满足0000(,,)y x x y ?=. 当初值发生变化时，对应的解是如何变化的?当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢?为此就要讨论解对初值的一些性质．
１、解关于初值的对称性
设方程(３.１)满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ?=,则在此关系式中, (,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式
00(,,)y x x y ?=
证明 在方程（３．1）满足初始条件00()y x y =的解的存在区间内任取一点1x ,显然1100(,,)y x x y ?=,则由解的唯一性知,过点11(,)x y 的解与过点00(,)x y 的解是同一条积分曲线,即此解也可写为
11(,,)y x x y ?=
并且,有0011(,,)y x x y ?=.又由11(,)x y 是积分曲线上的任一点,因此关系式
00(,,)y x x y ?=对该积分曲线上的任意点均成立.
２、 解对初值的连续依赖性
由于实际问题中初始条件一般是由实验 测量得到的,肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小,也就是说当
00(,)x y 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续
依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前,我们先来看一个引理:
引理:如果函数(,)f x y 于某域D 内连续，且关于y 满足Li ｐｓｃh ｔi ｚ条件(Lipsc ｈtiz 常数为L )，则对方程（3.1）的任意两个解()x ?及()x ψ，在它们公共存在的区间内成立着不等式
0||00|()()||()()|L x x x x x x e ?ψ?ψ--≤- （3．17）
其中0x 为所考虑区域内的某一值.
证明 设()x ?, ()x ψ于区间a x b ≤≤上均有定义,令 2()[()()],V x x x a x b ?ψ=-≤≤ 则
()2[()()][(,)(,)]V x x x f x f x ?ψ?ψ'=-- 于是 ()|()|2|()()||(,)(,)|2()V x V x x x f x f x LV x ?ψ?ψ''≤=--≤ 22()2()0Lx Lx V x e LV x e --'-≤ 从而
2(())0Lx d
V x e dx
-≤ 所以,对0[,]x a b ?∈,有
02()
00()(),L x x V x V x e
x x b -≤≤≤
对于区间0a x x ≤≤,令x t -≤,并记00x t -≤，则方程(３.１)变为
(,)dy
f t y dx
=-- 而且已知它有解()y t ?=-和()y t ψ=-． 类似可得02()
00()(),L x x V x V x e
a x x -≤≤≤