高三数学第一轮复习单元测试--数列(最新整理)

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高考数学一轮复习数列多选题专项训练单元测试及答案

高考数学一轮复习数列多选题专项训练单元测试及答案

一、数列多选题1.已知数列{}n a 的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为( )A .0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B .1(1)1n n a -=-+C .2sin2n n a π= D .cos(1)1n a n π=-+答案:BD 【分析】根据选项求出数列的前项,逐一判断即可. 【详解】解:因为数列的前4项为2,0,2,0, 选项A :不符合题设; 选项B : ,符合题设; 选项C :, 不符合题设; 选项D : ,符合题设解析:BD 【分析】根据选项求出数列的前4项,逐一判断即可. 【详解】解:因为数列{}n a 的前4项为2,0,2,0, 选项A :不符合题设;选项B :01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=,符合题设;选项C :,12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设; 选项D :1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=,符合题设.故选:BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题,考查了基本运算求解能力,属于基础题.2.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为(){}F n ,则(){}F n 的通项公式为( )A .(1)1()2n n F n -+=B .()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C .()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D .()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦答案:BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……, 显然,,,,,所以且,即B 满足条件; 由, 所以 所以数列解析:BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,显然()()11,21F F ==,()()()3122F F F =+=,()()()4233F F F =+=,,()()()11,2F n F n F n n +=+-≥,所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==,即B 满足条件;由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥, 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以12+为首项,12+为公比的等比数列,所以()()1nF n n+-=⎝⎭()11515()nF F nn-+=++,令1nn nFb-=⎝⎭,则11n nb+=+,所以1n nb b+=-,所以n b⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的等比数列,所以1nnb-+,所以()11152n n n nF n--⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=-⎪⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦;即C满足条件;故选:BC【点睛】考查等比数列的性质和通项公式,数列递推公式的应用,本题运算量较大,难度较大,要求由较高的逻辑思维能力,属于中档题.3.等差数列{}n a的前n项和为n S,1385a a S+=,则下列结论一定正确的是()A.100a=B.911a a=C.当9n=或10时,n S取得最大值D.613S S=答案:ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得,结合等差数列的性质,逐一判断即可得出结论.【详解】∵等差数列的前项和为,,∴,解得,故,故A正确;∵,,故有,故B正确;该数解析:ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-,结合等差数列的性质,逐一判断即可得出结论. 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=, ∴()111875282a a d a d ⨯++=+,解得19a d =-, 故10190a a d =+=,故A 正确;∵918a a d d d =+=-=,11110a a d d =+=,故有911a a =,故B 正确; 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ,它的最值,还跟d 的值有关,故C 错误; 由于61656392S a d d ⨯=+=-,131131213392S a d d ⨯=+=-,故613S S =,故D 正确, 故选:ABD. 【点睛】思路点睛:利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简,直接根据性质判断结果. 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .23n S n n =- B .2392-=n n nSC .36n a n =-D .2n a n =答案:BC 【分析】由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】解:设等差数列的公差为, 因为,, 所以,解得, 所以, , 故选:BC解析:BC 【分析】由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,46a =,所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得133a d =-⎧⎨=⎩, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=, 故选:BC5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则( ) A .若59S >S ,则150S > B .若59S =S ,则7S 是n S 中最大的项 C .若67S S >, 则78S S >D .若67S S >则56S S >.答案:BC 【分析】根据等差数列的前项和性质判断. 【详解】A 错:;B 对:对称轴为7;C 对:,又,;D 错:,但不能得出是否为负,因此不一定有. 故选:BC . 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列解析:BC 【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断. 【详解】A 错:67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<;B 对:n S 对称轴为n =7;C 对:6770S S a >⇒<,又10a >,887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>;D 错:6770S S a >⇒<,但不能得出6a 是否为负,因此不一定有56S S >. 故选:BC . 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列的前n 项和性质,(1)n S 是关于n 的二次函数,可以利用二次函数性质得最值;(2)1n n n S S a -=+,可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小;(3)1()2n n n a a S +=,因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负. 6.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减D .数列{}n S 有最大值答案:ABD 【分析】由可判断AB ,再由a1>0,d <0,可知等差数列数列先正后负,可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得,所以数列单调递减,A 正确; 由数列单调递减,可知数列有最大值a1,故B 正解析:ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ,再由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<,所以数列{}n a 单调递减,A 正确; 由数列{}n a 单调递减,可知数列{}n a 有最大值a 1,故B 正确;由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,所以数列{}n S 先增再减,有最大值,C 不正确,D 正确. 故选:ABD.7.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和,且56678,S S S S S <=>,则下列结论正确的是( ) A .0d < B .70a =C .95S S >D .67n S S S 与均为的最大值答案:ABD 【分析】由,判断,再依次判断选项. 【详解】 因为,,,所以数列是递减数列,故,AB 正确; ,所以,故C 不正确;由以上可知数列是单调递减数列,因为可知,的最大值,故D 正确. 故选:AB解析:ABD 【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥,判断6780,0,0a a a >=<,再依次判断选项. 【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>,677670S S S S a =⇒-==,788780S S S S a >⇒-=<,所以数列{}n a 是递减数列,故0d <,AB 正确;()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<,所以95S S <,故C 不正确;由以上可知数列{}n a 是单调递减数列,因为6780,0,0a a a >=<可知,67n S S S 与均为的最大值,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值,重点考查等差数列的性质,属于基础题型. 8.定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =,前n 项和为n S ,则( )A .数列{}n a 为等差数列B .数列{}n a 为等比数列C .2020202320202S = D .2S ,4S ,6S 成等差数列答案:AC 【分析】由题意可知,即,则时,,可求解出,易知是等差数列,则A 正确,然后利用等差数列的前n 项和公式求出,判断C ,D 的正误. 【详解】 解:由, 得, 所以时,, 得时,, 即时,, 当时,由解析:AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==,即112222n n n a a a n -+++=⋅,则2n ≥时,()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅,可求解出1n a n =+,易知{}n a 是等差数列,则A 正确,然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ,判断C ,D 的正误. 【详解】 解:由112222n n nn a a a H n-+++==,得112222n n n a a a n -+++=⋅,①所以2n ≥时,()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅,②得2n ≥时,()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅,即2n ≥时,1n a n =+,当1n =时,由①知12a =,满足1n a n =+.所以数列{}n a 是首项为2,公差为1的等差数列,故A 正确,B 错, 所以()32n n n S +=,所以2020202320202S =,故C 正确.25S =,414S =,627S =,故D 错,故选:AC . 【点睛】本题考查数列的新定义问题,考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解,难度一般. 9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,47a =,则( )A .2n S n =B .223n S n n =-C .21n a n =-D .35n a n =-答案:AC 【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组,求出,,由此能求出与. 【详解】等差数列的前项和为.,, , 解得,, .故选:AC . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公解析:AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组,求出11a =,2d =,由此能求出n a 与n S .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S .39S =,47a =,∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩, 解得11a =,2d =,1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=.()21212n n n S n +-==故选:AC . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.10.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d <B .70a >C .{}n S 中5S 最大D .49a a <答案:AD 【分析】先根据题意得,,再结合等差数列的性质得,,,中最大,,即:.进而得答案. 【详解】解:根据等差数列前项和公式得:, 所以,, 由于,, 所以,, 所以,中最大, 由于, 所以,即:解析:AD 【分析】先根据题意得1110a a +>,1120a a +<,再结合等差数列的性质得60a >,70a <,0d <,{}n S 中6S 最大,49a a <-,即:49a a <.进而得答案.【详解】解:根据等差数列前n 项和公式得:()111111102a a S +=>,()112121202a a S +=< 所以1110a a +>,1120a a +<,由于11162a a a +=,11267a a a a +=+, 所以60a >,760a a <-<, 所以0d <,{}n S 中6S 最大, 由于11267490a a a a a a +=+=+<, 所以49a a <-,即:49a a <. 故AD 正确,BC 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质,是中档题.。

2025届高三数学等比数列-一轮复习

2025届高三数学等比数列-一轮复习

2025届高三数学等比数列-一轮复习1.等比数列的概念(1)等比数列:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比都等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比常用字母q 表示(显然q ≠0),定义的表达式为a na n -1=q (n ∈N *,n ≥2)或a n+1a n =q (n ∈N *).(2)等比中项:若三个数a ,G ,b 成等比数列,则G 叫做a 与b 的等比中项,且有 .2.等比数列的有关公式(1)通项公式:a n = (n ∈N *);(2)前n 项和公式:S n ={na 1,q =1, ,q ≠1或S n ={na 1,q =1, ,q ≠1.3.等比数列的性质(1)通项公式的推广:a n =a m q n -m (n ,m ∈N *).(2)若数列{a n }为等比数列,且m +n =p +q ,则a m a n =a p a q (m ,n ,p ,q ∈N *).(3)若数列{a n }是等比数列,公比为q ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公比为q m 的等比数列.(4)如果等比数列{a n }的前n 项和为S n ,那么(S 2n -S n )2=S n (S 3n -S 2n ),如果公比q ≠-1或虽q =-1但n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列.不能认为在任何等比数列中,都有S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列(5)当等比数列{a n }的项数为偶数,公比为q 时,S 偶S 奇=q . 4、等比数列的单调性 当q >1,a 1>0或0<q <1,a 1<0时,{a n }是递增数列;当q >1,a 1<0或0<q <1,a 1>0时,{a n }是递减数列;当q =1时,{a n }是常数列;当q <0时,{a n }是摆动数列.常用结论 1.若数列{a n },{b n }为等比数列,则{λa n }(λ≠0),{|a n |},⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1,{a n 2},{a n b n },⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 仍为等比数列.2.若数列{a n }为公比不为1的等比数列,其前n 项和S n =A ·q n +B (A ≠0,B ≠0,q ≠0,q ≠1),则必有A +B =0;反之,若某一非常数列的前n 项和S n =A ·q n -A (A ≠0,q ≠0,q ≠1),则数列{a n }必为等比数列.3.若非零数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =ka n +b (k ≠0,k ≠1),则数列{a n }必为等比数列.题型一等比数列基本量的运算【例1】设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=().A.31B.32C.63D.64【对点1】在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.【对点2】已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84【对点3】若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+......+ln a20=.【对点4】等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=7,4 ,则a8=.S6=634题型二等比数列的性质【例2】(1)记S n为等比数列{a n}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=()A.120B.85C.-85D.-120(2)已知正项等比数列{a n}共有2n项,它的所有项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=.【对点1】已知{a n}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=_________. 【对点2】记S n为等比数列{a n}的前n项和,且1Sλ,则=5a=n⋅3-n___________.【对点3】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若6845,,3a a a 成等差数列,则=+6510a a S ___________. 【对点4】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,且436=S S ,则=69S S ___________.题型三等比数列的判定与证明【例3】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n +1=3a n -b n +4,4b n +1=3b n -a n -4.(1) 证明:{a n +b n }是等比数列【对点1】在数列{a n }中,a 1=1,且a n +1=2a n +n -1.(1)证明:数列{a n +n }为等比数列,并求出a n ;【对点2】已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1.(1)证明{a n +12}是等比数列,并求{a n }的通项公式;。

高三数学一轮复习单元训练数列

高三数学一轮复习单元训练数列

高三数学一轮复习单元训练:数列本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知等差数列{}n a 中,10795=-+a a a ,记n n a a a S +++= 21,则13S 的值( ) A . 130 B . 260C . 156D . 168【答案】D2.若{an }为等差数列,Sn 是其前n 项和,且S 11=22π3,则tan a 6的值为( )A . 3B .- 3C .± 3D .-33【答案】B 3.数列2222222235721,,,,,122334(1)n nn ++的前n 项和是( ) A .211n-B .211n+ C .211(1)n ++ D .211(1)n -+【答案】D4.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n·(3n -2),则a 1+a 2+…+a 10=( )A .15B .12C .-12D .-15 【答案】A5.等比数列{}n a 中,15252||1,8,,a a a a a ==->则n a =( )A .1(2)n -- B .1(2)n --- C .(2)n-D .(2)n--【答案】A6.已知数列{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和.若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为54,则S 5=( ) A .35 B .33 C .31 D .29 【答案】C7.设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ,已知2553,9,a a S ==则等于( )A .15B .20C .25D .30 【答案】C8.已知{a n }为等差数列,其公差为-2,且a 7是a 3与a 9的等比中项,S n 为{a n }的前n 项和,n ∈N *,则S 10的值为( ) A .-110 B .-90 C .90 D .110 【答案】D9.等差数列}{n a 的公差不为零,首项1a =1,2a 是1a 和5a 等比中项,则数列}{n a 的前10项之和是( )A .90B . 100C . 145D . 190【答案】B 10.数列{}n a 满足1211,,2a a ==并且1111()2(2)n n n n n a a a a a n -++-+=≥,则数列的第2010项为 ( ) A .10012B .201012C .12010D .1100【答案】C11.设{}n a ,{}n b 均为正项等比数列,将它们的前n 项之积分别记为n A ,n B ,若22n nn nA B -=,则55a b 的值为( )A .32B .64C .256D .512【答案】C12.在等差数列{}n a 中,已知854=+a a ,则8S 等于( )A .8B .16C .24D .32【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知数列{a n }的首项a 1≠0,其前n 项的和为S n ,且S n +1=2S n +a 1,则a n S n=________. 【答案】 2n -12n -114.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若1≤a 5≤4,2≤a 6≤3,则S 6的取值范围是_______. 【答案】[-12,42]15.设)N (3*∈=-n a n n ,则数列}{n a 的各项和为 .【答案】2116.已知数列{}n a 中,1n 1n 211a ,a a ,24n 1+==+-则n a =_____________。

高考数学一轮复习数列多选题单元测试附解析

高考数学一轮复习数列多选题单元测试附解析

高考数学一轮复习数列多选题单元测试附解析一、数列多选题1.设{}n a 是无穷数列,若存在正整数()2k k ≥,使得对任意n *∈N ,均有n k n a a +>,则称{}n a 是“间隔递增数列”,k 是{}n a 的“间隔数”,下列说法正确的是( ) A .公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B .若()21nn a n =+-,则{}n a 是“间隔递增数列”C .若(),2n ra n r r n*=+∈≥N ,则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D .已知22021n a n tn =++,若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3,则54t -<≤-【答案】BCD 【分析】利用新定义,逐项验证是否存在正整数()2k k ≥,使得0n k n a a +->,即可判断正误. 【详解】选项A 中,设等比数列{}n a 的公比是()1q q >,则()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--,其中1k q >,即()110n k q q -->,若10a <,则0n k n a a +-<,即n k n a a +<,不符合定义,故A 错误;选项B 中,()()()()()21212111n kn n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣⎦-=⎣⎦⎣⎦,当n 是奇数时,()211kn k n a a k +=---+,则存在1k时,0n k n a a +->成立,即对任意n *∈N ,均有n k n a a +>,符合定义;当n 是偶数时,()211kn k n a a k +-=+--,则存在2k ≥时,0n k n a a +->成立,即对任意n *∈N ,均有n k n a a +>,符合定义.综上,存在2k ≥时,对任意n *∈N ,均有n k n a a +>,符合定义,故B 正确;选项C 中,()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛⎫⎛⎫++-+=+=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+,令2()f n n kn r =+-,开口向上,对称轴02k -<,故2()f n n kn r =+-在n *∈N 时单调递增,令最小值(1)10f k r =+->,得1k r >-,又k *∈N ,2k ≥,,2r r *∈≥N ,故存在k r ≥时,0n k n a a +->成立,即对任意n *∈N ,均有n k n a a +>,符合定义,“间隔数”的最小值为r ,故C 正确;选项D 中,因为22021n a n tn =++,是“间隔递增数列”,则()()()2222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦++,即20k n t ++>,对任意n *∈N 成立,设()2g n k n t =++,显然在n *∈N 上()g n 递增,故要使()20g n k n t =++>,只需(1)20g k t =++>成立,即2t k --<. 又“间隔数”的最小值为3,故存在3k ≥,使2t k --<成立,且存在k 2≤,使2t k --≥成立,故23t --<且22t --≥,故54t -<≤-,故D 正确. 故选:BCD. 【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义,判断是否存在正整数()2k k ≥,使0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立,逐项突破难点即可.2.已知数列{},{}n n a b 均为递增数列,{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈,则下列结论正确的是( )A .101a << B.11b <<C .22n n S T <D .22n n S T ≥【答案】ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件,可求出11,a b 范围;求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式,利用数学归纳法即可证明其大小关系,即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列, 所以123a a a <<,所以11222a a a <+=,即11a <, 又22324a a a <+=,即2122a a =-<, 所以10a >,即101a <<,故A 正确; 因为{}n b 为递增数列, 所以123b b b <<,所以21122b b b <=,即1b <又22234b b b <=,即2122b b =<, 所以11b >,即11b <<,故B 正确;{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==,因为12n n n b b +⋅=,则1122n n n b b +++⋅=,所以22n n b b +=,则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-,当n =1时,222,S T =>,所以22T S >,故D 错误; 当2n ≥时假设当n=k时,21)2k k ->21)k k ->, 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈,都有21)2k k ->,即22n n T S >,故C 正确 故选:ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用,数列前n 项和的求法,解题的关键在于,根据数列的单调性,得到项之间的大小关系,再结合题干条件,即可求出范围,比较前2n 项和大小时,需灵活应用等差等比求和公式及性质,结合基本不等式进行分析,考查分析理解,计算求值的能力,属中档题.3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d .已知312a =,120S >,70a <则( ) A .60a >B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C .0n S <时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,可判断A ;由已知得出2437d -<<-,且()12+3n a n d =-,得出[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d =-,可得出1n a 在1,6n n N上单调递增,1na 在7nnN ,上单调递增,可判断B ;由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,可判断C ;判断 n a ,n S 的符号, n a 的单调性可判断D ; 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-,()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,故A 正确;由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩,解得2437d -<<-,又()()3+312+3n a n d n d a =-=-,当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d=-,所以[]1,6n ∈时,1>0na ,7n ≥时,10n a <,所以1na 在1,6n n N上单调递增,1na 在7n n N,上单调递增,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列,故B 不正确; 由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,而120S >,所以0n S <时,n 的最小值为13,故C 选项正确 ;当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,当[]1,12n ∈时,>0n S ,13n ≥时,0nS <,所以当[]7,12n ∈时,0n a <,>0n S ,0nnS a <,[]712n ∈,时,n a 为递增数列,n S 为正数且为递减数列,所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项,故D 正确;【点睛】本题考查等差数列的公差,项的符号,数列的单调性,数列的最值项,属于较难题.4.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,…,该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ,则下列结论正确的是( ) A .20192g = B .()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C .12320192688g g g g ++++=D .22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-,可判断B 、D 选项;先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论:数列{}n g 是以6为最小正周期的数列,可判断A 、C 选项.【详解】 对于A 选项:12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============,,,,,,,所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列,又20196336+3=⨯,所以20192g =,故A 选项正确;对于C 选项:()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=,故C 选项错误;对于B 选项:斐波那契数列总有:+2+1+n n n f f f =,所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-,()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-, 所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=,故B 正确; 对于D 选项:()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=,,,()222312321f f f f f f f f =-=-, ()233423432f f f f f f f f =-=-,,()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

高考数学一轮复习《数列》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《数列》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《数列》练习题(含答案)一、单选题1.已知数列{}n a 为等差数列,n S 为其n 前项和,若4511a a +=,则8S =( ) A .36B .40C .44D .472.8,2的等差中项是( ) A .±5B .±4C .5D .43.已知等比数列{}n a 中,3464,32a a a ==,则101268a a a a --的值为( )A .2B .4C .8D .164.若2(23n a n tn t =++为常数)*n N ∈,且数列{}n a 为单调递增数列,则实数t 的取值范围为( ) A .2t <-B .2t >-C .6t <-D .6t >-5.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若(8)(1,2,)n a n n n =-=,则( ) A .{}n a 有最大项,{}n S 有最大项 B .{}n a 有最大项,{}n S 有最小项 C .{}n a 有最小项,{}n S 有最大项D .{}n a 有最小项,{}n S 有最小项6.数列{}n a 满足:12a =,()111n n a a +-=,n S 是{}n a 的前n 项和,则2021S =( ) A .4042 B .2021 C .20232D .202127.在等差数列{}n a 中,若6a ,7a 是方程2320x x ++=的两根,则{}n a 的前12项的和为( ) A .6B .18C .-18D .-68.早在3000年前,中华民族的祖先就已经开始用数字来表达这个世界.在《乾坤谱》中,作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论,用来解释中国传统文化中的太极衍生原理,如图.该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,72,…,若记该数列为{}n a ,则20212020a a -=( )A .2018B .2020C .2022D .20249.已知数列{}n a 的前n 项和27n S n n =-,若35<<k a ,则k =( ) A .8B .7C .6D .510.等比数列{}n b 的前n 项之积为n T ,若456b b b =,则5T =( ) A .1B .2C .3D .411.数列{}n a 满足1a m =,2212114,4(2)2,4n n n n n a n a n a a n ---⎧<=≥⎨≥⎩,若{}n a 为等比数列,则m 的取值范围是( ) A .(1,9]B .9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .[2,9]D .[18,)+∞12.在等差数列{}n a 中,满足4737a a =,且10,n a S >,是{}n a 前n 项的和,若n S 取得最大值,则n =( ) A .7 B .8C .9D .10二、填空题13.已知数列{}n a 为等差数列,10a <且1231990a a a a ++++=,设()12n n n n b a a a n *++=∈N ,当{}n b 的前n 项和n S 最小时,n 的值组成的集合为______.14.已知数列{}n a 中各项是从1、0、-1这三个整数中取值的数列,n S 为其前n 项和,定义()21n n b a =+,且数列{}n b 的前n 项和为n T ,若30301,51S T =-=,则数列{}n a 的前30项中0的个数为_______个.15.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且1212222016,log log log n n n a a a a a +⋅=+++=______.16.n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若131n n S a -=⋅+(*n N ∈),则a =______.17.已知数列{}n a 满足11a =,21n nn a a a +=+,数列{}n b 的前n 项和n S ,1n n n a b a +=.若()100S k k Z <∈,则k 的最小值为_______________.三、解答题18.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a n }为等差数列,a 1=12,d =-2. (1)求S n ,并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象;(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围,并求{S n }的最大(或最小)的项; (3){S n }有多少项大于零?19.已知等差数列{}n a 满足37a =,616a =. (1)求{}n a 的通项公式;(2)若当2n ≥时,113n n b b a -=,且13b =,求使0n b >的最大正整数n 的值.20.设{}n a 是各项都为正数的单调递增数列,已知19a =,且n a 满足关系式:19n n a a ++=+*n ∈N .(1)求{}n a 的通项公式; (2)若99n n b a n=+,求数列{}n b 的前n 项和n S .21.已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和,已知1055S =,且2a ,4a ,8a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若nn S b n=,求371141n b b b b -+++⋅⋅⋅+的值.22.已知数列{}n a 满足12n n a a +=+,n *∈N ,且2a ,5a ,14a 构成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设12nn n b a +=,求数列{}n b 的前n 项和n S .23.设等差数列{}n a 公差为d ,等比数列{}n b 公比为q ,已知d q =,111a b +=,221a b +=,431a b +=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .(3)求数列211n n n n a a a b +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .24.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,0n a >,22=,n n n S a a n N *+∈. (1)求{}n a 的通项公式; (2)记22n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .25.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足*21()n n S a n =-∈N ,数列{}n b 满足*1(1)(1)()n n nb n b n n n N +-+=+∈,且11b =.(1)证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若12214(1)(1)(32log )(32log )n n n n n c a a -++=-++,求数列{}n c 的前2n 项和2n T ;(3)若n n d a ={}n d的前n 项和为n D ,对任意的*n N ∈,都有n n D nS a ≤-,求实数a 的取值范围。

2023年高考数学一轮复习第六章数列1数列的概念练习含解析

2023年高考数学一轮复习第六章数列1数列的概念练习含解析

数列的概念考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知识梳理 1.数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类分类标准 类型 满足条件 项数有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限项与项间的大小关系递增数列a n +1>a n 其中n ∈N *递减数列 a n +1<a n 常数列 a n +1=a n摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.常用结论1.已知数列{a n }的前n 项和S n ,则a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2.2.在数列{a n }中,若a n 最大,则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n -1,a n ≥a n +1(n ≥2,n ∈N *);若a n 最小,则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n -1,a n ≤a n +1(n ≥2,n ∈N *).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( × ) (2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.( × )(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对任意n ∈N *,都有a n +1=S n +1-S n .( √ ) 教材改编题1.若数列{a n }满足a 1=2,a n +1=1+a n1-a n ,则a 2023的值为( )A .2B .-3C .-12D.13答案 C解析 因为a 1=2,a n +1=1+a n1-a n ,所以a 2=1+a 11-a 1=-3,同理可得a 3=-12,a 4=13,a 5=2,…,可得a n +4=a n ,则a 2023=a 505×4+3=a 3=-12.2.数列13,18,115,124,135,…的通项公式是a n =________.答案1nn +2,n ∈N *解析 ∵a 1=11×1+2=13, a 2=12×2+2=18,a 3=13×3+2=115,a 4=14×4+2=124,a 5=15×5+2=135,∴通过观察,我们可以得到如上的规律, 则a n =1nn +2,n ∈N *. 3.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n ,则数列{a n }的通项公式a n =________.解析 a 1=S 1=2-3=-1, 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2n 2-3n )-[2(n -1)2-3(n -1)] =4n -5,因为a 1也适合上式,所以a n =4n -5.题型一 由a n 与S n 的关系求通项公式例1 (1)设S n 为数列{a n }的前n 项和,若2S n =3a n -3,则a 4等于( ) A .27 B .81 C .93 D .243答案 B解析 根据2S n =3a n -3, 可得2S n +1=3a n +1-3, 两式相减得2a n +1=3a n +1-3a n , 即a n +1=3a n ,当n =1时,2S 1=3a 1-3,解得a 1=3,所以数列{a n }是以3为首项,3为公比的等比数列, 所以a 4=a 1q 3=34=81.(2)设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n,则a n =________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,2n -12n -1,n ≥2解析 当n =1时,a 1=21=2. ∵a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n,① ∴a 1+3a 2+…+(2n -3)a n -1=2n -1(n ≥2),② 由①-②得,(2n -1)·a n =2n -2n -1=2n -1,∴a n =2n -12n -1(n ≥2).显然n =1时不满足上式,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,2n -12n -1,n ≥2.教师备选1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n ,则a n =________.解析 当n =1时,a 1=S 1=3.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2+2n -[(n -1)2+2(n -1)]=2n +1.由于a 1=3适合上式,∴a n =2n +1.2.已知数列{a n }中,S n 是其前n 项和,且S n =2a n +1,则数列的通项公式a n =________. 答案 -2n -1解析 当n =1时,a 1=S 1=2a 1+1, ∴a 1=-1.当n ≥2时,S n =2a n +1,①S n -1=2a n -1+1.②①-②得S n -S n -1=2a n -2a n -1, 即a n =2a n -2a n -1, 即a n =2a n -1(n ≥2),∴{a n }是首项为a 1=-1,公比为q =2的等比数列. ∴a n =a 1·qn -1=-2n -1.思维升华 (1)已知S n 求a n 的常用方法是利用a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2转化为关于a n 的关系式,再求通项公式.(2)S n 与a n 关系问题的求解思路方向1:利用a n =S n -S n -1(n ≥2)转化为只含S n ,S n -1的关系式,再求解. 方向2:利用S n -S n -1=a n (n ≥2)转化为只含a n ,a n -1的关系式,再求解.跟踪训练1 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2n 2+n +1,n ∈N *,则a n =________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4,n =1,4n -1,n ≥2解析 根据题意,可得S n -1=2(n -1)2+(n -1)+1. 由通项公式与求和公式的关系, 可得a n =S n -S n -1, 代入化简得a n =2n 2+n +1-2(n -1)2-(n -1)-1=4n -1.经检验,当n =1时,S 1=4,a 1=3, 所以S 1≠a 1,所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧4,n =1,4n -1,n ≥2.(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n +1=S n S n +1,则a n =________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧-1,n =1,1n n -1,n ≥2解析 由已知得a n +1=S n +1-S n =S n +1S n , 两边同时除以S n +1S n , 得1S n +1-1S n=-1.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则1S n=-1-(n -1)=-n .所以S n =-1n.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=-1n +1n -1=1n n -1,故a n =⎩⎪⎨⎪⎧-1,n =1,1n n -1,n ≥2.题型二 由数列的递推关系求通项公式 命题点1 累加法例2 在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +ln ⎝⎛⎭⎪⎫1+1n ,则a n 等于( )A .2+ln nB .2+(n -1)ln nC .2+n ln nD .1+n +ln n答案 A解析 因为a n +1-a n =ln n +1n=ln(n +1)-ln n , 所以a 2-a 1=ln2-ln1,a 3-a 2=ln3-ln2, a 4-a 3=ln4-ln3,……a n -a n -1=ln n -ln(n -1)(n ≥2),把以上各式分别相加得a n -a 1=ln n -ln1, 则a n =2+ln n (n ≥2),且a 1=2也适合, 因此a n =2+ln n (n ∈N *).命题点2 累乘法例3 若数列{a n }满足a 1=1,na n -1=(n +1)·a n (n ≥2),则a n =________. 答案2n +1解析 由na n -1=(n +1)a n (n ≥2), 得a n a n -1=n n +1(n ≥2). 所以a n =a n a n -1·a n -1a n -2·a n -2a n -3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1=n n +1×n -1n ×n -2n -1×…×34×23×1=2n +1, 又a 1=1满足上式,所以a n =2n +1. 教师备选1.在数列{a n }中,a 1=3,a n +1=a n +1n n +1,则通项公式a n =________.答案 4-1n解析 ∵a n +1-a n =1nn +1=1n -1n +1, ∴当n ≥2时,a n -a n -1=1n -1-1n, a n -1-a n -2=1n -2-1n -1,……a 2-a 1=1-12,∴以上各式相加得,a n -a 1=1-1n,∴a n =4-1n ,a 1=3适合上式,∴a n =4-1n.2.若{a n }满足2(n +1)·a 2n +(n +2)·a n ·a n +1-n ·a 2n +1=0,且a n >0,a 1=1,则a n =________. 答案 n ·2n -1解析 由2(n +1)·a 2n +(n +2)·a n ·a n +1-n ·a 2n +1=0得n (2a 2n +a n ·a n +1-a 2n +1)+2a n (a n +a n +1)=0,∴n (a n +a n +1)(2a n -a n +1)+2a n (a n +a n +1)=0, (a n +a n +1)[(2a n -a n +1)·n +2a n ]=0, 又a n >0,∴2n ·a n +2a n -n ·a n +1=0, ∴a n +1a n =2n +1n, 又a 1=1, ∴当n ≥2时,a n =a n a n -1·a n -1a n -2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1=2n n -1×2n -1n -2×2n -2n -3×…×2×32×2×21×1=2n -1·n . 又n =1时,a 1=1适合上式, ∴a n =n ·2n -1.思维升华 (1)形如a n +1-a n =f (n )的数列,利用累加法,即利用公式a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1(n ≥2),即可求数列{a n }的通项公式. (2)形如a n +1a n =f (n )的数列,常令n 分别为1,2,3,…,n -1,代入a n +1a n=f (n ),再把所得的(n -1)个等式相乘,利用a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n -1(n ≥2)即可求数列{a n }的通项公式. 跟踪训练2 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,a n +1=a n +2n -1+1,则a n =________.答案 2n -1+n解析 ∵a n +1=a n +2n -1+1,∴a n +1-a n =2n -1+1,∴当n ≥2时,a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)+a 1=2n -2+2n -3+…+2+1+a 1+n -1=1-2n -11-2+2+n -1=2n -1+n .又∵a 1=2满足上式, ∴a n =2n -1+n .(2)(2022·莆田模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =n 2a n (n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为________. 答案 a n =2nn +1解析 由S n =n 2a n ,可得当n ≥2时,S n -1=(n -1)2a n -1, 则a n =S n -S n -1=n 2a n -(n -1)2a n -1, 即(n 2-1)a n =(n -1)2a n -1, 易知a n ≠0,故a n a n -1=n -1n +1(n ≥2).所以当n ≥2时,a n =a n a n -1×a n -1a n -2×a n -2a n -3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1=n -1n +1×n -2n ×n -3n -1×…×24×13×1 =2n n +1.当n =1时,a 1=1满足a n =2n n +1. 故数列{a n }的通项公式为a n =2nn +1. 题型三 数列的性质 命题点1 数列的单调性例4 已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-2λn (n ∈N *),则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 A解析 若数列{a n }为递增数列, 则有a n +1-a n >0,∴(n +1)2-2λ(n +1)-n 2+2λn =2n +1-2λ>0,即2n +1>2λ对任意的n ∈N *都成立, 于是有λ<⎝⎛⎭⎪⎫2n +12min =32,∵由λ<1可推得λ<32,但反过来,由λ<32不能得到λ<1,因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件. 命题点2 数列的周期性例5 (2022·广州四校联考)数列{a n }满足a 1=2,a n +1=11-a n (n ∈N *),则a 2023等于( )A .-2B .-1C .2 D.12答案 C解析 ∵数列{a n }满足a 1=2,a n +1=11-a n(n ∈N *), ∴a 2=11-2=-1, a 3=11--1=12,a 4=11-12=2,…,可知此数列有周期性,周期T =3, 即a n +3=a n ,则a 2023=a 1=2. 命题点3 数列的最值例6 已知数列{a n }的通项公式a n =(n +1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n,则数列{a n }的最大项为( )A .a 8或a 9B .a 9或a 10C .a 10或a 11D .a 11或a 12答案 B解析 结合f (x )=(x +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011x的单调性,设数列{a n }的最大项为a n , 所以⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n +1,a n ≥a n -1,所以⎩⎪⎨⎪⎧n +1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n +2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n +1,n +1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n -1,解不等式组可得9≤n ≤10. 所以数列{a n }的最大项为a 9或a 10. 教师备选1.已知数列{a n }的通项公式为a n =3n +k2n ,若数列{a n }为递减数列,则实数k 的取值范围为( ) A .(3,+∞)B .(2,+∞)C .(1,+∞)D .(0,+∞)答案 D解析 因为a n +1-a n =3n +3+k 2n +1-3n +k2n =3-3n -k2n +1, 由数列{a n }为递减数列知,对任意n ∈N *,a n +1-a n =3-3n -k 2n +1<0, 所以k >3-3n 对任意n ∈N *恒成立, 所以k ∈(0,+∞).2.在数列{a n }中,a 1=1,a n a n +3=1,则log 5a 1+log 5a 2+…+log 5a 2023等于( ) A .-1 B .0 C .log 53 D .4答案 B解析 因为a n a n +3=1,所以a n +3a n +6=1,所以a n +6=a n ,所以{a n }是周期为6的周期数列, 所以log 5a 1+log 5a 2+…+log 5a 2023 =log 5(a 1a 2…a 2023) =log 5[(a 1a 2…a 6)337·a 1], 又因为a 1a 4=a 2a 5=a 3a 6=1, 所以a 1a 2…a 6=1,所以原式=log 5(1337×1)=log 51=0. 思维升华 (1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法,根据a n +1-a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列. (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值. (3)求数列的最大项与最小项的常用方法 ①函数法,利用函数的单调性求最值.②利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n -1,a n ≥a n +1(n ≥2)确定最大项,利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n -1,a n ≤a n +1(n ≥2)确定最小项.跟踪训练3 (1)在数列{a n }中,a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧2a n,a n<12,2a n-1,a n≥12,若a 1=45,则a 2023的值为( )A.35B.45C.25D.15答案 D 解析 a 1=45>12,∴a 2=2a 1-1=35>12,∴a 3=2a 2-1=15<12,∴a 4=2a 3=25<12,∴a 5=2a 4=45,……可以看出四个循环一次, 故a 2023=a 4×505+3=a 3=15.(2)(2022·沧州七校联考)已知数列{a n }满足a n =n +13n -16(n ∈N *),则数列{a n }的最小项是第________项. 答案 5解析 a n =n +13n -16=13⎝ ⎛⎭⎪⎫1+193n -16,当n >5时,a n >0,且单调递减; 当n ≤5时,a n <0,且单调递减, ∴当n =5时,a n 最小.课时精练1.数列{a n }的前几项为12,3,112,8,212,…,则此数列的通项公式可能是( )A .a n =5n -42B .a n =3n -22C .a n =6n -52D .a n =10n -92答案 A解析 数列为12,62,112,162,212,…,其分母为2,分子是以首项为1,公差为5的等差数列,故数列{a n }的通项公式为a n =5n -42.2.在数列{a n }中,a 1=1,a n =1+-1na n -1(n ≥2),则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23 答案 D 解析 a 2=1+-12a 1=2,a 3=1+-13a 2=12, a 4=1+-14a 3=3,a 5=1+-15a 4=23. 3.已知数列{a n }的前n 项积为T n ,且满足a n +1=1+a n 1-a n (n ∈N *),若a 1=14,则T 2023为( )A .-4B .-35C .-53D.14答案 C解析 由a n +1=1+a n 1-a n ,a 1=14,得a 2=53,a 3=-4,a 4=-35,a 5=14,…,所以数列{a n }具有周期性,周期为4,因为T 4=a 1·a 2·a 3·a 4=1,2023=4×505+3, 所以T 2023=(a 1a 2a 3a 4)…(a 2021a 2022a 2023) =14×53×(-4)=-53. 4.若数列{a n }的前n 项和S n =2a n -1(n ∈N *),则a 5等于( ) A .8B .16C .32D .64 答案 B解析 数列{a n }的前n 项和S n =2a n -1(n ∈N *), 则S n -1=2a n -1-1(n ≥2), 两式相减得a n =2a n -1(n ≥2), 由此可得,数列{a n }是等比数列,又S 1=2a 1-1=a 1,所以a 1=1, 故数列{a n }的通项公式为a n =2n -1,令n =5,得a 5=16.5.(多选)已知数列{a n }的通项公式为a n =9n 2-9n +29n 2-1(n ∈N *),则下列结论正确的是( ) A .这个数列的第10项为2731B.97100是该数列中的项 C .数列中的各项都在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫14,1内 D .数列{a n }是单调递减数列 答案 BC解析 a n =9n 2-9n +29n 2-1=3n -13n -23n -13n +1=3n -23n +1, 令n =10得a 10=2831,故A 错误;令3n -23n +1=97100得n =33∈N *, 故97100是数列中的项,故B 正确; 因为a n =3n -23n +1=3n +1-33n +1=1-33n +1,又n ∈N *.所以数列{a n }是单调递增数列, 所以14≤a n <1,故C 正确,D 不正确.6.(多选)若数列{a n }满足:对任意正整数n ,{a n +1-a n }为递减数列,则称数列{a n }为“差递减数列”.给出下列数列{a n }(n ∈N *),其中是“差递减数列”的有( ) A .a n =3n B .a n =n 2+1 C .a n =n D .a n =lnnn +1答案 CD解析 对于A ,若a n =3n ,则a n +1-a n =3(n +1)-3n =3,所以{a n +1-a n }不为递减数列,故A 错误;对于B ,若a n =n 2+1,则a n +1-a n =(n +1)2-n 2=2n +1, 所以{a n +1-a n }为递增数列,故B 错误; 对于C ,若a n =n , 则a n +1-a n =n +1-n =1n +1+n,所以{a n +1-a n }为递减数列,故C 正确; 对于D ,若a n =ln nn +1,则a n +1-a n =ln n +1n +2-ln nn +1=ln ⎝⎛⎭⎪⎫n +1n +2·n +1n =ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1n 2+2n ,由函数y =ln ⎝⎛⎭⎪⎫1+1x 2+2x 在(0,+∞)上单调递减,所以{a n +1-a n }为递减数列,故D 正确.7.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n +1=3S n (n ∈N *),则a n =________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,3·4n -2,n ≥2解析 ∵a n +1=3S n (n ∈N *), ∴当n =1时,a 2=3; 当n ≥2时,a n =3S n -1, ∴a n +1-a n =3a n , 得a n +1=4a n ,∴数列{a n }从第二项起为等比数列, 当n ≥2时,a n =3·4n -2, 故a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,3·4n -2,n ≥2.8.(2022·临沂模拟)已知a n =n 2+λn ,且对于任意的n ∈N *,数列{a n }是递增数列,则实数λ的取值范围是________.答案 (-3,+∞)解析 因为{a n }是递增数列,所以对任意的n ∈N *,都有a n +1>a n , 即(n +1)2+λ(n +1)>n 2+λn ,整理,得2n +1+λ>0,即λ>-(2n +1).(*)因为n ∈N *,所以-(2n +1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3.9.已知数列{a n }中,a 1=1,前n 项和S n =n +23a n .(1)求a 2,a 3; (2)求{a n }的通项公式.解 (1)由S 2=43a 2得3(a 1+a 2)=4a 2,解得a 2=3a 1=3,由S 3=53a 3,得3(a 1+a 2+a 3)=5a 3,解得a 3=32(a 1+a 2)=6.(2)由题设知当n =1时,a 1=1. 当n ≥2时,有a n =S n -S n -1=n +23a n -n +13a n -1,整理得a n =n +1n -1a n -1, 于是a 2=31a 1,a 3=42a 2,…,a n -1=nn -2a n -2,a n =n +1n -1a n -1,将以上n -1个等式中等号两端分别相乘,整理得a n =n n +12.当n =1时,a 1=1满足a n =n n +12.综上可知,{a n }的通项公式为a n =n n +12.10.求下列数列{a n }的通项公式. (1)a 1=1,a n +1=a n +3n; (2)a 1=1,a n +1=2na n .解 (1)由a n +1=a n +3n 得a n +1-a n =3n,当n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+…+(a n -a n -1) =1+31+32+33+…+3n -1=1×1-3n1-3=3n-12,当n =1时,a 1=1=31-12,满足上式,∴a n =3n-12(n ∈N *).(2)由a n +1=2na n 得a n +1a n=2n, 当n ≥2时,a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a na n -1=1×2×22×23×…×2n -1=21+2+3+…+(n -1)=()122n n -.当n =1时,a 1=1满足上式, ∴a n =()122n n -(n ∈N *).11.已知数列{a n }满足a n =⎩⎪⎨⎪⎧3-a n -2,n ≤6,an -5,n >6,且{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫167,3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫167,3C .(1,3)D .(2,3)答案 D解析 若{a n }是递增数列,则⎩⎪⎨⎪⎧3-a >0,a >1,a 7>a 6,即⎩⎪⎨⎪⎧a <3,a >1,a 2>63-a -2,解得2<a <3,即实数a 的取值范围是(2,3).12.(多选)(2022·江苏盐城中学模拟)对于数列{a n },若存在数列{b n }满足b n =a n -1a n(n ∈N *),则称数列{b n }是{a n }的“倒差数列”,下列关于“倒差数列”描述正确的是( ) A .若数列{a n }是单增数列,则其“倒差数列”不一定是单增数列 B .若a n =3n -1,则其“倒差数列”有最大值 C .若a n =3n -1,则其“倒差数列”有最小值D .若a n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n,则其“倒差数列”有最大值答案 ACD解析 若数列{a n }是单增数列,则b n -b n -1=a n -1a n -a n -1+1a n -1=(a n -a n -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1a n a n -1,虽然有a n >a n -1, 但当1+1a n a n -1<0时,b n <b n -1,因此{b n }不一定是单增数列,A 正确;a n =3n -1,则b n =3n -1-13n -1,易知{b n }是递增数列,无最大值,B 错误;C 正确,最小值为b 1.若a n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n,则b n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n-11-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n ,∵函数y =x -1x在(0,+∞)上单调递增,∴当n 为偶数时,a n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n∈(0,1),∴b n =a n -1a n<0,当n 为奇数时,a n =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n>1,显然a n 是单调递减的,因此b n =a n -1a n也是单调递减的,即b 1>b 3>b 5>…,∴{b n }的奇数项中有最大值为b 1=32-23=56>0,∴b 1=56是数列{b n }(n ∈N *)中的最大值,D 正确.13.已知数列{a n }的通项公式a n =632n ,若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立,则正整数k 的值为________. 答案 5解析 a n =632n ,当n ≤5时,a n >1;当n ≥6时,a n <1,由题意知,a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值,所以k =5.14.(2022·武汉模拟)已知数列{a n }中,a 1=1,1a n +1-1a n=n +1,则其前n 项和S n =________.答案2nn +1解析 ∵1a 2-1a 1=2,1a 3-1a 2=3,1a 4-1a 3=4,…,1a n -1a n -1=n ,累加得1a n -1a 1=2+3+4+…+n ,得1a n=1+2+3+4+…+n =n n +12,∴a n =2nn +1=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1, ∴S n =2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-14+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1=2n n +1.15.(多选)若数列{a n }满足a 1=1,a 2=3,a n a n -2=a n -1(n ≥3),记数列{a n }的前n 项积为T n ,则下列说法正确的有( ) A .T n 无最大值 B .a n 有最大值 C .T 2023=1 D .a 2023=1答案 BCD解析 因为a 1=1,a 2=3,a n a n -2=a n -1(n ≥3),所以a 3=3,a 4=1,a 5=13,a 6=13,a 7=1,a 8=3,…因此数列{a n }为周期数列,a n +6=a n ,a n 有最大值3, a 2023=a 1=1,因为T 1=1,T 2=3,T 3=9,T 4=9,T 5=3,T 6=1,T 7=1,T 8=3,…, 所以{T n }为周期数列,T n +6=T n ,T n 有最大值9,T 2023=T 1=1.16.已知数列{a n }中,a n =1+1a +2n -1(n ∈N *,a ∈R 且a ≠0).(1)若a =-7,求数列{a n }中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n ∈N *,都有a n ≤a 6成立,求a 的取值范围.解 (1)∵a n =1+1a +2n -1(n ∈N *,a ∈R ,且a ≠0),又a =-7,∴a n =1+12n -9(n ∈N *).结合函数f (x )=1+12x -9的单调性, 可知1>a 1>a 2>a 3>a 4,a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *). ∴数列{a n }中的最大项为a 5=2, 最小项为a 4=0.(2)a n =1+1a +2n -1=1+12n -2-a2,已知对任意的n ∈N *,都有a n ≤a 6成立, 结合函数f (x )=1+12x -2-a 2的单调性,可知5<2-a2<6,即-10<a <-8.即a 的取值范围是(-10,-8).。

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(完整版)高三数学第一轮复习单元测试--数列

高三数学第一轮复习单元测试(2)— 《数列》一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列,c 、a 、b 成等比数列,且103=++c b a , 则a = ( )A .4B .2C .-2D .-42.已知等差数列共有10项,其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是 ( ) A .5 B .4 C .3 D .2 3.在等差数列{}n a 中,已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 ( )A .40B .42C .43D .454.在等差数列{a n }中,若a a+a b =12,S N 是数列{a n }的前n 项和,则S N 的值为 ( ) A .48 B .54 C .60 D .665.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 3S 6=13,则S 6S 12= ( )A .310B .13C .18D .196.设{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,12380a a a =,则111213a a a ++=( )A .120B .105C .90D .757.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a a 2001+=,且A 、B 、C 三点共线 (该直线不过原点O ),则S 200= ( )A .100B .101C .200D .2018.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于( )A .122n +- B .3n C .2n D .31n -9.设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈L ,则()f n 等于( )A .2(81)7n- B .12(81)7n +- C .32(81)7n +- D .42(81)7n +- 10.弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体球垛,使剩下的弹子尽可能的少,那么剩下的弹子有 ( ) A .3 B .4 C .8 D .9 11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,令12nn S S S T n+++=L ,称n T 为数列1a ,2a ,……,n a 的“理想数”,已知数列1a ,2a ,……,500a 的“理想数”为2004,那么数列2, 1a ,2a ,……,500a 的“理想数”为 ( )A .2002B .2004C .2006D .200812.已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ,满足p q p q a a a +=+,且26a =-,那么10a 等于( )A .165-B .33-C .30-D .21-二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上. 13.数列{a n }中,若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n = .14.=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1110113112111,244)(f f f f x f xx Λ则设 . 15.在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正 三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层, 就一个乒乓球;第2、3、4、…堆最底层(第 一层)分别按右图所示方式固定摆放.从第一 层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n 堆第n 层就放一个乒乓球,以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数,则=)3(f ;=)(n f (答案用n 表示).16.已知整数对排列如下()()()()()()()()()()()()Λ,4,2,5,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,3,2,23,1,1,2,2,1,1,1, 则第60个整数对是_______________.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ,()111,211n n a a S n +==+≥(1)求{a n }的通项公式;(2)等差数列{b n }的各项为正,其前n 项和为T n ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求T n 18.(本小题满分12分) 设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足:2+-=n n n a a b ,2132++++=n n n n a a a c (n =1,2,3,…),证明:}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b (n =1,2,3,…)19.(本小题满分12分)已知数列3021,,,a a a Λ,其中1021,,,a a a Λ是首项为1,公差为1的等差数列;201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列;302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列(0≠d ). (1)若4020=a ,求d ;(2)试写出30a 关于d 的关系式,并求30a 的取值范围;(3)续写已知数列,使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论? 20.(本小题满分12分) 某市去年11份曾发生流感,据统计,11月1日该市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人,由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人,问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求这一天的新患者人数. 21.(本小题满分12分)等差数列{}n a 中,12a =,公差d 是自然数,等比数列{}n b 中,1122,b a b a ==.(Ⅰ)试找出一个d 的值,使{}n b 的所有项都是{}n a 中的项;再找出一个d 的值,使{}n b 的项不都是{}n a 中的项(不必证明);(Ⅱ)判断4d =时,是否{}n b 所有的项都是{}n a 中的项, 并证明你的结论;(Ⅲ)探索当且仅当d 取怎样的自然数时,{}n b 的所有项都是{}n a 中的项,并说明理由. 22.(本小题满分14分)已知数列{n a }中,112--=n n a a (n ≥2,+∈N n ),(1)若531=a ,数列}{n b 满足11-=n n a b (+∈N n ),求证数列{n b }是等差数列; (2)若531=a ,求数列{n a }中的最大项与最小项,并说明理由; (3)(理做文不做)若211<<a ,试证明:211<<<+n n a a .参考答案(2)1.D .依题意有22,,310.a c b bc a a b c +=⎧⎪=⎨⎪++=⎩4,2,8.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2.C . 3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ,故选C . 3.B . ∵等差数列{}n a 中12a =,2313a a += ∴公差3d =. ∴45613345a a a a d d d ++=+++=1312a d +=42. 4.B . 因为461912a a a a +=+=,所以1999()2a a S +==54,故选B . 5.A . 由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112161527312669010S a d d S a d d +===+,故选A . 6.B .12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=,()()1232228080a a a a d a a d =⇒-+=,将25a =代入,得3d =,从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=.选B .7.A . 依题意,a 1+a 200=1,故选A .8.C .因数列{}n a 为等比,则12n n a q -=,因数列{}1n a +也是等比数列,则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =,所以2n S n =,故选择答案C .9.D . f (n )=3(1)432[12]2(81)127n n ++-=--,选D . 10.B . 正四面体的特征和题设构造过程,第k 层为k 个连续自然数的和,化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为(),k k k k k 2213212+=+=++++Λ则前k 层共有()()()()6062121212121222≤++=+++++++k k k k k L ,k 最大为6,剩4,选B .11.A .认识信息,理解理想数的意义有,20025014984995002501,5004984995002004500321500321=+++++⨯∴++++=a a a a a a a a ΛΛ,选A .12.C .由已知4a =2a +2a = -12,8a =4a +4a =-24,10a =8a +2a = -30,选C .13.由112332(3)n n n n a a a a ++=+⇔+=+,即133n n a a +++=2,所以数列{n a +3}是以(1a +3)为首项,以2为公比的等比数列,故n a +3=(1a +3)12n -,n a =12n +-3. 14.由()()11=+-x f x f ,整体求和所求值为5.15.2)1()()(111211+==-++-+=⇒+=--+n n a a a a a a n a a n n n n n ΛΛ )(n f 的规律由)2(2)1()1()(≥+==--n n n a n f n f n ,所以22)1()(223)2()3(222)1()2(1)1(222+=--+=-+=-=n n f n f f f f f f Λ所以)]321()321[(21)(222n n n f +++++++++=ΛΛ 6)2)(1(]2)1(6)12)(1([21++=++++=n n n n n n n n 16.观察整数对的特点,整数对和为2的1个,和为3的2个,和为4的3个,和为5的4个,和n 为的 n -1个,于是,借助()21321+=++++n n n Λ估算,取n=10,则第55个整数对为()1,11,注意横坐标递增,纵坐标递减的特点,第60个整数对为()7,517.(1)由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥,两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥ 又21213a S =+= ∴213a a = 故{a n }是首项为1,公比为3得等比数列 ∴13n n a -=. (2)设{b n }的公差为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b =, 故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d == ∵等差数列{b n }的各项为正,∴0d >,∴2d = ∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+18.ο1必要性:设数列}{n a 是公差为1d 的等差数列,则:--=-+++)(311n n n n a a b b )(2+-n n a a =--+)(1n n a a )(23++-n n a a =1d -1d =0,∴1+≤n n b b (n =1,2,3,…)成立; 又2)(11+-=-++n n n n a a c c )(12++-n n a a )(323++-+n n a a =61d (常数)(n =1,2,3,…) ∴数列}{n c 为等差数列.ο2充分性:设数列}{n c 是公差为2d 的等差数列,且1+≤n n b b (n =1,2,3,…), ∵2132++++=n n n n a a a c ……① ∴432232++++++=n n n n a a a c ……②①-②得:)(22++-=-n n n n a a c c )(231++-+n n a a )(342++-+n n a a =2132++++n n n b b b ∵+-=-++)(12n n n n c c c c 2212)(d c c n n -=-++∴2132++++n n n b b b 22d -=……③ 从而有32132+++++n n n b b b 22d -=……④ ④-③得:0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ……⑤ ∵0)(1≥-+n n b b ,012≥-++n n b b ,023≥-++n n b b , ∴由⑤得:01=-+n n b b (n =1,2,3,…),由此,不妨设3d b n =(n =1,2,3,…),则2+-n n a a 3d =(常数) 故312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++……⑥ 从而3211324d a a c n n n -+=+++31524d a a n n -+=+……⑦ ⑦-⑥得:3112)(2d a a c c n n n n --=-++,故311)(21d c c a a n n n n +-=-++3221d d +=(常数)(n =1,2,3,…), ∴数列}{n a 为等差数列.综上所述:}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b (n =1,2,3,…). 19.(1)3,401010.102010=∴=+==d d a a . (2)())0(11010222030≠++=+=d d d d a a , ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ,当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时,[)307.5,a ∈+∞.(3)所给数列可推广为无穷数列{}n a ,其中1021,,,a a a Λ是首项为1,公差为1的等差数列,当1≥n时,数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列.研究的问题可以是:试写出)1(10+n a 关于d 的关系式,并求)1(10+n a 的取值范围. 研究的结论可以是:由()323304011010d d d d a a +++=+=, 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn Λ 当0>d 时,)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等.20.设第n 天新患者人数最多,则从n+1天起该市医疗部门采取措施,于是,前n 天流感病毒感染者总人数,构成一个首项为20,公差为50的等差数列的n 项和,()()N n ,n n n n n n S n∈≤≤-=⨯-+=3015255021202,而后30-n 天的流感病毒感染者总人数,构成一个首项为()60503050120-=-⨯-+n n ,公差为30,项数为30-n 的等差数列的和,()()()()(),n n n n n n Tn148502445653026050306050302-+-=-⨯--+--=依题设构建方程有,(),n n n n ,T S n n 867014850244565525867022=-+-+-∴=+化简,120588612=∴=+-n ,n n 或49=n (舍),第12天的新的患者人数为 20+(12-1)·50=570人.故11月12日,该市感染此病毒的新患者人数最多,新患者人数为570人.21.(1)0d =时,{}n a 的项都是{}n b 中的项;(任一非负偶数均可); 1d =时,{}n a 的项不都是{}n b 中的项.(任一正奇数均可); (2) 4d =时,422(21),n a n n =-=-123n n b -=⨯131 2(21)2n m a -+=⨯-=131(2n m -+=为正整数),{}n b 的项一定都是{}n a 中的项 (3)当且仅当d 取2(*)k k ∈N (即非负偶数)时,{}n b 的项都是{}n a 中的项. 理由是:①当2(*)d k k =∈N 时,2(1)22[1(1)],n a n k n k =+-⋅=+-⋅2n >时,11122112(1)2(C C 1)n n n n n n n b k k k k ------=⋅+=++⋅⋅⋅++,其中112211C C n n n n n k k k-----++⋅⋅⋅+ 是k 的非负整数倍,设为Ak (*A ∈N ),只要取1m A =+即(m 为正整数)即可得n m b a =, 即{}n b 的项都是{}n a 中的项;②当21,()d k k =+∈N 时,23(23)2k b +=不是整数,也不可能是{}n a 的项. 22.(1)1111111121n n n n n a b a a a ---===----,而1111-=--n n a b ,∴11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b .)(+∈N n∴{n b }是首项为251111-=-=a b ,公差为1的等差数列. (2)依题意有nn b a 11=-,而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ,∴5.311-=-n a n .对于函数5.31-=x y ,在x >3.5时,y >0,0)5.3(12<--=x y',在(3.5,∞+) 上为减函数. 故当n =4时,5.311-+=n a n 取最大值3. 而函数5.31-=x y 在x <3.5时,y <0, 0)5.3(12<--=x y',在(∞-,3.5)上也为减函数.故当n =3时,取最小值,3a =-1. (3)先用数学归纳法证明21<<n a ,再证明n n a a <+1. ①当1=n 时,211<<a 成立; ②假设当k n =时命题成立,即21<<k a ,当1+=k n 时,1121<<ka )23,1(121∈-=⇒+kk a a ⇒211<<+k a 故当1+=k n 时也成立,综合①②有,命题对任意+∈N n 时成立,即21<<n a . (也可设x x f 12)(-=(1≤x ≤2),则01)(2'>=xx f , 故=1)1(f 223)2()(1<=<=<+f a f a k k ).下证: n n a a <+10122)1(21=⋅-<+-=-+kk k k n n a a a a a a ⇒n n a a <+1.。

高考数学一轮复习数列多选题单元测试及答案

高考数学一轮复习数列多选题单元测试及答案

高考数学一轮复习数列多选题单元测试及答案一、数列多选题1.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,201920212020S S S <<,设12n n n n b a a a ++=,则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,则下列结论中正确的是( ) A .20200a >B .20210a <C .2019202020212022a a a a ⋅>⋅D .2019n =时,n T 取得最大值【答案】ABC 【分析】根据题设条件,得到2021202020212020201920200,0S S a S S a -=<-=>,进而求得201920220a a >->,20192020a a >20212022a a ,再结合“裂项法”求得12121112n n n T d a a a a ++⎫⎛=-⎪⎝⎭,结合0d <,即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为201920212020S S S <<,可得2021202020210S S a -=<,2020201920200S S a -=>,20212019S S -=202120200a a +>,即202020210a a >->,202020210a d a d ->-->,即201920220a a >->, 所以20192020a a >20212022a a ,0d <,即数列{}n a 递减, 且10a >,20a >,…,20200a >,20210a <, 又由12n n n n b a a a ++=,可得1211n n n n b a a a ++==1121112n n n n d a a a a +++⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则122323341121211111111122n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a +++⎛⎫⎛=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪⎝⎝⎭121n n a a ++⎫⎪⎭,由0d <,要使n T 取最大值,则121211n n a a a a ++⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值, 显然1210n n a a ++>,而23a a >34201920202021202220222023a a a a a a a a >⋅⋅⋅>><<⋅⋅⋅, 所以当2020n =时,121211n n a a a a ++⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值. 综上可得,正确的选项为ABC. 故选:ABC.【点睛】本题主要考查了数列的综合应用,其中解答中熟练应用通项n a 和n S 的关系式,数列的“裂项法”求和,以及数列的单调性进行求解是解答的关键,着重考查推理与运算能力.2.设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和,则下列命题正确的是( ) A .若0d <,则数列{}n S 有最大项 B .若数列{}n S 有最大项,则0d <C .若对任意*n N ∈,均有0n S >,则数列{}n S 是递增数列D .若数列{}n S 是递增数列,则对任意*n N ∈,均有0n S > 【答案】ABC 【分析】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭,可看作关于n 的二次函数,由二次函数的性质逐个选项验证可得. 【详解】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭, 选项A ,若0d <,由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项,故正确; 选项B ,若数列{}n S 有最大项,则对应抛物线开口向下,则有0d <,故正确; 选项C ,若对任意*n ∈N ,均有0n S >,对应抛物线开口向上,0d >, 可得数列{}n S 是递增数列,故正确;选项D ,若数列{}n S 是递增数列,则对应抛物线开口向上, 但不一定有任意*n ∈N ,均有0n S >,故错误. 故选:ABC . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用,()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可看成是二次函数,然后利用二次函数的性质解决问题,考查分析和转化能力,属于常考题.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若831a =,10210S =,则( ) A .19919S a =B .数列{}22n a是公比为8的等比数列C .若()1nn n b a =-⋅,则数列{}n b 的前2020项和为4040D .若11n n n b a a +=,则数列{}n b 的前2020项和为202024249【答案】CD 【分析】由等差数列性质可判断A ;结合已知条件可求出等差数列的公差,从而可求出通项公式以及22n a ,结合等比数列的定义可判断B ;写出n b ,由定义写出2020T 的表达式,进行分组求和即可判断C ;11144143n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭,裂项相消即可求和.【详解】由等差数列的性质可知,191019S a =,故A 错误;设{}n a 的公差为d ,则有811017311045210a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得13a =,4d =,故41n a n =-,28122na n -=, 则数列{}22n a是公比为82的等比数列,故B 错误;若()()()1141n nn n b a n =-⋅=-⋅-,则{}n b 的前2020项20203711158079410104040T =-+-+-⋅⋅⋅+=⨯=,故C 正确; 若()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,则{}n b 的前2020项和2020111111120204377118079808324249T ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪⎝⎭,故D 正确. 故选:CD . 【点睛】 方法点睛:求数列的前n 项和常见思路有:1、对于等差和等比数列,直接结合求和公式求解;2、等差数列±等比数列时,常采取分组求和法;3、等差数列⨯等比数列时,常采取错位相减法;4、裂项相消法.4.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且12a =,38a =则( ) A .512a = B .公差3d = C .()261n S n n =+ D .数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn + 【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式,即可判断选项A 、B 、C ,再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列,则312228a a d d =+=+=,解得:3d =,故选项B 正确; 所以()21331n a n n =+-⨯=-,对于选项A :535114a =⨯-=,故选项A 不正确;对于选项C :()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+,所以故选项C 正确; 对于选项D :()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++-⎪-+⎝⎭()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+,故选项D 正确, 故选:BCD. 【点睛】方法点睛:数列求和的方法(1)倒序相加法:如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法(2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求;(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可相互抵消,从而求得其和;(4)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转换法分别求和再相加减;(5)并项求和法:一个数列的前n 项和可以两两结合求解,则称之为并项求和,形如()()1nn a f n =-类型,可采用两项合并求解.5.已知数列{}n a ,{}n b 满足,11a =,11n n n a a a +=+,1(1)n n b n a =+,若23100100122223100b b b T b =++++,则( ) A .n a n = B .1n n b n =+ C .100100101T =D .10099100T =【答案】BC 【分析】 先证明数列1n a 是等差数列得1n a n=,进而得1(1)1n n n b n a n ==++,进一步得()211111n b n n n n n ==-++,再结合裂项求和得100100101T =. 【详解】 解:因为11nn n a a a +=+,两边取倒数得: 1111n n a a +=+,即1111n na a ,所以数列1n a 是等差数列,公差为1,首项为111a ,故()1111n n n a =+-⨯=,所以1n a n=, 所以1(1)1n n nb n a n ==++,故()211111n b n n n n n ==-++, 所以31002100122211112310022334100101b b b T b =++++=++++⨯⨯⨯11111111100122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故BC 正确,AD 错误; 故选:BC 【点睛】本题考查数列通项公式的求解,裂项求和,考查运算求解能力,是中档题.本题解题的关键在于证明数列1na 是等差数列,进而结合裂项求和求解100T .6.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,*n ∈N ,下列四个命题中不正确的有( ) A .若0q ≠,且对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ,则数列{}n a 为等比数列B .若nn S Aq B =+(非零常数q ,A ,B 满足1q ≠,0A B +=),则数列{}n a 为等比数列C .若数列{}n a 为等比数列,则232,,,n n n n n S S S S S --仍为等比数列D .设数列{}n a 是等比数列,若123a a a <<,则{}n a 为递增数列 【答案】AC 【分析】若0n a =,满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ,但数列{}n a 不是等比数列,可判断A ;利用n a 与n S 的关系,可求得数列{}n a 的通项公式,可判断B ;若数列{}n a 为等比数列,当公比1q =-,且n 为偶数时,此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0,可判断C ;设数列{}n a 是等比数列,且公比为q ,若123a a a <<,即1211a a q a q <<,分类讨论10a >与10a <两种情况,可判断D ;【详解】对于A ,若0n a =,满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ,但数列{}n a 不是等比数列,故A 错误;对于B ,当2n ≥时,()111(1)nn n n n n a S S Aq B AqB Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠;当1n =时,0A B +=,则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式,故数列{}n a 是首项为()1A q -公比为q 的等比数列,故B 正确;对于C ,若数列{}n a 为等比数列,当公比1q =-,且n 为偶数时,此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0,不为等比数列,故C 错误;对于D ,设数列{}n a 是等比数列,且公比为q ,若123a a a <<,即1211a a q a q <<,若10a >,可得21q q <<,即1q >,则{}n a 为递增数列;若10a <,可得21q q >>,即01q <<,则{}n a 为递增数列;故D 正确;故选:AC 【点睛】结论点睛:本题考查等比数列通项公式及和的性质,等比数列和的性质:公比为1q ≠-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则232,,,n n n n n S S S S S --仍成等比数列,其公比为n q ;同理等差数列和的性质:公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列232,,,m m m m m S S S S S --构成等差数列,公差为md ,考查学生的分析能力,属于中档题.7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且1n n S a λ-=(λ为常数).若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-=,且1n n b b +<,则满足条件的n 的取值可以为( )A .5B .6C .7D .8【答案】AB 【分析】利用11a S =可求得2λ=;利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列,从而得到12n na ,进而得到nb ;利用10nnb b 可得到关于n 的不等式,解不等式求得n 的取值范围,根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时,1111a S a λ==-,11λ∴-=,解得:2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时,1121n n S a --=-1122n n nn n a S S a a ,即:12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项,2为公比的等比数列,12n n a2920n n a b n n =-+-,219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >,()()21128470n n n n ∴-+=--<,解得:47n <<又n *∈N ,5n ∴=或6 故选:AB 【点睛】关键点点睛:本题考查数列知识的综合应用,涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识,解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式,进而根据单调性可构造出关于n 的不等式,从而求得结果,考查学生计算能力,属于中档题.8.在数列{}n a 中,如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-(k 为常数),则称{}n a 为等差比数列,k 称为公差比.下列说法正确的是( ) A .等差数列一定是等差比数列 B .等差比数列的公差比一定不为0C .若32nn a =-+,则数列{}n a 是等差比数列D .若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比 【答案】BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误,利用反证法判定B 正确,代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}n a ,考虑121,1,1n n n a a a ++===,211n n n na a a a +++--无意义,所以A 选项错误;若等差比数列的公差比为0,212110,0n n n n n na a a a a a +++++---==,则1n n a a +-与题目矛盾,所以B 选项说法正确; 若32nn a =-+,2113n n n na a a a +++-=-,数列{}n a 是等差比数列,所以C 选项正确;若等比数列是等差比数列,则11,1n n q a a q -=≠,()()11211111111111n n nn n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---,所以D 选项正确.故选:BCD【点睛】易错点睛:此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意: (1)常数列作为特殊的等差数列公差为0; (2)非零常数列作为特殊等比数列公比为1.9.设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈,关于数列{}n a ,下列四个命题中正确的是( )A .若1*()n n a a n N +∈=,则{}n a 既是等差数列又是等比数列B .若2n S An Bn =+(A ,B 为常数,*n N ∈),则{}n a 是等差数列C .若()11nn S =--,则{}n a 是等比数列D .若{}n a 是等差数列,则n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈也成等差数列【答案】BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列,当0n a =时不是等比数列,故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列,故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立,12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列,故对;选项D: {}n a 是等差数列,由等差数列性质得n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈是等差数列,故对; 故选:BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.10.已知数列{}n a ,{}n b 满足:12n n n a a b +=+,()*1312lnn n n n b a b n N n++=++∈,110a b +>,则下列命题为真命题的是( )A .数列{}n n a b -单调递增B .数列{}n n a b +单调递增C .数列{}n a 单调递增D .数列{}n b 从某项以后单调递增【答案】BCD 【分析】计算221122ln 2a b a b a b -=--<-,知A 错误;依题意两式相加{}ln +-n n a b n 是等比数列,得到()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ,知B 正确;结合已知条件,计算10n n a a +->,即得C 正确;先计算()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-,再结合指数函数、对数函数增长特征知D 正确. 【详解】由题可知,12n n n a a b +=+①,1312lnn n n n b a b n++=++②,①-②得,1131lnn n n n n a b a b n+++-=--,当1n =时,2211ln 2a b a b -=--,∴2211-<-a b a b ,故A 错误.①+②得,()113ln(1)3ln n n n n a b a b n n +++=+++-,()11ln(1)3ln n n n n a b n a b n +++-+=+-,∴{}ln +-n n a b n 是以11a b +为首项,3为公比的等比数列,∴()111ln 3-+-=+⋅n n n a b n a b ,∴()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ,③又110a b +>,∴B 正确.将③代入①得,()()11113ln n n n n n n a a a b a a b n -+=++=++⋅+,∴()11113ln 0n n n a a a b n -+-=+⋅+>,故C 正确.将③代入②得,()()11113311ln 3ln ln n n n n n n n n b b a b b a b n n n -+++=+++=++⋅++,∴()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-.由110a b +>,结合指数函数与对数函数的增长速度知,从某个()*n n N∈起,()1113ln 0n a b n -+⋅->,又ln(1)ln 0n n +->,∴10n n b b +->,即{}n b 从某项起单调递增,故D 正确. 故选:BCD . 【点睛】判定数列单调性的方法:(1)定义法:对任意n *∈N ,1n n a a +>,则{}n a 是递增数列,1n n a a +<,则{}n a 是递减数列;(2)借助函数单调性:利用()n a f n =,研究函数单调性,得到数列单调性.。

高考数学一轮复习数列多选题专项训练复习题含答案

高考数学一轮复习数列多选题专项训练复习题含答案

一、数列多选题1.若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立,则实数a 的可能取值为( ) A .2- B .1- C .1 D .2答案:ABC 【分析】根据不等式对于任意正整数n 恒成立,即当n 为奇数时有恒成立,当n 为偶数时有恒成立,分别计算,即可得解. 【详解】根据不等式对于任意正整数n 恒成立, 当n 为奇数时有:恒成立, 由递减解析:ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立,即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立,当n 为偶数时有12a n<-恒成立,分别计算,即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立, 当n 为奇数时有:12+a n-<恒成立,由12+n 递减,且1223n<+≤, 所以2a -≤,即2a ≥-, 当n 为偶数时有:12a n<-恒成立, 由12n -第增,且31222n ≤-<, 所以32a <, 综上可得:322a -≤<, 故选:ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题,考查了分类讨论思想,有一定的计算量,属于中当题. 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,218a =,512a =,则下列选项正确的是( ) A .2d =- B .122a =C .3430a a +=D .当且仅当11n =时,n S 取得最大值答案:AC 【分析】先根据题意得等差数列的公差,进而计算即可得答案. 【详解】解:设等差数列的公差为, 则,解得. 所以,,,所以当且仅当或时,取得最大值. 故选:AC 【点睛】本题考查等差数列的解析:AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-,进而计算即可得答案. 【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d , 则52318312a a d d =+=+=,解得2d =-.所以120a =,342530a a a a +=+=,11110201020a a d =+=-⨯=, 所以当且仅当10n =或11时,n S 取得最大值. 故选:AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算,前n 项和n S 的最值问题,是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况:(1)当10,0a d ><时,n S 有最大值,可以通过n S 的二次函数性质求解,也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定;(2)当10,0a d <>时,n S 有最小值,可以通过n S 的二次函数性质求解,也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定;3.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的m ,*n N ∈,都有m n m n a a a +=+,则下列结论正确的是( )A .11285a a a a +=+B .56110a a a a <C .若该数列的前三项依次为x ,1x -,3x ,则10103a = D .数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 答案:AC 【分析】令,则,根据,可判定A 正确;由,可判定B 错误;根据等差数列的性质,可判定C 正确;,根据,可判定D 错误. 【详解】令,则,因为,所以为等差数列且公差,故A 正确; 由,所以,故B 错误;解析:AC 【分析】令1m =,则11n n a a a +-=,根据10a >,可判定A 正确;由256110200a a a a d -=>,可判定B 错误;根据等差数列的性质,可判定C 正确;122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,根据02>d ,可判定D 错误. 【详解】令1m =,则11n n a a a +-=,因为10a >,所以{}n a 为等差数列且公差0d >,故A 正确;由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>,所以56110a a a a >,故B错误;根据等差数列的性质,可得()213x x x -=+,所以13x =,213x -=, 故1011109333a =+⨯=,故C 正确; 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭,因为02>d ,所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列,故D 错误. 故选:AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法;1、作差比较法:根据1n n a a +-的符号,判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列;2、作商比较法:根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系,进行判定; 3、数形结合法:结合相应的函数的图象直观判断. 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则( )A .80a <B .当且仅当n = 7时,n S 取得最大值C .49S S =D .满足0n S >的n 的最大值为12答案:ACD 【分析】由题可得,,,求出可判断A ;利用二次函数的性质可判断B ;求出可判断C ;令,解出即可判断D. 【详解】设等差数列的公差为,则,解得, ,,且,对于A ,,故A 正确; 对于B ,的对称解析:ACD 【分析】由题可得16a d =-,0d <,21322n d d S n n =-,求出80a d =<可判断A ;利用二次函数的性质可判断B ;求出49,S S 可判断C ;令213022n d dS n n =->,解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()5111122+4++100a a a d a d +==,解得16a d =-,10a >,0d ∴<,且()21113+222n n n d d S na d n n -==-, 对于A ,81+7670a a d d d d ==-+=<,故A 正确;对于B ,21322n d d S n n =-的对称轴为132n =,开口向下,故6n =或7时,n S 取得最大值,故B 错误; 对于C ,4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-,9138191822d d S d =⨯-⨯=-,故49S S =,故C 正确;对于D ,令213022n d dS n n =->,解得013n <<,故n 的最大值为12,故D 正确. 故选:ACD. 【点睛】方法点睛:由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值.5.记n S 为等差数列{}n a 前n 项和,若81535a a = 且10a >,则下列关于数列的描述正确的是( ) A .2490a a += B .数列{}n S 中最大值的项是25S C .公差0d >D .数列{}na 也是等差数列答案:AB 【分析】根据已知条件求得的关系式,然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析,从而确定正确选项. 【详解】依题意,等差数列中,即, .对于A 选项,,所以A 选项正确. 对于C 选项,,,所以,解析:AB 【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式,然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析,从而确定正确选项. 【详解】依题意,等差数列{}n a 中81535a a =,即()()1137514a d a d +=+,1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项,24912490a a a d +=+=,所以A 选项正确. 对于C 选项,1492a d =-,10a >,所以0d <,所以C 选项错误. 对于B 选项,()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭,令0n a ≥得51510,22n n -≤≤,由于n 是正整数,所以25n ≤,所以数列{}n S 中最大值的项是25S ,所以B 选项正确. 对于D 选项,由上述分析可知,125n ≤≤时,0n a ≥,当26n ≥时,0n a <,且0d <.所以数列{}na 的前25项递减,第26项后面递增,不是等差数列,所以D 选项错误.故选:AB 【点睛】等差数列有关知识的题目,主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值,可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.6.(多选题)在数列{}n a 中,若221n n a a p --=,(2n ≥,*n N ∈,p 为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A .若{}n a 是等差数列,则{}2n a 是等方差数列B .(){}1n-是等方差数列C .若{}n a 是等方差数列,则{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列答案:BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项,取,则不是常数,则不是等方差数列,A 选项中的结论错误; 对于B 选项,为常数,则是等方差数列,B 选项中的结论正解析:BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项,取n a n =,则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数,则{}2n a 不是等方差数列,A 选项中的结论错误; 对于B 选项,()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数,则(){}1n-是等方差数列,B 选项中的结论正确;对于C 选项,若{}n a 是等方差数列,则存在常数p R ∈,使得221n n a a p +-=,则数列{}2na 为等差数列,所以()221kn k n a a kp +-=,则数列{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列,C 选项中的结论正确;对于D 选项,若数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,则存在m R ∈,使得n a dn m =+,则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++,由于数列{}n a 也为等方差数列,所以,存在实数p ,使得221n n a a p +-=,则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立,则()2202d m d d p⎧=⎪⎨+=⎪⎩,得0p d ==, 此时,数列{}n a 为常数列,D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义,解题时要充分利用题中的定义进行判断,也可以结合特殊数列来判断命题不成立,考查逻辑推理能力,属于中等题. 7.已知数列{}n a 为等差数列,则下列说法正确的是( ) A .1n n a a d +=+(d 为常数) B .数列{}n a -是等差数列 C .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D .1n a +是n a 与2n a +的等差中项答案:ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项,根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列是等差数列,所以,即,所以A 正确;B. 因为数列是等差数列,所以,那么,所以数解析:ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项,根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,即1n n a a d +=+,所以A 正确;B. 因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-,所以数列{}n a -是等差数列,故B 正确;C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==,不是常数,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列,故C 不正确;D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+,所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列,属于基础题型.8.定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =,前n 项和为n S ,则( )A .数列{}n a 为等差数列B .数列{}n a 为等比数列C .2020202320202S = D .2S ,4S ,6S 成等差数列答案:AC 【分析】由题意可知,即,则时,,可求解出,易知是等差数列,则A 正确,然后利用等差数列的前n 项和公式求出,判断C ,D 的正误. 【详解】 解:由, 得, 所以时,, 得时,, 即时,, 当时,由解析:AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==,即112222n n n a a a n -+++=⋅,则2n ≥时,()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅,可求解出1n a n =+,易知{}n a 是等差数列,则A 正确,然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ,判断C ,D 的正误. 【详解】 解:由112222n n nn a a a H n-+++==,得112222n n n a a a n -+++=⋅,①所以2n ≥时,()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅,②得2n ≥时,()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅,即2n ≥时,1n a n =+,当1n =时,由①知12a =,满足1n a n =+.所以数列{}n a 是首项为2,公差为1的等差数列,故A 正确,B 错, 所以()32n n n S +=,所以2020202320202S =,故C 正确.25S =,414S =,627S =,故D 错,故选:AC . 【点睛】本题考查数列的新定义问题,考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解,难度一般. 9.等差数列{}n a 的首项10a >,设其前n 项和为{}n S ,且611S S =,则( ) A .0d > B .0d <C .80a =D .n S 的最大值是8S 或者9S答案:BD 【分析】由,即,进而可得答案. 【详解】 解:, 因为所以,,最大, 故选:. 【点睛】本题考查等差数列的性质,解题关键是等差数列性质的应用,属于中档题.解析:BD 【分析】由6111160S S S S =⇒-=,即950a =,进而可得答案. 【详解】解:1167891011950S S a a a a a a -=++++==, 因为10a >所以90a =,0d <,89S S =最大, 故选:BD . 【点睛】本题考查等差数列的性质,解题关键是等差数列性质的应用,属于中档题. 10.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且13623a a S +=,则以下结论正确的是( ). A .10a =0B .10S 最小C .712S S =D .190S =答案:ACD 【分析】由得,故正确;当时,根据二次函数知识可知无最小值,故错误;根据等差数列的性质计算可知,故正确;根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得,故正确. 【详解】因为,所以,所以,即解析:ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =,故A 正确;当0d <时,根据二次函数知识可知n S 无最小值,故B 错误;根据等差数列的性质计算可知127S S =,故C 正确;根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =,故D 正确. 【详解】因为13623a a S +=,所以111236615a a d a d ++=+,所以190a d +=,即100a =,故A 正确;当0d <时,1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值,故B 错误;因为127891*********S S a a a a a a -=++++==,所以127S S =,故C 正确; 因为()1191910191902a a S a+⨯===,故D 正确.故选:ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式,考查了等差数列的性质,属于中档题.。

高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)五篇范文

高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)五篇范文

高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)五篇范文第一篇:高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)数列一、知识梳理数列概念1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式:如果数列通项公式,即anan的第n,那么这个公式叫做这个数列的,且任何一项an与它的前一项an-1(或前几{an}的第一项(或前几项)=f(n).3.递推公式:如果已知数列=f(an-1)或an=f(an-1,an-2),那么这个式子叫做数列{an}的递推公式.如数列{an}中,a1=1,an=2an+1,其中an=2an+1是数列{an}的递推项)间的关系可以用一个式子来表示,即an公式.4.数列的前n项和与通项的公式⎧S1(n=1)①Sn=a1+a2+Λ+an;②an=⎨.S-S(n≥2)n-1⎩n5.数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列.①递增数列:对于任何n∈N+,均有an+1②递减数列:对于任何n∈N+,均有an+1③摆动数列:例如: -1,1,-1,1,-1,Λ.④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M使>an.<an.an≤M,n∈N+.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得an>M.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d,这个数列叫做等差数列,常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前项和公式⑴通项公式an=a1+(n-1)d,a1为首项,d=为公差.⑵前n项和公式Sn3.等差中项 n(a1+an)1或Sn=na1+n(n-1)d.22A叫做a与b的等差中项.如果a,A,b成等差数列,那么即:A是a与b的等差中项⇔2A=a+b⇔a,A,b成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法:an+1-an=d(n∈N+,d是常数)⇔{an}是等差数列;⑵中项法:2an+1⑴数列=an+an+2(n∈N+)⇔{an}是等差数列.5.等差数列的常用性质{an}是等差数列,则数列{an+p}、{pan}(p是常数)都是等差数列;⑵在等差数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,Λ为等差数列,公差为kd.⑶an=am+(n-m)d;an=an+b(a,b是常数);Sn=an2+bn(a,b是常数,a≠0)⑷若m+n =p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq;1⑸若等差数列Sn⎫{an}的前n项和Sn,则⎧⎨⎬是等差数列;⎩n⎭;S偶an+1⑹当项数为2n(n∈N+),则S偶-S奇=nd,=S奇an当项数为2n-1(n∈N+),则S奇-S偶=an,S偶n-1.=S奇n等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q列,常数q称为等比数列的公比.≠0),这个数列叫做等比数2.通项公式与前n项和公式⑴通项公式:an=a1qn-1,a1为首项,q为公比.=1时,Sn=na1⑵前n项和公式:①当qa1(1-qn)a1-anq②当q≠1时,Sn=.=1-q1-q3.等比中项如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等差中项⇔a,4.等比数列的判定方法⑴定义法:A,b成等差数列⇒G2=a⋅b.an+1=q(n∈N+,q≠0是常数)⇔{an}是等比数列; an⑵中项法:an+1⑴数列=an⋅an+2(n∈N+)且an≠0⇔{an}是等比数列.5.等比数列的常用性质{an}是等比数列,则数列{pan}、{pan}(q≠0是常数)都是等比数列;⑵在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,Λ为等比数列,公比为q.k=am⋅qn-m(n,m∈N+)⑷若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am⋅an=ap⋅aq;⑶an⑸若等比数列{an}的前n项和Sn,则Sk、S2k-Sk、S3k-S2k、S4k-S3k是等比数列.二、典型例题A、求值类的计算题(多关于等差等比数列)1)根据基本量求解(方程的思想)1、已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a4=9,a9=-6,Sn=63,求n;2、等差数列{an}中,a4=10且a3,a6,a10成等比数列,求数列{an}前20项的和S20.3、设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,求数列{an}前7项的和.4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.2)根据数列的性质求解(整体思想)1、已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a6=100,则S11=2、设Sn、Tn分别是等差数列{an}、{an}的前n项和,3、设Sn 是等差数列{an}的前n项和,若Sn7n+2a,则5=.=Tnn+3b5a55S=,则9=()a39S5Sa2n4、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若n=,则n=()Tn3n+1bn5、已知Sn为等差数列{an}的前n项和,Sn=m,Sm=n(n≠m),则Sm+n=6、在正项等比数列{an}中,a1a5+2a3a5+a3a7=25,则a3+a5=_______。

2023年高考数学一轮复习第六章数列3等比数列练习含解析

2023年高考数学一轮复习第六章数列3等比数列练习含解析

等比数列考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1.等比数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n +1a n=q (n ∈N *,q 为非零常数). (2)等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项,此时,G 2=ab . 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1q n -1.(2)前n 项和公式:S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 11-q n 1-q=a 1-a n q1-q ,q ≠1.3.等比数列的性质(1)通项公式的推广:a n =a m ·qn -m(m ,n ∈N *).(2)对任意的正整数m ,n ,p ,q ,若m +n =p +q =2k ,则a m ·a n =a p ·a q =a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q =-1除外). (4)在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n +k ,a n +2k ,a n +3k ,…为等比数列,公比为q k. (5)若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0,q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0,0<q <1,则等比数列{a n }递增.若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0,0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0,q >1,则等比数列{a n }递减.常用结论1.若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则数列{c ·a n }(c ≠0),{|a n |},{a 2n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也是等比数列. 2.等比数列{a n }的通项公式可以写成a n =cq n,这里c ≠0,q ≠0. 3.等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n =Aq n-A (A ≠0,q ≠1,0). 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数,它可以是任意实数.( × ) (2)三个数a ,b ,c 成等比数列的充要条件是b 2=ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n =a n,则其前n 项和为S n =a 1-a n1-a.( × )(4)数列{a n }为等比数列,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等比数列.( × ) 教材改编题1.已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 4=12,则公比q 等于( )A .-12B .-2C .2D .±12答案 D解析 设等比数列的公比为q , ∵{a n }是等比数列,a 2=2,a 4=12,∴a 4=a 2q 2,∴q 2=a 4a 2=14,∴q =±12.2.在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1a 11+2a 6a 8+a 3a 13=25,则a 6+a 8=______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列, 且a 1a 11+2a 6a 8+a 3a 13=25, ∴a 26+2a 6a 8+a 28=(a 6+a 8)2=25. 又∵a n >0,∴a 6+a 8=5.3.已知三个数成等比数列,若它们的和等于13,积等于27,则这三个数为________. 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q,a ,aq ,则⎩⎪⎨⎪⎧a +aq +aq =13,a ·aq ·aq =27,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =3,q =13或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,q =3,∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 5-a 3=12,a 6-a 4=24,则S na n等于( ) A .2n-1 B .2-21-nC .2-2n -1D .21-n-1答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q , 则q =a 6-a 4a 5-a 3=2412=2. 由a 5-a 3=a 1q 4-a 1q 2=12a 1=12,得a 1=1. 所以a n =a 1qn -1=2n -1,S n =a 11-q n 1-q =2n-1,所以S n a n =2n -12n -1=2-21-n.方法二 设等比数列{a n }的公比为q ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2-a 3=12,①a 4q 2-a 4=24,②②①得a 4a 3=q =2. 将q =2代入①,解得a 3=4. 所以a 1=a 3q2=1,下同方法一.(2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 24=a 6,则S 5=________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q , 因为a 24=a 6,所以(a 1q 3)2=a 1q 5, 所以a 1q =1,又a 1=13,所以q =3,所以S 5=a 11-q 51-q=13×1-351-3=1213. 教师备选1.已知数列{a n }为等比数列,a 2=6,6a 1+a 3=30,则a 4=________. 答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q =6,6a 1+a 1·q 2=30,解得⎩⎪⎨⎪⎧q =3,a 1=2或⎩⎪⎨⎪⎧q =2,a 1=3,a 4=a 1·q 3=2×33=54或a 4=3×23=3×8=24.2.已知数列{a n }为等比数列,其前n 项和为S n ,若a 2a 6=-2a 7,S 3=-6,则a 6等于( ) A .-2或32 B .-2或64 C .2或-32 D .2或-64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列,a 2a 6=-2a 7=a 1a 7,解得a 1=-2,设数列的公比为q ,S 3=-6=-2-2q -2q 2, 解得q =-2或q =1,当q =-2时,则a 6=(-2)6=64, 当q =1时,则a 6=-2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论,当q =1时,{a n }的前n 项和S n =na 1;当q ≠1时,{a n }的前n 项和S n =a 11-q n 1-q =a 1-a n q 1-q.跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中,a 1=2,a m +n =a m a n ,若a k +1+a k +2+…+a k +10=215-25,则k 等于( )A .2B .3C .4D .5 答案 C解析 a 1=2,a m +n =a m a n , 令m =1,则a n +1=a 1a n =2a n ,∴{a n }是以a 1=2为首项,q =2为公比的等比数列, ∴a n =2×2n -1=2n.又∵a k +1+a k +2+…+a k +10=215-25, ∴2k +11-2101-2=215-25,即2k +1(210-1)=25(210-1),∴2k +1=25,∴k +1=5,∴k =4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3=8. ①求{a n }的通项公式; ②求a 1a 2-a 2a 3+…+(-1)n -1a n a n +1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1).由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q +a 1q 3=20,a 1q 2=8,解得⎩⎪⎨⎪⎧q =2,a 1=2或⎩⎪⎨⎪⎧q =12,a 1=32(舍去).所以{a n }的通项公式为a n =2n,n ∈N *. ②由于(-1)n -1a n a n +1=(-1)n -1×2n ×2n +1=(-1)n -122n +1,故a 1a 2-a 2a 3+…+(-1)n -1a n a n +1=23-25+27-29+…+(-1)n -1·22n +1=23[1--22n]1--22=85-(-1)n 22n +35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1=1,na n +1=2(n +1)a n ,设b n =a n n. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式. 解 (1)由条件可得a n +1=2n +1na n .将n =1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以a 2=4. 将n =2代入得,a 3=3a 2,所以a 3=12. 从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列, 由条件可得a n +1n +1=2a nn,即b n +1=2b n , 又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a nn=2n -1,所以a n =n ·2n -1.教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n +2=2a n +1+3a n . (1)证明:数列{a n +a n +1}为等比数列; (2)若a 1=12,a 2=32,求{a n }的通项公式.(1)证明 a n +2=2a n +1+3a n , 所以a n +2+a n +1=3(a n +1+a n ), 因为{a n }中各项均为正数, 所以a n +1+a n >0,所以a n +2+a n +1a n +1+a n=3,所以数列{a n +a n +1}是公比为3的等比数列. (2)解 由题意知a n +a n +1=(a 1+a 2)3n -1=2×3n -1,因为a n +2=2a n +1+3a n ,所以a n +2-3a n +1=-(a n +1-3a n ),a 2=3a 1, 所以a 2-3a 1=0,所以a n +1-3a n =0, 故a n +1=3a n , 所以4a n =2×3n -1,a n =12×3n -1.思维升华 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法:若a n +1a n =q (q 为非零常数,n ∈N *)或a n a n -1=q (q 为非零常数且n ≥2,n ∈N *),则{a n }是等比数列.(2)等比中项法:若数列{a n }中,a n ≠0且a 2n +1=a n ·a n +2(n ∈N *),则{a n }是等比数列. (3)前n 项和公式法:若数列{a n }的前n 项和S n =k ·q n-k (k 为常数且k ≠0,q ≠0,1),则{a n }是等比数列.跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知a 4=9a 2,S 3=13,且公比q >0.(1)求a n 及S n ;(2)是否存在常数λ,使得数列{S n +λ}是等比数列?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解 (1)易知q ≠1,由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3=9a 1q ,a 11-q31-q=13,q >0,解得a 1=1,q =3, ∴a n =3n -1,S n =1-3n 1-3=3n-12.(2)假设存在常数λ,使得数列{S n +λ}是等比数列, ∵S 1+λ=λ+1,S 2+λ=λ+4,S 3+λ=λ+13, ∴(λ+4)2=(λ+1)(λ+13), 解得λ=12,此时S n +12=12×3n,则S n +1+12S n +12=12×3n +112×3n=3,故存在常数λ=12,使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +12是以32为首项,3为公比的等比数列.题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5,a 2019是方程x 2-4x +3=0的两个根,则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a 2023等于( ) A.20243 B .1011 C.20232D .1012答案 C解析 由题意得a 5a 2019=3, 根据等比数列性质知,a 1a 2023=a 2a 2022=…=a 1011a 1013=a 1012a 1012=3,于是a 1012=123,则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a 2023 =log 3(a 1a 2a 3…a 2023)11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列,S n 为其前n 项和,若a 1+a 2+a 3=4,a 4+a 5+a 6=8,则S 12等于( )A .40B .60C .32D .50 答案 B解析 数列S 3,S 6-S 3,S 9-S 6,S 12-S 9是等比数列, 即4,8,S 9-S 6,S 12-S 9是等比数列, ∴S 12=4+8+16+32=60. 教师备选1.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=3,则S 9S 6=__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ,易知q ≠-1,由等比数列前n 项和的性质可知S 3,S 6-S 3,S 9-S 6仍成等比数列,∴S 6-S 3S 3=S 9-S 6S 6-S 3, 又由已知得S 6=3S 3, ∴S 9-S 6=4S 3, ∴S 9=7S 3,∴S 9S 6=73. 2.已知等比数列{a n }共有2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q =________. 答案 2解析 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇+S 偶=-240,S 奇-S 偶=80,解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇=-80,S 偶=-160,所以q =S 偶S 奇=-160-80=2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n 项和公式的变形,根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)巧用性质,减少运算量,在解题中非常重要.跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10=1,S 30=7,则S 40等于( )A .5B .10C .15D .-20 答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30,…成等比数列.设{a n }的公比为q ,则S 20-S 10S 10=q 10>0,故S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30,…均大于0. 故(S 20-S 10)2=S 10·(S 30-S 20),即(S 20-1)2=1·(7-S 20)⇒S 220-S 20-6=0. 因为S 20>0,所以S 20=3.又(S 30-S 20)2=(S 20-S 10)(S 40-S 30), 所以(7-3)2=(3-1)(S 40-7),故S 40=15.(2)在等比数列{a n }中,a n >0,a 1+a 2+a 3+…+a 8=4,a 1a 2·…·a 8=16,则1a 1+1a 2+…+1a 8的值为( ) A .2 B .4 C .8 D .16答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8=16, ∴a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=2,∴1a 1+1a 2+…+1a 8=⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1+1a 8+⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2+1a 7+⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3+1a 6+⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4+1a 5=12(a 1+a 8)+12(a 2+a 7)+12(a 3+a 6)+12(a 4+a 5) =12(a 1+a 2+…+a 8)=2. 课时精练1.(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1+a 2=1,a 4+a 5=8,则a 7等于( ) A.643B .-643C.323 D .-323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q , 则a 4+a 5a 1+a 2=q 3=8, 所以q =2,又a 1+a 2=a 1(1+q )=1, 所以a 1=13,所以a 7=a 1×q 6=13×26=643.2.已知等比数列{a n }满足a 1=1,a 3·a 5=4(a 4-1),则a 7的值为( ) A .2B .4C.92D .6答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5=a 24, ∴a 24=4(a 4-1),即(a 4-2)2=0,解得a 4=2. 又∵a 1=1,a 1a 7=a 24=4,∴a 7=4.3.(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n =32n -1+r ,则r 的值为( )A.13B .-13C.19D .-19 答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知,S n =32n -1+r =13×9n +r ,∴r =-13.4.(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人第四天走的路程为( ) A .6里 B .12里 C .24里 D .48里答案 C解析 由题意可知,该人所走路程形成等比数列{a n },其中q =12,因为S 6=a 1⎝⎛⎭⎪⎫1-1261-12=378,解得a 1=192,所以a 4=a 1·q 3=192×18=24.5.(多选)设等比数列{a n }的公比为q ,则下列结论正确的是( ) A .数列{a n a n +1}是公比为q 2的等比数列 B .数列{a n +a n +1}是公比为q 的等比数列 C .数列{a n -a n +1}是公比为q 的等比数列D .数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q的等比数列答案 AD 解析 对于A ,由a n a n +1a n -1a n=q 2(n ≥2)知数列{a n a n +1}是公比为q 2的等比数列; 对于B ,当q =-1时,数列{a n +a n +1}的项中有0,不是等比数列; 对于C ,当q =1时,数列{a n -a n +1}的项中有0,不是等比数列;对于D ,1a n +11a n=a n a n +1=1q, 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列.6.(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n +1=2S n (n ∈N *),则有( ) A .S n =3n -1B .{S n }为等比数列C .a n =2·3n -1D .a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,2·3n -2,n ≥2答案 ABD解析 由题意,数列{a n }的前n 项和满足a n +1=2S n (n ∈N *), 当n ≥2时,a n =2S n -1,两式相减,可得a n +1-a n =2(S n -S n -1)=2a n , 可得a n +1=3a n ,即a n +1a n=3(n ≥2), 又a 1=1,则a 2=2S 1=2a 1=2,所以a 2a 1=2, 所以数列{a n }的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,2·3n -2,n ≥2.当n ≥2时,S n =a n +12=2·3n -12=3n -1,又S 1=a 1=1,适合上式, 所以数列{a n }的前n 项和为S n =3n -1,又S n +1S n =3n3n -1=3, 所以数列{S n }为首项为1,公比为3的等比数列,综上可得选项ABD 是正确的.7.(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=7,S 6=63,则a 1=________. 答案 1解析 由于S 3=7,S 6=63知公比q ≠1, 又S 6=S 3+q 3S 3, 得63=7+7q 3. ∴q 3=8,q =2.由S 3=a 11-q 31-q =a 11-81-2=7,得a 1=1.8.已知{a n }是等比数列,且a 3a 5a 7a 9a 11=243,则a 7=________;若公比q =13,则a 4=________.答案 3 81解析 由{a n }是等比数列, 得a 3a 5a 7a 9a 11=a 57=243, 故a 7=3,a 4=a 7q3=81.9.(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2,其前n 项和S n =pn 2+2n ,n ∈N *. (1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式;(2)在等比数列{b n }中,b 3=a 1,b 4=a 2+4,若{b n }的前n 项和为T n ,求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n +16为等比数列. (1)解 S n =na 1+n n -12d =na 1+n (n -1)=n 2+(a 1-1)n , 又S n =pn 2+2n ,n ∈N *, 所以p =1,a 1-1=2,即a 1=3, 所以a n =3+2(n -1)=2n +1.(2)证明 因为b 3=a 1=3,b 4=a 2+4=9, 所以q =3, 所以b n =b 3·q n -3=3n -2,所以b 1=13,所以T n =131-3n1-3=3n-16,所以T n +16=3n 6,又T 1+16=12,所以T n +16T n -1+16=3n 63n -16=3(n ≥2),所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n +16是以12为首项,3为公比的等比数列.10.(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n +1=4a n +1.设b n =a n +1-2a n .(1)求证:数列{b n }为等比数列;(2)设c n =|b n -100|,T n 为数列{c n }的前n 项和.求T 10. (1)证明 由S n +1=4a n +1, 得S n =4a n -1+1(n ≥2,n ∈N *), 两式相减得a n +1=4a n -4a n -1(n ≥2), 所以a n +1-2a n =2(a n -2a n -1), 所以b n b n -1=a n +1-2a na n -2a n -1=2a n -2a n -1a n -2a n -1=2(n ≥2),又a 1=1,S 2=4a 1+1, 故a 2=4,a 2-2a 1=2=b 1≠0,所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列. (2)解 由(1)可得b n =2·2n -1=2n,所以c n =|2n-100|=⎩⎪⎨⎪⎧100-2n,n ≤6,2n-100,n >6,所以T 10=600-(21+22+…+26)+27+28+29+210-400 =200-21-261-2+27+28+29+210=200+2+28+29+210=1 994.11.(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=a 2=1,a n =a n -1+2a n -2(n ≥3),则下列结论正确的是( )A .数列{a n +1+a n }为等比数列B .数列{a n +1-2a n }为等比数列C .a n =2n +1+-1n3D .S 20=23(410-1)答案 ABD解析 因为a n =a n -1+2a n -2(n ≥3), 所以a n +a n -1=2a n -1+2a n -2=2(a n -1+a n -2), 又a 1+a 2=2≠0,所以{a n +a n +1}是等比数列,A 正确;同理a n -2a n -1=a n -1+2a n -2-2a n -1=-a n -1+2a n -2=-(a n -1-2a n -2),而a 2-2a 1=-1, 所以{a n +1-2a n }是等比数列,B 正确; 若a n =2n +1+-1n3,则a 2=23+-123=3,但a 2=1≠3,C 错误;由A 知{a n +a n -1}是等比数列,且公比为2,因此数列a 1+a 2,a 3+a 4,a 5+a 6,…仍然是等比数列,公比为4, 所以S 20=(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 19+a 20)=21-4101-4=23(410-1),D 正确. 12.(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和为S n ,前n 项积为T n ,并且满足条件a 1>1,a 7·a 8>1,a 7-1a 8-1<0.则下列结论正确的是( ) A .0<q <1B .a 7·a 9>1C .S n 的最大值为S 9D .T n 的最大值为T 7答案 AD解析 ∵a 1>1,a 7·a 8>1,a 7-1a 8-1<0, ∴a 7>1,0<a 8<1, ∴0<q <1,故A 正确;a 7a 9=a 28<1,故B 错误;∵a 1>1,0<q <1,∴数列为各项为正的递减数列, ∴S n 无最大值,故C 错误; 又a 7>1,0<a 8<1,∴T 7是数列{T n }中的最大项,故D 正确.13.(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积,若T 2015=T 2021,则log 3a 2019log 3a 2021=________.答案 15解析 由题意得,T 2015=T 2021=T 2015·a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021, 所以a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021=1, 根据等比数列的性质,可得a 2016a 2021=a 2017a 2020=a 2018a 2019=1, 设等比数列的公比为q ,所以a 2016a 2021=a 20212q 5=1⇒a 2021=52,qa 2018a 2019=a 20192q=1⇒a 2019=12,q所以log 3a 2019log 3a 2021=123523log 1.5log q q14.如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,……,如此继续下去得到一个树状图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1023个正方形,且其最大的正方形的边长为22,则其最小正方形的边长为________.答案132解析 由题意,得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列,现已知共含有1023个正方形,则有1+2+…+2n -1=1023,所以n =10,所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎪⎫2210=132.15.(多选)在数列{a n }中,n ∈N *,若a n +2-a n +1a n +1-a n=k (k 为常数),则称{a n }为“等差比数列”,下列关于“等差比数列”的判断正确的是( ) A .k 不可能为0B .等差数列一定是“等差比数列”C .等比数列一定是“等差比数列”D .“等差比数列”中可以有无数项为0 答案 AD解析 对于A ,k 不可能为0,正确;对于B ,当a n =1时,{a n }为等差数列,但不是“等差比数列”,错误;对于C ,当等比数列的公比q =1时,a n +1-a n =0,分式无意义,所以{a n }不是“等差比数列”,错误;对于D ,数列0,1,0,1,0,1,…,0,1是“等差比数列”,且有无数项为0,正确. 16.已知等比数列{a n }的公比q >1,a 1=2,且a 1,a 2,a 3-8成等差数列,数列{a n b n }的前n 项和为2n -1·3n+12.(1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ,∀n ∈N *,S n ≤m 恒成立,求实数m 的最小值.解 (1)因为a 1=2,且a 1,a 2,a 3-8成等差数列, 所以2a 2=a 1+a 3-8,即2a 1q =a 1+a 1q 2-8,所以q 2-2q -3=0, 所以q =3或q =-1,又q >1,所以q =3, 所以a n =2·3n -1(n ∈N *).因为a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =2n -1·3n+12,所以a 1b 1+a 2b 2+…+a n -1b n -1=2n -3·3n -1+12(n ≥2),两式相减,得a n b n =2n ·3n -1(n ≥2),因为a n =2·3n -1,所以b n =n (n ≥2),当n =1时,由a 1b 1=2及a 1=2,得b 1=1(符合上式),所以b n =n (n ∈N *).(2)因为数列{a n }是首项为2,公比为3的等比数列,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12,公比为13的等比数列,所以S n =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1-13=34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <34.因为∀n ∈N *,S n ≤m 恒成立, 所以m ≥34,即实数m 的最小值为34.。

高三一轮复习 数列全章 练习(5套)+易错题+答案

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第八章数列与数学归纳法第1节等差数列与等比数列一、选择题1.已知数列{a n}满足2a n=a n+1(n∈N*),且前n项和为S n,则的值为( A )(A) (B) (C)4 (D)2解析:由2a n=a n+1知{a n}是等比数列,公比q=2,===,故选A.2.等差数列{a n}的公差d≠0,且a3=0,若a k是a6与a k+6的等比中项,则k 等于( C )(A)5 (B)6 (C)9 (D)11解析:等差数列{a n}的公差d≠0,由a3=0得a2=-d,可得a1=a2-d=-2d, 则a n=a1+(n-1)d=(n-3)d,若a k是a6与a k+6的等比中项,即有=a6a k+6,即为(k-3)2d2=3d·(k+3)d,由d不为0,可得k2-9k=0,解得k=9(k=0舍去),故选C.3.在各项均为正数的等比数列{a n}中,a1=2,且a2,a4+2,a5成等差数列,记S n是数列{a n}的前n项和,则S5等于( B )(A)32 (B)62 (C)27 (D)81解析:设等比数列{a n}的公比为q,由a2,a4+2,a5成等差数列可知,a2+a5=2(a4+2),即2q+2q4=2(2q3+2),q+q4=2q3+2,q(1+q3)=2(q3+1),又等比数列{a n}各项均为正数,所以q>0,从而q=2,S5==62,选B.4.已知各项均不为0的等差数列{a n}满足a3-+a11=0,数列{b n}为等比数列,且b7=a7,则b1·b13等于( A )(A)16 (B)8 (C)4 (D)25解析:由a3-+a11=0,得2a7-=0,a7=4,所以b7=4,b1·b13==16,选A.5.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个实根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|等于( C )(A)1 (B)(C)(D)解析:设这个方程的四个实根为x1<x2<x3<x4,则x1+x4=x2+x3=2,所以x1=,所以4×+d=4,d=,所以x2=,x3=,x4=,m=x1x4=,n=x2x3=,所以|m-n|=.6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=-20,且S n的最小值仅为S6,则等差数列{a n}的公差d的取值范围是( D )(A)(,) (B)(,)(C)(,4) (D)(,4)解析:a6=a1+5d=-20+5d<0,a7=a1+6d=-20+6d>0,解得<d<4,选D.二、填空题7.在等差数列{a n}中,a2=4,且1+a3,a6,4+a10成等比数列,则公差d= ,数列{a n}的前n项和S n= .解析:因为1+a3,a6,4+a10成等比数列,所以=(1+a3)(4+a10),因为a6=a2+4d,a3=a2+d,a10=a2+8d,所以(4+4d)2=(5+d)(8+8d),解得d=3或d=-1,当d=-1时,a6=0不符合等比数列,故d=3.则a1=1,S n=n+×3=.答案:38.已知等比数列{a n}中,a3+a5=8,a1a5=4,则= .解析:在等比数列{a n}中,a1a5==4,a3=±2.当a3=-2时,a5=10,此时=a3a5=-20<0,不合题意,舍去;当a3=2时,因为a3+a5=8,所以a5=6,q2==3,所以=q4=9.答案:99.已知等比数列{a n}的公比q>0,前n项和为S n,若2a3,a5,3a4成等差数列,a2a4a6=64,则a n= ,S n= .解析:因为a2a4a6=64,所以=64,所以a4=4,又2a3+3a4=2a5,2×+3×4=2×4×q,即2q2-3q-2=0,q=-(舍去)或q=2.a1=,a n=×2n-1=2n-2,S n==.答案:2n-210.设数列{a n}的通项公式为a n=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|= .解析:|a1|+|a2|+…+|a15|=8+6+4+2+0+2+4+…+20=130.答案:13011.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S10=10,S20=30,则S30= ;解析:法一设等差数列{a n}的公差为d,由题意可得解得d=,a1=,则S30=30×+×=+=60.法二因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20),所以40=10+S30-30,所以S30=60.答案:6012.已知{a n},{b n}是公差分别为d1,d2的等差数列,且A n=a n+b n,B n=a n b n.若A1=1,A2=3,则A n= ;若{B n}为等差数列,则d1d2= . 解析:因为{a n},{b n}是公差分别为d1,d2的等差数列,且A n=a n+b n,所以数列{A n}是等差数列,又A1=1,A2=3,所以数列{A n}的公差d=A2-A1=2,则A n=2n-1;因为B n=a n b n,且{B n}为等差数列,所以B n+1-B n=a n+1b n+1-a n b n=(a n+d1)(b n+d2)-a n b n=a n d2+b n d1+d1d2=[a1+(n-1)d1]d2+[b1+(n-1)d2]d1+d1d2=a1d2+b1d1-d1d2+2d1d2n.为常数.所以d1d2=0.答案:2n-1 0三、解答题13.已知在等比数列{a n}中,a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=2n-1+a n(n∈N*),求{b n}的前n项和S n.解:(1)由已知a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项,有2a2=a1+(a3-1)=a3,所以q==2,故a n=a1q n-1=2n-1.(2)由b n=2n-1+a n(n∈N*)有b n=2n-1+2n-1,则S n=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+[(2n-1)+2n-1]=[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+…+2n-1)=+=n2+2n-1.14.已知数列{a n}的前n项和S n=-a n-()n-1+2(n∈N*),数列{b n}满足b n=2n a n.证明数列{b n}是等差数列,并求数列{a n}的通项公式.解:在S n=-a n-()n-1+2中,令n=1,可得a1=S1=-a1-1+2,解得a1=.当n≥2时,S n-1=-a n-1-()n-2+2,所以a n=S n-S n-1=-a n+a n-1+()n-1,即2a n=a n-1+()n-1,所以2n a n=2n-1a n-1+1.而b n=2n a n,所以b n=b n-1+1,即当n≥2时,b n-b n-1=1.又b1=2a1=1,所以数列{b n}是首项和公差均为1的等差数列,于是b n=1+(n-1)×1=n,所以a n=.15.设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列,S n为数列{a n}的前n项和,已知S3=14,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n(n+2-λ),且数列{b n}是递减数列,求实数λ的取值范围. 解:(1)设正项等比数列{a n}的公比为q,由题意可得0<q<1.因为S3=14,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列,所以a1+a2+a3=14,8a2=a1+13+a3+9,联立解得a2=4,代入a1+a2+a3=14,可得+4+4q=14,解得q=或q=2(舍去),所以a1==8,所以数列{a n}的通项公式为a n=8×()n-1=()n-4.(2)由(1)知b n=a n·(n+2-λ)=(n+2-λ)·()n-4,因为数列{b n}是递减数列,所以b n>b n+1,即(n+2-λ)·()n-4>(n+3-λ)·()n-3,所以n+2-λ>(n+3-λ),所以λ<n+1.因为上式对任意正整数n都成立,所以实数λ的取值范围为(-∞,2).第2节求数列的通项一、选择题1.设数列{a n}的前n项和S n=n2,则a8的值为( A )(A)15 (B)16 (C)49 (D)64解析:a8=S8-S7=64-49=15,选A.2.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=-,则{a n}的前10项和等于( C )(A)-6(1-3-10) (B)(1-310)(C)3(1-3-10) (D)3(1+3-10)3.已知数列{a n}中,a1=1,且a n+1=(n∈N*),则a10等于( D )(A)28 (B)33 (C) (D)4.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|等于( A )(A)66 (B)65 (C)61 (D)565.已知数列{a n},{b n}满足a1=1,且a n,a n+1是函数f(x)=x2-b n x+2n的两个零点,则b10等于( D )(A)24 (B)32 (C)48 (D)64解析:由a n a n+1=2n,所以a n+1a n+2=2n+1,两式相除得=2,所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列,而a1=1,a2=2,所以a10=2×24=32,a11=1×25=32,又因为a n+a n+1=b n,所以b10=a10+a11=64.6.各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且3S n=a n a n+1,则a2+a4+a6+…+a2n等于( B )(A)(B)(C)(D)解析:当n=1时,3S1=a1a2,即3a1=a1a2,所以a2=3,当n≥2时,由3S n=a n a n+1,可得3S n-1=a n-1a n,两式相减得3a n=a n a n+1-a n-1a n,3a n=a n(a n+1-a n-1).因为a n≠0,所以a n+1-a n-1=3,所以{a2n}为一个以3为首项,3为公差的等差数列,所以a2+a4+a6+…+a2n=3n+×3=,选B.二、填空题7.设S n是数列{a n}的前n项和,已知a1=1,2a n=-S n S n-1(n≥2),则S n= .答案:8.设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*),则数列{}前10项的和为.解析:因为a1=1,a n+1-a n=n+1,所以a2-a1=2,a3-a2=3,…,a n-a n-1=n(n≥2),将以上n-1个式子相加得a n-a1=2+3+…+n=,即a n=, 令b n=,故b n==2(-),故S10=b1+b2+…+b10=2(1-+-+…+-)=.答案:9.设数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1= ,S5= .解析:a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3,由a n+1=2S n+1,a n=2S n-1+1(n≥2)相减可得a n+1-a n=2a n,a n+1=3a n(n≥2),又a2=3a1,所以{a n}为等比数列,S5==121.答案:1 12110.已知数列{a n}的首项a1=1,其前n项和S n=n2·a n(n∈N*),则a9= .解析:当n≥2时,S n=n2·a n,S n-1=(n-1)2a n-1,得a n=n2·a n-(n-1)2a n-1,(n2-1)a n=(n-1)2a n-1,即=,因为··…··=··…··,即=,a n=,所以a9=.答案:11.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=4a n+2n,则数列{a n}的通项公式a n= .解析:由题=+·()n,由-=·()n-1,-=·()n-2,…-=·()1,得-=,即a n=22n-1-2n-1.答案:22n-1-2n-112.设S n为数列{a n}的前n项和,S n=(-1)n a n-,n∈N*,则(1)a3= ;(2)S1+S2+…+S100= .解析:(1)当n=1时,S1=(-1)a1-,得a1=-.当n≥2时,S n=(-1)n(S n-S n-1)-.当n为偶数时,S n-1=-,当n为奇数时,S n=S n-1-,从而S1=-,S3=-,又由S3=-a3-得a3=-.(2)由(1)得S1+S3+S5+…+S99=----…-,S101=-,又S2+S4+S6+…+S100=2S3++2S5++2S7++…+2S101+=0,故S1+S2+…+S100=(-1).答案:(1)-(2)(-1)三、解答题13.数列{a n}中,a1=,a n+1=,求数列{a n}的通项公式.解:由a n+1=可得,(n+1)a n+1=,两边取倒数得,==1+,两边同时加上1,得+1=2+=2(+1).所以数列{+1}是以+1=3为首项,以2为公比的等比数列.所以+1=3×2n-1,化简得a n=.14.若数列{a n}的前n项和为S n,点(a n,S n)在y=-x的图象上(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若C1=0,且对任意正整数n都有C n+1-C n=lo a n.求证:对任意正整数k≥2,总有≤+++…+<.(1)解:因为S n=-a n,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=a n-1-a n,所以a n=a n-1,又因为S1=-a1,所以a1=,所以a n=·()n-1=()2n+1.(2)证明:由C n+1-C n=lo a n=2n+1得当n≥2时,C n=C1+(C2-C1)+(C3-C2)+…+(C n-C n-1)=0+3+5+…+(2n-1)=n2-1=(n+1)(n-1),所以++…+=++…+=×[(1-)+(-)+…+(-)]=[(1+)-(+)]=-(+)<.又因为++…+≥=.所以原式得证.15.在数列{a n}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+na n=a n+1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项a n;(2)若存在n∈N*,使得a n≤(n+1)λ成立,求实数λ的最小值. 解:(1)当n≥2时,由题可得a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1=a n.①a1+2a2+3a3+…+na n=a n+1,②②-①得na n=a n+1-a n,即(n+1)a n+1=3na n,=3,所以{na n}是以2a2=2为首项,3为公比的等比数列(n≥2),所以na n=2·3n-2,所以a n=·3n-2(n≥2),因为a1=1,不满足上式,所以a n=(2)a n≤(n+1)λ⇔λ≥,由(1)可知当n≥2时,=,设f(n)=(n≥2,n∈N*),则f(n+1)-f(n)=<0,所以>(n≥2),又=3,可得λ≥×=,所以所求实数λ的最小值为.第3节求数列的前n项和一、选择题1.设数列{a n}是等差数列,且a2=-2,a8=6,数列{a n}的前n项和为S n,则S9等于( B )(A)27 (B)18 (C)20 (D)9解析:因为{a n}是等差数列,且a2=-2,a8=6,所以a8=6=a2+6d=-2+6d,所以d=,a1=a2-d=-2-=-,所以S9=9a1+d=9×(-)+36×=18,故选B.2.已知{a n}为等差数列,公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,S n为{a n}的前n项和,n∈N*,则S10的值为( D )(A)-110 (B)-90 (C)90 (D)110解析:由=a3a9,d=-2得(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),所以a1=20,所以S10=10×20+×(-2)=110.3.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若=,则等于( A )(A)(B)(C)(D)解析:因为{a n}是等差数列,所以==,解得a1=d,所以===,故选A.4.已知数列{a n}的通项公式是a n=,则数列{a n}的前n项和为( A )(A)-++1 (B)+-1(C)-++1 (D)+-1解析:因为a n==n+()n,所以S n=(1+)+[2+()2]+…+[n+()n]=(1+2+…+n)+[+()2+…+()n]=+=+1-()n=-++1,故选A.5.数列{a n}中,a1=-60,且a n+1=a n+3,则|a1|+|a2|+…+|a30|等于( B )(A)495 (B)765 (C)3 105 (D)2 721解析:因为a n+1=a n+3,所以a n+1-a n=3,所以数列{a n}是以-60为首项,3为公差的等差数列,所以a n=-60+3(n-1)=3n-63,由a n=3n-63≥0得n≥21,所以|a1|+|a2|+…+|a30|=-a1-a2-…-a20+a21+…+a30=-(a1+a2+…+a20)+ (a21+a22+…+a30)=S30-2S20=30×(-60)+×3-2×[20×(-60)+×3]=765.故选B.6.(2017·浙江省温州十校联合体高三上学期期末)已知数列{a n}的首项a1=1,前n项和为{a n},且满足2a n+1+S n=2,则满足<<的n 的最大值是( B )(A)8 (B)9 (C)10 (D)11解析:当n=1时,2a2+S1=2,得a2=,当n≥2时,有2a n+S n-1=2,两式相减得a n+1=a n.再考虑到a2=,所以数列{a n}是等比数列,故有S n=2-2·()n,因此原不等式化为<<,化简得<() n<,得n=4,5,6,7,8,9,所以n的最大值为9.二、填空题7.等比数列{a n}中,前n项和为S n,a1a9=2a3a6,S5=-62,则a1的值为.解析:a1a9=a3a7=2a3a6,所以q==2,由S5=-62,可知a1=-2.答案:-28.若已知数列的前4项是,,,,则数列的前n项和为.解析:由前4项知,数列{a n}的通项公式为a n=,由==(-)知,S n=a1+a2+a3+…+a n=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=(1+--)=-.答案:-9.(2017·浙江绍兴质量调测)已知等差数列{a n},等比数列{b n}的前n 项和分别为S n,T n(n∈N+),若S n=n2+n,b1=a1,b2=a3,则a n= , T n= .解析:因为S n=n2+n,所以,当n=1时,a1=+=2,当n≥2时,S n-1=(n-1)2+(n-1),所以a n=S n-S n-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=3n-1,因为b1=a1,b2=a3,所以b1=2,b2=a3=3×3-1=8,所以q===4,所以T n==(4n-1).答案:3n-1 (4n-1)10.(2017·浙江三市联考)已知等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q(n,q∈N+),设{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若T2n+1=,则a n= .解析:S n=na1+d=n2+(a1-)n,T n==-q n,因为T2n+1=,所以-q2n+1=q2n+(a1-)q n,这是关于n的恒等式,所以解得所以a n=1+2(n-1)=2n-1.答案:2n-111.(2017·淮北二模)已知数列{b n}是等比数列,b n=,a1=1,a3=3,c n=(a n+1)·b n,那么数列{c n}的前n项和S n= .解析:设等比数列{b n}的公比为q,由题意得===q,即a n+1-a n=log2 q.所以{a n}为等差数列,又d==1,a1=1.所以a n=1+n-1=n,b n=2n-1.所以c n=(a n+1)·b n=(n+1)·2n-1.所以数列{c n}的前n项和S n=2×1+3×2+4×22+…+(n+1)·2n-1.①2S n=2×2+3×22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,②①-②得-S n=2+2+22+23+…+2n-1-(n+1)·2n=1+-(n+1)·2n=-n·2n,所以S n=n·2n.答案:n·2n三、解答题12.(2017·浙江嘉兴期末)已知单调递增的等比数列{a n}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n·lo a n,求使S n+n·2n+1>50成立的正整数n的最小值. 解:(1)设等比数列{a n}的首项为a1,公比为q.依题意,有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,可得a3=8,所以a2+a4=20,即解之得或又因为数列{a n}单调递增,所以所以数列{a n}的通项公式为a n=2n.(2)因为b n=a n·lo a n=2n lo2n=-n·2n,所以S n=-(1×2+2×22+…+n·2n),2S n=-[1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1]两式相减,得S n=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,要使S n+n·2n+1>50,即2n+1-2>50,即2n+1>52,易知:当n≤4时,2n+1≤25=32<52,当n≥5时,2n+1≥26=64>52,故使S n+n·2n+1>50成立的正整数n的最小值为5.13.(2017·浙江衢州质检)已知数列{a n}满足a1=1,S n=2a n+1,其中S n为{a n}的前n项和(n∈N+).(1)求数列{S n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=,且{b n}的前n项和为T n,求证:当n≥2时,≤|T n|≤.(1)解:数列{a n}满足S n=2a n+1,则S n=2a n+1=2(S n+1-S n),即3S n=2S n+1,所以=,即数列{S n}为以1为首项,以为公比的等比数列,所以S n=()n-1(n∈N+).(2)证明:在数列{b n}中,b n==-1×,|T n|=-1×(1+(-)++[-()3]+…+)=1+(-)++(-)3+…+,而当n≥2时,1-≤1+(-)++[-()3]+…+≤1+(-)+=. 即≤|T n|≤.14.(2017·浙江省嘉兴市高三教学测试)已知数列{a n}满足:a1=,a n=+a n-1(n≥2且n∈N+).设数列{}的前n项和为A n,数列{}的前n项和为B n,证明:=a n+1.证明:由a n=+a n-1,可得=a n-a n-1,所以A n=++…+=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n+1-a n)=a n+1-,又由a n=+a n-1,可得a n=a n-1(a n-1+1),所以==-,即=-,所以B n=++…+=(-)+(-)+…+(-) =-,所以==a n+1, 即=a n+1成立.第4节 数列的综合问题一、选择题1.设{a n },{b n }分别是等差数列与等比数列,a 1=b 1=4,a 4=b 4=1,则下列结论正确的是( A )(A)a 2>b 2 (B)a 3<b 3(C)a 5>b 5 (D)a 6>b 6解析:因为a 1=4,a 4=a 1+3d=4+3d=1,所以d=-1,所以a n =4-(n-1)=5-n,b 1=4,b 4=b 1q 3=4q 3=1,所以q=(),所以b n =4×()=, 所以a2=3,b 2==<=a 2,a 3=2,b 3==<=a 3, a 5=0,b 5=>0=a 5,a 6=-1<0,b 6=>0>a 6,故选A.2.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{a n}的前n项和为S n,且满足f(S n+2)-f(a n)=f(3),(n∈N+),则a n等于( D )(A)2n-1 (B)n(C)2n+1 (D)()n-1解析:因为f(x·y)=f(x)+f(y),f(S n+2)-f(a n)=f(3),所以f(S n+2)=f(a n)+f(3)=f(3a n),S n+2=3a n,当n≥2时,S n-1+2=3a n-1,所以a n=3a n-3a n-1,即=,又因为S1+2=3a1,所以a1=1,所以a n=a1q n-1=1×()n-1=()n-1.故选D.3.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用.第n天的维修保养费为(n∈N+)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了( B )(A)600天 (B)800天(C)1 000天(D)1 200天解析:第n天的维修保养费为a n=,前n天的维修保养费合计为S n,则S n=++…+==平均每天耗资为=++≥2+=, 当且仅当=,即n=800时,平均每天耗资最少.故选B.4.已知数列{a n}的通项公式为a n=,则数列{a n}的最大值为( B )(A)第7项 (B)第8项(C)第7项或第8项 (D)不存在解析:因为a n==≤,当且仅当n=,即n=时,{a n}最大.但n=不是整数,且7<<8,当n=7时,a7==,a8==>,故选B.5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,S9=-36,S13=-104,等比数列{b n}中b5=a5,b7=a7,则b6的值为( A )(A)±4 (B)-4(C)4 (D)无法确定解析:因为S9=9a1+36d=-36,所以a1+4d=-4,即a5=-4,S13=13a1+78d=-104,所以a1+6d=-8,即a7=-8,又因为b5=a5,b7=a7,所以b5=-4,b7=-8,所以=b5·b7=(-4)×(-8)=32,所以b 6=±4,故选A.6.定义:F(x,y)=y x(x>0,y>0),已知数列{a n}满足a n=(n∈N+),若对任意正整数n,都有a n≥a k(k∈N+)成立,则a k的值为( A ) (A)(B)1 (C) (D)2解析:根据题意有a n==,当n=1时,a1==2;当n=2时,a2==1;当n=3时,a3==;当n=4时,a4==1;当n≥5时,2n>n2,所以a n>1,故选A.二、填空题7.在等差数列{a n}中,a1=2,a3=6,若将a1,a4,a5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为.解析:因为在等差数列{a n}中,a1=2,a3=6,所以a3=a1+2d=2+2d=6,所以d=2,a n=a1+2(n-1)=2n,设加上的这个数是A,则a1+A=2+A,a4+A=8+A,a5+A=10+A,根据题意有(8+A)2=(2+A)(10+A),所以A=-11.答案:-118.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.解析:因为S n是等差数列{a n}的前n项和,所以S5S6+15=(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9a1d+10d2+1=0,所以Δ=(9d)2-4×2×(10d2-1)=d2-8≥0,所以d≥2或d≤-2.答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)9.某人从2013年9月1日起,每年这一天到银行存款一年定期1万元,且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期,若一年定期存款利率2.50%保持不变,到2018年9月1日将所有的存款和利息全部取出,他可取回的钱数约为万元.解析:设存入1万元一年定期,n年后的本息为{a n},所以a n=(1+2.50%)n,根据题意n≤5且n∈N,所以{a n}成等比数列,S n=a1+a2+…+a5=(1+2.50%)1+(1+2.50%)2+…+(1+2.50%)5=≈5.387 737,所以2018年9月1日他可取回的钱数约为5.387 737万元.答案:5.387 73710.夏季山上的温度从山脚起,每升高100米,降低0.7 ℃,已知山顶处的温度是14.8 ℃,山脚处的温度为26 ℃,则此山相对于山脚处的高度是米.解析:设山脚温度为a1=26,山顶温度a n=14.8,由于每升高100米,降低0.7 ℃,所以温度的变化成等差数列,所以a n=26-0.7(n-1)=14.8,所以n=17,所以此山相对于山脚处的高度是1 600米.答案:1 60011.如图的倒三角形数阵满足:(1)第1行的n个数分别是1,3,5,…,2n-1;(2)从第二行起,各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和;(3)数阵共有n行.问:当n=2 012时,第32行的第17个数是.1 3 5 7 9 11…4 8 12 16 20…12 20 28 36……解析:设第n行的第一个数为a n,则a1=1,a2=4=2a1+2,a3=12=2a2+22,a4=32=2a3+23,…,由以上归纳,得a k=2a k-1+2k-1(k≥2,且k∈N+),所以=+,所以数列{}是以为首项,以为公差的等差数列,所以=+(n-1)=,所以a n=n×2n-1(n∈N+)由数阵的排布规律可知,每行的数(倒数两行另行考虑)都成等差数列,且公差依次为2,22,…,2k,…第n行的首项为a n=n×2n-1,公差为2n,所以,第32行的首项为a32=32×231=236,公差为232,所以,第32行的第17个数是236+16×232=237.答案:237三、解答题12.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2,数列{b n}为等比数列,且首项b1=1,b4=8.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)若数列{c n}满足c n=,求数列{c n}的前n项和T n.解:(1)因为S n=n2,所以S n-1=(n-1)2(n≥2),所以a n=n2-(n-1)2=2n-1,又因为{b n}为等比数列,且首项b1=1,b4=8,所以b4=q3=8,所以q=2,所以b n=2n-1,所以a n=2n-1,b n=2n-1.(2)由(1)有c n===2·2n-1-1=2n-1,所以T n=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(2+22+…+2n)-n=-n=2n+1-2-n.13.某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红500万元,该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元.(1)求该企业2014年年底分红后的资金;(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元. 解:设{a n}为(2010+n)年年底分红后的资金,其中n∈N+,则a1=2×1 000-500=1 500,a2=2×1 500-500=2 500,…,a n=2×a n-1-500(n ≥2),所以a n-500=2(a n-1-500)(n≥2),即数列{a n-500}是首项为a1-500=1 000,公比为2的等比数列,所以a n-500=1 000×2n-1,即a n=1 000×2n-1+500.(1)a4=1 000×24-1+500=8 500,所以该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元.(2)a n>32 500,即2n-1>32,得n>6,所以该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元. 14.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,a10=15,且a3,a4,a7成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求证:-≤T n<-1(n∈N+). (1)解:设数列{a n}的公差为d(d≠0),由已知得即解得所以a n=2n-5(n∈N+).(2)证明:因为b n==,n∈N+,所以T n=+++…+,①T n=+++…++,②①-②得T n=+2(++…+)-=-+, 所以T n=-1-(n∈N+),因为>0(n∈N+),所以T n<-1,因为T n+1-T n=(-1-)-(-1-)=,所以T n<T n+1(n≥2)又T1=-1-=-,T2=-1-=-,因为T1>T2,所以T2最小.即T n≥T2=-.综上所述,-≤T n<-1(n∈N+).第5节数学归纳法一、选择题1.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3…(2n+1)(n∈N*),从“k到k+1”左端需乘的代数式是( B )(A)2k+1 (B)2(2k+1)(C) (D)解析:左端需乘的代数式是=2(2k+1),选B.2.用数学归纳法证明:1+++…+<n,(n∈N*,n>1)时,在第二步证明从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是( A )(A)2k(B)2k-1(C)2k-1(D)2k+1解析:项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k,选A.3.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( C )(A)n=1 (B)n=2(C)n=3 (D)n=4解析:由题意知n≥3,所以应验证n=3,选C.4.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论中正确的是( D )(A)P(n)对n∈N*成立(B)P(n)对n>4且n∈N*成立(C)P(n)对n<4且n∈N*成立(D)P(n)对n≤4且n∈N*不成立解析:假设P(n)对n=4成立,则它对n=3,2,1都成立,现n=4时P(n)不成立,所以n=1,2,3也不成立,选D.5.S k=+++…+(k=1,2,3,…),则S k+1等于( C )(A)S k+ (B)S k+-(C)S k+- (D)S k++6.已知f(n)=++++…+,则( C )(A)f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+(B)f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=1+++(C)f(n)中共有n2-n+2项,当n=2时,f(2)=1+++(D)f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=1+++解析:由f(n)的解析式可知,共有项数为n2-(n-1)+1=(n2-n+2)项,当n=2时,f(2)=+++,选C.二、填空题7.用数学归纳法证明:++…+>-.假设n=k时不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是.解析:从不等式结构看,左边n=k+1时,最后一项为,前面的分母的底数是连续的,右边n=k+1时,式子是-,所以不等式为++…+>-.答案:++…+>-8.用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n-y n能被x+y整除”第一步应验证n= 时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成.解析:因为n为正偶数,故取第一个值n=2,第二步假设n取第k个正偶数成立,即n=2k,故假设当n=2k(k∈N*)时结论成立,x2k-y2k能被x+y 整除.答案:2 当n=2k(k∈N*)时,x2k-y2k能被x+y整除9.观察下列式子:1+<,1++<,1+++<…则可归纳出.解析:1+<即1+<,1++<,即1++<,归纳为1+++…+<(n∈N*).答案:1+++…+<(n∈N*)10.已知a1=,a n+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为,由此猜想a n= .解析:a2====,同理,a3===,a4==,a5==,猜想a n=.答案:,,,11.将全体正整数排成一个三角形数阵:12 34 5 67 8 9 10…按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第5个数为.解析:前n-1行数字个数之和为1+2+3+…+(n-1)=,所以第n-1行最后一个数字是,第n行(n≥3)从左向右的第5个数为+5=.答案:12.n为正奇数时,求证:x n+y n被x+y整除,当第二步假设n=2k-1命题为真时,进而需证n= ,命题为真.解析:题中是数学归纳法关于所有正奇数的命题,2k-1之后的正奇数为2k+1,据此可得第二步假设n=2k-1命题为真时,进而需证n=2k+1,命题为真.答案:2k+1三、解答题13.求证:12+22+…+n2=.证明:(1)当n=1时,左端=1,右端==1,左端=右端,等式成立.(2)假设n=k时,等式成立,即12+22+…+k2=,则12+22+…+k2+(k+1)2=+(k+1)2=.所以,当n=k+1时,等式仍然成立.由(1)(2)可知,对于∀n∈N*等式依然成立.14.证明:1-(x+3)n(n∈N*)能被x+2整除.证明:(1)当n=1时,1-(x+3)=-(x+2),能被x+2整除.(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立,即1-(x+3)k能被x+2整除,则可设1-(x+3)k=(x+2)f(x)(其中f(x)为k-1次多项式),当n=k+1时,1-(x+3)k+1=1-(x+3)(x+3)k=(x+3)[1-(x+3)k]-(x+2)=(x+3)(x+2)f(x) -(x+2)=(x+2)[(x+3)f(x)-1]能被x+2整除,所以,当n=k+1时,命题仍然成立.由(1)(2)可知,对于∀n∈N*命题依然成立.15.设函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.(1)求f(0)的值;(2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值;(3)在(2)的条件下,猜想f(n)(n∈N*)的表达式,并用数学归纳法证明.解:(1)令x=y=0,得f(0)=0.(2)f(1)=1,f(2)=f(1+1)=1+1+2=4,f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9,f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16.(3)猜想:f(n)=n2.证明:n=1时,f(1)=1满足条件.假设n=k时,命题成立,即f(k)=k2.则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+1+2k=(k+1)2,从而得n=k+1时满足条件,所以对任意正整数n都有f(n)=n2.知识拓展:数列放缩技巧一、选择题1.在等差数列{a n}中,若a n>0,公差d>0,则有a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比数列{b n}中,若b n>0,公比q>1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是( A )(A)b4+b8>b5+b7(B)b5+b7>b4+b8(C)b4+b7>b5+b8(D)b4+b5>b7+b8解析:(b4+b8)-(b5+b7)=(b4-b5)+(b8-b7)=b4(1-q)+b7(q-1)=(1-q)(b4- b7),因为b n>0,q>1,所以{b n}为递增数列,所以b4<b7,因为1-q<0,所以(1-q)(b4-b7)>0,所以(b4+b8)-(b5+b7)>0,所以b4+b8>b5+b7.故A正确.2.若a,b,c成等比数列,则关于x的方程ax2+bx+c=0( C )(A)必有两个不等实根(B)必有两个相等实根(C)必无实根(D)以上三种情况均有可能解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac>0,又Δ=b2-4ac=-3ac<0,所以方程ax2+bx+c=0无实数根.故选C.3.等差数列{a n}中,a2+a5+a8=9,那么方程x2+(a4+a6)x+10=0的根的情况是( A )(A)没有实根 (B)两个相等实根(C)两个不等实根(D)无法判断解析:由a2+a5+a8=9得a5=3,所以a4+a6=6,方程转化为x2+6x+10=0, 因为Δ<0,所以方程没有实根.4.已知{a n}为等差数列,{b n}为正项等比数列,公比q≠1,若a1=b1,a11=b11,则( B )(A)a6=b6(B)a6>b6(C)a6<b6(D)以上都有可能解析:因为{a n}为等差数列,所以a6=.因为{b n}为正项等比数列,所以b6==.因为公比q≠1,由基本不等式可知a6>b6.5.给出以下命题,其中正确的命题的个数是( B )①存在两个不等实数α,β,使得等式sin(α+β)=sin α+sin β成立;②若数列{a n}是等差数列,且a m+a n=a s+a t(m,n,s,t∈N*),则m+n=s+t;③若S n是等比数列{a n}的前n项和,则S6,S12-S6,S18-S12成等比数列;④若S n是等比数列{a n}的前n项和,且S n=Aq n+B(其中A,B是非零常数,n∈N*),则A+B=0;⑤已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2>c2,则△ABC一定是锐角三角形;(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:①取α=π,β=-π,显然等式成立,命题正确,②当公差d=0时,显然命题不正确,例如a1+a2=a3+a4,1+2≠3+4.③当a1=1,q=-1时,S6=S12-S6=S18-S12=0,命题错误,④因为S n=Aq n+B(其中A,B是非零常数,n∈N*),所以q≠1,此时S n==q n+,所以A=,B=,从而A+B=0,命题正确,⑤由a2+b2>c2,得cos C>0,C是锐角,不能推出△ABC一定是锐角三角形,命题错误,故选B.6.在数列{a n}中,a n>0,a1=,如果a n+1是1与的等比中项,那么a1++++…+的值是( C )(A) (B) (C) (D)解析:由题意得=⇒(2a n+1+a n a n+1+1)(2a n+1-a n a n+1-1)=0⇒a n+1=⇒a n+1-1=⇒=-1,所以=-(n-1)=-n-1⇒a n=⇒=.所以a1++…+=1-+-+…+-=.二、填空题7.已知数列{a n}满足a n+2-a n+1=a n+1-a n,n∈N*,且a5=,若函数f(x)=sin2x-2sin2,记y n=f(a n),则数列{y n}的前9项和为.解析:因为2a n+1=a n+a n+2,所以数列{a n}是等差数列.设公差为d,则a n=+(n-5)d.又因为f(x)=sin 2x-2sin2=sin 2x+cos x-1.所以f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=[sin 2(-4d)+sin 2(-3d)+…+s i n(2×)+…+s i n2(+4d)]+c o s(-4d)+…+c o s+…+ cos(+4d)+9×(-1)=-9.答案:-98.在等比数列{a n}和等差数列{b n}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,则a5与b5的大小关系为.解析:设公比为q,公差为d.则a3=a1q2,b3=b1+2d=a1+2d,由a3=b3,所以2d=a1(q2-1).又因为a1≠a3,所以q2≠1.所以a5-b5=a1q4-(a1+4d)=a1(q2-1)2>0.所以a5>b5.答案:a5>b59.在等差数列{a n}中,若任意两个不等的正整数k,p,都有a k=2p+1,a p=2k+1,设数列{a n}的前n项和为S n,若k+p=m,则S m= (结果用m表示).解析:设公差为d,因为a k=2p+1=a1+(k-1)d ①a p=2k+1=a1+(p-1)d ②由①-②可得d=-2,把d=-2代入a k=2p+1可得a1+(k-1)×(-2)=2p+1,所以a1=2p+2k-1=2m-1,所以S m=ma1+ d=m(2m-1)+×(-2)=m2.答案:m210.数列{a n}满足a1=,a n+1=-a n+1(n∈N*),则m=++…+的整数部分是.解析:因为a1=,a n+1=-a n+1,则a n+1-a n=(a n-1)2>0,所以a n+1>a n,所以数列{a n}单调递增,所以a n+1-1=a n(a n-1)>0,所以=-,即=-,所以S n=++…+=(-)+(-)+…+(-)=-=3-,所以m=S2 013=3-.因为a1=,所以a2=()2-+1=,所以a3=()2-+1=,所以a4=()2-+1=+1>2.因为a2 014>a4>2,所以0<<1,所以2<3-<3,所以m的整数部分是2.答案:211.在由正数组成的等比数列{a n}中,设x=a5+a10,y=a2+a13,则x与y的大小关系为.解:因为等比数列{a n}各项均为正数,所以a1>0,q>0,a2+a13-(a10+a5)=(a1q+a1q12)-(a1q9+a1q4)=a1q[(q11+1)-(q3+q8)]=a1q(q8- 1)(q3-1)≥0,所以a2+a13≥a10+a5.答案:y≥x12.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n=(n∈N*),若不等式S2n-S n>对于n∈N*恒成立,则自然数m的最大值为.解析:S2n-S n>变形为<S2n-S n,因为S2n-S n=++…+≥++…+==,所以S2n-S n的最小值为.所以<,所以m<12,自然数m的最大值为11.答案:11三、解答题13.已知数列{a n}的前n项和为S n,若4S n=(2n-1)a n+1+1,且a1=1.(1)求证:数列{a n}是等差数列,并求出{a n}的通项公式;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<.(1)解:4S n=(2n-1)a n+1+1,所以4S n-1=(2n-3)a n+1(n≥2),所以4a n=(2n-1)a n+1-(2n-3)a n(n≥2),即(2n+1)a n=(2n-1)a n+1⇒=,所以=,=,…,=,所以··…·=··…·即=(n≥2),所以a n=a2,由4S n=(2n-1)a n+1+1,令n=1可得:4S1=a2+1⇒a2=3,所以a n=2n-1(n≥2),验证a1=1符合上式,所以a n=2n-1,S n=n2.(2)证明:由(1)得b n==,b1=1,可知当n≥2时,b n=<==(-),所以T n=b1+b2+…+b n<b1+[(1-)+(-)+…+(-)]=1+(1-)<.14.已知数列{a n},a1=1,a n=2a n-1+1(n≥2,n∈N*).(1)证明{a n+1}是等比数列;(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和为S n;(3)证明-<++…+<(n∈N*).(1)证明:因为a n+1=2(a n-1+1)(n≥2),所以=2.因为a1+1=2,所以{a n+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)解:因为a n+1=2n,所以a n=2n-1.所以b n===-.S n=(-)+(-)+…+(-)=-.(3)证明:因为==<.所以++…+<.又因为==·=[1-]=-=->-(k∈N*),所以++…+≥-×(++…+)=-(1-)>-.综上,-<++…+<(n∈N*).。

高三数学一轮复习同步练习 数列

高三数学一轮复习同步练习 数列

高三一轮复习同步练习--------数列1.a 、b 、c 三数成等比数列,公式q ≠1,m 、n 分别是a 和b ,b 和c 的等差中项,则( )A .2=+n a m c B .4=+c n a m C .2=+n c m a D .4=+cma n 2.已知数列}{n a 的前n 项和为)15(21-=n n S n ,+∈N n ,现从前m 项:1a ,2a ,…,m a 中抽出一项(不是1a ,也不是m a ),余下各项的算术平均数为37,则抽出的是( )A .第6项B .第8项C .第12项D .第1项3.已知数列}{n a 前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n , 则312215S S S -+的值是( ) A .13 B .-76C .46 D .764.(文)等差数列}{n a 中,若39741=++a a a ,27963=++a a a ,则前9项的和9S 等于A .66B .99C .144D .2975.已知数列}{n a 前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n , 则312215S S S -+的值是)A .13B .-76C .46D .766.等差数列}{n a 中,2≥n ,公差0<d ,前n 项和是n S ,则有( ) (A) 1na S na n n <<(B )n n na S na <<1(C )1na S n ≥(D )n n na S ≤7.已知等差数列{a n }的前20项的和为100,那么a 7·a 14的最大值为A.25B.50C.100D.不存在8.S n 为等差数列{a n }的前n 项之和,若a 3=10,a 10=-4,则S 10-S 3等于A.14B.6C.12D.219.数列121,341,581,7161,…,(2n -1)+n 21的前n 项之和为S n ,则S n 等于 A.n 2+1-n 21 B.2n 2-n +1-n 21 C.n 2+1-121-n D.n 2-n +1-10.正项等比数列{a n }满足:a 2·a 4=1,S 3=13,b n =log 3a n ,则数列{b n }的前10项的和是A.65B.-65C.25D.-2511.一个等差数列{a n }中,a 1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取一项, 余下项的平均值是4,则抽取的是A.a 11B.a 10C.a 9D.a 8 12.计算机是将信息转换成二进制进行处理的,二进制即“逢2进1”如(1101)2 表示二进制数,将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13, 那么将二进制数转换成十进制形式是A.217-2B.216-2C.216-1D.215-113.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4=18-a 5,则S 8等于的A.18B.36C.54D.7214.一个等差数列共n 项,其和为90,这个数列的前10项的和为25,后10项的和为75则项数n 为A.14B.16C.18D.2015.已知数列{a n }共有n 项,且通项kn k k C a 2=,则此数列的各项之和S 为()A 、3nB 、3n -1C 、n ·2nD 、不存在16.等比数列{a n }中,T n 表示前n 项的积,若T 5=1,则A 、a 1=1B 、a 3=1C 、a 4=1D 、a 5=1 17、在数列{a n }中,a 1=2,⎩⎨⎧=+=++)(2)(211为偶数为奇数n a a n a a n n n n ,则a 5等于()A 、12B 、14C 、20D 、22 18、等差数列{a n }的前n 项和为Sn ,若a 3+a 17=10, 则S 19的值是BA.55B.95C.100D.不能确定19.在等差数列{a n }中,中若a 1<0,S n 为前n 项之和,且S 7=S 17,则S N 为最小时的n 的值为()A .11B .11或12C .12D .12或1320.设*{}()n a n N ∈是等差数列,S n 是其前n 项的和,且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8, 则下列结论错误的是A. d<0B. a 7=0C. S 9>S 5D.S 6和S 7均为S n 的最大值21.设数列{}n a 是首项为50,公差为2的等差数列;{}n b 是首项为10, 公差为4的等差数列,以,k k a b 为相邻两边的矩形内最大圆面积记为k S , 若21k ≤,那么k S 等于()A.2(21)k π+B.2(23)k π+C.2(212)k π+D.2(24)k π+22.一个等差数列共有21n +项,其中奇数项的和为168,偶数项的和为161 那么该数列的项数为A. 23B.25C. 47D.4923.已知数列{}n a 的首项111,3(1)n n a a S n +==≥,则下列结论正确的是 A.数列{}n a 是等差数列;B.数列{}n a 是等比数列; C.数列23,,,,n a a a 是等差数列;D. 数列23,,,,n a a a 是等比数列24.在等比数列{a n }中,a 7•a 11=6,a 4+a 14=5,则2010a a =A.23 B.32 C.23或32 D.-23或-3225.已知数列{a n }中,a 1=1,112nn na a a +=+,则这个数列的第n 项n a 为A.2n-1B.2n+1C.121n - D.121n + 26、等比数列{}n a 中,若2212,a a ≠则(A )5372a a a ≤+(B )5372a a a >+(C )5372a a a <+(D )5372a a a ≥+27、等差数列{a n }中,S 9=-36,S 13=-104,等比数列{b n }中,b 5=a 5,b 7=a 7,则b 6=()A 、24B 、-24C 、±24D 、无法确定 28、等差数列{a n }前n 项和为S n ,满足S 20=S 40,则下列结论中正确的是()A 、S 30是S n 中的最大值B 、S 30是S n 中的最小值C 、S 30=0D 、S 60=029、等比数列{a n }中,T n 表示前n 项的积,若T 5=1,则A 、a 1=1B 、a 3=1C 、a 4=1D 、a 5=1 30.(文)若数列{n a }的前n 项和为2n S n =,则( ) A .12-=n a n B .12+=n a n C .12--=n a n D .12+-=n a n31.(理)已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ,则++2221a a (2)n a +等于( )A .2)12(-n B .)12(31-n C .14-nD .)14(31-n32.各项都是正数的等比数列{n a }的公比q ≠1,且2a ,321a ,1a 成等差数列, 则5443a a a a ++的值为()A .215+B .215-C .251-D .215+或215- 二填空题1 .若n S 是数列}{n a 的前n 项的和,2n S n =,则=++765a a a __ ___. 2.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,且某连续三项正好为等差数列}{n b 中的第1,5,6项,则=+∞→12limna S n n ___ _.3.若数列}{n a ,)(*N n ∈是等差数列,则有数列)(*21N n na a ab nn ∈+++=也为等差数列,类比上述性质,相应地:若数列}{n C 是等比数列,且)(0*N n C n ∈>,则有=n d _ _________)(*N n ∈也是等比数列.4.等差数列}{n a 中,21=a ,公差不为零,且1a 、3a 、11a 恰好成等比数列,那么该等比数列公比的值等于.5.等差数列}{n a 公差不为零,且5a ,8a ,13a 是等比数列}{n b 的相邻三项,若152=b ,则=n b .6.设等比数列)1}({1>-q q n 的前n 项和为n S ,前n +1项的和为1+n S ,则1lim+∞→n nn S S =___..7.若()()(),2log 1N n n a n n ∈+=+我们把使乘积n a a a 21为整数的数n 叫做“劣数”,则在区间()2004,1内所有劣数的和为.8.一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占据内存KB 2,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后经过分钟,该病毒占据MB 64内存.(KB MB 1021=) 9.已知数列}{n a 中,1562+=n na n ,则数列}{n a 的最大项是第项. 10、已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 1、a 3、a 9成等比数列,则1042931a a a a a a ++++=11.数列{a n }满足a 1=12,a 1+a 2+⋯+a n =n •a n 则数列{a n }的通项公式是___________12、设等比数列)1}({1>-q qn 的前n 项和为n S ,前n+1项的和为1+n S ,1+∞→n nn S S iml =_13、已知函数f(x) = 2x 2-x,则使得数列{qpn n f +)(}(n ∈N +)成等差数列的非零常数p 与q 所满足的关系式为.1 4、若{}n a 是一个公差不为零的等差数列,且15107,,a a a 是等比数列{}n b 的连续的三项,设数列{}n b 的前n 项的和为n S ,则=-∞→nnn n S S q 21lim _ ___ 。

2025版高考数学一轮总复习学案 第6章 高考大题规范解答——高考中数列问题的热点题型

2025版高考数学一轮总复习学案  第6章 高考大题规范解答——高考中数列问题的热点题型

n2-1+22n-5+n214+24n+6=3n2+2 7n.(10 分)
当 n>5 时,Tn-Sn=3n2+2 7n-(n2+4n)=n2-2 n=nn2-1>0,
所以Tn>Sn.(11分) 综上可知,当n>5时,Tn>Sn.(12分)
第六章 数列
高考一轮总复习 • 数学
名师点拨:求解数列与不等式综合问题的步骤 1.根据题目条件,求出数列的通项公式; 2.根据数列项的特征,选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项 相消法、错位相减法等)求和; 3.利用2中所求得的数列的和,证明不等式或求参数的范围; 4.反思解题过程,检验易错点,规范解题步骤. 提醒:解决数列与不等式的综合问题时,若是证明题,则要灵活选 择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等;若是含 参数的不等式恒成立问题,则可分离参数,转化为研究最值问题来解决.
第六章 数列
高考一轮总复习 • 数学
(2)第 1 步:取等差数列{bn}的前 3 项,再利用 bn=n2a+n n,得 a1 与 d 的关系式
因为 bn=n2a+n n,且{bn}为等差数列, 所以 2b2=b1+b3,即 2×a62=a21+1a23, 所以a1+6 d-a11=a1+6 2d,所以 a21-3a1d+2d2=0,
(1)求{an}的通项公式; (2)证明:当n>5时,Tn>Sn.
第六章 数列
高考一轮总复习 • 数学
[解题思路] (1)要求数列{an}的通项公式,就需求出首项与公差.观 察已知条件知,可利用等差数列的通项公式与前n项和公式建立方程组 求出.(2)由于数列{bn}的通项分n为奇数与n为偶数给出,为此在求Tn时, 也需分n为奇数与n为偶数求解.而数列{bn}的奇数项与偶数项分别构成等 差数列,故求和时选用分组法,然后利用作差法证明不等式.

高三第一轮复习数列练习题含答案

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第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法一、选择题1.数列{a n}:1,-58,715,-924,…的一个通项公式是( )A.a n=(-1)n+12n-1n2+n(n∈N+)B.a n=(-1)n-12n+1n3+3n(n∈N+)C.a n=(-1)n+12n-1n2+2n(n∈N+)D.a n=(-1)n-12n+1n2+2n(n∈N+)解析观察数列{a n}各项,可写成:31×3,-52×4,73×5,-94×6,故选D.答案 D2.把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示).则第七个三角形数是( ).A.27 B.28 C.29 D.30解析观察三角形数的增长规律,可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号,所以根据这个规律计算即可.根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.答案 B3.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1(n∈N*),则a5=().A .-16B .16C .31D .32解析 当n =1时,S 1=a 1=2a 1-1,∴a 1=1, 又S n -1=2a n -1-1(n ≥2),∴S n -S n -1=a n =2(a n -a n -1). ∴a n a n -1=2.∴a n =1×2n -1,∴a 5=24=16. 答案 B4.将石子摆成如图的梯形形状,称数列5,9,14,20,…为梯形数,根据图形的构成,此数列的第2 014项与5的差即a 2 014-5=( ).A .2 020×2 012B .2 020×2 013C .1 010×2 012D .1 010×2 013解析 结合图形可知,该数列的第n 项a n =2+3+4+…+(n +2).所以a 2 014-5=4+5+…+2 016=2 013×1 010.故选D. 答案 D5.在数列{a n }中,a n =-2n 2+29n +3,则此数列最大项的值是 ( ). A .103B.8658C.8258D .108解析 根据题意并结合二次函数的性质可得:a n =-2n 2+29n +3=-2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2-292n +3=-2⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2942+3+8418,∴n =7时,a n 取得最大值,最大项a 7的值为108. 答案 D6.定义运算“*”,对任意a ,b ∈R ,满足①a *b =b *a ;②a *0=a ;(3)(a *b )*c =c *(ab )+(a *c )+(c *b ).设数列{a n }的通项为a n =n *1n *0,则数列{a n }为( ). A .等差数列 B .等比数列 C .递增数列D .递减数列解析 由题意知a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫n *1n *0=0]n ·1n +(n *0)+⎝ ⎛⎭⎪⎫0]1n )=1+n +1n ,显然数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列;又函数y=x+1x在[1,+∞)上为增函数,所以数列{a n}为递增数列.答案 C二、填空题7.在函数f(x)=x中,令x=1,2,3,…,得到一个数列,则这个数列的前5项是________.答案1,2,3,2, 58.已知数列{a n}满足a1=1,且a n=n(a n+1-a n)(n∈N*),则a2=________;a n=________.解析由a n=n(a n+1-a n),可得a n+1a n=n+1n,则a n=a na n-1·a n-1a n-2·a n-2a n-3·…·a2a1·a1=nn-1×n-1n-2×n-2n-3×…×21×1=n,∴a2=2,a n=n.答案2n9.已知f(x)为偶函数,f(2+x)=f(2-x),当-2≤x≤0时,f(x)=2x,若n∈N*,a n=f(n),则a2 013=________.解析∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),∴f(x+2)=f(2-x)=f(x-2).故f(x)周期为4,∴a2 013=f(2 013)=f(1)=f(-1)=2-1=1 2.答案1 210.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n,第k项满足5<a k<8,则k的值为________.解析∵S n=n2-9n,∴n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-10,a1=S1=-8适合上式,∴a n=2n-10(n∈N*),∴5<2k-10<8,得7.5<k<9.∴k=8.答案8三、解答题11.数列{a n }的通项公式是a n =n 2-7n +6. (1)这个数列的第4项是多少?(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解 (1)当n =4时,a 4=42-4×7+6=-6.(2)令a n =150,即n 2-7n +6=150,解得n =16,即150是这个数列的第16项.(3)令a n =n 2-7n +6>0,解得n >6或n <1(舍), ∴从第7项起各项都是正数.12.若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12.(1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时,由a n +2S n S n -1=0, 得S n -S n -1=-2S n S n -1,所以1S n -1S n -1=2,又1S 1=1a 1=2,故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2,公差为2的等差数列.(2)解 由(1)可得1S n=2n ,∴S n =12n .当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -12(n -1)=n -1-n 2n (n -1)=-12n (n -1).当n =1时,a 1=12不适合上式. 故a n =⎩⎪⎨⎪⎧12,n =1,-12n (n -1),n ≥2.13.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a (a ≠3),a n +1=S n +3n ,n ∈N *.(1)设b n =S n -3n ,求数列{b n }的通项公式; (2)若a n +1≥a n ,n ∈N *,求a 的取值范围. 解 (1)依题意,S n +1-S n =a n +1=S n +3n , 即S n +1=2S n +3n ,由此得S n +1-3n +1=2(S n -3n ),又S 1-31=a -3(a ≠3),故数列{S n -3n }是首项为a -3,公比为2的等比数列,因此,所求通项公式为b n =S n -3n =(a -3)2n -1,n ∈N *. (2)由(1)知S n =3n +(a -3)2n -1,n ∈N *,于是,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n +(a -3)2n -1-3n -1-(a -3)2n -2=2×3n-1+(a -3)2n -2,当n =1时,a 1=a 不适合上式, 故a n =⎩⎨⎧a ,n =1,2×3n -1+(a -3)2n -2,n ≥2. a n +1-a n =4×3n -1+(a -3)2n -2 =2n -2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2+a -3, 当n ≥2时,a n +1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2+a -3≥0⇔a ≥-9. 又a 2=a 1+3>a 1.综上,所求的a 的取值范围是[-9,+∞). 14.在等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=84,a 9=73. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)对任意m ∈N *,将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ,求数 列{b m }的前m 项和S m .解 (1)因为{a n }是一个等差数列, 所以a 3+a 4+a 5=3a 4=84,即a 4=28.设数列{a n }的公差为d ,则5d =a 9-a 4=73-28=45,故d =9. 由a 4=a 1+3d 得28=a 1+3×9,即a 1=1.所以a n =a 1+(n -1)d =1+9(n -1)=9n -8(n ∈N *). (2)对m ∈N *,若9m <a n <92m ,则9m +8<9n <92m +8,因此9m -1+1≤n ≤92m -1,故得b m=92m-1-9m-1.于是S m=b1+b2+b3+…+b m=(9+93+…+92m-1)-(1+9+…+9m-1)=9×(1-81m)1-81-1-9m1-9=92m+1-10×9m+180.第2讲等差数列及其前n项和一、选择题1. {a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和.若S10=S11,则a1=( ) A.18 B.20C.22 D.24解析由S10=S11得a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.答案 B2.设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1=-11,a4+a6=-6,则当S n取最小值时,n等于( ).A.6 B.7 C.8 D.9解析由a4+a6=a1+a9=-11+a9=-6,得a9=5,从而d=2,所以S n=-11n+n(n-1)=n2-12n=(n-6)2-36,因此当S n取得最小值时,n=6.答案 A3.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于().A.-1 B.1 C.3 D.7解析两式相减,可得3d=-6,d=-2.由已知可得3a3=105,a3=35,所以a20=a3+17d=35+17×(-2)=1.答案 B4.在等差数列{a n}中,S15>0,S16<0,则使a n>0成立的n的最大值为().A.6 B.7 C.8 D.9解析依题意得S15=15(a1+a15)2=15a8>0,即a8>0;S16=16(a1+a16)2=8(a1+a16)=8(a8+a9)<0,即a8+a9<0,a9<-a8<0.因此使a n>0成立的n的最大值是8,选C.答案 C5.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S k +2-S k =24,则k =( ). A .8B .7C .6D .5解析 由a 1=1,公差d =2得通项a n =2n -1,又S k +2-S k =a k +1+a k +2,所以2k +1+2k +3=24,得k =5. 答案 D6.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n=7n +45n +3,则使得a nb n为整数的正整数的个数是( ). A .2 B .3 C .4D .5解析 由A n B n =7n +45n +3得:a n b n =A 2n -1B 2n -1=14n +382n +2=7n +19n +1,要使a nb n 为整数,则需7n +19n +1=7+12n +1为整数,所以n =1,2,3,5,11,共有5个. 答案 D 二、填空题7.已知数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,a 7-a 5=4,a 11=21,S k =9,则k =________.解析 a 7-a 5=2d =4,d =2,a 1=a 11-10d =21-20=1,S k =k +k k -12×2=k 2=9.又k ∈N *,故k =3.答案 38.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 412-S 39=1,则公差为________. 解析 依题意得S 4=4a 1+4×32d =4a 1+6d ,S 3=3a 1+3×22d =3a 1+3d ,于是有4a 1+6d 12-3a 1+3d9=1,由此解得d =6,即公差为6.答案 69.在等差数列{a n }中,a 1=-3,11a 5=5a 8-13,则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________.解析 (直接法)设公差为d ,则11(-3+4d )=5(-3+7d )-13,所以d =59,所以数列{a n }为递增数列.令a n ≤0,所以-3+(n -1)·59≤0,所以n ≤325,又n ∈N *,前6项均为负值, 所以S n 的最小值为-293. 答案 -29310.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是________,项数是________. 解析 设等差数列{a n }的项数为2n +1, S 奇=a 1+a 3+…+a 2n +1=(n +1)(a 1+a 2n +1)2=(n +1)a n +1,S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a 2n =n (a 2+a 2n )2=na n +1,∴S 奇S 偶=n +1n =4433,解得n =3,∴项数2n +1=7,S 奇-S 偶=a n +1,即a 4=44-33=11为所求中间项. 答案 11 7 三、解答题11.设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0.(1)若S 5=5,求S 6及a 1; (2)求d 的取值范围. 解 (1)由题意知S 6=-15S 5=-3,a 6=S 6-S 5=-8,所以⎩⎨⎧5a 1+10d =5,a 1+5d =-8.解得a 1=7,所以S 6=-3,a 1=7.(2)因为S 5S 6+15=0,所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 21+9da 1+10d2+1=0,故(4a 1+9d )2=d 2-8,所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤-22或d ≥2 2.12.在等差数列{a n }中,公差d >0,前n 项和为S n ,a 2·a 3=45,a 1+a 5=18. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)令b n =S nn +c(n ∈N *),是否存在一个非零常数c ,使数列{b n }也为等差数列?若存在,求出c 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由题设,知{a n }是等差数列,且公差d >0, 则由⎩⎨⎧ a 2a 3=45,a 1+a 5=18,得⎩⎨⎧(a 1+d )(a 1+2d )=45,a 1+(a 1+4d )=18.解得⎩⎨⎧a 1=1,d =4.∴a n =4n -3(n ∈N *).(2)由b n =S nn +c =n (1+4n -3)2n +c =2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12n +c ,∵c ≠0,∴可令c =-12,得到b n =2n . ∵b n +1-b n =2(n +1)-2n =2(n ∈N *), ∴数列{b n }是公差为2的等差数列.即存在一个非零常数c =-12,使数列{b n }也为等差数列. 13.在数列{a n }中,a 1=8,a 4=2,且满足a n +2+a n =2a n +1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和,求S n .解 (1)由2a n +1=a n +2+a n 可得{a n }是等差数列, 且公差d =a 4-a 14-1=2-83=-2.∴a n =a 1+(n -1)d =-2n +10. (2)令a n ≥0,得n ≤5.即当n ≤5时,a n ≥0,n ≥6时,a n <0. ∴当n ≤5时,S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =a 1+a 2+…+a n =-n 2+9n ; 当n ≥6时,S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 5-(a 6+a 7+…+a n ) =-(a 1+a 2+…+a n )+2(a 1+a 2+…+a 5) =-(-n 2+9n )+2×(-52+45) =n 2-9n +40,∴S n =⎩⎨⎧-n 2+9n ,n ≤5,n 2-9n +40,n ≥6.14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2a n =S 2+S n 对一切正整数n 都成立. (1)求a 1,a 2的值; (2)设a 1>0,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时,T n 最大?并求出T n 的最大值.解 (1)取n =1,得a 2a 1=S 2+S 1=2a 1+a 2,① 取n =2,得a 22=2a 1+2a 2,② 由②-①,得a 2(a 2-a 1)=a 2,③(i)若a 2=0,由①知a 1=0, (ii)若a 2≠0,由③知a 2-a 1=1.④由①、④解得,a 1=2+1,a 2=2+2;或a 1=1-2,a 2=2- 2. 综上可得a 1=0,a 2=0;或a 1=2+1,a 2=2+2;或a 1=1-2,a 2=2-2.(2)当a 1>0时,由(1)知a 1=2+1,a 2=2+2.当n ≥2时,有(2+2)a n =S 2+S n ,(2+2)a n -1=S 2+S n -1, 所以(1+2)a n =(2+2)a n -1,即a n =2a n -1(n ≥2), 所以a n =a 1(2)n -1=(2+1)·(2)n -1. 令b n =lg 10a 1a n ,则b n =1-lg(2)n -1=1-12(n -1)lg 2=12lg 1002n -1,所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为-12lg 2), 从而b 1>b 2>…>b 7=lg 108>lg 1=0,当n ≥8时,b n ≤b 8=12lg 100128<12lg 1=0, 故n =7时,T n 取得最大值,且T n 的最大值为 T 7=7(b 1+b 7)2=7(1+1-3lg 2)2=7-212lg 2.第3讲 等比数列及其前n 项和一、选择题1.2+1与2-1两数的等比中项是( )A .1B .-1C .±1D.12解析 设等比中项为x ,则x 2=(2+1)(2-1)=1,即x =±1. 答案 C2.设{a n }是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和与前3n 项和分别为X ,Y ,Z ,则下列等式中恒成立的是( ). A .X +Z =2YB .Y (Y -X )=Z (Z -X )C .Y 2=XYD .Y (Y -X )=X (Z -X )解析 (特例法)取等比数列1,2,4,令n =1得X =1,Y =3,Z =7代入验算,选D. 答案 D3.已知等比数列{a n }为递增数列.若a 1>0,且2(a n +a n +2)=5a n +1,则数列{a n }的公比q =( ). A .2B.12C .2或12D .3解析 ∵2(a n +a n +2)=5a n +1,∴2a n +2a n q 2=5a n q , 化简得,2q 2-5q +2=0,由题意知,q >1.∴q =2. 答案 A4.在正项等比数列{a n }中,S n 是其前n 项和.若a 1=1,a 2a 6=8,则S 8=( ).A .8B .15(2+1)C .15(2-1)D .15(1-2)解析∵a 2a 6=a 24=8,∴a 21q 6=8,∴q =2,∴S 8=1-q 81-q=15(2+1).答案 B5.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =t ·5n -2-15,则实数t 的值为( ).A .4B .5C.45D.15解析 ∵a 1=S 1=15t -15,a 2=S 2-S 1=45t ,a 3=S 3-S 2=4t ,∴由{a n }是等比数列知⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫15t -15·4t ,显然t ≠0,所以t =5.答案 B6.在由正数组成的等比数列{a n }中,若a 3a 4a 5=3π,则sin(log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7)的值为 ( ). A.12B.32C .1D .-32解析 因为a 3a 4a 5=3π=a 34,所以a 4=3π3.log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7=log 3(a 1a 2…a 7)=log 3a 74=7log 33π3=7π3,所以sin(log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7)=32. 答案 B 二、填空题7.设1=a 1≤a 2≤…≤a 7,其中a 1,a 3,a 5,a 7成公比为q 的等比数列,a 2,a 4,a 6成公差为1的等差数列,则q 的最小值是________.解析 设a 2=t ,则1≤t ≤q ≤t +1≤q 2≤t +2≤q 3,由于t ≥1,所以q ≥max{t ,t +1,3t +2}故q 的最小值是33.答案338.在等比数列{a n }中,若公比q =4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式a n =________.解析 由题意知a 1+4a 1+16a 1=21,解得a 1=1, 所以数列{a n }的通项公式a n =4n -1. 答案 4n -19.设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数,且对任意的实数x ,y ∈R ,都有f (x )·f (y )=f (x +y ),若a 1=12,a n =f (n )(n ∈N *),则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________.解析 由已知可得a 1=f (1)=12,a 2=f (2)=[f (1)]2=⎝ ⎛⎭⎪⎫122,a 3=f (3)=f (2)·f (1)=[f (1)]3=⎝ ⎛⎭⎪⎫123,…,a n =f (n )=[f (1)]n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ,∴S n =12+⎝ ⎛⎭⎪⎫122+⎝ ⎛⎭⎪⎫123+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1-12=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n, ∵n ∈N *,∴12≤S n <1. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,110.等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,前n 项和为S n ,给出下列四个命题:①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 为等比数列;②若a 2+a 12=2,则S 13=13;③S n =na n -n (n -1)2d ;④若d >0,则S n 一定有最大值.其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号).解析 对于①,注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n +1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n +1-a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12d 是一个非零常数,因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 是等比数列,①正确.对于②,S 13=13(a 1+a 13)2=13(a 2+a 12)2=13,因此②正确.对于③,注意到S n=na1+n(n-1)2d=n[a n-(n-1)d]+n(n-1)2d=na n-n(n-1)2d,因此③正确.对于④,S n=na1+n(n-1)2d,d>0时,S n不存在最大值,因此④不正确.综上所述,其中正确命题的序号是①②③.答案①②③三、解答题11.已知等比数列{a n}中,a1=13,公比q=13.(1)S n为{a n}的前n项和,证明:S n=1-a n 2;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{b n}的通项公式.解 (1)证明因为a n=13×⎝⎛⎭⎪⎫13n-1=13n,S n=13⎝⎛⎭⎪⎫1-13n1-13=1-13n2,所以S n=1-a n2.(2)b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=-(1+2+…+n)=-n n+12.所以{b n}的通项公式为b n=-n n+12.12.已知数列{a n}的前n项和为S n,在数列{b n}中,b1=a1,b n=a n-a n-1(n≥2),且a n+S n=n.(1)设c n=a n-1,求证:{c n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.(1)证明∵a n+S n=n,①∴a n+1+S n+1=n+1,②②-①得a n+1-a n+a n+1=1,∴2a n+1=a n+1,∴2(a n+1-1)=a n-1,∴a n+1-1a n-1=12.∵首项c1=a1-1,又a1+a1=1.∴a 1=12,∴c 1=-12,公比q =12.∴{c n }是以-12为首项,公比为12的等比数列. (2)解 由(1)可知c n =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n , ∴a n =c n +1=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∴当n ≥2时,b n =a n -a n -1=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1=a 1=12代入上式也符合,∴b n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .13.已知两个等比数列{a n },{b n },满足a 1=a (a >0),b 1-a 1=1,b 2-a 2=2,b 3-a 3=3.(1)若a =1,求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{a n }唯一,求a 的值.解 (1)设数列{a n }的公比为q ,则b 1=1+a =2,b 2=2+aq =2+q ,b 3=3+aq 2=3+q 2,由b 1,b 2,b 3成等比数列得(2+q )2=2(3+q 2). 即q 2-4q +2=0,解得q 1=2+2,q 2=2- 2.所以数列{a n }的通项公式为a n =(2+2)n -1或a n =(2-2)n -1.(2)设数列{a n }的公比为q ,则由(2+aq )2=(1+a )(3+aq 2),得aq 2-4aq +3a -1=0(*),由a >0得Δ=4a 2+4a >0,故方程(*)有两个不同的实根. 由数列{a n }唯一,知方程(*)必有一根为0, 代入(*)得a =13.14.数列{a n }的前n 项和记为S n ,a 1=t ,点(S n ,a n +1)在直线y =3x +1上,n ∈N *.(1)当实数t 为何值时,数列{a n }是等比数列.(2)在(1)的结论下,设b n =log 4a n +1,c n =a n +b n ,T n 是数列{c n }的前n 项和,求T n .解 (1)∵点(S n ,a n +1)在直线y =3x +1上, ∴a n +1=3S n +1,a n =3S n -1+1(n >1,且n ∈N *).∴a n +1-a n =3(S n -S n -1)=3a n ,∴a n +1=4a n (n >1,n ∈N *),a 2=3S 1+1=3a 1+1=3t +1,∴当t =1时,a 2=4a 1,数列{a n }是等比数列.(2)在(1)的结论下,a n +1=4a n ,a n +1=4n ,b n =log 4a n +1=n ,c n =a n +b n =4n -1+n ,∴T n =c 1+c 2+…+c n =(40+1)+(41+2)+…+(4n -1+n ) =(1+4+42+…+4n -1)+(1+2+3+…+n ) =4n -13+(1+n )n 2.第4讲 数列求和一、选择题1.在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.25 解析15242451,5551522a a a a a a S ++==⇒=⨯=⨯=.答案 B2.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n -2),则a 1+a 2+…+a 10=( ). A .15B .12C .-12D .-15解析 设b n =3n -2,则数列{b n }是以1为首项,3为公差的等差数列,所以a 1+a 2+…+a 9+a 10=(-b 1)+b 2+…+(-b 9)+b 10=(b 2-b 1)+(b 4-b 3)+…+(b 10-b 9)=5×3=15. 答案 A3.在数列{a n }中,a n =1n (n +1),若{a n }的前n 项和为2 0132 014,则项数n 为( ).A .2 011B .2 012C .2 013D .2 014解析 ∵a n =1n (n +1)=1n -1n +1,∴S n =1-1n +1=n n +1=2 0132 014,解得n =2013. 答案 C4.数列{a n }满足a n +1+(-1)n a n =2n -1,则{a n }的前60项和为( ). A .3 690B .3 660C .1 845D .1 830解析 当n =2k 时,a 2k +1+a 2k =4k -1, 当n =2k -1时,a 2k -a 2k -1=4k -3, ∴a 2k +1+a 2k -1=2,∴a 2k +1+a 2k +3=2, ∴a 2k -1=a 2k +3,∴a 1=a 5=…=a 61.∴a 1+a 2+a 3+…+a 60=(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 60+a 61)=3+7+11+…+(4×30-1)=30×(3+119)2=30×61=1 830.答案 D5. 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,令b n =1n(a 1+a 2+…+a n ),则数列{b n }的前10项和T 10=( )A .70B .75C .80D .85 解析 由已知a n =2n +1,得a 1=3,a 1+a 2+…+a n =n 3+2n +12=n(n +2),则b n =n +2,T 10=10 3+122=75,故选B . 答案 B6.数列{a n }满足a n +a n +1=12(n ∈N *),且a 1=1,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21=( ). A.212B .6C .10D .11解析 依题意得a n +a n +1=a n +1+a n +2=12,则a n +2=a n ,即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等,则a 21=a 1=1,S 21=(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 19+a 20)+a 21=10(a 1+a 2)+a 21=10×12+1=6,故选B. 答案 B 二、填空题7.在等比数列{a n }中,若a 1=12,a 4=-4,则公比q =________;|a 1|+|a 2|+…+|a n |=________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4=a 1q 3,代入数据解得q 3=-8,所以q =-2;等比数列{|a n |}的公比为|q |=2,则|a n |=12×2n -1,所以|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=12(1+2+22+…+2n -1)=12(2n -1)=2n -1-12. 答案 -2 2n -1-128.等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则a 21+a 22+…+a 2n =________.解析 当n =1时,a 1=S 1=1,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -1-(2n -1-1)=2n -1,又∵a 1=1适合上式.∴a n =2n -1,∴a 2n =4n -1. ∴数列{a 2n }是以a 21=1为首项,以4为公比的等比数列.∴a 21+a 22+…+a 2n =1· 1-4n 1-4=13(4n -1).答案 13(4n-1)9.已知等比数列{a n }中,a 1=3,a 4=81,若数列{b n }满足b n =log 3a n ,则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n +1的前n 项和S n =________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4a 1=q 3=27,解得q =3.所以a n =a 1q n -1=3×3n -1=3n ,故b n =log 3a n =n , 所以1b n b n +1=1n n +1 =1n -1n +1.则S n =1-12+12-13+…+1n -1n +1=1-1n +1=nn +1.答案n n +110.设f (x )=4x 4x +2,利用倒序相加法,可求得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211+…+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011的值为________. 解析当x 1+x 2=1时,f (x 1)+f (x 2)=4x 14x 1+2+4x 24x 2+2=2×4x 1+x 2+2×(4x 1+4x 2)4x 1+x 2+(4x 1+4x 2)×2+4=1.设S =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211+…+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011,倒序相加有2S =⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011+⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911+…+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111=10,即S =5. 答案 5 三、解答题11.等差数列{a n }的各项均为正数,a 1=3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,b 1=1,且b 2S 2=64,b 3S 3=960.(1)求a n 与b n ; (2)求1S 1+1S 2+…+1S n.解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则d 为正数,a n =3+(n -1)d ,b n =q n -1.依题意有⎩⎨⎧S 2b 2= 6+d q =64,S 3b 3= 9+3d q 2=960,解得⎩⎨⎧d =2,q =8或⎩⎪⎨⎪⎧d =-65,q =403.(舍去)故a n =3+2(n -1)=2n +1,b n =8n -1. (2)S n =3+5+…+(2n +1)=n (n +2),所以1S 1+1S 2+…+1S n =11×3+12×4+13×5+…+1n n +2=12⎝⎛⎭⎪⎫1-13+12-14+13-15+…+1n -1n +2 =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12-1n +1-1n +2 =34-2n +32 n +1 n +2.12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n +1=12S n (n =1,2,3,…). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 32(3a n +1)时,求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n +1的前n 项和T n . 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a n +1=12S n ,a n =12S n -1(n ≥2),得到a n +1=32a n (n ≥2).∴数列{a n }是以a 2为首项,以32为公比的等比数列. 又a 2=12S 1=12a 1=12,∴a n =a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2=12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2(n ≥2).又a 1=1不适合上式,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2,n ≥2.(2)b n =log 32(3a n +1)=log 32⎣⎢⎡⎦⎥⎤32·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1=n . ∴1b n b n +1=1n (1+n )=1n -11+n. ∴T n =1b 1b 2+1b 2b 3+1b 3b 4+…+1b n b n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫11-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-14+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -11+n=1-11+n =nn +1. 13.设数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n -1a n =n3,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项;(2)设b n =na n,求数列{b n }的前n 项和S n .思维启迪:(1)由已知写出前n -1项之和,两式相减.(2)b n =n ·3n 的特点是数列{n }与{3n }之积,可用错位相减法. 解 (1)∵a 1+3a 2+32a 3+…+3n -1a n =n3, ①∴当n ≥2时,a 1+3a 2+32a 3+…+3n -2a n -1=n -13, ②①-②得3n -1a n =13,∴a n =13n .在①中,令n =1,得a 1=13,适合a n =13n ,∴a n =13n . (2)∵b n =na n,∴b n =n ·3n .∴S n =3+2×32+3×33+…+n ·3n , ③ ∴3S n =32+2×33+3×34+…+n ·3n +1.④④-③得2S n =n ·3n +1-(3+32+33+…+3n ),即2S n =n ·3n +1-3(1-3n )1-3,∴S n =(2n -1)3n +14+34. 探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n -1a n }的前n 项和,从而利用a n 与S n 的关系求出通项3n -1a n ,进而求得a n ;另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法,但值得注意的是,这种方法运算过程复杂,运算量大,应加强对解题过程的训练,重视运算能力的培养. 14.将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表:a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 …已知表中的第一列数a 1,a 2,a 5,…构成一个等差数列,记为{b n },且b 2=4,b 5=10.表中每一行正中间一个数a 1,a 3,a 7,…构成数列{c n },其前n 项和为S n .(1)求数列{b n }的通项公式;(2)若上表中,从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,公比为同一个正数,且a 13=1.①求S n ;②记M ={n |(n +1)c n ≥λ,n ∈N *},若集合M 的元素个数为3,求实数λ的取值范围.解 (1)设等差数列{b n }的公差为d , 则⎩⎨⎧ b 1+d =4,b 1+4d =10,解得⎩⎨⎧b 1=2,d =2, 所以b n =2n .(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q .由于前n 行共有1+3+5+…+(2n -1)=n 2个数,且32<13<42,a 10=b 4=8, 所以a 13=a 10q 3=8q 3,又a 13=1,所以解得q =12. 由已知可得c n =b n q n -1,因此c n =2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=n 2n -2. 所以S n =c 1+c 2+c 3+…+c n =12-1+220+321+…+n2n -2,12S n =120+221+…+n -12n -2+n2n -1,因此12S n =12-1+120+121+…+12n -2-n 2n -1=4-12n -2-n2n -1=4-n +22n -1,解得S n =8-n +22n -2.②由①知c n =n2n -2,不等式(n +1)c n ≥λ,可化为n (n +1)2n -2≥λ. 设f (n )=n (n +1)2n -2, 计算得f (1)=4,f (2)=f (3)=6,f (4)=5,f (5)=154. 因为f (n +1)-f (n )=(n +1)(2-n )2n -1,所以当n ≥3时,f (n +1)<f (n ).因为集合M 的元素个数为3,所以λ的取值范围是(4,5].第5讲数列的综合应用一、选择题1.已知{a n}为等比数列.下面结论中正确的是().A.a1+a3≥2a2B.a21+a23≥2a22C.若a1=a3,则a1=a2D.若a3>a1,则a4>a2解析设公比为q,对于选项A,当a1<0,q≠1时不正确;选项C,当q=-1时不正确;选项D,当a1=1,q=-2时不正确;选项B正确,因为a21+a23≥2a1a3=2a22.答案 B2.满足a1=1,log2a n+1=log2a n+1(n∈N*),它的前n项和为S n,则满足S n>1 025的最小n值是().A.9 B.10 C.11 D.12解析因为a1=1,log2a n+1=log2a n+1(n∈N*),所以a n+1=2a n,a n=2n-1,S n=2n-1,则满足S n>1 025的最小n值是11.答案 C3.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=12n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是().A.5年B.6年C.7年D.8年解析由已知可得第n年的产量a n=f(n)-f(n-1)=3n2.当n=1时也适合,据题意令a n≥150⇒n≥52,即数列从第8项开始超过150,即这条生产线最多生产7年.答案 C4.在等差数列{a n}中,满足3a4=7a7,且a1>0,S n是数列{a n}前n项的和,若S n取得最大值,则n=().A .7B .8C .9D .10解析 设公差为d ,由题设3(a 1+3d )=7(a 1+6d ), 所以d =-433a 1<0.解不等式a n >0,即a 1+(n -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-433a 1>0,所以n <374,则n ≤9,当n ≤9时,a n >0,同理可得n ≥10时,a n <0. 故当n =9时,S n 取得最大值. 答案 C5.设y =f (x )是一次函数,若f (0)=1,且f (1),f (4),f (13)成等比数列,则f (2)+f (4)+…+f (2n )等于( ).A .n (2n +3)B .n (n +4)C .2n (2n +3)D .2n (n +4)解析 由题意可设f (x )=kx +1(k ≠0), 则(4k +1)2=(k +1)×(13k +1),解得k =2,f (2)+f (4)+…+f (2n )=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n +1)=2n 2+3n . 答案 A6.若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,q =2,则T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1的结果可化为( )A .1-14nB .1-12nC.23⎝⎛⎭⎪⎫1-14nD.23⎝⎛⎭⎪⎫1-12n解析 a n =2n -1,设b n =1a n a n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫122n -1,则T n =b 1+b 2+…+b n =12+⎝ ⎛⎭⎪⎫123+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫122n -1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n 1-14=23⎝⎛⎭⎪⎫1-14n .答案 C二、填空题7.设关于x 的不等式x 2-x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ,数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 100的值为________.解析 由x 2-x <2nx (n ∈N *),得0<x <2n +1,因此知a n =2n . ∴S 100=100(2+200)2=10 100.答案 10 1008.已知a ,b ,c 成等比数列,如果a ,x ,b 和b ,y ,c 都成等差数列,则a x +cy =________.解析 赋值法.如令a ,b ,c 分别为2,4,8,可求出x =a +b 2=3,y =b +c2=6,a x +c y =2. 答案 29.设曲线y =x n +1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n=lg x n ,则a 1+a 2+a 3+…+a 99的值为________.解析 由y ′=(n +1)x n (x ∈N *),所以在点(1,1)处的切线斜率k =n +1,故切线方程为y =(n +1)(x -1)+1,令y =0得x n =nn +1,所以a 1+a 2+a 3+…+a 99=lg x 1+lg x 2+…+lg x 99=lg(x 1·x 2·…·x 99)=lg 12×23×…×9999+1=lg 199+1=-2. 答案 -210.数列{a n }的前n 项和为S n ,若数列{a n }的各项按如下规律排列:12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,…,1n ,2n ,…,n -1n ,…,有如下运算和结论: ①a 24=38;②数列a 1,a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9+a 10,…是等比数列;③数列a 1,a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9+a 10,…的前n 项和为T n =n 2+n 4;④若存在正整数k ,使S k <10,S k +1≥10,则a k =57.其中正确的结论有________.(将你认为正确的结论序号都填上)解析 依题意,将数列{a n }中的项依次按分母相同的项分成一组,第n 组中的数的规律是:第n 组中的数共有n 个,并且每个数的分母均是n +1,分子由1依次增大到n ,第n 组中的各数和等于1+2+3+…+n n +1=n2.对于①,注意到21=6(6+1)2<24<7(7+1)2=28,因此数列{a n }中的第24项应是第7组中的第3个数,即a 24=38,因此①正确. 对于②、③,设b n 为②、③中的数列的通项,则b n =1+2+3+…+n n +1=n2,显然该数列是等差数列,而不是等比数列,其前n 项和等于12×n (n +1)2=n 2+n4,因此②不正确,③正确.对于④,注意到数列的前6组的所有项的和等于62+64=1012,因此满足条件的a k 应是第6组中的第5个数,即a k =57,因此④正确. 综上所述,其中正确的结论有①③④. 答案 ①③④ 三、解答题11.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 5=35,a 5和a 7的等差中项为13. (1)求a n 及S n ; (2)令b n =4a 2n -1(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d , 因为S 5=5a 3=35,a 5+a 7=26,所以⎩⎨⎧a 1+2d =7,2a 1+10d =26,解得a 1=3,d =2,所以a n =3+2(n -1)=2n +1,S n =3n +n (n -1)2×2=n 2+2n . (2)由(1)知a n =2n +1,所以b n =4a 2n -1=1n (n +1)=1n -1n +1,所以T n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1 =1-1n +1=nn +1.12.设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n =a n +1-2n +1+1,n ∈N *,且a 1,a 2+5,a 3成等差数列. (1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)证明:对一切正整数n ,有1a 1+1a 2+…+1a n<32.(1)解 当n =1时,2a 1=a 2-4+1=a 2-3, ① 当n =2时,2(a 1+a 2)=a 3-8+1=a 3-7,② 又a 1,a 2+5,a 3成等差数列,所以a 1+a 3=2(a 2+5),③由①②③解得a 1=1.(2)解 ∵2S n =a n +1-2n +1+1, ∴当n ≥2时,有2S n -1=a n -2n +1,两式相减整理得a n +1-3a n =2n,则a n +12n -32·a n2n -1=1,即a n +12n +2=32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n -1+2.又a 120+2=3,知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n -1+2是首项为3,公比为32的等比数列,∴a n 2n -1+2=3⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1,即a n =3n -2n ,n =1时也适合此式,∴a n =3n -2n . (3)证明 由(2)得1a n=13n-2n. 当n ≥2时,⎝ ⎛⎭⎪⎫32n >2,即3n -2n >2n ,∴1a 1+1a 2+…+1a n<1+⎝ ⎛⎭⎪⎫122+⎝ ⎛⎭⎪⎫123+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n =1+12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n -1<32.13.已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和为14,且a 1,a 3,a 7恰为等比数列{b n }的前三项.(1)分别求数列{a n },{b n }的前n 项和S n ,T n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为K n ,设c n =S n T nK n ,求证:c n +1>c n (n ∈N *).(1)解 设公差为d ,则⎩⎨⎧4a 1+6d =14,(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d ), 解得d =1或d =0(舍去),a 1=2, 所以a n =n +1,S n =n (n +3)2.又a 1=2,d =1,所以a 3=4,即b 2=4. 所以数列{b n }的首项为b 1=2,公比q =b 2b 1=2,所以b n =2n ,T n =2n +1-2.(2)证明 因为K n =2·21+3·22+…+(n +1)·2n , ① 故2K n =2·22+3·23+…+n ·2n +(n +1)·2n +1,②①-②得-K n =2·21+22+23+…+2n -(n +1)·2n +1, ∴K n =n ·2n +1,则c n =S n T n K n=(n +3)(2n-1)2n +1.c n +1-c n =(n +4)(2n +1-1)2n +2-(n +3)(2n -1)2n +1=2n +1+n +22n +2>0,所以c n +1>c n (n ∈N *).14.设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +1=a 2S n +a 1,其中a 2≠0. (1)求证:{a n }是首项为1的等比数列;(2)若a 2>-1,求证:S n ≤n2(a 1+a n ),并给出等号成立的充要条件. 证明 (1)由S 2=a 2S 1+a 1,得a 1+a 2=a 2a 1+a 1, 即a 2=a 2a 1.因a 2≠0,故a 1=1,得a 2a 1=a 2,又由题设条件知S n +2=a 2S n +1+a 1,S n +1=a 2S n +a 1, 两式相减得S n +2-S n +1=a 2(S n +1-S n ),即a n +2=a 2a n +1,由a 2≠0,知a n +1≠0,因此a n +2a n +1=a 2.综上,a n +1a n =a 2对所有n ∈N *成立.从而{a n }是首项为1,公比为a 2的等比数列.(2)当n =1或2时,显然S n =n2(a 1+a n ),等号成立.设n ≥3,a 2>-1且a 2≠0,由(1)知,a 1=1,a n =a n -12,所以要证的不等式化为:1+a 2+a 22+…+a n -12≤n 2(1+a n -12)(n ≥3), 即证:1+a 2+a 22+…+a n 2≤n +12(1+a n 2)(n ≥2), 当a 2=1时,上面不等式的等号成立.当-1<a 2<1时,a r 2-1与a n -r 2-1,(r =1,2,…,n -1)同为负;当a 2>1时,a r 2-1与a n -r 2-1,(r =1,2,…,n -1)同为正;因此当a 2>-1且a 2≠1时,总有(a r 2-1)(a n -r 2-1)>0,即a r 2+a n -r 2<1+a n 2,(r=1,2,…,n -1).上面不等式对r 从1到n -1求和得2(a 2+a 22+…+a n -12)<(n -1)(1+a n 2).由此得1+a 2+a 22+…+a n 2<n +12(1+a n 2).综上,当a 2>-1且a 2≠0时,有S n ≤n2(a 1+a n ),当且仅当n =1,2或a 2=1时等号成立.。

高三数学一轮复习《数列》练习题 (含答案)

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高三数学一轮复习《数列》练习题 (含答案)一、单选题1.已知递增等差数列{}n a 中,122a a =-,则3a 的( ) A .最大值为-4B .最小值为4C .最小值为-4D .最大值为42.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,2n ≥且*n ∈N ,满足120n n n a S S -+=,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,则下列说法中错误的是( ) A .214a =-B .648211S S S =+ C .数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D .1121n n n n nT T T n n +-=++ 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ,且34S =,714S =,则23n n S a +-最小时,n 的值为( ). A .2 B .1或2 C .2或3 D .3或44.设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S .若1q >,2152m m m a a a +++=,且29m m S S =,*m ∈N ,则m 的值为( )A .2B .3C .4D .55.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2k S =,28k S =,则4k S =( ) A .28B .32C .16D .246.某企业在今年年初贷款a 万元,年利率为γ,从今年年末开始每年偿还一定金额,预计五年内还清,则每年应偿还( ) A .()()5111a γγ++-万元 B .()()55111a γγγ++-万元C .()()54111a γγγ++-万元 D .()51a γγ+万元7.由1a =4,3d =确定的等差数列{}n a ,当an =28时,序号n 等于( ) A .9B .10C .11D .128.在等差数列{}n a 中,1815360a a a ++=,则9102a a -的值为( ) A .6B .8C .12D .139.在等差数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,若26712a a a ++=,则9S =A .20B .27C .36D .4510.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a = 2(1)()nn S a n n N n *=+-∈,则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是 A .290B .920C .511D .101111.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =,46S =,则6S =( ) A .7B .8C .9D .1012.等比数列{}n a 中,3103384a a ==,,则该数列的通项n a =( ) A .32?3n -B .13?2n -C .3?2nD .33?2n -二、填空题13.在等比数列{}n a 中,23341,2a a a a +=+=,则45a a +=________.14.在正项等比数列{}n a 中,若3453a a a π=,()313237sin log log log a a a ++⋯+的值为______________.15.已知数列{}n a 的通项公式212n a n n=+,其前n 项和为n S ,则10S =_____.(用分数作答)16.已知a 是1,2的等差中项,b 是1-,16-的等比中项,则ab 等于___________.三、解答题17.已知实数111,,a b c 成等差数列,求证:,,222b b b ac --成等比数列.18.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且4120S =,13n n a a +=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设321log n n b a -=,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19.设数列{}n a 满足11a =,1123n n n a a -+-=⋅.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令()21n n b n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n S .20.已知数列{}n a 满足11a =,11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =,写出1b ,2b ,并求数列{}n b 的通项公式; (2)求{}n a 的前20项和.21.已知数列{}n a 中,13a =,点()1,n n a a +在直线3y x =上. (1)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项的和n S ; (2)设*,N n nnb n a =∈,证明:1234n b b b +++<.22.若数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-,*n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若()221log *n n b a n N -=∈,求数列{}n b 的前n 项和n T .23.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,194a =-,且1439n n S S +=-.(1)求数列{}n a 的通项;(2)设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈,记{}n b 的前n 项和为n T ,若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立,求实数λ的取值范围.24.已知数列1a ,2a ,…,6n a 的项{1,2}i a ∈,其中1,2,3,i =…,6n ,*n ∈N ,其前6n 项和为6n S ,记6n S 除以3余数为1的数列1a ,2a ,…,6n a 的个数构成的数列为{}n b ,*n ∈N . (1)求1b 的值;(2)求数列{}n b 的通项公式,并化简.参考答案1.B解:∵递增等差数列{an }中,a 1a 2=﹣2, ∴a 1(a 1+d )=﹣2,且d >0, ∴d =112a a --,∴a 1<0, ∴a 3=a 1+2d =114a a --≥4=, 当且仅当a 1=﹣2时,等号成立, ∴a 3有最小值4. 2.D当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-, 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=, 整理得1112n n S S --=(2n ≥且n +∈N ). 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项,以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=,12n S n ∴=. A 中,当2n =时,221111424a S S =-=-=-,A 选项正确;B 中,1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,显然有648211S S S =+,B 选项正确; C 中,记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++, ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++,()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++,故{}n b 为递减数列, ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=,C 选项正确; D 中,12n n S =,()()2212n n n T n n +∴==+,()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠,D 选项错误.3.C解:设等差数列{}n a 的公差为d , 因为34S =,714S =,所以1132342767142a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩,解得11a =,13d =,所以2223(1)11550[1(2)]23318n n n n n n S a n n +----=+⨯-++=,因为n ∈+N ,所以当2n =或3n =时,其有最小值. 4.B因为2152m m m a a a +++=,所以252m m m a a q a q +=,得到25102q q -+=,因为1q >,所以2q .由29m m S S =,得()()211121291212m m a a --=⨯--,又10a ≠,所以()212912mm -=-,因为*m ∈N ,则120m -≠, 所以129m +=,解得3m =, 5.B由等差数列{}n a 前n 项和的性质,可得k S ,2k k S S -,32k k S S -,43k k S S -成等差数列, ∴()2322k k k k k S S S S S -=+-,解得318k S =. ∴ 2,6,10,418k S -成等差数列, 可得4210618k S ⨯=+-,解得432k S =. 6.B设每年偿还x 万元,则()()()()()234511111x x x x x a γγγγγ++++++++=+,所以()()()5511111xa γγγ++--=+, 解得()()55111a x γγγ+=+-.7.A解:因为14a =,3d =,所以()1131n a a n d n =+-=+,所以3128n a n =+=,解得9n = 8.C因为1815360a a a ++=,所以8560a =,所以812a =, 所以910180108212a a a a a a =+-==-, 故选:C. 9.C因为{}n a 为等差数列,26712a a a ++=,131212+=a d ∴,因此144+=a d 又()9111989936942S a d a d a d ⨯=+=+=+,936S =∴. 10.C由()2(1)nn S a n n N n*=+-∈得2(1)n n S na n n =--, 当2n ≥时,11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----,整理得14n n a a --=, 所以{}n a 是公差为4的等差数列,又11a =,所以()43n a n n N *=-∈,从而()2133222(1)2n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+, 所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭,数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和115121111S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.11.A∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和, ∴2S ,42S S -,64S S -成等比数列 ∴24S =,42642S S -=-= ∴641S S -=, ∴641167S S =+=+=. 12.D设等比数列{}n a 的公比为q ,因为3103384a a ==,,可得71033841283a q a ===,解得2q ,所以数列{}n a 的通项公式为33332n n n a a q --==⨯.13.4设公比为q ,由23341,2a a a a +=+=, 得()2323342a q a q q a a a a q =+=+=+=, 所以()453434224a a a q a q q a a +=+=+=⨯=. 14数列{}n a 是正项等比数列,∴343a π= ,()3132373127log log ......log log ...a a a a a a +++= , ()77733312744...3a a a a a π=== ,∴()73313237312737log log ......log log ...log 33a a a a a a ππ⎛⎫+++=== ⎪⎝⎭, ()3132377sin log log log sinsin 33a a a ππ∴++⋯+===15.175264因为数列{}n a 的通项公式21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, 所以10111111111...21324351120S ⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭,111111752121226411⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭, 故答案为:17526416.6±因为a 是1,2的等差中项,所以12322a +==, 因为b 是1-,16-的等比中项,所以2(1)(16)16b =-⨯-=,4b =±,所以6ab =±.故答案为:6±.17.因为111,,a b c 成等差数列,所以112a c b +=,即2b ac a c=+且0abc ≠,又()()2220222444b b b b ac b b a c ac a c ac a c a c ⎛⎫⎛⎫-⋅-=-++=-++=> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭, 所以2222b b b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立且各项均不为零,所以:,,222b b ba c --成等比数列.18.(1)3nn a =(2)n T 21nn =+ (Ⅰ)∵13n na a +=,∴{}n a 是公比为3q =的等比数列,又()4141312013a S -==-,解得13a=.∴{}n a 是以13a =为首项,以3q =为公比的等比数列,通项公式为113n nn a a q -==.(Ⅱ)∵213log 321n n b n -==- ∴()()11113352121n T n n =+++⨯⨯-+ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭11(122121nn n =-=++) 19.(1)13-=n n a ,*n N ∈;(2)3n n S n =⋅,*n N ∈.(1)由已知,当2n ≥时, 2123n n n a a ---=⋅,()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()12211312133312313n n n ----=+++++=+⨯=-当1n =时,11131a -==符合上式,13n n a -∴=,*n N ∈.(2)由(1)知()()121213n n n b n a n -=+=+⨯,()0113353213n n S n -=⨯+⨯+++⨯①3n S =()()1213353213213n n n n -⨯+⨯++-⨯++⨯②①-②得()()121232333213n n n S n --=++++-+⋅()()121213332131n n n -=++++-+⋅+()132213113nn n -=⨯-+⋅+-23n n =-⋅所以,3nn S n =⋅,*n N ∈.20.(1)122,5,31n b b b n ===-;(2)300.解:(1)[方法一]【最优解】:显然2n 为偶数,则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+, 所以2223n n a a +=+,即13n n b b +=+,且121+12b a a ===, 所以{}n b 是以2为首项,3为公差的等差数列, 于是122,5,31n b b b n ===-. [方法二]:奇偶分类讨论由题意知1231,2,4a a a ===,所以122432,15b a b a a ====+=. 由11n n a a +-=(n 为奇数)及12n n a a +-=(n 为偶数)可知, 数列从第一项起,若n 为奇数,则其后一项减去该项的差为1, 若n 为偶数,则其后一项减去该项的差为2.所以*23()n n a a n N +-=∈,则()11331n b b n n =+-⨯=-.[方法三]:累加法由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N . 所以11213(1)11222b a a -==++=+=, 322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=,则222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++12(1)131n n n =+-+=-⨯.所以122,5b b ==,数列{}n b 的通项公式31n b n =-. (2)[方法一]:奇偶分类讨论 20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++110()102103002b b +⨯=⨯-=. [方法二]:分组求和由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+, 所以2122123n n n a a a +-=+=+.所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列;同理,由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列. 从而数列{}n a 的前20项和为: 201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=. 21.(1)3nn a =,1332n n S +-=;因为点()1,n n a a +在直线3y x =上,所以13n na a +=,又13a =, 故数列{n a }是以3为公比,3为首项的等比数列,所以3nn a =,()31313n n S -==-1332n +-. (2)由题可知3n n nb =,记12nn T b b b =+++,所以212333n nnT =+++① ①13⨯,得2311123333n n nT +=+++②①-②,得2111211111132133333233223n n n n n n n n nT ++++⎛⎫=+++-=--=- ⎪⨯⎝⎭,故332443n n n T +=-⨯,又32043nn+>⨯,故34nT <,即证. 22.(1)2n n a =;(2)2n T n =.(1)数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-,*n N ∈.2n ≥时,()112222n n n n n a S S a a --=-=---,化为:12n n a a -=,1n =时,1122a a =-,解得12a =.∴数列{}n a 是等比数列,首项为2,公比为2.2n n a ∴=.(2)221log 21n n b a n -==-.因为12n nb b ,∴数列{}n b 是等差数列,首项为1,公差为2,所以21()(1+21)22n n n a a n n T n +-∴===. 23.(1)33()4nn a =-⋅;(2)31λ-≤≤.(1)当1n =时,1214()39a a a +=-,229272749,4416a a =-=-∴=-, 当2n ≥时,由1439n n S S +=-①, 得1439n n S S -=-②,①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=, 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-,公比为34的等比数列, 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅;(2)由3(4)0n n b n a +-=,得43(4)()34n n n n b a n -=-=-, 所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭,2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以134()4n n T n +=-⋅,由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立,即(4)30n n λ-+≥恒成立,4n =时不等式恒成立;4n <时,312344n n n λ≤-=----,得1λ≤; 4n >时,312344n n n λ≥-=----,得3λ≥-; 所以31λ-≤≤.24.(1)121b =(2)6213n n b -=,*n ∈N 解:(1)因为前六项的和除以3余数为1 所以这6项中包含2个1或5个1,其余均为2,所以这样的数列共有256621C C +=个,故121b =(2)因为1a ,2a ,…,6n a 和6n S 除以3余数为1,所以这6n 项中包含2个1或5个1……或61n -个1,其余均为2,所以2561666n n n n n b C C C -=+++,设6n S 除以3余数为2,0的数列1a ,2a ,…,6n a 的个数构成的数列分别为{}n c ,n d同理,1462666n n n n nc C C C -=+++,036666nn n n n d C C C =+++∵146261642666666n n n n n n n n n n n c C C C C C C b ---=++⋯+=++⋯+=∵66222n nn n n n n b c d d b ++=⇒=-结合(1)猜想6213n n b -=,*n ∈N下面用数学归纳法证明当1n =时,6121213b -==,成立 假设当n k =时,有6213k k b -=,*k ∈N 成立,且6213k k k c b -==,6223k k d += 则当1n k =+时,数列共()66k +项,分两步看,第一步先看前6k 项,前6k 项的和除以3余数为1,2,0的数列的个数分别为k b ,k c ,k d ,第二步看后6项,最后6项的和除以3众数为0,2,1的数列的个数分别为22,21,21∴6666(1)1212122212221212221213333k k k k k k k k b b c d ++--+-=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=所以当1n k =+时,猜想也成立 综上,6213n n b -=,*n ∈N。

高考数学一轮复习数列的概念选择题专项训练单元测试含答案

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高考数学一轮复习数列的概念选择题专项训练单元测试含答案一、数列的概念选择题1.数列{}n a 中,()1121nn n a a n ++-=-,则数列{}n a 的前8项和等于( )A .32B .36C .38D .40答案:B解析:B 【分析】根据所给数列表达式,递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加,即可求得2n n a a ++,即隔项和的形式.进而取n 的值,代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-,① 得()121121n n n a a n ++++-=+,②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++,取1,5,9n =及2,6,10n =,易得13572a a a a +=+=,248a a +=,6824a a +=, 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选:B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用,对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键,属于中档题.2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知13n n S +=,则34a a +=( )A .81B .243C .324D .216答案:D解析:D 【分析】利用项和关系,1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】利用项和关系,1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-,34216a a ∴+=故选:D 【点睛】本题考查了数列的项和关系,考查了学生转化与划归,数学运算能力,属于基础题. 3.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…即()()121F F ==,()()()12F n F n F n =-+- (3n ≥,n *∈N ),此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用,若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列{}n a ,则数列{}n a 的前2020项的和为( ) A .1348B .1358C .1347D .1357答案:C解析:C 【分析】由题意可知,得数列{}n a 是周期为3的周期数列,前3项和为1102++=,又202067331=⨯+,由此可得答案 【详解】解:由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,各项除以2的余数,可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,⋅⋅⋅,所以数列{}n a 是周期为3的周期数列,前3项和为1102++=, 因为202067331=⨯+,所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+= 故选:C4.数列{}n a 满足12a =,1111n n n a a a ++-=+,则2019a =( ) A .3-B .12-C .13D .2答案:B解析:B 【分析】由递推关系,可求出{}n a 的前5项,从而可得出该数列的周期性,进而求出2019a 即可. 【详解】 由1111n n n a a a ++-=+,可得111nn n a a a ++=-,由12a =,可得23a =-,312a =-,413a =,52a =,由15a a =,可知数列{}n a 是周期数列,周期为4, 所以2019312a a ==-. 故选:B.5.历史上数列的发展,折射出许多有价值的数学思想方法,对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…即121a a ==,当n ≥3时,12n n n a a a --=+,此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ,记数列{}n b 的前n 项和为n S ,则20S 的值为( ) A .24B .26C .28D .30答案:B解析:B 【分析】先写出新数列的各项,找到数列的周期,即得解. 【详解】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b , 此数列的各项求得:1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1……,则其周期为6, 其中1+1+2+3+1+0=8,则201819201812S S b b S b b =++=++381126=⨯++=, 故选:B.6.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列,如数列1,3,6,10,前后两项之差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列,这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为( ) A .184B .174C .188D .160答案:B解析:B 【分析】根据高阶等差数列的知识,结合累加法求得数列的通项公式,由此求得19a . 【详解】3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=, 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()11113322n n n n -+⋅--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选:B 【点睛】本小题主要考查数列新定义,考查累加法,属于基础题.7.在数列{}n a 中,114a =-,111(1)n n a n a -=->,则2019a 的值为( ) A .45B .14-C .5D .以上都不对答案:A解析:A 【分析】根据递推式可得{}n a 为一个周期为3的数列,求{}n a 中一个周期内的项,利用周期性即可求2019a 的值 【详解】由114a =-,111(1)n n a n a -=->知 21115a a =-= 321415a a =-= 4131114a a a =-=-= 故数列{}n a 是周期为3的数列,而2019可被3整除 ∴2019345a a == 故选:A 【点睛】本题主要考查递推数列,考查数列的周期性,考查合情推理,属于基础题 8.在数列{}n a 中,()1111,1(2)nn n a a n a --==+≥,则5a 等于A .32B .53 C .85D .23答案:D解析:D 【解析】分析:已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====,,,. 详解:已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====,,,.故选D 点睛:对于含有()1n-的数列,我们看作摆动数列,往往逐一列举出来观察前面有限项的规律.9.已知数列{}n a 的前n 项和为()*22nn S n =+∈N ,则3a=( )A .10B .8C .6D .4答案:D解析:D 【分析】根据332a S S =-,代入即可得结果. 【详解】()()3233222224a S S =-=+-+=.故选:D. 【点睛】本题主要考查了由数列的前n 项和求数列中的项,属于基础题. 10.设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N++=+∈且1300nS=,若23a <,则n 的最大值为( )A .49B .50C .51D .52答案:A解析:A 【分析】对n 分奇偶性分别讨论,当n 为偶数时,可得2+32n n nS =,发现不存在这样的偶数能满足此式,当n 为奇数时,可得21+342n n n S a -=+,再结合23a <可讨论出n 的最大值.【详解】当n 为偶数时,12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n=,因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====,所以n 不可能为偶数;当n 为奇数时,123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+,2511151351413752S a a +⨯-=+=+,又因为23a <,125a a +=,所以 12a > 所以当1300n S =时,n 的最大值为49 故选:A 【点睛】此题考查的是数列求和问题,利用了并项求和的方法,考查了分类讨论思想,属于较难题. 11.在数列{}n a 中,10a =,1n a +,则2020a =( ) A .0B .1C.D答案:A解析:A 【分析】写出数列的前几项,找寻规律,求出数列的周期,问题即可解. 【详解】10a =,1n a +1n =时,2a 2n =时,3a 3n =时,4a ; ∴ 数列{}n a 的周期是320206733110a a a ⨯+∴===故选:A. 【点睛】本题考查周期数列. 求解数列的周期问题时,周期数列的解题方法:根据给出的关系式求出数列的若干项,通过观察归纳出数列的周期,进而求有关项的值或者前n 项的和.12.数列{}n a 的通项公式是276n a n n =-+,4a =( )A .2B .6-C .2-D .1答案:B解析:B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】令4n =,2447466a =-⨯+=-故选:B. 【点睛】数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系,求某项值代入求解. 13.已知数列{}n a 满足12a =,111n na a +=-,则2018a =( ). A .2B .12 C .1-D .12-答案:B解析:B 【分析】利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列,从而可得2018a . 【详解】 在数列{}n a 中,111n na a +=-,且12a =, 211112a a ∴=-=, 3211121a a =-=-=- , ()41311112a a a =-=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列,201867232=⨯+,2018212a a ∴==.故选:B 【点睛】本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质,考查了数列的周期性,属于基础题. 14.已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+,n *∈N ,若1102a <<,则( ) A .8972a a a +< B .91082a a a +> C .6978a a a a +>+D .71089a a a a +>+答案:C解析:C 【分析】由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+,计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,利用递推公式推导得出()0,1n a ∈(n 为正奇数),1n a >(n 为正偶数),利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性,进而可得出结论.【详解】()()113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++,110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭, ()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++,且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++,()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则101a <<,则()()3590,14445n a a =-∈+, 如此继续可得知()()210,1n a n N *-∈∈,则()22121212141=045n n n n a aa a -+---->+,所以,数列{}()21n a n N *-∈单调递增;同理可知,()21na n N *>∈,数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项,78a a <且79a a <,8972a a a ∴+>,A 选项错误; 对于B 选项,89a a >且108a a <,则91082a a a +<,B 选项错误; 对于C 选项,68a a >,97a a >,则6978a a a a +>+,C 选项正确; 对于D 选项,79a a <,108a a <,则71098a a a a +<+,D 选项错误. 故选:C. 【点睛】本题考查数列不等式的判断,涉及数列递推公式的应用,解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性,考查推理能力,属于难题.15.已知数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=-,则2019a =( ) A .1B .3C .2D .3-答案:C解析:C 【分析】根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得2019a 的值.【详解】数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.二、数列多选题16.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{a n }的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .a 8=34 B .S 8=54C .S 2020=a 2022-1D .a 1+a 3+a 5+…+a 2021=a 2022答案:BCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系,依次判断四个选项,即可得正确答案. 【详解】对于A ,可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21,故A 错误; 对于B ,,故B 正确; 对于C ,可解析:BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥,依次判断四个选项,即可得正确答案. 【详解】对于A ,可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21,故A 错误; 对于B ,81+1+2+3+5+8+13+2154S ==,故B 正确; 对于C ,可得()112n n n a a a n +-=-≥, 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-,∴202020221S a =-,故C 正确; 对于D ,由()112n n n a a a n +-=-≥可得,()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=,故D 正确.故选:BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,解题的关键是得出数列的递推关系,()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥,能根据数列性质利用累加法求解. 17.在等差数列{}n a 中,公差0d ≠,前n 项和为n S ,则( ) A .4619a a a a >B .130S >,140S <,则78a a >C .若915S S =,则n S 中的最大值是12SD .若2n S n n a =-+,则0a =答案:AD 【分析】对于,作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案;对于,根据等差数列的前项和公式得到和, 进而可得,由此可知,故不正确; 对于,由得到,,然后分类讨论的符号可得答案; 对于,由求出及解析:AD 【分析】对于A ,作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案;对于B ,根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<, 进而可得80a <,由此可知78||||a a <,故B 不正确;对于C ,由915S S =得到,12130a a +=,然后分类讨论d 的符号可得答案; 对于D ,由n S 求出n a 及1a ,根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】对于A ,因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =,且0d ≠,所以24619150a a a a d -=>,所以4619a a a a >,故A 正确;对于B ,因为130S >,140S <,所以77713()1302a a a +=>,即70a >,787814()7()02a a a a +=+<,即780a a +<,因为70a >,所以80a <,所以7878||||0a a a a -=+<,即78||||a a <,故B 不正确;对于C ,因为915S S =,所以101114150a a a a ++++=,所以12133()0a a +=,即12130a a +=,当0d >时,等差数列{}n a 递增,则12130,0a a <>,所以n S 中的最小值是12S ,无最大值;当0d <时,等差数列{}n a 递减,则12130,0a a ><,所以n S 中的最大值是12S ,无最小值,故C 不正确;对于D ,若2n S n n a =-+,则11a S a ==,2n ≥时,221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-,因为数列{}n a 为等差数列,所以12120a a =⨯-==,故D 正确.故选:AD【点睛】关键点点睛:熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.18.已知数列{}n a 满足:12a =,当2n ≥时,)212n a =-,则关于数列{}n a 的说法正确的是 ( )A .27a =B .数列{}n a 为递增数列C .221n a n n =+-D .数列{}n a 为周期数列答案:ABC【分析】由,变形得到,再利用等差数列的定义求得,然后逐项判断.【详解】当时,由,得,即,又,所以是以2为首项,以1为公差的等差数列,所以,即,故C 正确;所以,故A 正确;,解析:ABC【分析】由)212n a =-1=,再利用等差数列的定义求得n a ,然后逐项判断.【详解】当2n ≥时,由)212n a =-,得)221n a +=,1=,又12a =,所以是以2为首项,以1为公差的等差数列,2(1)11n n =+-⨯=+,即221n a n n =+-,故C 正确;所以27a =,故A 正确;()212n a n =+-,所以{}n a 为递增数列,故正确; 数列{}n a 不具有周期性,故D 错误;故选:ABC19.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( )A .23n S n n =-B .2392-=n n n SC .36n a n =-D .2n a n =答案:BC【分析】由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前项和公式【详解】解:设等差数列的公差为,因为,,所以,解得,所以,,故选:BC解析:BC【分析】由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d ,因为30S =,46a =,所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得133a d =-⎧⎨=⎩, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,21(1)3(1)393222n n n n n n n S na d n ---=+=-+=, 故选:BC20.记n S 为等差数列{}n a 前n 项和,若81535a a = 且10a >,则下列关于数列的描述正确的是( )A .2490a a +=B .数列{}n S 中最大值的项是25SC .公差0d >D .数列{}na 也是等差数列 答案:AB【分析】根据已知条件求得的关系式,然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析,从而确定正确选项.【详解】依题意,等差数列中,即,.对于A 选项,,所以A 选项正确.对于C 选项,,,所以,解析:AB【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式,然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析,从而确定正确选项.【详解】依题意,等差数列{}n a 中81535a a =,即()()1137514a d a d +=+,1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项,24912490a a a d +=+=,所以A 选项正确. 对于C 选项,1492a d =-,10a >,所以0d <,所以C 选项错误. 对于B 选项,()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭,令0n a ≥得51510,22n n -≤≤,由于n 是正整数,所以25n ≤,所以数列{}n S 中最大值的项是25S ,所以B 选项正确.对于D 选项,由上述分析可知,125n ≤≤时,0n a ≥,当26n ≥时,0n a <,且0d <.所以数列{}na 的前25项递减,第26项后面递增,不是等差数列,所以D 选项错误. 故选:AB【点睛】等差数列有关知识的题目,主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值,可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.21.(多选题)在数列{}n a 中,若221n n a a p --=,(2n ≥,*n N ∈,p 为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A .若{}n a 是等差数列,则{}2n a 是等方差数列 B .(){}1n-是等方差数列 C .若{}n a 是等方差数列,则{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列答案:BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A 选项,取,则不是常数,则不是等方差数列,A 选项中的结论错误; 对于B 选项,为常数,则是等方差数列,B 选项中的结论正解析:BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A 选项,取n a n =,则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数,则{}2n a 不是等方差数列,A 选项中的结论错误;对于B 选项,()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数,则(){}1n -是等方差数列,B 选项中的结论正确;对于C 选项,若{}n a 是等方差数列,则存在常数p R ∈,使得221n n a a p +-=,则数列{}2n a 为等差数列,所以()221kn k n a a kp +-=,则数列{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列,C 选项中的结论正确;对于D 选项,若数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,则存在m R ∈,使得n a dn m =+,则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++, 由于数列{}n a 也为等方差数列,所以,存在实数p ,使得221n n a a p +-=,则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立,则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,得0p d ==, 此时,数列{}n a 为常数列,D 选项正确.故选BCD.【点睛】本题考查数列中的新定义,解题时要充分利用题中的定义进行判断,也可以结合特殊数列来判断命题不成立,考查逻辑推理能力,属于中等题.22.下列命题正确的是( )A .给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B .若等差数列{}n a 的公差0d >,则{}n a 是递增数列C .若a ,b ,c 成等差数列,则111,,a b c可能成等差数列D .若数列{}n a 是等差数列,则数列{}12++n n a a 也是等差数列 答案:BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A 选项:给出数列的有限项不一定可以确定通项公式;B 选项:由等差数列性质知,必是递增数列;C 选项:时,是等差数列,而a = 1,解析:BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A 选项:给出数列的有限项不一定可以确定通项公式;B 选项:由等差数列性质知0d >,{}n a 必是递增数列;C 选项:1a b c ===时,1111a b c===是等差数列,而a = 1,b = 2,c = 3时不成立; D 选项:数列{}n a 是等差数列公差为d ,所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列;故选:BCD【点睛】本题考查了等差数列,利用等差数列的性质判断选项的正误,属于基础题.23.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=,则下列结论一定正确的是( ) A .100a =B .当9n =或10时,n S 取最大值C .911a a <D .613S S =答案:AD【分析】由求出,即,由此表示出、、、,可判断C 、D 两选项;当时,,有最小值,故B 错误.【详解】解:,,故正确A.由,当时,,有最小值,故B 错误.,所以,故C 错误.,,故D 正确.解析:AD【分析】由1385a a S +=求出100a =,即19a d =-,由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ,可判断C 、D 两选项;当0d >时,10a <,n S 有最小值,故B 错误.【详解】解:1385a a S +=,111110875108,90,02d a a d a a d a ⨯++=++==,故正确A. 由190a d +=,当0d >时,10a <,n S 有最小值,故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=,所以911a a =,故C 错误.61656+5415392d S a d d d ⨯==-+=-, 131131213+11778392d S a d d d ⨯==-+=-,故D 正确. 故选:AD【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质,基础题.24.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且13623a a S +=,则以下结论正确的是( ).A .10a =0B .10S 最小C .712S S =D .190S = 答案:ACD【分析】由得,故正确;当时,根据二次函数知识可知无最小值,故错误;根据等差数列的性质计算可知,故正确;根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得,故正确.【详解】因为,所以,所以,即解析:ACD【分析】由13623a a S +=得100a =,故A 正确;当0d <时,根据二次函数知识可知n S 无最小值,故B 错误;根据等差数列的性质计算可知127S S =,故C 正确;根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =,故D 正确.【详解】因为13623a a S +=,所以111236615a a d a d ++=+,所以190a d +=,即100a =,故A 正确;当0d <时,1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2d n n =-无最小值,故B 错误;因为127891*********S S a a a a a a -=++++==,所以127S S =,故C 正确; 因为()1191910191902a a S a +⨯===,故D 正确.故选:ACD.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式,考查了等差数列的性质,属于中档题.25.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1718S S =,则下列各式的值为0的是( )A .17aB .35SC .1719a a -D .1916S S - 答案:BD【分析】由得,利用可知不正确;;根据可知 正确;根据可知不正确;根据可知正确.【详解】因为,所以,所以,因为公差,所以,故不正确;,故正确;,故不正确;,故正确.故选:BD.解析:BD【分析】由1718S S =得180a =,利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确;;根据351835S a =可知 B 正确;根据171920a a d -=-≠可知C 不正确;根据19161830S S a -==可知D 正确.【详解】因为1718S S =,所以18170S S -=,所以180a =, 因为公差0d ≠,所以17180a a d d =-=-≠,故A 不正确; 135********()35235022a a a S a +⨯====,故B 正确; 171920a a d -=-≠,故C 不正确;19161718191830S S a a a a -=++==,故D 正确. 故选:BD.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式,考查了等差数列的下标性质,属于基础题.。

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18.(本小题满分 12 分) 设数列{an } 、{bn } 、{cn } 满足: bn an an2 , cn an 2an1 3an2 (n=1,2,3,…), 证明:{an } 为等差数列的充分必要条件是{cn } 为等差数列且 bn bn1 (n=1,2,3,…)
19.(本小题满分 12 分) 已知数列 a1 , a2 , , a30 ,其中 a1 , a2 , , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列; a10 , a11 , , a20
则第 60 个整数对是_______________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
数列{an}的前 n 项和记为 Sn, a1 1, an1 2Sn 1n 1
(1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3 15 ,又 a1 b1, a2 b2 , a3 b3 成等比数列,求 Tn
高三数学第一轮复习单元测试(2)— 《数列》
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列, c 、 a 、 b 成等比数列,且 a 3b c 10 ,
则a =
()
A.4
B.2 C.-2
A.2002
() B.2004
C.2006
D.2008
12.已知数列 an 对任意的 p,q N* 满足 apq ap aq ,且 a2 6 ,那么 a10 等于( )
A. 165
B. 33 C. 30 D. 21
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上.
将 a2 5 代入,得 d 3 ,从而 a11 a12 a13 3a12 3a2 10d 3 5 30 105 .选 B.
7.A. 依题意,a1+a200=1,故选 A.
8.C.因数列an 为等比,则 an 2qn1 ,因数列 an 1 也是等比数列,则
(an1
1)2
(an
22.(本小题满分 14 分)
已知数列{
an
}中,
an
2
1 an1
(n≥2,
n
N
),
(1)若
a1
3 5
,数列{bn}
满足 bn
1( an 1
n
N
),求证数列{
bn
}是等差数列;
(2)若
a1
3 5
,求数列{
an
}中的最大项与最小项,并说明理由;
(3)(理做文不做)若1 a1 2 ,试证明:1 an1 an 2 .
的少,那么剩下的弹子有
()
A.3
B.4
C.8
D.9
11.设数列{an}的前 n
项和为 Sn ,令 Tn
S1
S2
Sn n
,称 Tn 为数列 a1 , a2 ,……, an
的“理想数”,
已知数列 a1 , a2 ,……, a500 的“理想数”为 2004,那么数列 2, a1 , a2 ,……, a500 的“理想数”为
()
A. 2n1 2
B. 3n
C. 2n
D. 3n 1
9.设 f (n) 2 24 27 210 23n10 (n N ) ,则 f (n) 等于
()
A. 2 (8n 1) 7
B. 2 (8n1 1) C. 2 (8n3 1) D. 2 (8n4 1)
7
7
7
10.弹子跳棋共有 60 棵大小相同的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体球垛,使剩下的弹子尽可能
4.在等差数列{an}中,若 aa+ab=12,SN 是数列{an}的前 n 项和,则 SN 的值为 ( )
A.48
B.54
C.60
D.66
S3 1 S6
5.设
Sn
是等差数列{an}的前
n
项和,若 = ,则 = S6 3 S12
()
3 A.10
1 B.3
1 C.8
1 D.9
6.设 an 是公差为正数的等差数列,若 a1 a2 a3 15 , a1a2a3 80 ,则 a11 a12 a13
21.(本小题满分 12 分)
等差数列{an}中, a1 2 ,公差 d 是自然数,等比数列{bn}中, b1 a1, b2 a2 . (Ⅰ)试找出一个 d 的值,使{bn}的所有项都是{an}中的项;再找出一个 d 的值,使{bn} 的项不都 是 {an } 中的项(不必证明); (Ⅱ)判断 d 4 时,是否{bn}所有的项都是{an}中的项, 并证明你的结论; (Ⅲ)探索当且仅当 d 取怎样的自然数时,{bn}的所有项都是{an}中的项,并说明理由.
n-1 个,于是,借助1 2 3 n nn 1 估算,取 n=10,则第 55 个整数对为 11,1,注意横 2
坐标递增,纵坐标递减的特点,第 60 个整数对为 5,7
17.(1)由 an1 2Sn 1 可得 an 2Sn1 1n 2 ,两式相减得 an1 an 2an , an1 3an n 2
∵等差数列{bn}的各项为正,∴ d 0 ,∴ d 2
∴ Tn
3n
n n 1 2
2
n2
2n
18.1 必要性:设数列{an } 是公差为 d1 的等差数列,则:
bn1 bn (an1 an3 ) (an an2 ) = (an1 an ) (an3 an2 ) = d1 - d1 =0,
13.数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=
.
14. 设f (x) 4 x , 则f 1 f 2 f 3 f 10
.
4 x 2 11 11 11
11
15.在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间,某
商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正
∴ bn bn1 (n=1,2,3,…)成立;
又 cn1 cn (an1 an ) 2 (an2 an1 ) 3(an3 an2 ) =6 d1 (常数)(n=1,2,3,…)
∴数列{cn } 为等差数列.
2 充分性:设数列{cn }是公差为 d 2 的等差数列,且 bn bn1 (n=1,2,3,…),
D.-4
2.已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则其公差是 ( )
A.5
B.4
C.3
D.2
3.在等差数列an 中,已知 a1 2, a2 a3 13, 则 a4 a5 a6 等于 ( )
A.40 B.42 C.43 D.45
500
501
12.C.由已知 a4 = a2 + a2 = -12, a8 = a4 + a4 =-24, a10 = a8 + a2 = -30,选 C.
13.由
an1
2an
3
an1
3
2(an
3)
,即
an1 3 an 3
=2,所以数列{
an
+3}是以(
a1
+3)为首项,以
2
为公比的等比数列,故 an +3=( a1 +3) 2n1 , an = 2n1 -3.
三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,
就一个乒乓球;第 2、3、4、…堆最底层(第
一层)分别按右图所示方式固定摆放.从第一
层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,
第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数,则
f (3) ; f (n)
(答案用 n 表示).
16.已知整数对排列如下 1,1,1,2,2,1,1,32,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,5,2,4,,
14.由 f 1 x f x 1,整体求和所求值为 5.
15. an1
an
n
1
an
a1
(a2
a1 )
(an
an1 )
n(n 1) 2
f
(n)
的规律由
f
(n)
f
(n 1)
an
n(n 1) (n 2
2) ,所以
f (1) 1
f (2) f (1) 22 2 2
f (3) f (2) 32 2 2
参考答案(2)
a c 2b,
1.D.依题意有
bc a2 , a 3b
c
10.
a b c
4, 2, 8.
2.C.
55aa11
20d 25d
15 30
d
3 ,故选
C.
3.B. ∵等差数列an 中 a1 2 , a2 a3 13
∴公差 d 3 .
∴ a4 a5 a6 3a1 3d 4d 5d = 3a1 12d =42.
4.B. 因为 a4
a6
a1
a9
12 ,所以
S9
9(a1 2
a9 )
=54,故选
B.
5.A. 由等差数列的求和公式可得
S3 S6
3a1 3d 6a1 15d
1 3 ,可得a1
2d
且d
0
所以 S6
6a1 15d
27d
3
,故选 A.
S12 12a1 66d 90d 10
6.B. a1 a2 a3 15 3a2 15 a2 5 , a1a2a3 80 a2 d a2 a2 d 80 ,
20.(本小题满分 12 分) 某市去年 11 份曾发生流感,据统计,11 月 1 日该市新的流感病毒感染者有 20 人,此后,每天的
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