甘肃、青海、宁夏2020届高三上学期期末联考数学(文)试卷Word版含解析

甘肃、青海、宁夏2020届高三上学期期末联考

数学（文）试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的除法计算即可.

【详解】因为，故选A.

【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.

2.已知集合，，则

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

计算出后可得.

【详解】，故，故选C.

【点睛】本题考查集合的并，是基础题，注意集合中元素的属性要求.

3.已知函数，则

A. 的最大值为2

B. 的最小正周期为

C. 的图像关于对称

D. 为奇函数

【答案】C

【解析】

【分析】

利用辅助角公式化简后可得的最值、最小正周期、对称轴方程和奇偶性.

【详解】，

，当且仅当时取最大值，故A错.

的最小正周期为，故B错.

因为

，故为函数图像的对称轴，故C正确.

，故不是奇函数，故D错.

综上，选C.

【点睛】对于形如的函数，我们可将其化简为，其中，，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．

4.自古以来“米以食为天”，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人民生活中发

挥着重要作用.某机构统计了2010～2016年餐饮收入的情况，得到下面的条形图，则下面结论中不正确

．．．的是

A. 2010～2016年全国餐饮收入逐年增加

B. 2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上

C. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年

D. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有3个

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意，根据给定的条形图中的数据，逐项判定，即可得到答案。

【详解】由题意，根据给定的条形图，可知从2010年2016年全国餐饮收入是逐年增加的，所以A,B选项显然正确；其中2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2015年和2016年，共两年，选项D错误.

【点睛】本题主要考查了统计图表的实际应用问题，其中解答中正确认识条形图，根据条形图中的数据，进行逐项判定是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。

5.若双曲线的离心率为，则斜率为正的渐近线的斜率为

A. B. C. D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】

由双曲线的离心率为，得，又由的值，进而求解双曲线的渐近线方程，得到答案. 【详解】由题可知，双曲线的离心率为，即，

又由，所以双曲线的渐近线方程为，故选D.

【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其几何性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

6.设，满足约束条件，则的最大值是

A. -4

B. 0

C. 8

D. 12

【答案】C

【解析】

【分析】

画出约束条件所表示的可行域，由，即，把直线平移到可行域的A点时，此时目标函数取得最大值，进而求解目标函数的最大值。

【详解】画出约束条件所表示的可行域，如图所示，

又由，即，把直线平移到可行域的A点时，

此时直线在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，

又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选C。

【点睛】本题主要考查了利用线性规划求最大值问题，其中解答

中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，平移目标函数确定最优解，即可求解目标函数的最大值，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。

7.设等比数列的前项和为，若，，则

A. -60

B. -40

C. 20

D. 40

【答案】B

【解析】

【分析】

把已知等式转化为关于公比和首项的方程组，解出公比和首项后可得．

【详解】设等比数列的公比为，由可得

，解得，故，故选B．

【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A. 32

B. 34

C. 36

D. 38

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题中的三视图可知，该几何体是由一个长、宽均为2，高为4的长方体截去一个长、宽均为1，高为4的长方体后剩余的部分，利用面积公式即可求解。

【详解】根据题中的三视图可知，该几何体是由一个长、宽均为2，高为4的长方体截去一个长、宽均为1，高为4的长方体后剩余的部分，

所以该几何体的表面积为，故选D。

【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，及空间几何体的标间的计算，其中根据给定的几何体的三视图，还原得到空间几何体的结构特征，在利用面积公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。

9.下面的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在“”和“◇”两个空白框中，可以分别填入

A. 和是奇数

B. 和是奇数

C. 和是偶数

D. 和是偶数

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定的程序框图，得到程序框图的计算功能和输出结果，即可得到答案。

【详解】由题意，程序框图中的计算，可知执行框中应填入，

又要求出满足的最小偶数，故判断框中应填入是偶数，故选C。

【点睛】本题主要考查了程序框图的计算功能的应用问题，其中解答中根据改定的程序框图，得到该程序计算的功能和输出结果的形式，进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。

10.如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点是棱的中点，点是棱上靠近的三等分点，且三棱锥的体积为2，则四棱柱的体积为

A. 6

B. 8

C. 12

D. 18

【答案】C

【解析】

【分析】

该四棱柱为平行六面体，利用可得四棱柱和三棱锥的体积之比，从而得到所求的体积．

【详解】因为底面是平行四边形，从而四棱柱也是四棱柱，其体积为

，其中为到平面的距离，

又，其中为到平面的距离，

因为平面，从而，又．故

，故，选C．

【点睛】不同几何体的体积的关系，应该从而它们具有的相关几何量去讨论，如两个几何体是否有相同的高或相同的底面，或者它们的高或底面的面积的比值为定值．有时还需把复杂几何体分割成若干个简单几何体便于体积的计算或体积关系的找寻．

11.已知函数，则满足的的取值范围是

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意，根据函数的解析式，分类讨论，分别求得不等式的解集，即可得到答案。

【详解】由题意，根据函数的解析式可知，

当时，，所以当时，恒成立；

当时，，解得，

综上，故选B。

【点睛】本题主要考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的解析式，合理分类讨论，求解不等式的解集是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。

12.已知函数，关于的方程有三个不等的实根，则的取值范围是

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用导数讨论函数的性质后可得方程至多有两个解．因为有三个不同的解，故

方程有两个不同的解，且，，最后利用函数

的图像特征可得实数的取值范围．

【详解】，

当时，，在上为增函数；

当时，，在上为减函数；

所以的图像如图所示：

又时，，又的值域为，

所以当或时，方程有一个解，

当时，方程有两个不同的解，

所以方程即有两个不同的解，

令，故，解得，故选B．

【点睛】复合方程的解的个数问题，其实质就是方程组的解的个数问题，后者可先利用导数等工具刻画的图像特征，结合原来方程解的个数得到的限制条件，再利用常见函数的性质刻画的图像特征从而得到参数的取值范围．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知单位向量，的夹角为，向量，若，则__________．

【答案】2

【解析】

【分析】

利用得到的值．

【详解】因为，故，所以，

，也即是，解得．故填．

【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.

14.已知为等差数列的前项和，已知，.若，，成等比数列，则

__________．

【答案】15

【解析】

【分析】

设等差数列的公差为，则已知条件可转为的方程组，解出后利用可求出．

【详解】设等差数列的公差为，则，故，

所以，因，故，所以即，填．

【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．

15.若函数的单调递增区间为，则的最小值为

__________．

【答案】4

【解析】

【分析】

利用二次函数的单调增区间求得，再利用，利用基本不等式可求最小值．

【详解】的对称轴为，故，

又，当且仅当时等号成立，从而的

最小值为，填．

【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

16.在直角坐标系中，抛物线：与圆：相交于两点，且两点间的距离为，则抛物线的焦点到其准线的距离为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

原点是抛物线和圆的公共点，设另一个公共点为，利用圆的弦长为得到为等腰直角三角形，从而得到的坐标，代入抛物线方程可得的值，它就是焦点到准线的距离．

【详解】圆，原点是抛物线和圆的公共点，设另一个公共点为，

因为，故，又因为，故为等腰直角三角形，

．

因，故，代入抛物线方程得．填．

【点睛】求不同曲线的交点，一般是联立方程组求解，但抛物线方程和圆的方程联立消元后是高次方程，求其解不容易，故应该根据两个几何对象的特征求出交点的坐标．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求；

（2）已知，的面积为，求的周长.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）在中，由正弦定理及题设条件，化简得，即可求解。

（2）由题意，根据题设条件，列出方程，求的，得到，即可求解周长。

【详解】（1）在中，由正弦定理及已知得，

化简得，

，所以.

（2）因为，所以，

又的面积为，则，

则，所以的周长为.

【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

18.已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.

（1）将甲每天生产的次品数记为（单位：件），日利润记为（单位：元），写出与的函数关系式；（2）按这100天统计的数据，分别求甲、乙两名工人的平均日利润.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题设条件可得与的函数关系式为，其中，.

（2）利用（1）求出各自的总利润后可得各自的平均日利润.

【详解】（1）因为甲每天生产的次品数为，所以损失元，

则其生产的正品数为，获得的利润为元，

因而与的函数关系式为，其中，.

（2）这100天中甲工人的总利润为

元，

因而平均日利润为元.

这100天中乙工人的总利润为元.

因而平均日利润为元.

【点睛】本题考查频数表，属于基础题，注意根据题设条件建立正确的数学模型.

19.如图，在三棱柱中，，，，平面.

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）先根据平面得到，再根据为等腰直角三角形得到，从而平面

.

（2）利用可得所求距离.

【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以.

因为，，所以，

又，所以平面.

（2）设点到平面的距离为，

因为平面，所以，.

则，，又，所以是等边三角形，

故.

，

.

所以.

【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直

得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.点到平面的距离的计算可利用面面垂直或线面垂直得到点到平面的距离，也可以根据等积法把点到平面的距离归结为一个容易求得的几何体的体积.

20.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线

的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且与圆相切.试

探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由题可知，求得直线的方程，再由点到直线的距离公式，联立求得的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）由直线与圆相切，求得，再把直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系和弦长公式，分别求得，即计算求得三角形的周长。

【详解】（1）由题可知，，，则，

直线的方程为，即，所以，

解得，，

又，所以椭圆的标准方程为.

（2）因为直线与圆相切，

所以，即.

设，，

联立，得，

所以，

，，

所以.

又，所以.

因为，

同理.

所以，

所以的周长是，

则的周长为定值.

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用问题,解答此类题目时通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。

21.已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当有最小值，且最小值不小于时，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）就分两类讨论导数的符号后可得函数的单调性.

（2）因有最小值，故由（1）可得，因，故

，令，利用该函数为单调增函数及可得实数的取值范围. 【详解】（1），

当时，，所以函数在上单调递增；

当时，令，解得，

当时，，故函数在上单调递减；

当时，，故函数在上单调递增.

（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，没有最小值，故.

，

整理得，即.

令，易知在上单调递增，且；

所以的解集为，所以.

【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．函数不等式的证明，往往需要构建新函数并利用新函数的单调性来证明，有时新函数的单调性可由增函数与增函数的和为增函数，增函数与减函数的差为增函数直接到．

22.在直角坐标系中，直线的方程为，曲线（为参数，），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线有公共点，且直线与曲线的交点恰好在曲线与轴围成的区域（不含边界）内，求的取值范围.

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】

（1）消去参数，即可得到曲线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可化简得到曲线的直角坐标方程.

（2）根据直线与曲线有公共点，解得，再联立方程组，求得点的坐标，根据点在曲线内，列出不等式组，即可求解。

【详解】（1）曲线的普通方程为，

曲线的直角坐标方程为.

（2）直线与曲线有公共点，则圆心到直线的距离为，

故，解得.

由，得，即，

又点在曲线内，所以，解得.

综上，的取值范围为.

【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆的位置

关系的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。

23.已知函数.

（1）当，解不等式；

（2）当时，若存在使不等式成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由题意，当时，得到不等式，利用平方法，即可求解。

（2）当时，设，根据绝对值的定义，得到相应的分段函数，即可求解函数的最小值，进而得到实数的取值范围。

【详解】（1）当时，，由，可得，

不等式可化为，

解得，所以不等式的解集为.

（2）当时，设，

则，

易知，

所以，即的取值范围为.

【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及含绝对值的不等式的恒成立问题的求解，其中解答中合理去掉绝对值号，转化为一般的不等式或相应的分段函数求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。