2018黑龙江齐齐哈尔中考数学解析

2018年黑龙江省齐齐哈尔市初中毕业、升学考试

数学学科

（满分120分，考试时间120分钟）

一、选择题（每小题3分，满分30分）

2. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号2，分值3）下列计算正确的是（ ）

A. 236a a a =g

B.224()a a =

C.842a a a ÷=

D.33

()ab ab = 【答案】B 【解析】选项A ，根据同底数幂的乘法可知，23235a a a a +==g

，此选项错误；选项B ，根据幂的乘方可知，

22224()a a a ?==，故此选项正确；选项C,根据同底数幂的除法可知，84844a a a a -÷==，故此选项错误；选

项D ，根据积的乘方可知，333()ab a b =，故此选项错误.故选B. 【知识点】同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，积的乘方.

3. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号3，分值3）“厉害了，我的国！” 2018年1月18日，国家统计周对外公布，全年国内生产总值（GDP)首次站上82万亿元的历史新台阶.把82万亿用科学记数法表示为 （ ）

A. 8.2xlO 13

B. 8.2xl012

C. 11

8.210? D. 8.2xlO

9 【答案】A

【解析】由科学记数法的定义可知，82万亿=82000000000000= 8.2xlO 13 .

【知识点】科学记数法.

4. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号4，分值3）一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC 的度数为（ ）

A. 10°

B. 15°

C. 18°

D. 30° 1. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号1，分值3）下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【答案】C

【解析】由轴对称图形的定义可知，图形0，1，8有对称轴所以是轴对称图形，由中心对

称图形的定义可知，4个图形均有对称中心，均是中心对称图形，∴既是轴对称图形，又

是中心对称图形是图形0，1，8，即有3个，故选C ．

【知识点】轴对称图形的性质，中心对称图形的性质.

【答案】B

【解析】由图可知，∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB∥CF，∠EDF是△BCD的外角，∴∠ABC=∠BCD=30°，∠EDF=∠DBC+∠BCD，解得∠DBC=15°.故选B.

【知识点】平行线的性质，三角板各角的度数，互为补角的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质. 5.（2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号5，分值3）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某

天气温T如何随时间t 的变化而变化.下列从图象中得到的信息正确的是( )

A. 0点时气温达到最低

B.最低气温是零下4℃

C. 0点到14点之间气温持续上升

D.最高气温是8℃

【答案】D

【解析】选项A，由图象可知，最低点在4点时出现，故此选项错误；选项B，由图象可知，最低点表示的是4点时，气温是-3℃，故此选项错误；选项C，由图象可知，0点到14点气温的变化是先降温到-3℃再升温，故此选项错误；选项D，由图可知，图象的最高点在14点时出现，此时气温是8℃，故此选项正确. 故选D.

【知识点】折现统计图的应用.

6.（2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号6，分值3）我们家乡的黑土地全国特有，肥沃的土壤、绿色的水源是优

质大米得天独厚的生长条件，因此黑龙江的大米在全国受到广泛欢迎.小明在平价米店记录了一周中不同包装

(10 kg, 20 kg, 50 kg)的大米的销售量（单位：袋）如下：10 kg装100袋；2kg装 220袋；50 kg装80

袋.如果每千克大米的进价和销售价都相同，则米店老板最应该关注的是这呰数据（袋数）中的( )

A.众数

B.平均数

C.中位数

D.方差

【答案】A

【解析】此题考查的是数据分析的能力，在每千克大米的进价和销售价都相同的情况下，作为米店老板最应该关注的是哪种包装的大米销售量最高，即众数.平均数表示销售的平均情况，不能凸显应该多进哪种包装的大米.中位数只能表示销售情况的中间量，不能帮米店老板分析多进哪种包装的大米.方差表示数据的离散程度，在此问题中不适用.故答案选A.

【知识点】数据的集中趋势，数据的离散程度.

7.（2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号6，分值3）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的.请仔细分

析下列赋予3a实际意义的例子中不正确

．．．的是（）

A. 若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额

B. 若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长

C. 将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表

示小木块对桌面的压力

D.若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数

【答案】D

【解析】选项A，根据“单价×数量=总价”可知3a表示买a千克葡萄的金额，此选项不符合题意；选项B，由

等边三角形周长公式可得3a表示这个等边三角形的周长，此选项不符合题意；选项C，由压强=

压力

接触面积

得压

力=压强×接触面积，可知3a表示小木块对桌面的压力，此选项不符合题意；选项D，由题可知，这个两位数用字母表示为10×3+a=30+a，此选项符合题意.故选D.

【知识点】用字母表示数的实际应用.

8.（2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号8，分值3）某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在

周日参与活动，活动累计56个小时的工作时间，需要每名男生工作5个小时，每名女生工作4个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有 ( )

A, 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种

【答案】C

【解析】由题可知，设参加活动的男生有a 人，参加活动的女生有b 人，可得5a+4b=56，解得

4(14)5

b b a -==56-45，∵a ，b 均为非负整数，∴b 只能被5整除，即为4,9,14.∴小张可以安排学生参加活动的方案共有3种.故选C.

【知识点】二元一次方程的应用，能被5整除的数的特点.

9.（2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号9，分值3）下列成语中，表示不可能事件的是 （ ）

A.缘木求鱼

B.杀鸡取卵

C.探囊取物

D.日月经天，江河行地

【答案】A

【解析】不可能事件表示在生活中不可能出现的情况，即概率为0的事件，选项B 、C 、D

在生活中都能出现，只有选项A 在生活中不可能出现。故选A .

【知识点】必然事件中不可能事件的判断.

10. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号10，分值3）抛物线1C ：21421y mx mx n =-+-与

平行于x 轴的直线交于A 、B 两点，且A 点坐标为（-1,2），请结合图象分析以下结论：

①对称轴为直线x=2；②抛物线与y 轴交点坐标为（0，-1）；③m ＞25

；④若抛物线2C ：22(0)y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，则a 的取值范围是225

a ≤＜2；⑤不等式242mx mx n -+＞0的解作为函数1C 的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其

中正确结论的个数有（ ）

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

【答案】B

【解析】由二次函数的对称轴公式，可得(4)222b m a m

--=-=，故①正确；由图可知，抛物线与y 轴交点坐标在x 轴下方，故②错误；把A （-1,2）代入21421y mx mx n =-+-，得

2=5m+2n-1，整理，得21255

n m -=+，由图可知，抛物线与y 轴交点坐标在x 轴下方，∴2n-1＜0，即1-2n ＞0，∴21255n m -=+＞25

，故③正确；由A(-1,2)，对称轴x=2，得B （5,2），

当a ＜0时，22(0)y ax a =≠的图象与线段AB 没有交点，故a ＞0，当抛物线过A （-1,2）时，

222y x =，此时抛物线与线段AB 有两个交点，∵当a 越大，抛物线的开口越小，∴当a ＜2，直到抛物线过B 点时，均符合与线段AB 恰有一个交点，当抛物线过B （5,2）时，22225y x =

，∴当225

a ≤＜2时，抛物线2C ：22(0)y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，故④正确；将242mx mx n -+＞0代入1C 中，得1y ＞-1，不能保证1y ＞0，故⑤错误.正确的结论为①③④，共3个，故选B.

【知识点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质.

二、填空题（每小题3分，满分21分）

11. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号11，分值3）已知反比例函数2k y x

-=的图象在第一、三象限内，则k 的值可以是_______.

（写出满足条件的一个k 的值即可）

【答案】1（答案不唯一，k ＜2即可）

【解析】根据反比例函数图象与系数的关系可知，图象在第一、三象限内，则2-k ＞0，解得k ＜2，故答案只要填小于2的数即可.

【知识点】反比例函数图象与系数的关系.

12. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号12，分值3）已知圆锥的底面半径为20，侧面积为

400π，则这个圆锥的母线长为________.

【答案】20

【解析】设这个圆锥的母线长为r ，由圆锥的特点可知，底面圆的周长等于侧面扇形的弧长，则220180n r π=?π=40π，由侧面积公式，得2360n r π=400π，∴2360n r π÷180n r π=400240r π=π

，解得r=20,故答案为20.

【知识点】弧长和扇形面积的计算，圆锥的特点..

13. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号13，分值3）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG

中，EF=8cm ，EG=12cm ，∠EFG=45°，则AB 的长为_________cm.

【答案】【解析】由三视图的性质可知，△EFG 中，边FG 上的高长等于AB 的长，∵EF=8cm ，

∠EFG=45°，∴AB=°8sin 45?=故答案为

【知识点】三视图的性质，锐角三角函数的应用，特殊角三角函数值.

14. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号14，分值3）若关于x 的方程

2134416

m m x x x ++=-+-无解，则m 的值为_______. 【答案】m=-1或m=5或m= -

13

（答对一个得1分） 【解析】整理分式方程2134416m m x x x ++=-+-，得22(1)4431616

m x m m x x ++-+=--，即22(1)511616

m x m x x +-=--，化简得（m+1）x=5m-1，当m=-1时，原方程无解，当x=±4时，原方程无解，即将x=±4代入（m+1）x=5m-1，解得m=5或-13，∴当m=-1或m=5或m= -13

时原分式方程无解.故答案为-1,5，13. 【知识点】完全平方式的特点，解一元二次方程.

15. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号15，分值3）如爸爸沿街匀速行走，发现每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车，每隔5分钟从迎面驶来一辆103路公交车.假设每辆103路公交车行驶速度相同，而且103路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么103路公交车行驶速度是爸爸行走速度的_________倍.

【答案】6

【解析】设爸爸的速度为a ，103路公交车的速度为b ，∵每辆103路公交车行驶速度相同，

∴车与车之间的距离一样设为s ，由题意可列关系式为

7,5s s b a a b ==-+.将两式相除，可得75a b b a +=-，解得b=6a ，即b a

=6.故答案为6. 【知识点】行程问题.

16. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号16，分值3）四边形ABCD 中，BD 是对角线，∠ABC=90°，

tan ∠ABD=

3，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=________.

【答案】172分）

【解析】过点A 作BD ⊥AE 交于点E ，∵∠ABC=90°，tan ∠ABD=34，AB=20，设AE=3x ，

BE=4x ，∴AB 2=25x 2=400，解得x=4，即AE=12，BE=16.∵AD=13，∴过点D 作DF ⊥BC 于点F ，∴DF ∥AB ，即∠ABD=∠BDF ，当四边形ABCD 是凸四边形时，BD=BE+DE=21,tan ∠BDF=34，可得DF=845,BF=635,又∵CF=BF-BC=135

,∴

当四边形ABCD 是凹四边形时，BD=BE-DE=11, ,tan ∠BDF=

34,可得

DF=445,BF=335,又∵CF=BC-BF=175

,∴故答案为17【知识点】锐角三角函数的性质，平行线的性质，勾股定理.

17. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号17，分值3）在平面直角坐标系中，点A 1）

在射线OM 上，点3)在射线ON 上，以 AB 为直角边作Rt △1ABA 以1BA 为直角边作第二个Rt △11BA B ，以11A B 为直角边作第三个Rt △112A B A ，……，依此规律，得 到Rt △201720182018B A B ，则点2018B 的纵坐标为_______.

【答案】20193

【解析】∵A ，1），B 3），由图可知，x 轴∥1A B ∥21A B ∥32A B ……

∴△1AA B ∽△11BA B ∽△112A B A ……，∠1AA B =30°，AB=2，∴1A B 11A B =6，

则点1B 的纵坐标为9=32，2B 的纵坐标为27=33，……，以此类推，

n B 的纵坐标为13n +.∴2018B 的纵坐标为20193.

【知识点】相似三角形的判定与性质，特殊角三角函数的应用，坐标点与图象的关系.

三、解答题（满分69分）

18. （本题共2个小题，第（1）题6分，第（2）题4分，共10分）

（1） （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号18（1），分值6）计算：201

()2-+-

2cos60°-3-π

【思路分析】先化简每一项再计算.

【解题过程】解：（1）原式=4+1-2×12

+3-π=7-π. 【知识点】 实数的运算，特殊角三角函数值. （2）（2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号18（2），分值4）分解因式：26()3()a b a b -+-

【思路分析】先提取公因式3（a-b ），再整理得到结果.

【解题过程】解：（2）原式=[]3()2()1a b a b --+=3()(221)a b a b --+.

【知识点】提公因式法因式分解.

19. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号19，分值5）解方程：2(3)3(3)x x x -=-

【思路分析】先移项将等号右边为0，再利用因式分解法解方程即可得到答案.

【解题过程】解：2(3)3(3)x x x -=-

2(3)3(3)0x x x ---=

(3)(23)0x x --=

X=3或x=23

【知识点】因式分解法解一元二次方程.

20. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号20，分值8）如图，以△ABC 的边AB 为直径画e O ，

交AC 于点D ，半径OE//BD ，连接BE ，DE ，BD ，设 BE 交 AC 于点 F ，若∠DEB = ∠DBC .

(1)求证：BC 是e O 的切线；

(2)若BF=BC=2,求图中阴影部分的面积.

【思路分析】（1）由直径AB 可得出∠ADB=90°，进而得出∠A+∠ADB=90°，再由“同弧所对应的圆周角相等”得出∠A=∠DEB ，进而得出∠A=∠DBC ，即∠DBC+∠ABD=90°，最后得出结论；

（2）先由等腰三角形的性质得出∠CBD=∠FBD ，再由平行线的性质和“等边对等角”得出

∠OEB=∠OBE=∠CBD=30°，即∠C=60°，然后由tan60°=

AB BC 得出AB=最后利用阴影部分面积为-OBD OBD S S △扇形计算出结果.

【解题过程】（1）证明：∵AB 是e O 的直径，

∴∠ADB=90°.

∴∠A+∠ADB=90°.

∵∠A=∠DEB ，∠DEB=∠DBC ，

∴∠A=∠DBC.

∴∠DBC+∠ABD=90°.

∴BC 是e O 的切线.

（2）解：∵BF=BC=2,且∠ADB=90°，

∴∠CBD=∠FBD.

又∵OE ∥BD ，

∴∠FBD=∠OEB.

∵OE=OB,

∴∠OEB=∠OBE.

∴∠OEB=∠OBE=∠CBD=

13

∠ADB=30°. ∴∠C=60°.

∵AB ⊥BC ，

∴在Rt △ABC 中，AB=tanC ·BC=e O 连接OD ，

∴阴影部分的面积为-OBD OBD S S △扇形=×3-3=6424

ππ-. 【知识点】圆的性质，切线的判定及性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，扇形面积的计算，平行线的性质.

21. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号21，分值10）初三上学期期末考试后，数学老师把一

班的数学成绩制成如图所示不完整的统计图(满分120分，每组含最低分，不含最高分），并给出如下信息：①第二组频率是0.12;②第二、三组的频率和是0.48;③自左至右第三，四，五组的频数比为9:8:3;请你结合统计图解答下列问题：

(1)全班学生共有______人；

(2)补全统计图；

(3)如果成绩不少于90分为优秀，那么全年级700人中成绩达到优秀的大约多少人？

(4)若不少于100分的学生可以获得学校颁发的奖状，且每班选派两名代表在学校新学期开学式中领奖，则该班得到108分的小强同学能被选中领奖的概率是多少？

【思路分析】(1)由第二组的频率为0.12，频数为6可得出6÷0.12=50（人）；

(2) 用总人数减去前面五组人数的和，得出110分到120分之间的人数，继而补全统计图；

（3）此题考查的用样本估计整体的知识，算出该班不少于90分的同学人数占本班人数的百分比，再用全年级的人数乘上这个百分比，就是估测全年级达到优秀的人数；

（4）先算出该班不少于100分的人数，再算出小强同学能被选中领奖的概率即可.

【解题过程】解：（1）6÷0.12=50（人），故答案为50.

（2）第三组的频数为（0.48-0.12）×50=18（人），

∵自左至右第三，四，五组的频数比为9:8:3，

∴第四组的频数为18÷9×8=16（人），第五组的频数为18÷9×3=6（人）.

∴第六组的频数为50-1-6-18-16-6=3（人）.

补全的统计图，如图所示：

第21题答图

（3）

1

1--0.48

50

=50%，700×50%=350（人）.

答：全年级700人中成绩达到优秀的大约350人.

（4）该班不少于100分的人数为6+3=9（人），小强同学能被选中领奖的概率为

2 29=

9 .

【知识点】频数分布直方图，用样本估计整体，概率.

22.（2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号22，分值10）某班级同学从学校出发去扎龙自然保护

区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出

行.大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的10

7

继续行驶，小

轿车保持原速度不变.小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6km 时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口.两车距学校的路程S (单位：km)和行驶时间t（单位：min)之间的函数关系如图所示.

请结合图象解决下面问题：

（1）学校到景点的路程为______km，大客车途中停留了_______min，a=_________; （2）在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？

（3）小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？

（4）若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返到达景点入口，需等待______分钟，大客车才能到达景点入口.

【思路分析】(1)由图可知，E 点对应的纵坐标为学校到景点的路程为40km ；用C 点的横坐标减去B 点的横坐标就是大客车停留的时间，为5min;由题意可知，直线AD 过（20,0），（60,40），可求出直线AD 的解析式为S=t-20，将C 点横坐标35代入解析式，得a=15,；

(2)由（1）可知，小轿车在AD 段的速度为40÷（60-20）=1（km/min ），a=15，即可求出大客车OB 段的速度为12km/min ，进而求出大客车CE 段的速度为57

，当小轿车从C 点到景点入口时，所用时间为（40-15）÷1=25（min ），即大客车在这段时间行驶的路程为25×

57=1257（km ），即此时大客车离入口还有（40-15-1257）=507

（km ）； （3）由（2）的结论可知，直线CE 过（35,15），（60，5040-7

）两点，解出直线CE 的解析式为S CE =57

t-10，将E 点纵坐标代入直线CE 解析式，得E 点坐标为（70,40），∵D 点纵坐标为40+6=46，代入直线AD 的解析式中，得t=66，∴小轿车折返时的速度为6÷（70-66）=32

（km/min ）=90（km/h ）＞80km/min ，∴小轿车折返时超速了； （4）若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，到达景点路口所需的时间为40÷12

=80（min ），∴轿车折返到达景点入口，需等待80-70=10（min ），大客车才能到达景点入口.

【解题过程】解：（1）由图可知，E 点纵坐标为40，C 点横坐标为35，∴学校到景点的路

程为40km ，大客车途中停留了35-30=5（min ）.图中，直线AD 过

（20,0），（60,40），设S AD =1k t b +，代入（20,0），（60,40），

得1111020,4060.k b k b =+??=+?解得11

1,20.k b =??=-?∴20AD S t =-.代入C 点（35，a ），得a=15.故答案为40,5,15.

35

（2）由（1）可知，小a=15，

∴大客车在CE 段的速度为15÷30×107=57

（km/min ）. ∵当小轿车从C 点到景点入口时，所用时间为（40-15）÷1=25（min ），

∴大客车在这段时间行驶的路程为25×

57 =1257 （km ）. ∴此时大客车离入口还有（40-15-1257）=507

（km ）. （3）由（2）的结论可知，直线CE 过（35,15），（60，5040-7

）两点， 设直线CE 的解析式为22CE S k t b =+,则22221535,23060.7

k b k b =+???=+?? 解得22

5,710.k b ?=???=-?即5107CE S t =-. 将S=40代入5107CE S t =-，得t=70，即E （70,40）. ∵D 点纵坐标为40+6=46，代入直线AD 的解析式中，得t=66，

∴小轿车折返时的速度为6÷（70-66）=32

（km/min ）=90（km/h ）＞80km/min ，小轿车折返时超速了.

（4）若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，到达景点路口所

需的时间为40÷12

=80（min ）， ∴轿车折返到达景点入口，需等待80-70=10（min ），大客车才能到

达景点入口.故答案为10.

【知识点】分段函数的意义，一次函数解析式的求法.

23. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号23，分值12）折纸是一项有趣的活动，同学们小时

候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、 小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.

在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展 空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩 形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后 能得到哪呰数学结论.

实践操作

如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B’落在矩形所在平面内，B’C和AD 相交于点E，连接B’D.

解决问题

(1)在图1中，

①B’D和AC的位置关系为______________;

②将△AEC剪下后展开，得到的图形是_________________;

(2) 若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成

立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；

（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形.则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为____________；

拓展应用

(4)在图2中，若∠B=30°，AB=AB’D恰好为直角三角形时，BC的长度为

__________. .

【思路分析】(1)由折叠的性质可知，∠ACB=∠ACE,再由四边形ABCD为矩形，AC为对角线可知，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠ACE，即AE=CE，∵BC=AD=B’C,∴B’E=DE,∴∠EB’D=∠EDB’,又∵∠B’ED=∠AEC为对顶角，∴∠DAC=∠ACE=∠EB’D=∠EDB’，∴B’D∥AC,将△AEC剪下展开后，能得到四条边均相等的四边形，即菱形，故答案为①B’D∥AC，②菱形；

(2)利用（1）的思路即可得出矩形变平行四边形时也可得到B’D∥AC和菱形的结论；（3）当矩形为正方形时符合题意，即长宽之比为1：1；当∠ACB=30°时符合题意，即长宽

1；

（4）由（2）可知，AE=CE，B’E=DE, AC∥B’D.当∠AB’D=90°，且点B’在AD上方时，可

得出∠B’AC=∠AB’D=90°,∴BC=

'

cos'

AB

AB C

∠

;当点B’在AD下方，∠ADB’=90°时，∠ADC=

∠B=30°，得出BC=AD=cos∠ADC×CD.当∠B’AD=90°,且点B’在AD上方时，∵∠AB’C=30°，

AE=CE,AB’，可得出BC=B’E+CE=B’E+AE=

'

cos'

AB

AB C

∠

+tan∠AB’C×AB’. 当∠

B’AD=90°,且点B’在AD下方时，∠ADC=30°，∵B’E=DE,∴AB’=AB=AE+B’E=AD×tan∠

ADC+

cos AD ADC ∠

.

【解题过程】解：（1）由折叠的性质可知，∠ACB=∠ACE.

再由四边形ABCD为矩形，AC为对角线可知，∠ACB=∠DAC，

∴∠DAC=∠ACE，即AE=CE，

∵BC=AD=B’C,∴B’E=DE,∴∠EB’D=∠EDB’.

又∵∠B’ED=∠AEC为对顶角，

∴∠DAC=∠ACE=∠EB’D=∠EDB’.

∴B’D∥AC.

将△AEC剪下展开后，能得到四条边均相等的四边形，即菱形.

故答案为①B’D∥AC，②菱形.

（2）结论仍然成立.

若选择结论①证明：

∵B’C=AD,AE=CE,

∴B’E=DE.

∴∠CB’D=∠ADB’.

∵∠AEC=∠B’ED,∠ACB’=∠CAD.

∴∠ADB’=∠DAC.

∴B’D∥AC.

若选择结论②证明：

如图所示，设点E的对应点为点F.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CF∥AE.

∴∠DAC=∠ACF.

由折叠可得，∠ACE=∠ACF，CE=CF.

∴∠DAC=∠ACE.

∴AE=CE.

∴AE=CF.

∴四边形AECF是菱形.

（3）当矩形为正方形时符合题意，即长宽之比为1：1；当∠ACB=30°时

符合题意，：1.（答对一个得1分，写成“1

也正常给分）

（4）由（2）可知，AE=CE，B’E=DE, AC∥B’D.当∠AB’D=90°，且点B’

在AD上方时，可得出∠B’AC=∠AB’D=90°.

∵∠B=∠AB’C=30°，

∴在Rt△AB’C中，BC=

'

cos'

AB

AB C

∠

=8；

当点B’在AD下方，∠ADB’=90°时，∠ADC=∠B=30°，得出BC=AD=cos ∠ADC×CD=6.

当∠B’AD=90°,且点B’在AD上方时，∵∠AB’C=30°，

AE=CE,AB’，可得出

BC=B’E+CE=B’E+AE=

'

cos'

AB

AB C

∠

+tan∠AB’C×AB’=12.

当∠B’AD=90°,且点B’在AD下方时，∠ADC=30°，∵B’E=DE,∴

AB ’=AB=AE+B ’E=AD ×tan ∠ADC+cos AD ADC

∠AD=4. 故答案为4或6或8或12.（答对一个得1分）

【知识点】折叠的性质，平行线的判定与性质，锐角三角函数的应用，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质.

24. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号24，分值14）如图1所示，直线y=x+c 与x 轴交于

点A （-4,0），与y 轴交于点C ，抛物线y=-x 2+bx+c 经过点A ，C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E 在抛物线的对称轴上，求CE+OE 的最小值；

（3）如图2所示，M 是线段OA 上的一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AC

和抛物线分别交于点P 、N.

①若以C ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，则△CPN 的面积为_________; ②若点P 恰好是线段MN 的中点，点F 是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否

存在点D ，使以点D ，F ，P ，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出

点D 的坐标；若不存在，请说明理由.

注：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标为（2

4,24b ac b a a

--）

【思路分析】(1)根据一次函数求出c 的值，再将A （-4,0）和c 值代入抛物线解析式求得b 值，进而得出抛物线解析式;

(2)先作对称确定最小值的情况，进而求出答案.

（3）①根据直角与对顶角找出两种相似的情况，进而得出△CPN 的面积；②根据菱形的判定定理作出菱形，进而得出D 点坐标.

【解题过程】解：（1）将A （-4,0）代入y=x+c ，得c=4.

将A （-4,0）和c=4代入y=-x2+bx+c，得b=-3.

∴抛物线的解析式为y=-x 2-3x+4.

（2）如图所示，作点C 关于抛物线的对称轴直线l 的对称点C ’，连接

OC 交直线l 于点E ，连接CE ，此时CE+OE 的值最小.

∵抛物线额对称轴为x=332(1)2

--=-?-，

则C ’C=3，在Rt △C ’CO 中，由勾股定理，得OC ’∴CE+OE 的最小值为5.

（3）①∵抛物线解析式为y=-x 2-3x+4，

∴A （-4,0），B （1,0），C （0,4），△APM 为等腰直角三角形.

设M 为（a ，0），则N （a ，-a 2-3a+4），P(a ，a+4).

当△AMP ∽△CNP 时，则AM MP CN NP

=，得24434(4)

a a a a a a ++=---+-+，解得a=-4（舍）或a=-3或a=0（舍）.

∴CN=3,PN=3.

∴△CPN 的面积为12

CN PN g g =

92

. 当△AMP ∽△NCP 时，则AM AP NC NP

=,得

= 解得a=0（舍）或a=-2.

∴. ∴△CPN 的面积为12CN PC g

g =4. 故答案为92

或4.

②存在. 1D (22-+,2),2D (22--,-2

), 3D （-4,3）,4D （12，32

）. 理由如下：

当点P 是线段MN 的中点，则-a 2-3a+4=2（a+4），

解得a=-4（舍），或a=-1.

∴M （-1,0），P （-1,3），N （-1,6）.

设F(f ，f+4)，过点M 作AC 的平行线，则此直线的解析式为

y=x+1.

∵PM=3，当PM 为菱形的边时，作PF=PM ，过F 作FD 平行PM ，

交AC 平行线于点D ，

∴D （f ，f+1）.

∴32=2（f+1）2，解得f=

22

-±.

则1D (22-+,2),2D (22--,-2). ∵PM=AM=3,

∴当点F 与点A 重合时，过点F 在x 轴上方作DF ∥PM ，且DF=PM ，

连接DP ，可得出四边形DPMF 为菱形.

∴点D 的坐标为（-4,3）.

当PM 为菱形的对角线时，作PM 的垂直平分线，交直线AC 于点

F ，作点F 关于PM 的对称点D ，连接MF,MD,PD,此时四边形DMFP

为菱形. ∴将32代入直线AC 的解析式可得，点F 的坐标为（-52，32

）. ∵直线PM 为x=-1，

∴点D 的坐标为（

12，32

）.

综上所述， 1D ),2D ), 3D （-4,3）,4D （12，32）. 【知识点】待定系数法，二次函数图象的性质，两点之间线段最短，对称图形的性质，勾股定理.