最新人教版初中八年级上册数学《线段的垂直平分线的性质》导学案

13.1.2 线段的垂直平分线的性质

一、新课导入

1.导入课题：

前面我们已经学习了轴对称图形和两个图形成轴对称的意义和性质，这节课我们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线的性质和判定.

2.学习目标：

(1)能述出线段垂直平分线的性质.

(2)能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题.

（3）能说出线段垂直平分线的判定方法.

3.学习重、难点：

重点：线段垂直平分线的性质.

难点：线段垂直平分线的性质与判定的运用.

二、分层学习

1.自学指导：

(1)自学内容：探究线段垂直平分线上的点与两个端点的距离有什么关系？

(2)自学时间：10分钟.

(3)自学方法：通过作图、猜想、验证，得出结论.

(4)探究提纲：

①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.

a.P1到端点A、B的距离是什么？分别表示为P1A、P1B.

b.量一量这两个距离，你能猜想出什么结论？

P1A= P1B

c.你能用什么方法来证明你的猜想，试写出论证(或说明).

证明：∵l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB.

又CA=CB，P1C= P1C，

∴△P1CA≌△P1CB (SAS).

∴P1A= P1B.

d.P2，P3分别到A、B点的距离也满足上述关系吗？

满足

e.由折叠的方法能否验证你的结论？试试看.

②归纳：线段垂直平分线的性质.

文字语言叙述：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

几何语言叙述：∵l垂直平分AB，P是l上一点;∴PA=PB.

③如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？

点P在线段AB的垂直平分线上

证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°，在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.∴PC 是AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上.

这个结论与②中的结论之间有何关(联)系？

它们互为逆定理.

④归纳：线段垂直平分线性质的逆定理.

文字语言叙述：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

几何语言叙述：∵PA=PB;∴P点在AB的垂直平分线上.

⑤比较这两个性质之间的区别和联系.

2.自学：学生结合自学指导进行探究式学习.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情；这节的难点是性质的证明，看学生对文字语言的证明过程是否熟练.

②差异指导：引导学生用全等三角形的知识对性质进行证明.

(2)生助生：在区别两个性质的因果关系时，小组合作交流共同完成区分条件与结论.

4.强化：

(1)交流学习成果：①线段垂直平分线的定义；②线段垂直平分线的性质.

(2)练习：

到三角形三个顶点的距离相等的点是（B）

A.三条角平分线的交点

B.三边垂直平分线的交点

C.三边高线的交点

D.没有这样的点

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第62页例1.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学方法：动手画图，分析作图的原理.

(4)自学参考提纲：

①复习：什么是尺规作图？尺规作图的步骤有哪些？

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.

步骤：a.已知；b.求作；c.作法；d.作图.

②画图：按照例题的步骤动手画一画.

③分析：

a.以C为圆心，CK为半径作弧交AB于D、E，则CD与CE是何关系？

CD=CE

DE长为半径作弧交于F，说明DF与

b.分别以D、E为圆心，大于1

2

EF如何？

DF=EF

DE的长为半径画弧”？

c.为什么要“大于1

2

解：这样所画的弧才能相交.

d.作直线CF得出CF⊥AB的道理是什么？

解：先由SSS证明∠DCF=∠ECF，再结合CD=CE，∠CDE=∠CED，证得CF⊥DE，即CF⊥AB.

2.自学：学生可结合自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：学生知道“过已知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条”，但不会用尺规作图作线段的垂线.

②差异指导：引导学生阅读作法，分析作图原理.

(2)生助生：小组讨论作图原理，有不明白的地方小组合作交流帮助解决.

4.强化：

练习：教材第62页练习1、2题.学生板演.

练习1：AB=AC=CE，AB+BD=DE.

练习2：直线AM是线段BC的垂直平分线.

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第62页“思考”到第63页的内容.

(2)自学时间：8分钟.

(3)自学方法：通过观察、分析、操作、总结归纳得出作对称轴的方法.

(4)自学参考提纲：

①如果两个图形成轴对称，其对称轴与对应点所连线段的关系是怎样的？

解：对称轴垂直平分对应点所连线段.

②为什么说例2的作法本质上就是线段垂直平分线的尺规作图？你能用尺规作图的方法作一条线段的垂直平分线吗？动手试试，并简要说明作图方法？

解：因为A，B两点关于CD对称，根据两个图形成轴对称的性质可知例2的作法就是线段垂直平分线的尺规作图.

作法：如图所示：(1)分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弦相交于C、D两点；(2)作直线CD.CD即为AB的垂直平分线.

③请你动手作出教材中五角星及它的对称轴.并简要说明理由？

2.自学：学生可结合自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情；通过前两节的学习，了解学生对对称轴的画法是否已经熟悉.

②差异指导：引导学生画复杂图形的对称轴，关键是先找出对应点，然后再画任意一对对应点所连线段的垂直平分线.

(2)生助生：学生之间相互交流帮助解疑难.

4.强化：

(1)交流学习成果：作线段垂直平分线的方法；作成轴对称的两个图形的对称轴的方法和依据.

(2)总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.

(3)练习：教材第64页“练习”.

练习2：角的平分线所在的直线是角的对称轴.

练习3：与A成轴对称的是B.

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生相互交谈自己的学习收获和学习困惑.

2.教师对学生的评价：

(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不足进行点评.

(2)纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）:

本课教学力求充分体现内容的基础性，方法的灵活性，学生学习的主体性和教学的主导性，在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察、动手交流和表述，并借助多媒体的手段辅助教学，增强直观性、激发学习兴趣，强调分组讨论，学生与学生之间很好的交流与合作，利用师生的双边活动，激发学生学习兴趣，教师从中发现、搜集学生的学习情况，查漏补缺，适时调度，从而顺利达到教学的目的.

一、基础巩固（每题10分，共60分）

1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，M是直线CD上的一点.

已知线段MA=12cm，则线段MB的长为12cm.

2.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D ，△ABD 的周长是12cm，AC=5cm，则AB+BC=12cm，△ABC的周长是17cm.

3.下列几何图形：①线段；②正方形；③圆；④等腰梯形；⑤平行四边形，其中一定是轴对称图形的是①②③④（填序号）.

4.在△ABC中，AB的中垂线与AC边所在直线相交所得的锐角为50°，则∠A的度数为（C）

A.50°

B.40°

C.40°或140°

D.40°或50°

5.将一正方形纸片按图（1），图（2）的方式依次对折之后，再沿图(3)中的虚线裁剪得图(4).最后将图(4)的纸片打开铺平，所得到的图案是（B）

6.画出下列图形的对称轴（有几条对称轴就画出几条，不要遗漏）.

二、综合应用（20分）

7.如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E；

(1)若∠DBC=22.5°，则在不添加辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有多少个？

(2)你认为图中有多少组全等三角形，并把他们写下来.

解：(1)5个.(2)4组，△BCD≌△BC′D，△ABE≌△C′DB，△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB.

三、拓展延伸（每题10分，共20分）

8.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.

解：如图所示，两条高速公路相交的角的角平分线和AB的垂直平分线的交点P1与P2点.

9.△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线交于BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，求证：BM=MN=NC.

证明：连接AM，AN.∵ME垂直平分AB，NF垂直平分AC，∴MB=MA，NA=NC，∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC.又AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°∴∠MAB+∠NAC=∠B+∠C=60°，∴∠MAN=∠BAC-(∠MAB+∠NAC)=60°，∵∠MAN=∠AMN=∠ANM=60°，∴AM=AN=MN，∴

BM=MN=NC.

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