克莱姆法则
第三节 克莱姆法则
教学目的及要求： 1.克莱姆法则
2.利用克莱姆法则求解线性方程组
教学重点、难点： 克莱姆法则的应用
教学过程：
一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授
1.n 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行
探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关 n 元线性方程组的概念。 含有 n 个未知数 x 1,x 2, , x n 的线性方程组
a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n
b 1,
a 21x 1
a 22x 2
a 2n x n
b 2,
(1)
a n1x 1 a n2x 2 a nn x n
b n ,
a 11 a 12 a 1n D
a 21
a 22
a 2n
a n1 a n2 a nn
2. 克莱姆法则
定理 1 ( 克莱姆法则 ) 若线性方程组 解,其解为
性方程组 ,当 b 1,b 2 , ,b n 全为零时 , 线性方程组 (1)称为齐次线性方程组，
即
a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n
0,
a 21x 1
a 22x 2 a 2n x n
0,
(2)
a n1x 1 a n2x 2 a nn x n
0.
称为 n 元线性方程组 .当其右端的常数项 b 1,b 2, 线性方程组 (1)的系数 a ij 构成的行列式称为该方程组的系数行列式 D ，即
,b n 不全为零时 ,线性方程组 (1) 称为非齐次线 (1)的系数行列式 D 0, 则线性方程组 (1)有唯一
2 2 5 20,
20,
85
45
D j
x j D(j 1,2, ,n) (3)
其中D j(j 1,2, ,n)是把D中第j列元素a1j,a2j, ,a nj对应地换成常数项b1,b2, ,b n,而其余各列保持不变所得到的行列式.
一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.
克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3), 克莱姆法则可叙述为下面的定理.
定理 2 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0, 则(1)一定
有解,且解是唯一的.
在解题或证明中，常用到定理 2 的逆否定理:
定理 2 如果线性方程组(1) 无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.
对齐次线性方程组(2), 易见x1 x2 x n 0 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方
程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.
定理 3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理
3 如果齐次方程组(2) 有非零解,则它的系数行列式D 0.
注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线性
方程组(2)有非零解.
三、例题选讲
例 1 用克莱姆法则求解线性方程组：
2x1 3x2 5x3 2
x1 2x2 5
3x 2 5x3 4
解D
20
2
35
D1( 2) 2 5
D2
60,
18
20.
D 1
D 2 D 3
x 1
1, x 2
3, x 3
1
1
D
2
D 3
D
例 3（ E02） 大学生在饮食方面存在很多问题 ，很多人不重视吃早饭，多数大学生日常饮食 没有规律， 为了身体的健康就要制订营养改善行动计划， 大学生一日食谱配餐： 需要摄入一 定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下边是三种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食 品提供的营养以及食谱所需的营养如下给出
3 5 3
33
1 0
72 7 7 2
c 1 2c 2
27.
c
3 2c 2
8 1 5 1
2
8 5 1
9 3 0
6 81, D 2
1 9
0 6 5 2 1 2
0 5 1 2 0 4 7 6
1
0 7 6 2
1
8
1
2
1 5 8 1 3 9 6
27,
D 4
1
3 0 9 0 2 5 2
0 2 1 5 1
4
6
1
4
7
108, 27, D 1
D 3
2 3 2 r 1 2 r 2
0 1 8 r
1 r
2 1 2 5 D 3
1 2 5
1 2 5
0 1 8
0 3 4
3
4
3
4
由克莱姆法则
34
2x 1
x 1
x 2 3x 2 5x 3 6x 4 x 4
9,
8,
用克莱姆法则解方程组
2x 2
x 3 2x 4
5,
x 1 4x 2
7x 3 6x 4
2
1 5 1
7 5 13
1 3 0 6 r 1 2r 2
1
3 0 6
0 2 1 2
r 4 r 2 0
2 1
2
1 4
7
6
7
7 12
13 2 12
x 1
D 1 D 81
27 3, x 2
D 2 D 108 27 4,
x 3 D 3 D
27 27
1, x 4
D 4 D
27 1.
27
营养
所需营养量
7 2 7 例 2 (E01) 解D
齐次线性方程组有非零解，则 D 0, 所以 0, 2 或 3 时齐次线性方程组有非零解
试根据这个问题建立一个线性方程组， 并通过求解方程组来确定每天需要摄入上述三种食物 的
量。
解：设 x 1,x 2,x 3分别为三种食物的量，则由表中的数据可得出下列线性方程组：
从而我们每天可以摄入 5.5 个单位的食物一、 7.5 个单位的食物二、 5个单位的食物三就可以 保证我们的健康饮食了。
(1 )x 1 2x 2 4x 3 0
2x 1 (3 )x 2 x 3 0 有非零解 ? x 1 x 2 (1 )x 3 0
(1 )3
( 3) 4(1 ) 2(1 )( 3 )
(1 )3
2(1 )2
3 ( 2)(3 ),
由克莱姆法则可得
10 20 20
D
10 3 = -7200 ，
50 40 10
10x 1 20x 2 20x 3
105
0x 1 10x 2 3x
3
60
50x 1 40x 2 10x 3
525
105 20 20
D 1= 60
10 3 = -39600 ，
525 40 10
10 105 20
D 2 = 0 60
3 = -54000 ，
50 525 10
则：
10 20 105
D 3= 0
10 60 = -36000
50 40 525
x 1= D 1
=5.5，
1
D x 2= D 2
=7.5，
2
D
x 3= D 3
=5
3
D
例 4 (E03) 问 为何值时 , 齐次方程组 134
2 1 1 1 0 1
x y z a b c
例 5 设方程组 ax by cz a 2 b 2 c 2
bcx cay abz 3abc
试问 a,b,c 满足什么条件时 , 方程组有惟一解 , c 1 c 2 c
2 c 3
c 1 (a b) c 2 (b c)
四、课堂练习
1.如果下列齐次线性方程组有非零解 , k 应取何值 ?
(k
kx 1
x 1 2x 2
x 4 0 x 4 0 2)x 1 x 2 2x 1 x 2
3x 3
4x 4 kx 4
0 0
x 1
x 2 2x 3 3x 4
x 1
2x 2 3x 3
x 4
2.判定齐次线性方程组
1
是否仅有零
3x 1
x 2 x 3
2x 4
0 2x 1 3x 2 x 3
x 4
并求出惟一解 .
bc ca ab
ab
bc c(b a)
a(c b)
ab
(a b)(b c)
(a b)(b c)
(a b)(b c)(c a)
ab
显然 ,当a,b,c 互不相等时 0, 该方程组有唯一解 . 又
D 1
a
2
3abc
ca ab
c
1
bc ca ab
同理可得 D 2 bD,
D 1
a, y D 2
b, D 3
c.
aD.
,D
abc D 3 abc
cD, 于是
b 2
c 2
a 2 a