无锡市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷高二数学参考答案

无锡市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷评分标准

高 二 数 学

一、单项选择题：

1、A

2、A

3、C

4、B

5、D

6、B

7、C

8、D

二、多项选择题：

9、AC 10、ACD 11、AB 12、BD

三、填空题：

13、02

<∈?x R x ，

14、x y 342= 15、13-

16、56

四、解答题：

17、解：（1）设公差为)0(≠d d ，由842,,a a a 成等比数列

所以8224a a a ?=，所以)17)(1()13(2++=+d d d ，所以d d =2，所以1=d

所以n a n =…………………………………………………………………………………4分

（2）由（1）得n a n =，2)1(+=

n n S n 所以n n n n n n n b 2)1

11(22)1(2++-=++=……………………………………………6分 所以2

1)21(2)1113121211(2--++-++-+-=n n n n T 所以1

2222)111(211+-=-++-

=++n n T n n n …………………………………………10分

18、解：（1）若p 是真命题，所以?????≠>-03422m m m 所以m 的取值范围是31<

（2）由（1）得，p 是真命题时，m 的取值范围是31<

q 为真命题时，0)1)((<---t m t m ，

所以m 的取值范围是1+<

所以???≤+≥3

11t t ，所以21≤≤t ，等号不同时取得

所以21≤≤t …………………………………………………………………………………10分 注：“等号不同时取得”没写的扣1分

19、解：

（1）当0=k 时，m y =，所以B A ,两点关于y 轴对称，设),(0m x A ，),(0m x B -

所以)1(4220m x -= 所以2014||2m x AB -==………………………………………………………………2分 所以12

1212212

22=-+?≤-=??=m m m m m AB S 当且仅当21m m -=，即2

2=m ，等号成立， 所以AOB ?的面积S 的最大值为1………………………………………………………5分

（2）当1=k 时，设),(),,(2211y x B y x A

?????=++=14

22y x m x y ，得0448522=-++m mx x 所以????

?????>?-=?-=+05445822121m x x m x x ，………………………………………………7分 所以5168024)(2||2||2

212

2121m x x x x x x AB -?=-+?=-= 又因为5

64||=AB 所以3416802=-m ，………………………………………………10分 所以2±=m

所以直线l 的方程为2±=x y ………………………………………………12分

20、解：

（1）因为2

2n n n a a S +=，当1=n 时，11=a ， n n n a a S +=22

)2(21211≥+=---n a a S n n n

所以12122---+-=n n n n n a a a a a

所以111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a ………………………………………………………3分 因为0>n a ，所以01>+-n n a a （没写的扣一分）

所以11=--n n a a （常数）……………………………………………………………4分 所以}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列（不下结论的扣一分）

所以n a n =…………………………………………………………………………………6分

（2）由题得n n n b 2)13(?-=

n n n T 2)13(282522321?-++?+?+?=

14322)13(2825222+?-++?+?+?=n n n T

13212)13()222(322+?--++++?=-n n n n T

112)13(2

1)21(434+-?----?+=-n n n n T 12)34(8+?-+-=-n n n T ………………………………………………………………10分 12)43(8+?-+=n n n T ……………………………………………………………………12分

21、解：

（1）记n a 为n 天后感染总人数，

则2.21=a ，222.2=a ，所以12072.299≈=a

答：9天后感染总人数是1207万人………………………………………………6分 注：若用递推关系得12.2-=n n a a ，求通项公式得最终结果同样得分

（2）记n b 为第n 天收入医院的人数

所以11=b ，2.12=b ，由题易得}{n b 为首项为1，公比为1.2的等比数列

所以12.1-=n n b

若n 天后总感染人数超过1000万

即10002.121≥?++++n n b b b b

所以10002.12.12.112≥++++n

所以2012.11≥+n ………………………………………………………………………11分

又因为2014.2372.130

>≈，2018.1972.129<≈ 所以301≥+n ，所以29≥n

答：29天后感染总人数将超过1000万……………………………………………12分

22、解：

（1）由题得?????=+=3

2

222b a a c ，所以1,2==b a 所以椭圆的标准方程为12

22

=+y x ………………………………………………………4分 （2）设),(),,(2211y x T y x S

设直线x k y OS 1:=，直线x k y OT 2:=

?????=+=12

221y x x k y ，所以2121212k x +=， 同理得22

22212k x +=

点T 到直线OS 的距离21221212211||||1|

|k x k k k y x k d +?-=+-=，||1121x k OS ?+=…………7分 所以22)

21)(21(||21222121=++-=??=?k k k k d OS S OST 平方得0)12(221=+k k 所以2

121-

=k k ………………………………………………………………………9分

（3）设),(11y x M ，),(22y x N

（i ）直线l 的斜率存在时，设直线m kx y l +=: ?????=++=12

22y x m kx y ，得0224)21(222=-+++m kmx x k 所以????

?????>?+-=+-=+0212221422212

21k m x x k km x x 由题得0=?AN AM 所以0)2)(2(2121=+--y y x x 化简得02))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k

代入韦达定理得

0242322=++km k m

0)2)(23(=++k m k m 所以k m 2-=或k m 3

2-=……………………………………………………11分 当k m 2-=时，k kx y l 2:-=，定点为)0,2(，为右顶点（舍）。

当k m 32-=时，k kx y l 32:-=，定点为)0,3

2(，满足题意…………………12分 （ii ）直线l 的斜率不存在时，设直线2||,:<

=t t x l ?????=+=12

22y x t x ，所以)22,(),22,(22t t N t t M ---（不妨设M 在第一象限） 又因为)0,2(A 所以0=?AN AM 化简得022432=+-t t ，所以0)2)(23(=--t t 所以3

2=t 或2=t （舍） 所以32=t ，直线l 过点)0,3

2(………………………………………………13分 综上（i ）（ii ）所得直线l 过定点)0,32(

………………………………………………14分