2020年中考数学复习第3单元函数及其图象第15课时二次函数的图象和性质二检测湘教版
课时训练(十五)二次函数的图象和性质(二)
|夯实基础|
一、选择题
1．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3
2．[2017·衡阳模拟]已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2017的值为( ) A．2014 B．2015
C．2016 D．2018
3．[2017·枣庄]已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( )
A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)
B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
4．[2017·长郡模拟]抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有交点，则m的取值范围是( )
A．m≤2 B．m＜－2
C．m＞2 D．0＜m≤2
5．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图K15－1，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为( ) A．－3 B．3
C．－6 D．9
K15－1
K15－2
6．若二次函数y＝x2＋mx图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的解为( )
A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图K15－2所示，则|a－b＋c|＋|2a＋b|＝( )
A．a＋b B．a－2b
C．a－b D．3a
图K15－3
8．[2016·枣庄]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图K15－3所示，给出以下四个结论：①abc＝0；②a ＋b＋c>0；③a>b；④4ac－b2<0.其中正确的结论有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
二、填空题
9．若二次函数y＝x2＋2x＋m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是________．
10．[2016·泰安]将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的解析
式为____________．
图K15－4
11．[2017·株洲]如图K15－4，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，
0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：
①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x 2＞5－1.以上结论中，正确的结论序号是________．
三、解答题
12．已知抛物线y ＝(x －m)2－(x －m)，其中m 是常数．
(1)求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点．
(2)若该抛物线的对称轴为直线x ＝52
. ①求该抛物线所对应的函数表达式；
②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．
|拓 展 提 升|
13．[2017·邵阳]如图K15－5，顶点为(12，－94
)的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点M(2，0)． (1)求抛物线的解析式；
(2)点A 是抛物线与x 轴的交点(不与点M 重合)，点B 是抛物线与y 轴的交点，点C 是直线y ＝x ＋1上一点(处于x
轴下方)，点D 是反比例函数y ＝k x
(k>0)图象上一点．若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，求k 的值． 图K15－5
14．[2017·益阳]如图K15－6①，直线y ＝x ＋1与抛物线y ＝2x 2相交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ，M ，N 关于x
轴对称，连接AN ，BN.
(1)①求A ，B 的坐标；
②求证：∠ANM＝∠BNM；
(2)如图②，将题中直线y ＝x ＋1变为y ＝kx ＋b(b>0)，抛物线y ＝2x 2变为y ＝ax 2(a>0)，其他条件不变，那么∠
ANM ＝∠BNM 是否仍然成立？请说明理由．
图K15－6
参考答案
1．C [解析] 将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位，得到抛物线y ＝x 2＋2－1＝x 2＋1.
2．D [解析] ∵抛物线y ＝x 2－x －1与x 轴的一个交点为(m ，0)，∴m 2－m －1＝0，
∴m 2－m ＝1，∴m 2－m ＋2017＝1＋2017＝2018
3．D [解析] 将a ＝1代入原函数解析式，令x ＝－1求出y 值，由此得出A 选项不符合题意；B.将a ＝－2代入原函数解析式，令y ＝0，根据根的判别式Δ＝8＞0，可得出当a ＝－2时，函数图象与x 轴有两个不同的交点，即B 选项不符合题意；C.利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a 的取值范围，由此可得出C 选项不符合题意；D.利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D 选项符合题意．
4．A [解析] 由题意可知：Δ＝4－4(m －1)≥0，∴m ≤2，故选A.
5．B [解析] ∵抛物线的开口向上，顶点的纵坐标为－3，
∴a ＞0，－b 24a
＝－3，即b 2＝12a. ∵关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，
∴Δ＝b 2－4am≥0，即12a －4am≥0，
即12－4m≥0，解得m≤3，
∴m 的最大值为3.
6．D [解析] ∵二次函数y ＝x 2＋mx 图象的对称轴是直线x ＝2，∴－m 2
＝2，解得m ＝－4，∴关于x 的方程x 2＋mx ＝5可化为x 2－4x －5＝0，即(x ＋1)(x －5)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5.
7．D [解析] 根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，a ＞0，又抛物线过坐标原点，∴c ＝0.∵抛物线的对称轴
为直线x ＝－b 2a ，∴0＜－b 2a
＜1，解得－2a ＜b ＜0，∴|a －b ＋c|＝a －b ，|2a ＋b|＝2a ＋b ，∴|a －b ＋c|＋|2a ＋b|＝a
－b ＋2a ＋b ＝3a.
8．C [解析] 由图可知，图象经过原点，则c ＝0，
∴abc ＝0，结论①正确；
当x ＝1时，对应的图象上的点在第四象限，∴a ＋b ＋c<0，结论②错误；
∵－b 2a ＝－32
，∴b ＝3a ，∵a<0，∴b<0，∴a>b ，结论③正确； 抛物线与x 轴有两个交点，则b 2－4ac>0，∴4ac －b 2<0，结论④正确．故答案为C.
9．m ＞1 [解析] 根据抛物线y ＝x 2＋2x ＋m 与x 轴没有公共点可知，方程x 2＋2x ＋m ＝0没有实数根，
∴判别式Δ＝22－4×1×m＜0，∴m ＞1.
10．y ＝2(x ＋2)2－2
11．①④ [解析] 由图象可知抛物线开口向上，∴a ＞0，由抛物线经过A(－1，0)，B(0，－2)，对称轴在y 轴的
右侧可得：?????a －b ＋c ＝0，c ＝－2，－b 2a >0，由此可得：a －b ＝2，b ＜0.故a ＝2＋b ＜2，综合可知0＜a ＜2；将a ＝b ＋2代入0＜a ＜2
中得：0＜b ＋2＜2，可得－2＜b ＜0；
当|a|＝|b|时，因为a ＞0，b ＜0，故有a ＝－b.又a －b ＝2，可得a ＝1，b ＝－1.
故原函数为y ＝x 2－x －2，当y ＝0时，即有x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2，
x 2＝2＞5－1.故答案为：①④.
12．解：(1)证明：y ＝(x －m)2－(x －m)＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ，
∵Δ＝(2m ＋1)2－4(m 2＋m)＝1>0，
∴不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点．
(2)①∵x＝－－（2m ＋1）2＝52
，∴m ＝2， ∴抛物线所对应的函数表达式为y ＝x 2－5x ＋6.
②设抛物线沿y 轴向上平移k 个单位后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点，则平移后抛物线所对应的函数表
达式为y ＝x 2－5x ＋6＋k.
∵抛物线y ＝x 2－5x ＋6＋k 与x 轴只有一个公共点，
∴Δ＝52－4(6＋k)＝0，∴k ＝14
， 即把该抛物线沿y 轴向上平移14
个单位后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点． 13．解：(1)依题意可设抛物线为y ＝a(x －12)2－94，将M(2，0)代入可得a ＝1，则抛物线的解析式为y ＝(x －12
)2－94
＝x 2－x －2. (2)当y ＝0时，x 2－x －2＝0，
解得x 1＝－1，x 2＝2，所以A(－1，0)，
当x ＝0时，y ＝－2，所以B(0，－2)．
在Rt △OAB 中，OA ＝1，OB ＝2，∴AB ＝ 5.
设直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为点G ，易求G(0，1)，
∴Rt △AOG 为等腰直角三角形，∴∠AGO ＝45°.
∵点C 在直线y ＝x ＋1上且在x 轴下方，而k>0，
∴y ＝k x
的图象位于第一、三象限，故点D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况： ①此菱形以AB 为边且AC 也为边，如图①所示，过点D 作DN⊥y 轴于点N ，
在Rt △BDN 中，∵∠DBN ＝∠AGO＝45°，
∴DN ＝BN ＝52
＝102， ∴D(－102，－102
－2)，
∵点D 在y ＝k x
的图象上， ∴k ＝－102·(－102－2)＝52
＋10. ②此菱形以AB 为对角线，如图②所示，作AB 的垂直平分线CD 交直线y ＝x ＋1于点C ，交y ＝k x
的图象于点D.再分别过点D ，B 作DE⊥x 轴于点F ，BE ⊥y 轴，DE 与BE 相交于点E.
在Rt △BDE 中，同①可证∠AGO＝∠DBO＝∠BDE＝45°，∴BE ＝DE.
可设点D 的坐标为(x ，x －2)．
∵BE 2＋DE 2＝BD 2，∴BD ＝2BE ＝2x.
∵四边形ACBD 是菱形，∴AD ＝BD ＝2x.
∴在Rt △ADF 中，AD 2＝AF 2＋DF 2，即(2x)2＝(x ＋1)2＋(x －2)2，解得x ＝52
， ∴点D 的坐标为(52，12)，∵点D 在y ＝k x (k>0)的图象上，∴k ＝54
. 综上所述，k 的值为52＋10或54
. 14．解：(1)①联立?
????y ＝x ＋1，y ＝2x 2，化简得2x 2＝x ＋1，解得：x ＝－12或x ＝1. 当x ＝－12时，y ＝12
；当x ＝1时，y ＝2. ∴A ，B 两点的坐标分别为(－12，12
)，(1，2)． ②证明：如图①，过A 作AC⊥y 轴于C ，过B 作BD⊥y 轴于D.
由①及已知有A(－12，12
)， B(1，2)，OM ＝ON ＝1，
∴tan ∠ANM ＝AC CN ＝121＋12
＝13， tan ∠BNM ＝BD DN ＝11＋2＝13
， ∴tan ∠ANM ＝tan ∠BNM ，∴∠ANM ＝∠BNM.
(2)∠ANM＝∠BNM 成立．
①当k ＝0时，△ABN 是关于y 轴对称的轴对称图形，
∴∠ANM ＝∠BNM.
②当k≠0时，根据题意得：OM ＝ON ＝b ，
设A(x 1，ax 12)，B(x 2，ax 22)．
如图②，过A 作AE⊥y 轴于E ，
过B 作BF⊥y 轴于F.
联立?
????y ＝kx ＋b ，y ＝ax 2，消y 得ax 2＝kx ＋b ， 即ax 2－kx －b ＝0，
∴x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－b a
. ∵NF BF －NE AE ＝b ＋ax 22x 2－b ＋ax 12－x 1
＝bx 1＋ax 1x 22＋bx 2＋ax 2x 12x 1x 2
＝（x 1＋x 2）（ax 1x 2＋b ）x 1x 2
＝k a [a·（－b a ）＋b]－b a
＝0. ∴NF BF ＝NE AE
. 又∵∠AEN＝∠BFN＝90°，
∴Rt △AEN∽Rt △BFN ，
∴∠ANM ＝∠BNM.