三角函数与解三角形测试题及详解
三角函数与解三角形测
试题及详解
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三角函数与三角形
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符号题目要求的。)
1.(2011·宁夏银川一中检测)y=(sin x+cos x)2-1是()
A.最小正周期为2π的偶函数 B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数
[答案] D
[解析] y=(sin x+cos x)2-1=2sin x cos x=sin2x,所以函数y=(sin x+cos x)2-1
是最小正周期为π的奇函数.
2.(2011·宁夏银川月考、山东聊城一中期末)把函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,
|φ|<π)的图象向左平移个单位,再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标
不变)所得的图象解析式为y=sin x,则( )
A.ω=2,φ=B.ω=2,φ=-
C.ω=,φ=D.ω=,φ=
[答案] B
[分析] 函数y=sin(ωx+φ)经过上述变换得到函数y=sin x,把函数y=sin x的图象经过上述变换的逆变换即可得到函数y=sin(ωx+φ)的图象.[解析] 把y=sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍得到的函数解析式是y=sin2x,再把这个函数图象向右平移个单位,得到的函数图象的解析式是y=sin2=sin,
与已知函数比较得ω=2,φ=-.
[点评] 本题考查三角函数图象的变换,试题设计成逆向考查的方式更能考查出考生的分析解决问题的灵活性,本题也可以根据比较系数的方法求解,根据已知的变换方法,经过两次变换后函数y=sin(ωx+φ)被变换成y=sin比较系数也可以得到问题的答案.3.(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)若函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周
期为1,则它的图像的一个对称中心为( )
A. B.
C.(0,0) D.
[答案] A
[分析] 把函数化为一个角的一种三角函数,根据函数的最小正周期求出ω的值,根据对称中心是函数图象与x轴的交点进行检验或直接令f(x)=0求解.[解析] f(x)=sinωx+cosωx=sin,这个函数的最小正周期是,令=1,解得ω=2,故函数f(x)=sinωx+cosωx=sin,把选项代入检验知点为其一个对称中心.[点评] 函数y=A sin(ωx+φ)的图象的对称中心,就是函数图象与x轴的交点.4.(2011·江西南昌市调研)已知函数y=A sin(ωx+φ)+m(A>0,ω>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析
式是( )
A.y=4sin B.y=2sin+2
C.y=2sin+2 D.y=2sin+2
[答案] D
[解析] 由最大值为4,最小值为0得
,∴,
又因为正周期为,∴=,∴ω=4,∴函数为y=2sin(4x+φ)+2,∵直线x=为其对称轴,∴4×+φ=+kπ,k∈Z,∴φ=kπ-,取k=1知φ=,故选D.
5.(文)(2011·北京朝阳区期末)要得到函数y=sin的图象,只要将函数y=sin2x
的图象( )
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向右平移个单位D.向左平移个单位
[答案] C
[解析] y=sin=sin2,故只要将y=sin2x的图象向右平移个单位即可.因此选C.
(理)(2011·东北育才期末)已知a=(cos x,sin x),b=(sin x,cos x),记f(x)=a·b,要得到函数y=cos2x-sin2x的图像,只需将函数y=f(x)的图像( )
A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
[答案] C
[解析] f(x)=a·b=cos x sin x+sin x cos x=sin2x,y=cos2x-sin2x=cos2x=sin
=sin2,可将f(x)的图象向左平移个单位长度得到,故选C.
6.(文)(2011·北京西城区期末)已知△ABC中,a=1,b=,B=45°,则角A等于
( )
A.150°B.90°
C.60°D.30°
[答案] D
[解析] 根据正弦定理得=,∴sin A=,
∵a
(理)(2011·福州期末)黑板上有一道解答正确的解三角形的习题,一位同学不小心把其中一部分擦去了,现在只能看到:在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a=2,……,解得b=.根据以上信息,你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余
已知条件
....( )
A.A=30°,B=45°B.c=1,cos C=
C.B=60°,c=3 D.C=75°,A=45°
[答案] D
[分析] 可将选项的条件逐个代入验证.
[解析] ∵≠,∴A错;
∵cos C==≠,∴B错;
∵==≠cos60°,
∴C错,故选D.
7.(文)(2011·黄冈市期末)已知函数y=A sin(ωx+φ)+b的一部分图象如图所
示,如图A>0,ω>0,|φ|<,则( )
A.φ=-B.φ=-
C.φ=D.φ=
[答案] D
[解析] 由图可知,∴,
又=-=,∴T=π,∴ω=2,
∴y=2sin(2x+φ)+2,将代入得sin=0,结合选项知选D.
(理)(2011·蚌埠二中质检)函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数
的部分图象如右图所表示,A、B分别为最高与最低点,并且两点间的距离为2,则该函数
的一条对称轴为( )
A.x=B.x=
C.x=1 D.x=2
[答案] C
[解析] ∵函数y=cos(ωx+φ)为奇函数,0<φ<π,∴φ=,∴函数为y=-sinωx,又ω>0,相邻的最高点与最低点A、B之间距离为2,∴ω=,∴y=-sin x,其对称轴方程为x=kπ+,即x=2k+1(k∈Z),令k=0得x=1,故选C.
8.(文)(2011·安徽百校联考)已知cos=,且|φ|<,则tanφ等于( )
A.- B.
C. D.-
[答案] D
[解析] 由cos=得,sinφ=-,
又|φ|<,∴cosφ=,∴tanφ=-.
(理)(2011·山东日照调研)已知cosα=-且α∈,则tan等于( )
A.-B.-7
C. D.7
[答案] C
[解析] ∵cosα=-,≤α≤π,
∴sinα=,∴tanα=-,
∴tan===,故选C.
9.(2011·巢湖质检)如图是函数y=sin(ωx+φ)的图象的一部分,A,B是图象上的一个最高点和一个最低点,O为坐标原点,则·的值为( )
A.π
B.π2+1
C.π2-1
D.π2-1
[答案] C
[解析] 由图知=-=,∴T=π,
∴ω=2,∴y=sin(2x+φ),
将点的坐标代入得sin=0,
∴φ=,
∴A,B,∴·=-1,故选C.
10.(2011·潍坊一中期末)已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[-,]上的最大值
是2,则ω的最小值等于( )
A. B.
C.2 D.3
[答案] C
[解析] 由条件知f=2sinω=2,∴ω=8k+2,∵ω>0,∴ω最小值为2.
11.(文)(2011·烟台调研)已知tanα=2,则=( )
A. B.-
C. D.
[答案] D
[解析] ∵tanα=2,∴===.
(理)(2011·四川广元诊断)的值应是( )
A.-1 B.1
C.- D.
[答案] C
[解析]
原式=
==-.
12.(2011·温州八校期末)在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,设命题p:==,命题q:△ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵==,
∴由正弦定理得==,
∴sin A=sin B=sin C,即a=b=c,∴p?q,故选C.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)
13.(文)(2011·山东日照调研)在△ABC中,若a=b=1,c=,则∠C=________.
[答案]
[解析] cos C===-,∴C=.
(理)(2011·四川资阳模拟)在△ABC中,∠A=,BC=3,AB=,则∠C=________.
[答案]
[解析] 由正弦定理得=,∴sin C=,∵AB 14.(2011·山东潍坊一中期末)若tanα=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)的 值为________. [答案] [解析] tan(β-2α)=tan[(β-α)-α] ===. 15.(2011·安徽百校论坛联考)已知f(x)=2sin-m在x∈[0,]上有两个不同的零 点,则m的取值范围是________. [答案] [-1,2] [解析] f(x)在[0,]上有两个不同零点,即方程f(x)=0在[0,]上有两个不同实数 解, ∴y=2sin,x∈[0,]与y=m有两个不同交点, ∵0≤x≤,∴-≤2x-≤, ∴-≤sin(2x-)≤1,∴-1≤y≤2,∴-1≤m≤2. 16.(2011·四川广元诊断)对于函数f(x)=2cos2x+2sin x cos x-1(x∈R)给出下列命题:①f(x)的最小正周期为2π;②f(x)在区间[,]上是减函数;③直线x=是f(x)的图像的一条对称轴;④f(x)的图像可以由函数y=sin2x的图像向左平移而得到.其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都填上). [答案] ②③ [解析] f(x)=cos2x+sin2x=sin,最小正周期T=π;由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z)得kπ+≤x≤kπ+,故f(x)在区间[,]上是减函数;当x=时,2x+=,∴x=是f(x)的图象的一条对轴称;y=sin2x的图象向左平移个单位得到的图象对应函数为y= sin2,即y=sin,因此只有②③正确. 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 17.(本小题满分12分)(2011·烟台调研)向量m=(a+1,sin x),n=(1,4cos(x +)),设函数g(x)=m·n(a∈R,且a为常数). (1)若a为任意实数,求g(x)的最小正周期; (2)若g(x)在[0,)上的最大值与最小值之和为7,求a的值. [解析] g(x)=m·n=a+1+4sin x cos(x+) =sin2x-2sin2x+a+1 =sin2x+cos2x+a =2sin(2x+)+a (1)g(x)=2sin(2x+)+a,T=π. (2)∵0≤x<,∴≤2x+< 当2x+=,即x=时,y max=2+a. 当2x+=,即x=0时,y min=1+a, 故a+1+2+a=7,即a=2. 18.(本小题满分12分)(2011·四川资阳模拟)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在x=取得最大值2,方程f(x)=0的两个根为x1、x2,且|x1-x2|的最小值 为π. (1)求f(x); (2)将函数y=f(x)图象上各点的横坐标压缩到原来的,纵坐标不变,得到函数y= g(x)的图象,求函数g(x)在[-,]上的值域. [解析] (1)由题意A=2,函数f(x)最小正周期为2π,即=2π,∴ω=1. 从而f(x)=2sin(x+φ),∵f=2, ∴sin=1,则+φ=+2kπ,即φ=+2kπ, ∵0<φ<π,∴φ=.故f(x)=2sin. (2)可知g(x)=2sin, 当x∈[-,]时,2x+∈[-,],则 sin∈[-,1], 故函数g(x)的值域是[-1,2]. 19.(本小题满分12分)(2011·山西太原调研)在△ABC中,A、B、C的对边分别为 a、b、c,已知a+b=5,c=,且4sin2-cos2C=. (1)求角C的大小; (2)求△ABC的面积. [解析] (1)∵A+B+C=180°,4sin2-cos2C=.∴4cos2-cos2C=, ∴4·-(2cos2C-1)=, ∴4cos2C-4cos C+1=0,解得cos C=, ∵0° (2)∵c2=a2+b2-2ab cos C, ∴7=(a+b)2-3ab,解得ab=6. ∴S△ABC=ab sin C=×6×=. 20.(本小题满分12分)(2011·辽宁大连联考)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0, ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若f=,0<α<,求cosα的值. [解析] (1)由图象知A=1 f(x)的最小正周期T=4×=π,故ω==2 将点代入f(x)的解析式得sin=1, 又|φ|<,∴φ= 故函数f(x)的解析式为f(x)=sin (2)f=,即sin=,又0<α<, ∴<α+<,∴cos=. 又cosα=[(α+)-] =coscos+sinsin=. 21.(本小题满分12分)(文)(2011·浙江宁波八校联考)A、B是单位圆O上的动点,且A、B分别在第一、二象限,C是圆O与x轴正半轴的交点,△AOB为等腰直角三角 形.记∠AOC=α. (1)若A点的坐标为,求的值; (2)求|BC|2的取值范围. [解析] (1)∵tanα==, ∴原式==20. (2)A(cosα,sinα),B(cos(α+),sin(α+)),且C(1,0) |BC|2=[cos(α+)-1]2+sin2(α+)=2+2sinα 而A,B分别在第一、二象限,α∈, ∴|BC|2的取值范围是(2,4). (理)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)A、B、C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a、b、c,若m=,n=,且m·n=. (1)求角A的大小; (2)若a=2,三角形面积S=,求b+c的值. [解析] (1)m·n=-cos2+sin2=-cos A=, ∴cos A=-,∵A∈(0°,180°),∴A=120°. (2)S△ABC=bc sin120°= ∴bc=4, 又∵a2=b2+c2-2bc cos120° =b2+c2+bc=(b+c)2-bc=12, ∴b+c=4. 22.(本小题满分12分)(2011·黑龙江哈六中期末)在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=. (1)若△ABC的面积等于,求a,b; (2)若sin C+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积. [解析] (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4,又因为△ABC的面积等于,所以ab sin C=,得ab=4.联立方程组解得a=2,b=2. (2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sin A cos A,即sin B cos A=2sin A cos A, 当cos A=0时,A=,B=,a=,b=, 当cos A≠0时,得sin B=2sin A,由正弦定理得b=2a,联立方程组 解得a=,b=. 所以△ABC的面积S=ab sin C=. 三角函数及解三角形练习题 一.解答题(共16小题) 1.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,求C的大小. 2.已知3sinθtanθ=8,且0<θ<π. (Ⅰ)求cosθ; (Ⅱ)求函数f(x)=6cosxcos(x﹣θ)在[0,]上的值域. 3.已知是函数f(x)=2cos2x+asin2x+1的一个零点. (Ⅰ)数a的值; (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间. 4.已知函数f(x)=sin(2x+)+sin2x. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若函数g(x)对任意x∈R,有g(x)=f(x+),求函数g(x)在[﹣,]上的值域. 5.已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值; (2)求f(x)的单调递增区间. 6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣≤φ<)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (Ⅰ)求ω和φ的值; (Ⅱ)若f()=(<α<),求cos(α+)的值. 7.已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π]. (1)若∥,求x的值; (2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 8.已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2a﹣c)cosB=bcosC,求的取值围. 9.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,M 为最高点,该图象与y轴交于点F(0,),与x轴交于点B,C,且△MBC的面积为π. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)若f(α﹣)=,求cos2α的值. 10.已知函数. (Ⅰ)求f(x)的最大值及相应的x值; (Ⅱ)设函数,如图,点P,M,N分别是函数y=g(x)图象的零值点、最高点和最低点,求cos∠MPN的值. 11.设函数f(x)=sin(ωx﹣)+sin(ωx﹣),其中0<ω<3,已知f ()=0. 三角形解答题单元培优测试卷 一、八年级数学三角形解答题压轴题(难) 1.已知在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°. (1)∠ABC+∠ADC=°; (2)如图①,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角,请写出DE与BF的位置关系,并证明; (3)如图②,若BE,DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=1 4 ∠CDN,∠CBE =1 4 ∠CBM),试求∠E的度数. 【答案】(1)180°;(2)DE⊥BF;(3)450 【解析】 【分析】 (1)根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解; (2)延长DE交BF于G,根据角平分线的定义可得∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 然后求出∠CDE=∠CBF,再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°,最后根据垂直的定义证明即可; (3)先求出∠CDE+∠CBE,然后延长DC交BE于H,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可. 【详解】 (1)解:∵∠A=∠C=90°, ∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°; 故答案为180°; (2)解:延长DE交BF于G, ∵DE平分∠ADC,BF平分∠CBM, ∴∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-(180°-∠ADC)=∠ADC,∴∠CDE=∠CBF, 又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE, ∴∠BGE=∠C=90°, ∴DG⊥BF, 即DE⊥BF; (3)解:由(1)得:∠CDN+∠CBM=180°,∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角, ∴∠CDE+∠CBE=1 4 ×180°=45°, 延长DC交BE于H, 由三角形的外角性质得,∠BHD=∠CDE+∠E,∠BCD=∠BHD+∠CBE, ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E, ∴∠E=90°-45°=45° 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理,四边形的内角和定理,角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质是解题的关键,要注意整体思想的利用. 2.如图,在△ABC 中,记∠A=x 度,回答下列问题: (1)图中共有三角形个. (2)若 BD,CE 为△ABC 的角平分线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式 表示),并证明你的结论. (3)若 BD,CE 为△ABC 的高线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式表示),并证明你的结论. 【答案】(1)图中共有三角形 8 个;(2)(90+1 2 x ) ;(3)(180-x). 【解析】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理,分析题意观察图形,根据三角形内角和为180°可知 三角函数、解三角形 1.弧长公式:r l α= 扇形面积公式:22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式: 平方关系:1cos sin 2 2 =+αα 商数关系:sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式(把角写成απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式: βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如: x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理: 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径) 8.余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc =+-A ,2 2 2 2cos b a c ac =+-B ,2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论:222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =,222 cos 2a b c C ab +-=. 三角函数与解三角形 一、选择题 (2016·7)若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) A .()26k x k Z ππ =-∈ B .()26k x k Z ππ =+∈ C .()212 k x k Z ππ =-∈ D .()212 k x k Z ππ =+∈ (2016·9)若3 cos( )45 π α-=,则sin 2α =( ) A . 725 B .15 C .1 5 - D .7 25 - (2014·4)钝角三角形ABC 的面积是12 ,AB =1,BC ,则AC =( ) A .5 B C .2 D .1 (2012·9)已知0>ω,函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减,则ω的取值范围是() A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] (2011·5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos2θ =( ) A .45 - B .35 - C .35 D .45 (2011·11)设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π,且()()f x f x -=, 则( ) A .()f x 在(0,)2π 单调递减 B .()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C .()f x 在(0,)2π 单调递增 D .()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 (2017·14)函数()23sin 4f x x x =- (0,2x π?? ∈???? )的最大值是 . (2016·13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若cos 4 5 A = ,1cos 53C =,a = 1,则b = . (2014·14)函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. (2013·15)设θ为第二象限角,若1 tan()42 πθ+=,则sin cos θθ+=_________. (2011·16)在△ABC 中,60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题三角函数与解三角形练习题
三角形解答题单元培优测试卷
高中数学三角函数、解三角形知识点
高考数学三角函数与解三角形练习题
高二解三角形综合练习题