高一数学《函数的单调性与最值》第二课时教案

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函数的单调性与最值 第二课时

教学目标：

1. 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用。

2. 启发学生学会分析问题，认识问题和创造性的解决问题。

3. 通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。

新知探究

。 x,f(x)与f(x)≤2成立，但f(x)的最大值不是2,因为找不到一个自变量x.,使得f(x)=2成立

思考4：怎样定义函数f(x)的最大值？用什么符号表示？

一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1） 对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ； （2） 存在x 0

I,使得f(x 0)=M.

那么，我们称M 是函数y=f(x)的最大值（maximum value ）

思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？如果函数f(x)的值域是（a,b ）,则函数f(x)存在最大值吗？

最大值是函数值域中的一个元素，函数图像上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图像上的点，因此若f(x)的值域是（a,b ），则f(x)没有最大值。

2

（4） 存在x 0

I,使得f(x 0)=M.

那么，我们称M 是函数y=f(x)的最小值（minimum value ） 理论迁移

例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h 米与时间t 秒之间的关系为h(t )=-4.9t 2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1米）？

例2 已知函数f(x)=1

x 2-(x ∈［2,6］),求函数的最大值和最小值。

归纳基本初等函数的单调性及最值

1. 正比例函数：f(x)=kx(k ≠0)，当k 0时,f(x)在定义域R 上为增函数；当k 0时,f(x)在

定义域R 上为减函数，在定义域R 上不存在最值，在闭区间［a,b ］上存在最值，当k 0时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka, 当k 0时, ,最大值为f(a)=ka ，函数f(x)的最小值为f(b)=kb 。 2. 反比例函数：f(x)=

x

k (k ≠0)，在定义域（-∞，0） （0,+∞）上无单调性，也不存在

3 最值。当k 0时，在（-∞，0），（0,+∞）为减函数；当k 0时，在（-∞，0），（0,+∞）为增函数。在闭区间［a,b ］上，存在最值，当k 0时函数f(x)的最小值为f(b)= b

k ,

最大值为f(a)=

a

k , 当k 0时, 函数f(x)的最小值为f(a)=

a

k ，最大值为f(b)=

b

k 。

3. 一次函数：f(x)=kx+b(k ≠0),在定义域R 上不存在最值，当k 0时，f(x)为R 上的增，当k 0时，f(x)为R 上的减函数，在闭区间［m,n ］上，存在最值，当k 0时函数f(x)

的最小值为f(m)=km+b,最大值为f(n)=kn+b, 当k 0时, 函数f(x)的最小值为f(n)=kn+b ，最大值为f(m)=km+b 。 4. 二次函数：f(x)=ax 2+bx+c,

当a 0时，f(x)在（-∞,-a

b 2）为减函数，在（-

a

b 2，+∞）为增函数，在定义域R 上

有最小值f(a

b 2)=

a

b a

c 442

-,无最大值。

当a 0时，f(x)在（-∞,-a

b 2）为增函数，在（-a

b 2，+∞）为减函数，在定义域R 上

有最大值f(a

b 2)=

a

b a

c 442

-,无最小值。

二次函数是闭区间上的最值问题是高考考查重点和热点内容之一，我们将在后面的专题

中具体讲解。

证明函数单调性作差中常用方法

例1 证明函数f(x)=x 3+x 在R 上是单调增函数。 配方法

例2 证明函数f （x ）= -x 在定义域上是减函数。 分子有理化

例3 讨论函数f(x)＝

1

ax 2

-x 在x ∈(-1,1)上的单调性，其中a 为非零常数。

含字母参数时，要讨论参数范围

4

常用结论

例4 讨论函数f(x)=

1

12

++x x 的单调性。

总结：1.函数y=-f(x)与函数y=f(-x)的单调性相反。

2. .函数y=f(x)+c 与函数y=f(x)的单调性相同。

3.当c 0时，函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相同，当c 0时，函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相反。

4.若f(x)≠0,则函数f(x)与

)

(1x f 具有相反的单调性。

5.若f(x)≥0，则函数f(x)与)(x f 具有相同的单调性。

6.对于函数f(x)与g(x)可以总结为：

增+增＝增，增—减＝增，减+减＝减，减—增＝减

7.当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y=f ［g(x)］是增函数； 当函数f(x)和g(x)的单调性相反时，复合函数y=f ［g(x)］是减函数。 简称为口诀“同增异减”。

练习： 1．已知y=f(x)与y=g(x)均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的单调性。 （1） y=-2f(x) （2） y=f(x)+2g(x) 2. 求函数y=x +1-x 的最小值。

抽象函数的单调性

没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，根据题目研究抽象函数的单调性，是一类重要的题型，证明抽象函数的单调性常用定义法；还有一类型的题目是利用抽象函数的单调性求参数范围。

例1 已知函数f(x)对任意x,y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x 0时，f(x) 0,f(1)=--3

2,.

(1) 求证f(x)在R 上是减函数。

(2) 求f(x)在［-3，3］上的最大值和最小值。

例2 已知y=f(x)在定义域（-1,1）上是减函数，且f(1-a) f(a 2-1),求a 的取值范围。

练习：

1. 定义域在（0,+∞）上的函数f(x)满足:（1）f(2)=1; (2) f(xy)=f(x)+f(y); (3) 当x y 时，

有f(x) f(y),若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围。

5

2. 已知函数f(x)的定义域为R ，且f(

2

1)=2,对任意m ,n R ∈都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,当

x 2

1- 时，f(x)0 .

(1).求f(-2

1)的值。

（2）求证f(x)在定义域R 上是增函数。

函数单调性的应用

1.利用函数的单调性比较函数值的大小

例1 如果函数f(x)=x 2+bx+c,对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1)，f(2)，f(4)的大小。 例2 已知函数y=f(x)在［0,+∞）上是减函数，试比较f(

4

3)与f(a 2-a+1)的大小。

2.利用函数的单调性解不等式

例3 已知f(x)是定义在R 上的单调函数，且f(x)的图像过点A(0,2),和点B(3,0) （1）解方程 f(x)=f(1-x)

(2) 解不等式 f(2x) f(1+x)

(3) 求适合f(x)≥2或f(x)≤0的x 的取值范围。

3．利用函数的单调性求参数的取值范围

已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题。这类问题能够加深对概念、性质的理解。

例3 已知f(x)=x 2-2(1-a)x+2在（-∞，4）上是减函数，求实数a 的取值范围。

例4 已知A ＝［1,b ］(b 1 ),对于函数f(x)=2

1(x-1)2+1,若f(x)的定义域和值域都为A ，

求b 的值。

练习：已知函数y=f(x)=-x 2+ax-4

a +

2

1在区间[0,1]上的最大值为2,求实数a 的值。

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求函数值域的一般方法

1.二次函数求最值，要注意数形结合

与二次函数有关的函数，可以用配方法求值域，但要注意函数的定义域。 例1：求函数y=2x -2

++x 的最大值和最小值。

例2：求f(x)=x 2-2ax+x2,x ∈［-1,1］,求f(x)的最小值g(a).

g(a)=??

?

??≤+--≥1,2311,21a a,2-32a a a a

2.形如y=ax+b ±

d +cx 的形式，可用换元法，即设t ＝d cx +，转化成二次函数再求值

域，（注意新元t 的范围t ≥0） 例3：求函数y=x+1x 2-的值域。

3.形如y=

b

ax d x ++c (a 0≠)型的函数可借助反比例函数求其值域，这种方法也常被称为分离常

数法。这种函数的值域为{y|y ≠a

c }

例4：求函数y=

2

1x 3-+x 的值域。

4.利用单调性求值域：当函数图像不好作或作不出来时，单调性成为求值域的首选方法。 例5：求函数f(x)=1

x -x 在区间［2,5］上的最大值与最小值。

5. 分段函数的最值问题

分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数函数的最大或最小值，应该先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值。 例6：已知函数f(x)=???????≤≤≤-)21(,1)12

1(,x 2

x x

x 求f(x)的最大最小值。