2020_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案含解析
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
[目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数．
[重点] 理解导数的概念．
[难点] 理解导数与瞬时变化率的关系．
知识点一 平均变化率
[填一填]
1．平均变化率的定义
对于函数f (x )，当自变量x 从x 1变到x 2时，函数值从f (x 1)变到f (x 2)，则称式子
f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1
为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率．
2．符号表示
习惯上，自变量的改变量用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，于是平均变化率可以表示为Δy
Δx
.
3．平均变化率的几何意义
如图所示，函数f (x )的平均变化率的几何意义是：直线AB 的斜率．事实上，k AB ＝y A －y B
x A －x B
＝
f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
＝Δy
Δx .根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率．
[答一答]
1．若函数在某区间上的平均变化率为零，能否说明此函数在此区间上的函数值都相等？
提示：不能．比如，f(x)＝x2在[－2,2]上的平均变化率为0，但其图象在[－2,2]上先下降后上升，值域是[0,4]．
2．一次函数f(x)＝ax＋b从x1到x2的平均变化率有什么特点？
提示：一次函数的图象为直线，图象上任意两点间连线的斜率固定不变，故一次函数定义域内的任意两个自变量之间的平均变化率等于常数a.
知识点二导数的概念
[填一填]
1．导数的定义
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim
Δx→0Δy
Δx＝lim
Δx→0
f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx，称它为
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．2．导数的符号表示
用f′(x0)或y′|x＝x
表示函数f(x)在x＝x0处的导数，即f′(x0)＝lim
Δx→0Δy
Δx＝lim
Δx→0
f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx.
[答一答]
3．根据平均速度与瞬时速度的定义探究以下问题：
(1)物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗？
(2)如何计算物体的平均速度和瞬时速度？
提示：(1)不能，物体的瞬时速度是指某一时刻的速度，而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度．
(2)平均速度：一物体的运动方程为s＝s(t)，则它在[t1，t2]这个时间段内的平均速度为
s(t2)－s(t1) t2－t1.瞬时速度：一物体的运动方程为s＝s(t)，则它在t0时刻的瞬时速度为lim
Δt→0
s(t0＋Δt)－s(t0)
Δt.
4．根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定义，回答下列问题：
(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的物理意义分别是什么？
(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？
(3)设函数f (x )在x ＝x 0处可导，则导数值与x 0，Δx 都有关吗？
提示：(1)瞬时变化率是平均变化率在Δx 无限趋近于0时，Δy
Δx 无限趋近的值，瞬时变化
率的物理意义是指物体运动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平均速度．
(2)函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点处的导数．
(3)导数是一个局部性的概念，它与函数y ＝f (x )在x 0及附近的函数值有关，与Δx 无关．
1．对Δx ，Δy 的理解
(1)Δx ，Δy 是一个整体符号，而不是Δ与x ，y 相乘．
(2)x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负、也可为零．
2．导数概念的解读
(1)导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与Δx 无关．
(2)f ′(x 0)是一个常数，即当Δx →0时，存在一个常数与f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限接近．如果
当Δx →0时，lim Δx →0
Δy
Δx
不存在，则称函数f (x )在x ＝x 0处不可导．
类型一 求函数的平均变化率
【例1】 已知函数f (x )＝2x 2＋1. (1)求函数f (x )在[2,2.01]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．
【思路分析】 先求Δx ，Δy ，再利用平均变化率的定义求解． 【解】 (1)由f (x )＝2x 2＋1， 得Δy ＝f (2.01)－f (2)＝0.080 2，
Δx ＝2.01－2＝0.01，∴Δy Δx ＝0.080 2
0.01
＝8.02.
(2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1 ＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴
Δy
Δ
x＝
2Δx(2x0＋Δ
x)
Δx＝4x0＋2Δx.
求函数平均变化率的步骤
(1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(2)求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(3)求平均变化率
Δy
Δx＝
f(x2)－f(x1)
x2－x1
.
分别计算下列三个图象表示的函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率．
解：对于(1)，Δh＝h(3)－h(0)＝10－0＝10，∴
Δh
Δt＝
10
3－0
＝
10
3，即平均变化率为
10
3.同理可以算得(2)(3)中函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率均为
10
3.
类型二求瞬时速度
【例2】已知s(t)＝5t2(s单位：m)．
(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度；
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度；
(3)求t＝3 s时的瞬时速度．
【解】(1)当3≤t≤3.1时，Δt＝0.1，
Δs＝s(3.1)－s(3)＝5×(3.1)2－5×32
＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)， ∴Δs Δt ＝5×0.1×6.10.1＝30.5(m/s)． (2)当3≤t ≤3.01时，Δt ＝0.01， Δs ＝s (3.01)－s (3)＝5×(3.01)2－5×32 ＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)， ∴Δs Δt ＝5×0.01×6.010.01＝30.05(m/s)． (3)在t ＝3附近取一个时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)，
∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32 ＝5·Δt ·(6＋Δt )，
∴Δs Δt ＝5Δt (6＋Δt )Δt ＝30＋5Δt . 当Δt 趋于0时，Δs
Δt 趋于30.
∴在t ＝3时的瞬时速度为30 m/s.
瞬时速度即是平均速度\x\to(v )在Δt →0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出平均速度，再求\x\to(v )在Δt →0时的极限值.
甲、乙两工厂经过排污治理，污水的排放流量(W )与时间(t )的关系如图所示，则治污效率较高的是甲．
解析：在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，
然而W 2(t 0－Δt )
0－Δt )Δt |>|W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )
Δt |，
所以在相同时间内甲比乙的平均治污效率高．
类型三 求函数在某点处的导数
【例3】 (1)设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )
A ．f ′(x )＝a
B ．f ′(x )＝b
C ．f ′(x 0)＝a
D ．f ′(x 0)＝b
(2)求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．
【思路分析】 按导数的定义：①求Δy 与Δx ；②求Δy Δx ；③求lim Δx →0
Δy
Δx
.
【解析】 (1)f ′(x 0)＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
＝lim Δx →0
(a ＋b ·Δx )＝a .
(2)解：由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)
Δx
，而
f (1＋Δx )－f (1)
Δx
＝
1＋Δx －1
Δx ＝
11＋Δx ＋1
，
又lim Δx →0
1
1＋Δx ＋1
＝12，所以f ′(1)＝12
. 【答案】 (1)C (2)见解析
由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下：,(1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；
(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx ；
(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0
Δy
Δx
. 简认为：一差，二比，三趋近.
求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．
解：∵Δy ＝3(1＋Δx )2－3×12＝6Δx ＋3(Δx )2， ∴Δy
Δx
＝6＋3Δx ， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝lim Δx →0
(6＋3Δx )＝6.
理解导数概念不到位导致出错
【例4】 设函数f (x )在点x 0处可导，且f ′(x 0)已知，求下列各式的极限值． (1)lim Δx →0
f (x 0－Δx )－f (x 0)
Δx ；
(2)lim h →0
f (x 0＋h )－f (x 0－h )
2h
.
【错解】 (1)lim Δx →0
f (x 0－Δx )－f (x 0)
Δx
＝f ′(x 0)．
(2)lim h →0
f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h
＝1
2lim h →0
f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝12
f ′(x 0)． 【错因分析】 在导数的定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 是哪种形式，Δy 必须选择相对应的形式．如(1)中Δx 的改变量为Δx ＝x 0－(x 0－Δx )，(2)中Δx 的改变量为2h ＝(x 0＋h )－(x 0－h )．
【正解】 (1)lim Δx →0
f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx
＝－lim Δx →0
f (x 0)－f (x 0－Δx )
Δx
＝－f ′(x 0)．
(2)lim h →0
f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h
＝f ′(x 0)．
若函数f(x)在x＝a的导数为m，那么
lim Δx→0f(a＋2Δx)－f(a－2Δx)
Δx的值为4m.
解析：lim
Δx→0f(a＋2Δx)－f(a－2Δx)
Δx
＝lim
Δx→0f(a＋2Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－2Δx)
Δx
＝lim
Δx→0f(a＋2Δx)－f(a)
Δx＋lim
Δx→0
f(a)－f(a－2Δx)
Δx
＝2lim
Δx→0f(a＋2Δx)－f(a)
2Δx＋2lim
Δx→0
f(a－2Δx)－f(a)
－2Δx
＝2m＋2m＝4m.
1．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( D ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt ＋4 C ．2Δt －4
D ．－2Δt －4
解析：v ＝Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×1
2
Δt
＝－4Δt －2(Δt )2
Δt
＝－2Δt －4.
2．物体自由落体运动的方程为s ＝s (t )＝1
2gt 2(g ＝9.8 m/s 2)．若v ＝lim Δt →0
s (1＋Δt )－s (1)Δt
＝9.8
m/s ，那么说法正确的是( C )
A ．9.8 m/s 是在0～1 s 这段时间内的速率
B ．9.8 m/s 是从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率
C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率
D ．9.8 m/s 是物体在1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的平均速率
解析：v ＝lim Δt →0
s (1＋Δt )－s (1)
Δt
＝s ′(1)，即s (t )在t ＝1 s 时的导数值．由导数的物理意义，
得9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率．故选C.
3．一物体的运动方程是s (t )＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为4.1. 解析：v ＝s (2.1)－s (2)2.1－2
＝(3＋2.12)－(3＋22)
0.1＝4.1.
4．如果质点按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为18. 解析：v ＝lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
3(3＋Δt )2－3×32Δt
＝lim Δt →0
(3Δt ＋18)＝18.
5．利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 解：由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0
f (2＋Δx )－f (2)
Δx
，而f (2＋Δx )－
f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－2＝－(Δx )2－Δx ，
于是f ′(2)＝lim Δx →0
－(Δx )2－Δx
Δx
＝lim Δx →0
(－Δx －1)＝－1.
高中数学导数与积分知识点
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结
数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
变化率与导数教案
变化率与导数教案 Prepared on 24 November 2020
第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0 101) ()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，
∴x x f x x f k PQ ?-?+= ) ()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+= ) ()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的 斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常 数称为t=t 0时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量t ?和位置改变量)()(00t s t t s s -?+=? 2.再求平均速度t s v ??= 3.后求瞬时速度：当t ?无限趋近于0，t s ??无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+) ()(00 (5)瞬时加速度：当t ?无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这 个常数称为t=t 0时的瞬时加速度 注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率
高中数学导数及其应用电子教案
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；
②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。
高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版)
高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版） 1．若f (x )＝sin π 3 －cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．Sin α B ．Cos α C ．sin π3＋cos α D ．cos π 3＋sin α [答案] A [解析] ∵f (x )＝sin π 3 －cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n [答案] A [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ，故选A. 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e － 1B ．－1C ．－e － 1 D ．－e [答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1 e ， 解得f ′(e)＝－1 e ，故选C.
《变化率问题与导数的概念》导学案
第1课时变化率问题与导数的概念 a 1.通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念. 2.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤. 3.通过构建导数概念,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验. 4.通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程. 借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.上节课我们已经学习了平均变化率的问题,我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢? 问题1:根据以上情境,设陈若琳相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s) 存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么: (1)在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度= . (2)在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度= . 问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是.如果用x1与增量Δx
表示,平均变化率的公式是. 问题3:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义:一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x 0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)== . 问题4:在导数的定义中,对Δx→0的理解是:Δx>0,Δx<0,但. 1.已知函数y=f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(). A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(). A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 3.一质点按规律s(t)=2t2运动,则在t=2时的瞬时速度为. 4.求y=2x2+4x在点x=3处的导数.
高二数学导数及其应用练习题及答案
（数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；
2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==
变化率与导数、导数的计算
第十一节变化率与导数、导数的计算 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常 数)，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝ 1 x的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导 数. 1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择 题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题， 如2012年广东T12，辽宁T12等． 2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数 函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导 数及求导法则的正确利用. [归纳·知识整合] 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx＝lim Δx→0 Δy Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即 f′(x0)＝lim Δx→0 Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)导数的几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数：
称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． [探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？ 提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0(x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？ 提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数 3．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
高中数学-导数的概念及运算练习
高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A
变化率问题和导数的概念
第一章导数及其应用 1．1变化率与导数 1．1.1变化率问题 1．1.2导数的概念 双基达标(限时20分钟) 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)， 则Δy Δx等于 ()． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 解析Δy Δx＝ f(1＋Δx)－f(1) Δx＝ 2(1＋Δx)2－2 Δx＝4＋2Δx. 答案 C 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是 ()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 解析v＝(3＋2.12)－(3＋22) 0.1＝4.1. 答案 B 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为 ()．A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 答案 A
4．已知函数y ＝2＋1 x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝? ? ???2＋12－(2＋1)＝－12. 答案 －1 2 5．已知函数y ＝2 x ，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝21.5－22＝43－1＝1 3. 答案 1 3 6．利用导数的定义，求函数y ＝1 x 2＋2在点x ＝1处的导数． 解 ∵Δy ＝??????1(x ＋Δx )2＋2－? ???? 1x 2＋2＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2， ∴Δy Δx ＝－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2 ， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2 x 3， ∴y ′|x ＝1＝－2. 综合提高 (限时25分钟) 7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为 ( )． A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 解析 Δy ＝(2＋0.1)2－22＝0.41. 答案 B 8．设函数f (x )可导，则 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1) 3Δx 等于 ( )． A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C.1 3f ′(1) D ．f ′(3)
高中数学导数及其应用
高中数学导数及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如
在点处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间 （）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；
③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时，
导数的运算法则及基本公式应用
120 导数的运算法则及基本公式应用 导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 (★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标. ●案例探究 ［例1］求函数的导数： )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y x x x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数. 错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 222222222222222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(] sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+'+--+'-='解 (2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωx y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·2 1v －21·2x =f ′(12+x )·21 112+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′
变化率与导数、导数的计算 知识点与题型归纳
1 ●高考明方向 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数 y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x 的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. ★备考知考情 由近几年高考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题目很少出现，主要是以导数运算为工具，考查导数的几何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014广东理科10、文科11. 2014广东理科10 曲线52-=+x y e 在点()0,3处的切线方程为 ； 2014广东文科11 曲线53=-+x y e 在点()0,2-处的切线方程为 ；
一、知识梳理《名师一号》P39 知识点一导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化 率lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x . (2)称函数f′(x)＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx为f(x)的导函数. 注意:《名师一号》P40 问题探究问题1 f′(x)与f′(x0)有什么区别？ f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数， f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值． 例.《名师一号》P39 对点自测1 1.判一判 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．() (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．() (3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．() 答案(1)×(2)×(3)√ 2
高中数学-导数的概念几何性质及应用
高中数学 导数及其应用学案 类型一：利用导数研究函数的图像 例2、若函数的导函数．．． 在区间上是增函数，则函数在区间上的图象 可能是（ ） (A) (B) (C) (D) 练习1．如右图：是f （x ）的导函数， 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） ()y f x =[,]a b ()y f x =[,]a b )(/x f 例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o o y o y o y
2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有 可能的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 类型二：导数几何意义的应用 例3、（1）求曲线在点处的切线方程。（2）求抛物线y=2x 过点5,62?? ??? 的切线方程 32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+ ----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或 7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________． 类型三：利用导数研究函数的单调性 例4、已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； 21x y x =-()1,1
例5、已知函数f(x)= ax 1x 2 ++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围. 练习：若函数y =3 1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围 类型四：导数与极值 ()ln 6x f x x = 例、求函数的极值。 ()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。 练习1、已知f(x)=x 3+ax 2 +(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) （A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6 （C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞6 2、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。 类型五：导数与最值 例8、已知函数f(x)=(x-k)e x . (1)求f(x)的单调区间；
高中数学导数及其应用
高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点?１、导数定义的认知与应用； ?2、求导公式与运算法则的运用; ? 3、导数的几何意义； ?4、导数在研究函数单调性上的应用; ５、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。??三、知识要点? (一)导数?１、导数的概念?（1)导数的定义 （Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x（△ｘ可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果
时,有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率）,记作 ,即 。 ?(Ⅱ）如果函数在开区间(）内每一点都可导，则说在开区间()内可导,此时,对于开区间(）内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间(）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间( )内的导函数(简称导数),记作或, 即。??认知： （Ⅰ)函数的导数是以ｘ为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当 时的函数值。 （Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量 ;? ②求平均变化率； ③求极限?上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。?? (2)导数的几何意义:?函数在点处的导数，是曲线在点 处的切线的斜率。? (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别:?（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续;?若函数在开区间(）内可导,则在开区间（）内连续(可
导一定连续）。??事实上，若函数在点处可导，则有 此 时,? ? ? ?记 ,则有即在点处连续。?（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。?反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量?当 时，, ；?当时，, 由此可知，不存在，故在点处不可导。??2、求导公式与 求导运算法则 （１）基本函数的导数(求导公式） 公式1 常数的导数：(c为常数），即常数的导数等于0。??公式2 幂函 数的导数:。? 公式3 正弦函数的导数:。??公式4 余弦函数的导数： ??公式5 对数函数的导数:? (Ⅰ)； ?（Ⅱ）
高中数学-导数的计算练习
高中数学-导数的计算练习 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列求导运算正确的是 A ．211()1x x x '+=+ B ．21 (log )ln 2 x x '= C ．3(3)3log x x x '= D ．2 (cos )2sin x x x x '=- 【答案】B 【解析】因为211()x x '=- ，所以A 项应为2 11x -；由1(log )ln a x x a '=知B 项正确；由()ln x x a a a '=可知C 项错误；D 项中，2 2 (cos )2cos sin x x x x x x '=-，所以D 项是错误的，综上所述，正确选项为B ． 2．已知函数3 ()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为 A ．(2,8)-- B ．(1,1)-- C ．(2,8)--或(2,8) D ．(1,1)--或(1,1) 【答案】D 3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '等于 A ．e - B ． 1- C ．1 D ．e 【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>， ∴1 ()1()2f x f x '='+ ，把1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ． 4．曲线e x y =在点2 (2,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 A ．2e 2 B ．23e C ．26e D ．29e 【答案】A
(精心整理)高中数学导数知识点归纳总结
§14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→
(完整版)变化率与导数、导数的运算
让青春之光闪耀在为梦想奋斗的道路上。 1 第十节变化率与导数、导数的运算 1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)导数的几何意义： 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)函数f (x )的导函数： 称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． 2.基本初等函数的导数公式 3．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )](g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
变化率与导数教案设计
113 第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义 及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 教学过程：时速度我们是通过在一段时间的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方 程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所 以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的容 以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限 逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --= ， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：t t s t t s ?-?+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤：