2020-2021学年福建省福州市八县市一中高一上学期期中联考数学试题

2020--2021学年度第一学期八县（市）一中期中联考

高中一年数学科试卷

命题学校：命题教师：审核教师：

考试日期: 2020年11月12日完卷时间：120分钟满分：150分

★★★★★ 祝考试顺利 ★★★★★

第Ⅰ卷

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，

有且只有一项是符合题目要求的)

1．设{}1,2,4,6,8U =，{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则下列结论中正确的是（） A. A B ? B ．B A ?

C. {}=2A

D ．(){}1U A

C B =

2．存在量词命题:p “2,220x R x x ?∈-+≤”的否定是( )

A. 2,220x R x x ?∈-+≥

B ．2,220x R x x ?∈-+>

C. 2,220x R x x ?∈-+> D ．2,220x R x x ?∈-+≤

3．已知函数1,2()(3),2

x f x f x x ≥=+

A. 1-

B ．2-

C. 6

D ．7

4．下列函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的一组是（）

A. ()f x x =与2

()x

g x x

= B ．()f x = ()g x = C.()f x x =与()||g x x = D ．()||f x x =与,0

(),0

x x g x x x ≥?=?

5. 某人骑自行车沿直线匀速．．行驶，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米()a b >，再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（）

A. B ． C. D ．

6. 已知函数2

()=1f x x mx -+在区间(,2]-∞-上为减函数，则下列选项正确的是（）

A. (1)6f < B ．(1)6f ≤ C. (1)2f ->- D ．(1)2f -≤-

7. 若不等式()(2)0a x x ++<成立的一个充分不必要条件是21x -<<，则实数a 的取值范围为（）

A. 1a ≤- B ．1a <- C. 2a ≤- D ．2a <-

8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c ---求得，其中p 为三角形周长的一半，

这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为( )

A. 6 B ．9 C. 12 D ．18

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9. 下列命题是真命题的是（）

A. 若,a b c d ><，则a c b d ->- B ．若a b >,则

11a b

< C. 若0,0a b m >>>，则a a m b b m

+>+ D ．若,a b c d >>，ac bd >

10. 设全集{}{0,1,2,3,4,5}

0,(){2,4}U U A B C A B ===，且，{}()1,3U C B A =，则下列判

断正确的是（）

A. {}1,3A = B ．{}0,2,4B =

C. {}0,1,2,3,4A

B = D ． {}()5U

C A B =

高一数学试卷第 1页共4页

11. 若0,0m n >>，且11

=1m n

+，则下列说法正确的是（） A. mn 有最大值4 B ．2211

m n

+有最小值12

C. 0,0m n ?>>

≤．0,0,m n ?>>使得2m n += 12. 某同学在研究函数 2()=

f x x

+()x R ∈时，分别给出几个结论，其中错误．．的是（） A.,x R ?∈都有 ()()=0f x f x -+ B ．()f x 的值域为11

()22

-， C. 若12=1x x ，则12()=()f x f x D ．()f x 在区间[1,1]-上单调递减

第Ⅱ卷

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）

13.已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，22

()=

f x x x

-，则(1)=f -________ 14. 已知正数．．

,x y 满足11x y +=，则4

y x

+的最小值为____________ 15.已知函数()f x 满足()=()f x f x -,当12,(,0]x x ∈-∞时，总有1212()[()()]0x x f x f x -->，若

(21)(1)f m f ->，则实数m 的取值范围是___________

16.设偶函数．．．()f x 的定义域为(,0)

(0,)-∞+∞，且满足(1)=1f ，对于任意

1212,(0,)x x x x ∈+∞≠，，都有20202020211212

()()0x f x x f x x x ->- 成立，则2020()

1f x x ≥的解集为

______________

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

已知集合{}

=60A x x x --≤ ，集合{}

131B x a x a =-<≤+

（1）当1a =时，求A B ，A B ；

（2）若B A ?，求实数a 的取值范围。

18.（本题满分12分）

设函数()f x =M ，函数2

()22g x x x =-+

（1）求函数()g x 在x M ∈时的值域；

（2）若对于任意x R ∈都有()2g x mx ≥-成立，求实数m 的取值范围。

19.（本题满分12分）

对于函数()f x ，若满足()f x kx ≥（k 为常数）成立的x 取值范围所构成的集合A 称为函数()f x 的

“k 倍集合”，已知二次函数2()(21)2f x ax a x =--+(0)a ≠ （1）当1a =时，求函数()f x 的 “2倍集合”；（2）若 0a >，求关于x 的不等式()2f x x ≥的解集。

20.（本题满分12分）

（1）求()f x 的解析式；

（2）判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由；

（3）若2k =，试判断()g x 在[1,)+∞上的单调性，并给出证明。

21.（本题满分12分）

2020年是我国全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年。某地区有400户农民从事茶叶种植，据了解，平均每户的年收入为8万元。为了调整产业结构，当地政府决定动

员部分农户改行从事生猪养殖。据统计，若动员*(0,)x x x N >∈户农民从事生猪养殖，则剩下的继续从事茶叶种植的农民平均每户的年收入有望提高%x ，而从事生猪养殖的农民平均每户的年收入为8()25

a -

(0)a >万元。（1）在动员x 户农民从事生猪养殖后，要使剩下的(400)x -户从事茶叶种植的所有农民总年收入不低于原先400户从事茶叶种植的所有农民年总收入，求x 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，要使从事生猪养殖的这x 户农民年总收入始终不高于(400)x -户从事茶叶种植的所有农民总年收入，求a 的最大值。115.5

≈，400 3.48115≈，400

3.45116

≈）

22.（本题满分12分）

已知()f x 是二次函数，且满足(0)1f =-，(1)()21f x f x x +=+-。（1）求函数()f x 的解析式；

（2）对(0,1]x ?∈，都[0,4]m ?∈，使得21

2()m

f x x

λλ-+≥+成立，求实数λ的取值范围。

2020--2021学年度第一学期八县（市）一中期中联考

高一年级（数学）参考答案

一、单项选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D

题号 9 10 11 12 答案 AC

BCD

13. 1- 14. 9 15. (0,1) 16.(,1][1,)-∞-+∞

四、解答题

17.（本题满分10分）

（1）当1a =时，{}

04B x x =<≤………………………………………………………1分

由{}

=60A x x x --≤得：{}

=23A x x -≤≤…………………………………………

3分

所以{}=03A

B x x <≤…………………………………………………………………4分

{}=24A B x x -≤≤……………………………………………………………………5分

（2）①若B =?时，则131a a -≥+ 解得0a ≤；…………………………………7分

②若B ≠?，则由B A ?，得13112313

a a a a -<+??-≥-??+≤?

解得2

03a <≤………………………9分

综上：a 的取值范围为23a a ??

≤

????

……………………………………………………10分

18.（本题满分12分）

（1）由300x x -≥??

≥?

得3

0x x ≤??≥? ………………………………………………………1分

所以{}

=03M x x ≤≤………………………………………………………………2分

因为22

()22=(1)1[0,3]g x x x x x =-+-+∈，,……………………………………3分

所以max ()(3)5g x g ==……………………………………………………………4分

min ()(1)1g x g ==……………………………………………………………………5分

所以函数()g x 在x M ∈时的值域为[1,5]…………………………………………6分（2）由任意x R ∈都有()2g x mx ≥-成立得

2)40x m x -

++≥（对x R ∈恒成立………………………………………7分所以2

=(m+2)160-≤…………………………………………………………10分解得62m -≤≤

所以实数m 的取值范围为[6,2]-………………………………………………12分

19.（本题满分12分）

（1）当1a =时，2()2f x x x =-+…………………………………………………1分则2()22f x x x x =-+≥…………………………………………………………………2分所以2320x x -+≥

解得12x x ≤≥或…………………………………………………………………………4分所以函数()f x 的 “2倍集合”{}

12A x x x =≤≥或………………………………5分

（2）由()2f x x ≥得2(21)22ax a x x --+≥……………………………………………6分所以2(21)20ax a x -++≥

所以1()(2)0a x x a

--≥…………………………………………………………………7分因为0a >

所以当1

2a >

时，12a <，原不等式解集为12x x x a ??≤≥????

或，………………………9分当1

2a =

时，12a

=，原不等式解集为R ，………………………………………………10分当102a <<

时，1

2a >，原不等式解集为12x x x a ??≤≥???

?或………………………11分

综上所述：当1

2a >

时，原不等式解集为12x x x a ??≤≥????

或，当1

a =

时，原不等式解集为R ．当1

02a <<

时，原不等式解集为12x x x a ??

≤≥????

或．……………………………12分（评分补充说明：第（2）问中，没有综上所述，分类清晰可不扣分）

20.（本题满分12分）

（1）由()f x 为幂函数知221m m -=，……………………………………………1分解得1m =或1

m =-

……………………………………………………………………2分当1m =时，2()f x x =，()f x 为偶函数，符合题意；当1

m =-时，12()f x x =，()f x 不是偶函数，不符合题意，舍去。

所以2()f x x =………………………………………………………………………………4分（2）①当0k =时，2()g x x =，(0)x ≠

因为22

()()()g x x x g x -=-==

所以函数()g x 为偶函数；…………………………………………………………………5分 ②当0k ≠时，2

()k

g x x x

，(0,)x k R ≠∈ (1)1g k -=-，(1)1g k =+

所以(1)(1),(1)(1),g g g g -≠-≠-

所以函数()g x 既不是奇函数，也不是偶函数。…………………………………………7分（3）当2k =时，2

()g x x x

在[1,)+∞上的单调递增。………………………8分理由如下：任取12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，则

2222121212121221121212

12121212121212

2222()()()()2()()2

()[()]

()2

()[

]

g x g x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=+--=-+--=+-+

=-+-+-=-（）

………………………………………………………………………………………………10分

因为121

1x x ≥≥，且12x x <，所以120x x -<，1212()2x x x x +> 所以12()()g x g x <

所以2

()g x x x

在[1,)+∞上的单调递增……………………………………………12分（评分补充说明：第（1）问中，求出1m =或1

m =-后，没有判断过程，但取舍正确，可不扣分）

21.（本题满分12分）（1）依题意得8(400)(1)8400100

x -+

≥?…………………………………………2分整理得23000x x -≤，解得0300x ≤≤，………………………………………………4分

又*0,x x N >∈，

所以x 的取值范围为{

0300,x x x N <≤∈……………………………………………5分

（2）从事生猪养殖的x 户农民年总收入为8()25

a x -

万元， (400)x -户从事茶叶种植的农民总

年收入为8(400)(1)100

x -+万元依题意得8()8(400)(1)25100

x x a x x -

≤-+ *(0300,,0)x x N a <≤∈>恒成立……7分即2

34003100

x ax x ≤++恒成立

即40033100

a x ≤

++恒成立………………………………………………………………8分因为函数40033

100

y x =++在上单调递减，在上单调递增，所以当

x =

时，y 最小，又*x N ∈，所以115x =或者116，…………………10分当115x =时，4003115

3 3.48 3.453=9.93115100y ?=++≈++ 当116x =时，4003116

3 3.45 3.483=9.93116100

y ?=

++≈++ 所以09.93a <≤，所以a 的最大值为9.93……………………………………………12分

22.（本题满分12分）

（1）设2

(),(0)f x ax bx c a =++≠

因为(0)1f =-，所以1c =-，…………………………………………………………1分又因为(1)()21f x f x x +=+-

所以2

(1)(1)1121a x b x ax bx x +++-=+-+-

所以221ax a b x ++=-………………………………………………………………2分

所以221a a b =??+=-? 解得1

2a b =??=-?

………………………………………………………3分

所以2()21f x x x =--…………………………………………………………………4分（2）解法一：因为212()m

f x x

λλ-+≥+，所以22122()1m x x x λλ---+

≥+ 所以2

()1m

λλ-

-≥+，……………………………………………………………5分

令1

t x

，则1t ≥，原条件等价于对[1,)t ?∈+∞，?常数[0,4]m ∈，使得221t mt λλ--≥+成立，设2()1g t t mt =--，[1,)t ∈+∞，则2

min ()g t λλ+≤，……………………………6分

当12m ≥，即2m ≥时，2min ()()124

m m g t g ==--，………………………………7分当

<，即2m <时，min ()(1)g t g m ==-…………………………………………8分所以2min

,02()()1,244

m m g t h m m m -≤

==?--≤≤??……………………………………………9分

于是原条件等价于?常数[0,4]m ∈，使得2()h m λλ≥+，

所以2

max ()h m λλ+≤，…………………………………………………………………10分

因为2,02()1,244

m m h m m m -≤

=?--≤≤??在[0,4]m ∈上单调递减，…………………………11分

所以max ()(0)0h m h ==

所以20λλ+≤，所以10λ-≤≤………………………………………………………12分

解法二：因为212()m

f x x

λλ-+≥+，所以22122()1m x x x λλ---+

≥+ 所以2

()1m

λλ--≥+，……………………………………………………………5分令1

t x

，则1t ≥，原条件等价于对[1,)t ?∈+∞，?常数[0,4]m ∈，使得221t mt λλ--≥+成立，

设2

()()1,[0,4]h m t m t m =-+-∈，则2

max ()h m λλ+≤……………………………7分

因为[1,)t ∈+∞，所以2

()()1,[0,4]h m t m t m =-+-∈在[0,4]m ∈上单调递减；

所以2

max ()(0)1h m h t ==-，…………………………………………………………9分所以221t λλ+≤-对[1,)t ?∈+∞恒成立；

令2()1,[1,)g t t t =-∈+∞，则2

min ()g t λλ+≤………………………………………11分所以20λλ+≤，所以10λ-≤≤………………………………………………………12分