光散射的基本理论

绪论

（一）电磁散射及吸收的物理基础：

任何系统的电磁散射和吸收都和该系统的特性有关：比如，有关散射分子的大小或分子群的规模等的特性。其实，尽管有这些具体的特性，其中隐藏的物理本质是相同的。物质都是由质子和电子这些分离的电荷所构成。当一个障碍物(其可为一个电子或质子、一个原子或分子、一个固态或液态微粒)被一束电磁波所照射时，障碍物中的电荷都会被入射波的电场激发而定向移动。加速的电荷将向周围辐射电磁能；这种二次辐射正是我们所讨论的“障碍散射”：

散射= 消光+ 再辐射

(其中，“再辐射”、“二次辐射”及“激发辐射”是对同一个概念的不同称谓)。激发的电荷元除二次辐射电磁能外，还可能会将入射的电磁能转化为诸如热能的其它能量形式，这一过程被称为“吸收”。散射和吸收并非毫不相关的两过程，因此，为了简略起见，我们常只称所讨论的问题为“散射”，而同时在这一概念中暗含“吸收”。

（二）物质波的散射及微粒的散射：

在一定程度上可以认为除真空外任何物质均为非均匀的。即使在我们通常所认为均匀的介质(例如纯净气体、固体或液体)中，仍能通过使用高精度的探针分辨出各处(原子或分子)的不均匀性能。因此，所有的介质均散射电磁波。实际上，好多我们平时并不以“散射”来考察的问题实质上都是散射的结果。例如其中有：(1)粗糙表面的漫反射；(2)尖劈、边缘或光栅的衍射；和(3)光学光滑界面处的反射和折射。此处，我们遇到的是一个电磁的多体问题：散射分子的耦合！这种问题的净结果(依据适当的近似)就是在介质内部次波相互叠加而使得折射波以速度c/n传播。结果介质内部入射波完全消散，即所谓的艾瓦德—欧昔姆消散定理(Ewald-Oseem extinction theorem)；介质外部次波叠加而形成反射波。

通常的对波束与光学光滑的界面相互作用的分析中，只是假定折射介质是完全同性均匀的——而实际上，那只可认为是“统计上均匀的”。那即为，对给定体积元，平均分子数是不变的；但对一指定的体积元，在不同的瞬间，其所含的分子数是不同的。其实，正是这种“密物质波”产生光学密介质的散射。虽然，我们很多人为了简化问题，称所研究的问题为“密物质的散射”，并以此角度进行分析；不过，其实这种散射的本质却仍是分子等小粒子对入射波的散射。

此处，物质波散射不在我们研究之列，我们只考察小粒子的散射。其实，物质波散射常常是对粒子散射一种简化和近似的结果，其中之一为瑞利(Rayleigh)散射；不过，读者可以参照杨氏(Young)所写的一篇论文——在这篇论文中，他曾试图找出Rayleigh散射用于处

理并误用的不同情况和方式。

我们首先要研究的基本问题是波长任意的电磁波与单粒子(即，有限原子或分子的聚集体)的相互作用，而所研究的粒子一般处于一种同性介质中(如图X.1)。所谓的同性，即指这些分子或原子的特性差异相对入射波长来说并不显著。同时忽略物质波散射，因为其相对粒子散射要小得多。尽管实际的粒子形状可能是复杂的，并且还可能是几块均匀部分的组合体，但我们仍不妨假设其为各点均可用宏观术语描述的物质组成的，进而粒子与电磁波的相互作用也便可确定。

我们将只讨论“弹性散射”，也就是说，散射波的频率与入射波是相同的。Mandel’stam-Brillouin散射和Raman散射等非弹性散射不在我们研究之列。弹性散射通常也被称为相干散射，只不过前者侧重物理描述，后者更强调光学上的相位差。

（三）单粒子散射的物理理论：

我们现在不分析任何具体粒子也不进行任何运算，只是先对微粒散射的物理性质进行一下定性的理解。考虑一个任意的粒子，概念上将其分成许多小区(见图X.2)。所加的震荡场(例如，一束入射的电磁波)会使得每个小区都会被极化。形成的极子都将按入射场的频率作震荡，并且向四周辐射次波。在一个特别的方向(即,在粒子的远场区处某点P)处，总的散射场可通过把散射的小波进行叠加而得到，此时要考虑到这些小波的相位差——因为双极子的散射是相干的。一般来讲，在不同方向上相位关系是不同的；因此，我们可想到散射场会随散射方向变化。如果所考察的粒子尺寸比波长小，所有的次波将近似同相；对这样的粒子，我们认为散射情况不会随方向有太大不同(而实际情况也的确如此)。不过，随着粒子尺寸的增大，散射波束的相互增强和减弱的趋势也将相应明显。进而，粒子尺寸越大，散射图形上的波峰和波谷也就越明显。粒子的形状也是一个重要的问题——如果图X.2的粒子被扭曲，所有的相位关系，进而散射模式都将发生变化。

散射波束的相位关系取决于如下几何因素：散射方向，微粒大小及微粒形状。但是，被激发的极子振动的相位和振幅取决于微粒的物质构成。这样，为了完整理解小粒子的散射和吸收，我们就需要知道物体对电磁场的反应是怎样的。

（四）粒子群(COLLECTIONS OF PARTICLES)对电磁波的散射：

若各粒子随机分布，此时处理方法便可用非相干散射；该方法适用于各粒子的散射在相位上没有系统关系的情况——粒子群散射即为各粒子的散射相加的结果。

第一章 简明电磁场理论

1.1 电磁场矢量及麦克斯韦方程组

从宏观的角度来探讨粒子对电磁波的散射和吸收，此时物质内部的Maxwell 方程，便可用SI 单位制写作：

????

???????+=??=??=??+??=??,,0,0,t D J H B t B E D f f ρ (1.1) 其中，E 和B 分别为电、磁感应强度。电位移D 和磁场强度H 定义如下：

P E D +=0ε， (1.2) M B H -=0

μ， (1.3) 其中，P 为电极化强度 (单位体积的平均电极矩数目)、M 为磁化强度 (单位体积的平均磁极矩数目)、0ε和0μ分别为真空中的电容率和磁导率。(1)式中的f ρ和f J 分别为自由电荷密度和传导电流密度。

以上这些方程并非完备的，还要加上辅助方程：

E J f σ=， (1.4)

H B μ=， (1.5)

E P χε0=， (1.6)

其中，σ为导电率，μ为介质中的磁导率，χ为介质的极化率。这三个量均与介质有关。但如果在线性介质中，它们将与场的情况无关；如果在均匀介质中，它们将与其位置无关；如果在各向同性介质中，它们将与方向性无关。其中一类特殊的研究对象为没极化的物质，即0 =P 。但当其被置入外场中时，如时谐场，它就会被极化——电磁场会激起净极矩。对一线性、均匀、同性介质，由(1.6) 式可知 χ是物质被极化容易程度的量度；它同时还描述物质的极化对场的反应。χ实际上与频率有一定的关系，而为了所讨论问题的方便，在以后的分析中假定它们均与入射光的频率无关。

1.2 时谐电磁场

时谐电磁场的一般形式为： t B t A F ωωsin cos +=， (1.7) 其中，ω为角频率。实矢量A 和B 是与时间无关的，但却可能与其位置有关。若给出 B i A C t i C F c +=-=),exp(ω，则可将电磁场F 写作：}Re{c F F =。

此时，麦克斯韦方程(1)便可写为如下形式： ???

????-=??=??=??=??,,0,,0)(c c c c c c E i H H H i E E ωεωμε (1.8) 其中，ω

σχεεi ++=)1(0 为复电容率。在自由空间中，即无自由电荷时，0≠ε，这也为横向电磁场的一般情况。

在自由空间中，讨论时谐电磁场时，通常会使用式(1.8) 中的电磁场方程形式。但为了描述和书写方便，将省略下标“c ”，而仍是使用复数形式。

1.3 电磁场的极化

平面电磁波除了频率和辐射的特性外，还有另一特别重要的特性，即极化或偏振状态。考虑在无吸收的介质中，一沿z 轴传播的，角频率为ω、波数为k 的平面波。当讨论极化问题时，通常的做法是重点分析电场E ： )sin()cos()}exp()Re{(}Re{t kz B t kz A t i ikz B i A E E c ωωω---=-+== ， (1.9)

其中，实矢量A 和B 与位置无关。考虑一特殊的平面，为方便起见可令0=z ，电场的端点便画出一个椭圆： t B t A z E ωωs i n c o s )0( +==。 (1.10) 如果0=A (或 0=B ) ，振动的椭圆即变为一条直线，这种现象为“线极化”（也称“平面极化”）；此时矢量B (或A ) 即确定了平面波的极化方向。如果B A =，并且0=?B A ，则振动椭圆变为正圆：此时的平面波被称为“圆极化”。一般情况下，考虑的平面波为椭圆极化的。

当然，对一椭圆偏振光来说，振动椭圆的振动方向可能为顺时针，也可能为逆时针；不过，这种区别并无绝对的界限，而只是与观察方向有关。但这两种观察方法却产生了两种不同的“观察系”，而在以后的分析中，将采用 “右手系”，即以B A ?为旋转方向。

我们将主要讨论平面波的极化状态不会在其中改变的介质，尽管其实很多的介质并不具有这种性质。

1.3.1 斯托克斯参量

斯托克斯参量可同样很好地描述偏振光。

任意的一个平面波可表示成互相垂直的两分量的叠加：例如，这两分量可以一个为水平极化另一为垂直极化；也可以为一个右旋圆极化另一左旋圆极化等等。当然这种分解并

非一个单纯的数学问题，在物理上也有利于简化分析和计算——只计算出一个线极化，再利用该结果经过适当变换和叠加，而能用来处理任意极化的电磁波。

考虑用一束任意的平面波来照射如下的一套假想的光学装置，其中P 为偏振片 (见图

1.1)。若认为测光器的测量结果与光的偏振状态无关，并且P 为理想偏振片：这样它们便既不会影响入射波的偏振状态，也不会被入射波的偏振状态所影响。

其中电场形式如下：

⊥⊥+=-=e E e E E t i ikz E E ??)exp(||||00 ；ω， ⊥-⊥⊥-==δδi i e a E e a E ；||||||。

为分析问题方便，定义斯托克斯参量 (I , Q , U , V ) 如下：

???

????=-==+=-=-=+=+=⊥*⊥*⊥⊥*⊥*⊥⊥*⊥⊥*⊥*⊥⊥*，，，，δδsin 2)(cos 2||||||||||||22||||||22||||||a a E E E E i V a a E E E E U a a E E E E Q a a E E E E I (1.11) 其中，相位差 ⊥-=δδδ||。

注意到在(1.11)式中略去了因子 02/ωμk ，这因为在测量或分析该类问题时，通常考虑相对辐射强度而不是绝对辐射强度。

斯托克斯参量和椭圆参量的关系如下：

???

????=====，，

，，ηγηγη2sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2222c V c U c Q c I (1.12) 其中，22222)()(半短轴长半长轴长+=+=b a c ，γ为由||

?e 向长轴作顺时针旋转所成的角 (πγ≤≤0)，a b =|tan |η (为椭圆率) (4

4πηπ≤≤-)。 V 的符号确定振动椭圆的旋转方向：正号表示右旋，负号表示左旋。还可得到关系式：

，Q U =γ2tan 222t a n U

Q V +=η。

这样，斯托克斯参量就完全具有了椭圆参量的功能，尽管它们没后者直观，但却具有了所有参量均能由直接可测的量表示的形式。Q 和U 与水平极化和垂直极化的方向的选取有

关。如果将基矢||?e 和⊥e ? 进行ψ角的旋转(见图1.2)，与旋转后的轴'?||e 和'?⊥

e 相对应的斯托克斯参量 (',',','V U Q I ) 与原来的斯托克斯参量的关系如下：

??????

? ????????? ??-=??????? ??V U Q I V U Q I 100002c o s 2s i n 002s i n 2c o s 00001''''ψψψψ。 (1.13)

从(1.12)和(1.13)两式可以看出，斯托克斯参量中，有三个量 (或关系)是不随参考方向的旋转变化的，即：I ，22U Q + 及V 与 γ或ψ角无关。还有，这四个斯托克斯参量也并非是完全线性无关的，它们满足关系：2222V U Q I ++=。一些特殊情况的斯托克斯参量可参见 (表2.1)，其中的辐射参量I 已经被归一化。

1.3.2 缪勒(Mueller)矩阵

Mueller 在1948提出的缪勒矩阵正好描述了代表入射的和被作用的电磁波的斯托克斯向量之间的关系。

作为一个例子，可考虑理想线性偏振片的缪勒矩阵。当通过这个传输系统时，电磁波的振幅并不会改变，但是只有振动方向平行于偏振片的透光方向(透光轴)的电场才能通过。此时，入射场与透射场的关系为：

???? ?????? ??=???? ??⊥⊥i i t t E E E E ||22||sin cos sin cos sin cos ξξ

ξξξξ，(其中，ξ为||?e 和透光轴所夹的最小角)。通过一些代数运算，可以由上式得到，理想线性偏振片的缪勒矩阵为：

??????? ??000002sin 2cos 2sin 2sin 02sin 2cos 2cos 2cos 02sin 2cos 12122ξξξξξξξξ

ξξ。 (1.14) 该线性偏振片所传递的辐射为：)2sin 2cos (2

1ξξi i i t U Q I I ++=。 这样，当偏振片旋转时，ξ将随着发生变化，进而辐射t I 也将变化。γξ=和2

πγξ+=分别对应于辐射t I 取最大和最小值 (其中，i i Q U /2tan =γ)，即： ??

???--=++=，，)2s i n 2c o s (21)2s i n 2

c o s (21m i n m a x γγγγi i i i i i U Q I I U Q I I (1.15) 由 (1.15)式可以得到线极化的程度：min

max min max 2

2I I I I I U Q i i i +-=+。 因此，通过在任意光束中旋转一个线性偏振片，测量出所穿过的辐射的最大和最小值，就可以不经过考虑 V 参量的值而直接得出入射光的线极化程度。

一个理想的线性玻片将会把一个给定的入射波矢量 (电场矢量)，分成相互正交的两线极化的分量1E 和2E ，并在该两分量间产生相位差 21δδ-；辐射强度不会改变。于是，入射场各分量与通过该波片的透射场的分量间的关系为：

???? ?????? ?

?-???? ?????? ??-=???? ??⊥⊥i i i i t t E E e e E E ||21||cos sin sin cos 00cos sin sin cos ββββββββδδ， (1.16) 其中，β为 ||

?e 和1?e 之间的夹角 (见图1.3)。通过计算，由 (1.16)式可以得到理想线性玻片的缪勒矩阵为：

??????

? ??-+---+δδδδδδδδδc o s s i n s i n 0s i n c o s )c o s 1(0s i n )c o s 1(c o s 000012222C S C C S SC S SC S C ， (1.17) 其中，ββ2sin 2cos ==S C ，，相位减慢 21δδδ-=。

缪勒矩阵为我们提供了考察一束极化方向任意的入射波通过一个光学元件后的极化状态的一种简单的方法。并且，如果置于入射光束中的为一系列光学元件时，这些元件的总合效应便可以通过相乘它们的缪勒矩阵而获得。作为一个例子，考虑如何利用一个线偏振片和一个线性玻片来组合成一个圆偏振片。光束先沿着水平传输轴( 0=ξ)照射到一个线偏振片上，由 (1.14)式 即可得到该情况下的缪勒矩阵为：

??????

? ??000000000011001121。 (1.18) 然后，穿过偏振片(1.18) 的光束再照射到一个 4590==βδ，的玻片上，该玻片的缪勒矩

阵由(1.17)式 可得：??????

? ?

?-0010010010000001。该偏振片和玻片的组合效应即可通过矩阵相乘获得，即： ??????? ??-001001001000000121??????? ??000

000

0000

1100

11=??????? ??001100000000001121。 (1.19) 这样，如果一没有极化的平面波，甚至极化方向任意的平面波照射到一个用(1.19)式描述的光学系统上时，透射波将变为完全(100%) 右旋的圆极化。鉴于矩阵相乘不满足交换率，在进行矩阵相乘时要特别注意它们的组合顺序，否则不免会得不偿失。

第二章 任意单个粒子的吸收和散射

2.1 散射问题的公式化

讨论粒子散射时，要解决的一般问题是：对由极化方向任意的平面电磁波照射的有确定大小、形状和光学特性的粒子，能给出粒子周围均匀介质中任意一点的电磁场及粒子内部任意一点的电磁场。尽管讨论仅限于平面时谐电磁波，不过因为任意的电磁场均可进行傅立叶分解，而分解为平面时谐波的叠加，所以通过一些数学处理可将结论用于更广泛的领域。 在本章的分析中，将用 (i i H E ,) 表示入射场，用 (s s H E ,) 表示散射场，用 (11,H E ) 来表示粒子的内场，用 (22,H E ) 来表示粒子周围介质中总的外场。那么，有 (见图2.1)：

s i E E E +=2，s i H H H +=2，

其中，)e x p ()e x p (00t i x k i H H t i x k i E E i i ωω-?=-?= ，，k 为介质中的波矢，其大小

)(2为介质中的波长，λλπ

=k 。

这些电磁场矢量满足麦克斯韦方程组，即： ???????-=??=??=??=??，

，，，E i H H i E H E ωεωμ00 (2.1) ε和μ 在任意点均为连续的。由(2.1)式可得

???=??-=????=??=????，

，H E i H E H i E εμωωεεμωωμ22)()( 如果使用矢量的旋度公式：A A A A A 2)()()()(?-???=???-???=????，并考虑到

εμω22=k 及自由空间的电磁场为无源场，就可以得到：

002222

=+?=+?H k H E k E ，， (2.2)。 当然，这并不保证E 的分量均能满足亥姆霍兹方程(标量波动方程)；但在正交笛卡儿坐标系下，可以得出E 和H 的分量形式满足标量方程：022=+?ψψk 。这也正是我们通常所使用的坐标系。

2.1.1 边界条件

已知麦克斯韦方程组中的 ε和μ 在任意点均为连续的，然而当电磁波穿过小球的边界 (即小球与周围介质的交界面) 时，在小球的内外边界处 ε和μ的特性一般会有很大的不同。而这种变化是在原子厚度的尺度的交界面上发生的——也就是说，在宏观上讲，边界处的 ε和μ是不连续的。于是，在该类边界点，需要对电磁场方程强加上如下边界条件：

???=?-=?-，

，0?)]()([0?)]()([1212 n x H x H n x E x E 上位于边界S x ，的外向单位矢量为S n ? (2.3)。 此边界条件要求，在边界处E 和H 的切向分量是连续的。

对这类问题，可通过考虑如下图所示的边界分析进行解决。考虑如此一个闭合的小球表面A (对A 周围区域的特性没有限制)，它将空间区域分成图示的两部

分，表面A 内外所传播的电磁能可分别写为如下的形式：

????=?A

A dA H E n dA n S )(??111 ， (2.4) ????=?A

A dA H E n dA n S )(??222 ， (2.5) 如果加上边界条件(2.3)，即n E n E ??12 ?=?和n H n H ??12 ?=?，利用混合积公式 )()()(

B A

C A C B C B A ??=??=??，积分式(2.4)和(2.5)可以写作： ?????=??=?A

A A dA E n H dA E n H dA n S )?()?(?21111 ， ??????=??=??=?A A

A A dA E n H dA n H E dA n H E dA n S )?()?()?(?2112222 。 可见，在边界A 上没有产生或吸收电磁能的源或沟，即，dA n

S dA n S A A ???=???21 。因此，在穿越不连续边界时，电磁场的切向连续条件就是边界处电磁能保守的充分边界条件。

我们的基本任务是通过使用边界条件(2.3)式，根据麦克斯韦方程(2.1)式，求出微粒内

外的合理的解。这一结果的可行性，其实是基于麦克斯韦方程及边界条件均为线性的。至此，我们已较充分认识到，极化方向任意的平面波可表示为任意两相互正交的线极化的叠加。因此，对任意给定传播方向的极化方向任意的平面波，可通过计算两个相互正交的线极化电磁波，得以求解。

2.2 振幅散射矩阵

考虑一个被平面波照射的任意粒子(见图2.3)，定义入射波的传播方向为z 轴(或者说，研究入射方向沿z 轴的入射波)；那么z 轴方向即为通常所说的“前向”。

原则上，粒子上的任意点均可被定义为笛卡儿正交坐标系的原点O ；散射方向r e ? 和入射方向z e ? 所构成的平面称为“散射平面”。除了r e ? 平行于z e ? 外，散射平面均可以由方位角?唯一决定。而在这两个特例(r e ? =±z

e ? )时，包含z 轴的任意平面均可被认为是合理的散射面：因为此时散射结果为关于z 轴完全对称的。这时可以并不对入射波的极化方向进行特殊化，仍可以方便地将i E 分解为i E || 和i E ⊥ ——分别表示平行和垂直与散射面：即，

i i i i i i i e E e E t i i k z e E e E E ⊥⊥⊥⊥+=-+=??)e x p ()??(||||0||||0 ω，(其中，λπ/22N k =)，

2N 为周围介质的折射率，)(0λλ即为入射波在真空中的波长。正交基矢i e ||? 和i

e ⊥? 为 y x i y x i e e e e e e ?sin ?cos ??cos ?sin ?|| ????+=-=⊥，，它们构成一个右手系：z

i i e e e ???|| =?⊥。同时，还有?e e i ?? -=⊥，θ

θθe e e r i ?cos ?sin ?|| +=。此时可得到： yi xi i yi xi i E E E E E E ????cos sin sin cos ||-=+=⊥，。

在远场区域(即，1>>kr )时，A ikr e E ikr s )]/([~-，(0?=?A e r )，所以此时，散射场可以

写作：

s s s s s e E e E E ⊥⊥+=??|||| ，(r

s s s s e e e e e e e ???????|||| =?-==⊥⊥，，?θ)。 (2.6) 其中，基矢s

e ||? 和s e ⊥? 分别表示平行和垂直与散射平面。尽管散射场s E 和入射场i E 是用不同形式的基矢表示的，但是基于边界条件为线性的，可以证明我们仍可把它们之间的振幅关系简写作如下矩阵形式：

???

? ?????? ??-=???? ??⊥-⊥i i z r ik s s E E S S S S ikr e E E ||1432)(||， (2.7) 一般来说，振幅散射矩阵中的矩阵元)4321(，，，，=i S i ，取决于散射角θ 及方位角?。

上述四个矩阵元的实、虚部，很少有人严格对θ及?的所有值进行完全的测量。因为那样需要使用两个极化方向互相正交的线极化平面入射波，对所有散射方向的振幅和相位都要求进行测量——而后一个量会以一种难懂的方式妨碍测量，并且其测量方法也还有待合理解决。哈特(Hart)和格瑞(Gray)在1964年时，曾经描述了相位可以通过光散射的干涉特性进行测定的理论方法。但是，仍是几乎没人具体进行该类的严格实验；不过，振幅散射矩阵的矩阵元的量值测量带来的实验问题其实比相位要小的多，所以我们将在后继两节中进行探讨。

2.3 散射矩阵

一旦我们获得了粒子内部和被粒子散射的电磁场,我们就可以计算空间中任意一点的波印廷矢量(Poynting vector )了.不过,我们通常关心的只是粒子外部的波印廷矢量.粒子周围介质中时均的波印廷矢量S 可以写为三部分的和,即：

??????????+?=?=?=++=?=*****。，，，}R e {21}R e {21}R e {21}R e {2122i s s i e x t s s s i i i e x t s i H E H E S H E S H E S S S S H E

S (2.8) 我们可以把ext S 理解为入射波和散射波相互作用的结果。

通过在粒子和探测器之间插入不同的偏振片,并对于同一个平面波纪录每次的辐射结果,我们就可以得到单粒子散射的斯托克斯参量为：

???

????>+<=>+=<>-=<>+=<*⊥*⊥*⊥*⊥*⊥⊥**⊥⊥*。，，，s s s s s s s s s s

s s s s s s s s s s E E E E i V E E E E U E E E E Q E E E E I |||||||||||||||| (2.9) 其中，我们略去了乘数因子ωμ2/k 。入射和散射的斯托克斯参量之间的关系可由振幅散射矩阵(2.7) 获得，即

??????? ????????? ??=??????? ??i i i i s s s s V U Q I S S S S S S S S S S S S S S S S r k V U Q I 444342

41343332312423222114131211221 (2.10) 其中，)(212423222111S S S S S +++=，)(2

12324212212S S S S S -+-=，

}Im{}Re{413214413213****-=+=S S S S S S S S S S ，，

)(212324212221S S S S S +--=，)(2

12324212222S S S S S --+=， }Im{}Re{413224413223****+=-=S S S S S S S S S S ，，

}Re{}Re{314232314231****-=+=S S S S S S S S S S ，，

}Im{}Re{341234432133****+=+=S S S S S S S S S S ，，

}Im{}Im{312442243141****-=+=S S S S S S S S S S ，，

}Re{}Im{432144432143****-=-=S S S S S S S S S S ，。

(2.10)式中这一44?的矩阵(散射矩阵)即为单粒子散射的缪勒矩阵,有时也被称为“相位矩阵(phase matrix )”——尽管这一称谓其实有其不当。其中单粒子散射的16个散射矩阵元并非全部独立的；这是与四个i S (4321，，，

=i )及它们中的三个相位差相关的。于是,这16个散射矩阵元中只有9个为独立的(这些已被阿伯罕克(Abhyankar)和法曼特(Fymat)在1969年所给出)。

2.4 消光、散射和吸收

我们考虑如图3.4所示的在无吸收的介质中单粒子对平面波的消光问题。我们可以假设围绕粒子有一个半径为r 的闭合的高斯积分球面，则穿过表面A 的净电磁能为：

??-=A

r a dA e S W ? 。 如果0>a W ，则说明能量在积分球内被吸收了。而因为小球周围介质对能量不会有吸收，则必然是该能量被小球所吸收了。基于式(2.8)，a W 可以写为如下三项的和：

ext s i a W W W W +-=， 其中，??-=A r i i dA e S W ? ，??=A r s s dA e S W ? ，??-=A

r ext ext dA e S W ? 。 对无吸收介质，0=i W ；s W 为穿过球面A 的能量散射率。此时，ext W 为能量吸收率和散射率的和，即：s a ext W W W +=。

为讨论问题方便，我们可以入射电场形式选为x 轴极化，即x

i e E E ? =。因为介质为无吸收的，a W 就与假想球面A 的半径r 无关。因此，我们就可以把r 选的足够大，以至于我们在分析问题时可以运用远场近似条件，从而得到此时的电磁场为：

s r s z r ik s E e k H E X ikr e E ?--?)/(~)]/([~)(ωμ，， (2.11)

为了标示入射波为x 轴极化的，我们选用了X 作为矢量散射振幅的表示符号——它与标量

振幅散射矩阵元i S 的关系为： s

s e S S e S S X ⊥+++=?)sin cos (?)sin cos (14||22 ????。 (2.12) 经过一些数学处理,可以得到：

}?cos sin )/( ?cos )/(?)/Re{(]2/[2???*--*-?+?-?-=A

x ikz ikr A x ikz ikr A x ikz ikr ext dA X e e ikr e dA X e e ikr e dA X e e ikr e E k W ?θθωμ， 其中包含了如下形式的积分?-1

1)(μμμd f e ikr 。如果认为μd df /为阶跃性的，它可以通过分部积分积得：

)1()1()1(22r

k O ikr f e f e ikr ikr +---。 因此，当∞→kr 时，ext W 的极值为： })?Re{()/4(0

2=?=θπx i ext e X k I W ，(其中，i I 为入射波的辐射强度)。 此时,我们定义消光截面：})?Re{()/4(/02

=?==θπx i ext ext e X k I W C 。由以上分析可得ext C 可以写为两部分和的形式，即sca abs ext C C C +=，其中，abs C 称为吸收截面；sca C 为散射截面。由以上分析及(2.11)得???Ω==π

π

π?θθ42220022)/(sin )/(d k X d d k X C sca ，其中22/k X 有时被称为“分离散射截面(differential scattering cross section )”(原子物理和核物理上常用的术语)，并且被用符号表示为Ωd dC sca /。不过，这并不表示sca C 为Ω的函数；在物理上，Ωd dC sca /确定了散射波的角分布。在电磁散射理论中，人们还常会遇到“相位函数(phase

function )”这一称谓，并且把其定义为sca C k X 22/ ，并用符号p 来进行表示，此时我们有，

14=?Ωπpd 。

我们还可以定义消光、散射和吸收的“效率”(或称“效率因子(efficiency factors )”)：G C Q G C Q G C Q abs abs sca sca ext ext ///===，，,其中,G 为粒子垂直于入射方向的截面面积(例如，对一半径为a 的球形粒子，2a G π=)。

此处，要顺便指出的是，这些“效率”对于小粒子来说，常常是大于1的(更一次表明几何光学只是一种宏观的近似结果)。

2.5 推广

尽管以上章节中的散射截面和消光截面是在x 轴极化这一假定的前提下导出的，并且我们知道X 依赖于极化方向x

e ? ，不过可以放心的是这些表达式的形式对任意的线极化电磁波来说都是相同的。

如果入射场任意极化，即y y x x i e E e E E ?? +=，则散射和消光截面为：

?Ω=?==*π

θπ4222022)/(})Re{()/4(d E k T C T E E k C i sca i i ext ，(Y E X E T y x +=)。(2.13) 对无极化的电磁波(0>=>=<<>>=<<****y x y x y y x x E E E E E E E E ，)，有关系：

))(2/1())(2/1(,,,,y sca x sca sca y ext x ext ext C C C C C C +=+=，，(下标x 和y 分别表示x 轴和y 轴极化)。

在这里，我们可以发现这样一个事实——消光强度只取决于入射方向( 0=θ)上的散射振幅，但它是粒子对电磁波的吸收及在所有方向上的散射的总的结果。而这一结果的物理解释可参见哈欧斯特(van de Hulst)在1949年对光学定理的详细推导，也可以参考本文所用参考文献]1[。

现在，我们已经比较系统地分析了单粒子散射和消光的处理问题和物理实质。不过，现实中更多的消光装置和消光测量处理的却是“粒子簇”或“粒子块”，那当然不免要更远为复杂；所以，我们还只好耐下心来，再把我们扎实一下为是。

第三章单球对平面电磁波的散射及数值处理

可能在小球的吸收和散射理论中最重要的并可完全求解的问题，即为任意半径和折射率的单球的散射。尽管对该问题的正规解法已在好多年前得以解决，不过直至有大存储量、高数据处理速度的计算机的出现，详细精密的计算才成为可能。1908年，盖斯韬?密(Gustow Mie)为了弄明白水中的悬浮胶质小金粒吸收和散射不同颜色的光的机理，而发展了这方面的理论。几乎同时，彼特?德拜(Peter Debye)也考察了空间中受压小粒子的辐射问题。德拜的工作——其博士论文的主题——是最早将该理论用于解决天文物理问题的应用之一。但密(Mie)及德拜(Debye)均非构建单球散射解法的先锋；尽管劳瑞兹(Lorenz)被很多人认为最可能是该享此荣誉者，不过想要严格弄清楚谁第一个解决此问题并非一件简单的事。所以在此，我们也将不煞费苦心来讨论这一问题；用以代之的是，我们将直接采用研究球形粒子散射最常用的处理方法——密(Mie)理论。

密理论的数学基础即为本部分的主题。吸收和散射的截面部分及有散射角倚赖的散射函数之计算公式也将在此被导出；在附录A中还提供了参考程序——在程序中，给出了计算上述量的具体方法。在应用科学领域，这些详细的推导一般是没有的，不过其中的结论等可参照本人所用的主要参考书]3.1[。当然，这些与物理现象似乎相分离的数学计算，可能确实有些烦人。鉴于这种原因，我们在推导时，会将重要的公式编号，并将尽可能举出一些实例。这些例子虽然只相当于一些调味剂或开胃品；不过，大家若肯随我坚持下去，相信最终定能吃到一份满意的套餐。

然而，密矩阵理论推导中所用的数学方法是直接的，即使有些烦人，也可从电磁波与单球作用的复杂物理机理处得以谅解。把电磁场在空间任意点展开成无限项级数，是一个相对容易的问题。在今天，把用密理论计算出的所有项进行计算机输出，已是一更简单的问题。然而，更难的一个问题是，形象化地描述散射场和对球内、球外的电磁波模式的严格归类，更有对给定大小和光学特性的球体对电磁波散射和吸收情况的直觉感知。

密矩阵理论，虽然可能不可避免有一定的局限性，不过其确实为我们提供了解决粒子散射的一种很好的方法，并且它也的确正确描述了许多不易感知的小粒子散射效应。因此，我们可充分利用其

中合理并有用的部分；不过同时，我们也要抱一种谨慎的态度——对其所不能处理的非球粒子散射等问题，还要审思、慎行为是。

3.1 波矢方程的数值处理

我们已从电动力学得知，物理上有意义的时谐电磁场(E ，H )，在线性、均匀介质中必须满足如下波方程——矢量的亥姆霍兹(Helmhot’z)方程：

▽2E + k 2E = 0，▽2H + k 2H = 0，其中εμω22=k ， 并且为无散场(无源和沟)，即：0=??E ，0=??H 。还有，E 和H 也有如下关系： H i E ωμ=??，E i H ωε-=??。 考虑到, 给出一个标量函数ψ并且给出一个任意的常矢c 。我们便可以构建一矢量函数M ：) c ( ψ ??=M 。考虑到任何矢量旋度的散度为零：0=??M 。如果我们运用如下矢量关系： B A A B A B B A B A )()()()()(??-??+??-??=???， B A A B A B B A B A )()()()()(??+??+???+???=??，

我们将得到：▽2M + k 2 M = ▽×[c (ψψ22k +?)]。

因此，如若ψ 是亥姆霍兹(Helmhot’z)方程022=+?ψψk 的解，则M 满足与E ，H 等完全相同的亥姆霍兹(Helmhot’z)方程。我们还常写作ψ??-=c M ，此式表明M 垂直于矢量c 。我们还可由M 构建出另一矢量函数N = ▽×M /k ——对于无散场，N 也满足波矢方程：▽2N + k 2 N = 0。我们还可得到：▽×N = k M 。因此，M 和N 具有电磁场要求的所有特性：它们满足同样的波矢方程，它们均基于无散场，M 的旋度正比于N ，且N 的旋度正比于M 。这样，寻找电磁场解的方法的问题，便转化为寻找标量波方程解的这一相对简单的问题。我们将把标量波函数ψ称为谐波振子M 和N 的生成函数(或母函数)；矢量c 有时被称为“方向矢量”或“导航矢量”。

母函数的选取应依据所求解问题的对称性。此处，我们只对单球散射感兴趣；因此，我们便可选取满足球坐标系(r ,θ,φ)的波方程。矢量c 的选取，相比较来说，就不太明显和严格。然而，如果我们令 )(ψr M ??=，(其中，r 为径向矢量) (3.1) 那么，M 就会是球坐标系中波矢方程的一个解。所以，在有着球对称性的问题中，我们就可把M 选为(3.1)式中的形式，加上相关的N 便构成了待求的电磁场问题的基础解系。求解时，我们要时刻注意M 总是垂直于任意的同心圆|r |=常量(即，0=?M r )。

球坐标系中的标量波方程为：

(1∕r 2 )r ??( r 2r ??ψ) + (1∕r 2sin θ)θ??( sin θθψ??) + (1∕r 2 sin 2θ)22φ

ψ?? + k 2ψ=0。 (3.2) 我们用分离变量法对方程(3.2)进行求解，令ψ (r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ)，将其代入方程(3.2)经过一些简单运算即可得到如下方程组：

22φ

d d Φ+ m 2Φ= 0， (3.3)

θθd d s i n 1(sin θθd d Θ) + [n(n+1) – θ

22

sin m ]Θ= 0， (3.4) dr

d (r 2dr dR ) + [k 2r 2 – n(n+1)]R = 0， (3.5) 其中，待定常量m 和n 由ψ必须满足的附加边界条件决定。我们首先注意到，对一给定的m ，若m Φ为方程(3.3)的解，则m -Φ为一与m Φ线性相关的解。于是，方程(3.3)的基础解系为：

??m m o e sin cos =Φ=Φ，，

其中，下标e 和o 分别表示偶函数和奇函数。我们要求ψ是“极角”φ的“单值函数”：

)()(l i m 2?ψυ?ψπ

υ=+→， (3.6) 对不同介质分界的边界上的点，φ可能有所例外。但是，我们可以先不讨论这类边界上的点；我们此时只对同性均匀区域的内点处的波方程的解感兴趣。于是，条件(3.6)便要求m 要为整数(当然，包括零)；又因“m ±”所对应的解是线性相关的，所以非负的m 便足够构成方程(3.3)线性无关的完全解。

方程(3.4)的解，在θ = 0和θ = π处是有限的，即为第一类的连带勒让德函数(associated Legendre functions )m n P (cos θ)，其中n = m, m+1, m+2, ……。这些函数是正交的，即：

?-11')()(μμμd P P m n m n = 'nn δ)!

()!(122m n m n n -++， (3.7) 其中μ = cos θ，'nn δ为科洛尼克(Kronecker)符号，它的值在n ='n 时等于1，其余情况下均为0。当m = 0时，连带勒让德函数便转化为勒让德多项式，即n P 。

如果我们引入无量纲的变量ρ =kr ，并定义函数Z = R ρ，方程(3.5)便可化为： ρρd d (ρρ

d dZ ) + [ρ2 – (n+1/2)2]Z = 0。 (3.8) 方程(3.8)的线性无关的解为第一和第二类的贝塞耳函数(Bessel functions )J ν和Y ν(其实，符号N ν比Y ν更常用)，其中，次数ν= n +1/2为半整数。因此，方程(3.5)的线性无关的解为球贝塞耳函数：

n j (ρ) =

ρπ2/2/1+n J (ρ)， (3.9) n y (ρ) = ρπ2/2/1+n Y (ρ)， (3.10) 常数因子2/π的引入只是为了方便。球贝塞耳函数满足如下递推关系：

)(1

2)()(11ρρρρn n n z n z z +=++-， (3.11)

)()1()()()1(2n 11ρρρρ

+-+-=+n n n z n nz z d d ， (3.12)

其中n z 为n j 或n y 。从最低次的两项：

ρ

ρρρρρρρc o s s i n )(,s i n )(210-==j j ； ρρρρρρρρs i n c o s

)(,c o s

)(210--=-=y y ，

可通过运用递推关系，导出高次项的球贝塞耳函数。注意对所有的次数n ，当r 逼近源点时，)(kr y n 将变得无限大。

鉴于n j 及n y 的任意线性组合，也是方程(3.5)的解。所以，我们可以只用它们的组合形式，即第三类球贝塞耳函数(有时也称汉克耳球函数(spherical Hankel Functions ))：

)()()()1(ρρρn n n iy j h +=， (3.13)

)()()()2(ρρρn n n iy j h -=， (3.14)

来表示方程(3.5)的解。

到现在，我们已做了足够工作，构建出了满足球坐标系中标量波方程的解的母函数，即：

)()z (cos P cos n m n kr m em n θ?ψ=， (3.15)

)()z (cos P sin n m n kr m om n θ?ψ=， (3.16)

其中，n z 为四类球贝塞耳函数n j ，n y ，)1(n h 和)2(n h 中的任意一个。并且，基于函数

?m cos ,?m sin ,)(cos θm n P ,)(z n kr 的完备性，所以任意满足球坐标系中标量波方程的此类函数均可用式(3.15)和式(3.16)进行展开。从而，矢量球谐因子便可从emn ψ及omn ψ得出：

e m n M = ▽×(r emn ψ)，omn M = ▽×(r omn ψ)；

e m n N = ▽×emn M / k ，omn N =

▽×omn M / k ， 通过计算，即根据球坐标系中，?

θθθ??+??+??=?sin ???r e r e r e z r ，利用以上两式及(3.15)、(3.16)式，并按照矢量旋度的运算公式：

▽×A =?θθ?θ?θ

?θ?θθθe A r r rA r e rA r r A r e A A r r r r ?]1)(1[?)](1sin 1[?)])(sin (sin 1[ ??-??+??-??+??-??， 经过简单的运算，这些因子，便可以用分量形式写作：

?θρθ

θ?ρθ?θe z d dP m e z P m m M n m n n m n emn ?)()(cos cos ?)()(cos sin sin --=， (3.17) ?θρθθ?ρθ?θe z d dP m e z P m m M n m n n m n omn ?)()(cos sin ?)()(cos cos sin -=， (3.18) 又通过使用式子emn N = ▽×emn M / k ，omn N = ▽×omn M / k ，及ρ = kr ，利用方程(3.4)，

便可得到：