初一数学绝对值典型例题精讲

第三讲绝对值

绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。

「绝对值的定义及性质

绝对值J简单的绝对值方程

化简绝对值式，分类讨论(零点分段法)

、绝对值几何意义的使用

绝对值的定义及性质

绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。

绝对值的性质：

(1) 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|NO,这是绝对值非常重要的性质：

"a (a>0)

(2) |a| = J 0 (a=0) (代数意义)

-a (a<0)

(3) 若|a|=a,则aNO；若|a|=?a,则aWO；

(4) 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|2a,

旦I a | N?a：

(5) 若|a| = |b|,贝膈=13或3=-上(几何意义)

(6) |ab| = |a| ? |b| ：| — | = ^-^ (b^O)：

b \b\

(7) |a|'=|a~ |=a2：

(8) | a+b | W | a | +1 b | | a-b |N||a|?|b|| |a| + |b|N| a+b | | a | +1 b | N

|a?b|

［例1］

（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？

（2）若ab<|ab|,则下列结论正确的是（）

A.aVO, b<0

B.a>0, b<0

C.aVO, b>0

D.ab<0

（3）下列各组判断中，正确的是（）

A.若|a|=b,则一定有a=b

B.若|a|>|b|,则一定有a>b

C.若|a|>b,则一定有|a|>|b|

D.若|a|=b,则一定有a2=（-b）2

（4）设a, b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？

分析：

（1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3, ±4,有4个（2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。

（3）选择D。

（4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|2O,则|a+b|N9,有最小值9

［巩固］绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？

〈分析〉：绝对值小于3.1的整数有0, ±1, ±2, ±3,和为0。

［巩固］有理数a与b满足|a|>|b|,则下面哪个答案正确（）

A.a>b

B.a=b

C.a

D.无法确定

分析：选择D.

［巩固］若|x-3|=3-x,则x的取值范围是 ______________

分析：若|x-3|=3-x,则X-3W0,即xW3°对知识点3的复习巩固

［巩固］若a>b,且|a|<|b|,则下面判断正确的是（）

A.aVO

B.a>0

C.b<0

D.b>0

分析：选择C

［巩固］设a, b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？

分析：|a-b|NO, -8-|a-b|W-8,所以有最大值-8

［例2］

（1）（竞赛题）若3|x?2| + |y+3|=0,则飞的值是多少？

2若|x+3|+（y.1）2=O,求（二七）”的值

y—x

x

分析：(1) |x ?2|=0, |y+3|=0, x=2, y=?3,—= - — A 2

(2) 由 |x+3|+ (y-1) 2=0,可得 x=?3, y=1 □ —— =— =-1 y-x 1+3

n 为偶数时，原式=1： n 为奇数时，原式=-1

小知识点汇总：(本源|a|30 b 2^0)

若(x ?a) 2 +(x-b)2 =0,则 x-a=O 且 x-b=O ；

若 |x-a|+(x-b)2 =0,则 x-a=O 且 x-b=O ；

若 |x-a| + |x-b|=O,则 x-a=O 且 x-b=O ；

当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0,两个非

负数互为相反数时，两者均为0

简单的绝对值方程

【例3】 (1) 已知X 是有理

数， 且|x| 二 |?4|,那么x= ______ (2) 已知X 是有理数， 且-|x|=-|2|,那么 x= (3) 已知

X 是有理数，

且-1 -x I =-121，那么 x= (4)

如果x, y 表示有理数，且x, y 满足条件|x|=5, |y|=2, |x-y|=y-x,那么 x+y 的值是多少？

分析：

(1) 4,?4 (2) 2, 2 (3) 2, -2

(4) x=±5, y=±2,且|x ?y|=y ?x, x ?yWO ：

当x=5, y=2时不满足题意：当x=5, y=-2时不满足题意：

当x=-5, y=2时满足题意：x+y=-3：当x=-5, y=-2时满足题意，x+y=-7°

【巩固】巩固|x|=4, |y|=6,求代数式|x+y|的值

分析：因为|x|=4,所以x=±4,因为|y|=6,所以y=±6

当 x=4, y=6时,|x+y| = | 10|=10： 当 x=4, y=?6 时,|x+y| = |-2|=2;

当 x=?4, y=6 时,|x+y| = |2|=2：

当 x=?4, y=-6 时,|x+y| = | 10|=10

【例4】

3 解方程：(1) -lx + 5l-5 = 0 2 (2) |4x+8|=12 (3) |3x+2|=-1 1与 (4) 已知|x-11 =2, |y|=3,且x 与y 互为相反数,求--xy-4y 的值 分析：(1)原方程可变形为：|x+5| =四，所以有x +5=± —,进而可得：x=--,； 3 3 3 3 (2) 4x+8=±12, x=1, x=-5 （3）此方程无解 (4) |x ?11=2, x ?1二±2, x=3, x=?1, |y|=3, y=±3,且 x 与 y 互为相反数,所以 x=3, 1 、 y=-3, -xy -4j = 2

4 【例5】若己知a 与b 互为相反数，且|a ?b|=4,求“"泌+”

的值

cr + ah+ \

分析：a 与b 互为相反数，那么a+b=（h

a-ab + b a+ b-ab O-ab f 4 , - ------- = ----------- = -------- =一汕,1 ci-bl=4@-b = ±4, cr +ab + \ a(a + b) + \ axO+\ 当 a-b=4 时,且 a+b=O,那么 a=2> b=?2, -ab=4； 当 a ?b=-4 时，且 a+b=O,那么 a=?2, b=2, ?ab=4； 综上可得 --------- =4 cr +ab + l 化简绝对式

【例6】 (1) 已知a=?L, b 二?上，求：i

------ : ------------ ------ 的值 2 3 (a + 2b)2 \a + 2b\ I48 + 3-12o-3ll 12。+ 4/刃 (2) 若|a|=b,求|a+b|的值

(3) 化简：|a ?b|

I-1--I 4 9 分析：(1)原式二 ------- ———-—= -------------- (一 土一二)2 |—土一二 I | 一兰+ 3—1一1一311 2 3 2 3 3 18 7 (2)|a|=b,我们可以知道 bNO,当 a<0 时，a=?b, |a+b| =0：当 aNO 时，a=b, |a+b| =2b （3）分类讨

论。

当 a-b>0 时，即 a>b, |a ?b|=a ?b ：

当 a-b=O 时,即 a=b, | a-b| =0：

当 a ?bV0 时，即 aVb, |a ?b|=b-a 。

【巩固】化简:(1)13.14-n | (2) |8-x| (xN8)

分析：(1)3.145, 3.14-n <0, |3.14-n | = n-3.14

(2) xN8, 8?xW0, |8-x|=x-8o

【例7】有理数a, b, c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a| + |a+c| + |c-b|

I

II I ? C BO A

分析：|b+a| + |a+c| + |c ?b|=b+a ? (a+c)?(c-b) =2b-2c

【巩固】己知a, b, c 在数轴上的位置如图所示，化简|a| + |c ?b| + |a-c| + |b ?a|

分析：|a| + lc-b| +1a ?c| +1b-a| =?a+b ?c ?a+c+b ?a=2b ?3a

【巩固】数a, b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b| + |b-a| + |b|-|a-|a||

分析:|a+b| + |b-a| + |b|?|a ?|a| |=?(a+b) + (b-a) +b- (-2a) =b

【例 8】(1)若 a0,化简 |a|?|b| + |a+b| + |ab| b

(2) 若?2WaW0,化简 |a+2| + |a ?2|

(3) 已知 xO,|y|>|z|>|x|,求|x+z| + |y+z|?|x ?y|的值

分析：< 1)若 a 0 , a<0,b<0,a+b<0,ab>0 b

I a | ? | b | +1 a+b | + |ab| =-a+b-a-b+ab=ab-2a

(2) 因为?2WaW0,所以 a+2N0, a ?2W0, |a+2| + |a-2|=(a+2)-(a-2)=4

(3) 由 x<00 可得:y|z|>|x|,可得:y

【巩固】如果0

分析：|x ?m| +1x ?101 +1x-m-10| =x-m+10-x+m+10-x=20-x

【例 9] (1)已知 x<-3,化简|3+|2?|1+x|||

分析：(1)当 x

2〃一13〃I

2。一 13。I _ 2a + 3a _ 5。_ 5

. 二. ? ■ = ? ■ I

II 3" I -a I I -3a - a 1-4。 4

【例10】若abcKO,则；+当+二的所有可能值

I 。I \b\ Icl

分析：从整体考虑:

(1) a, b, c 全正，则— + — + — =3： \a\ \b\ Icl

(2) a, b, c 两正一负，则—+ —+ —=1： \a\ \b\ Icl

(3) a, b, c —正两负，则—+ —+ — =-1： \a\ \b\ Icl

(4) a, b, c 全负，则 ----- + ---- 1 ---- =-3

\a\ \b\ Icl ■ r , I abed I . I b I Icl IJ L.

理 敏 a, b‘ c, d‘ ?两正 --------- =—1, 求 ------ 1 ------ 1 ------ 1 ---- hj I ：

L

abed abed

分析：有业￥l = _i 知abcd<0,所以a, b, c, d 里含有1个负数或3个负数: abed

\b\ Icl \d\ .

+ F ——d =2：

bed

\b\

Icl \cl\ .

+ F ——d =-2

bed 【例 111 化简 |x+5| + |2x-3|

3

分析:先找零点。x+5=0, x=?5： 2x ?3=0, x —,零点可以将数轴分成几段。

2

3

当 xN —， x+5>0,2x ?3N0, |x+5| + |2x ?3|=3x+2；

2

3

当?5WxV — , x+5—0,2x ?3V0, |x+5| + |2x ?3|=8?x ；

2

当 x

【巩固】化简：|2x-1|

分析：先找零点。2x-1=0, x=L 依次零点可以将数轴分成几段

2

(1) x<-,2x-1<0, |2x.1|=? (2x-1) =1 -2x ：

2

(2) (1) 若含有1个负数，则牛 (2) 若含有3个负数，则:?

(2)x=— , 2x-1=0t |2x-11=0

2

(3) x>-, 2x?1>0, |2x?1|=2x?1°也可将(2)与(1)合并写出结果

2

【例12］求|m| + |m-1 + |m-2|的值

分析:先找零点,m=0, m?1=0, m?2=0,解得m=0,1,2

依这三个零点将数轴分为四段：mV0,0Wm<1,lWmV2, n】N2。

当m<0 时，原式=-m - (m-1) - (m-2) =-3m+3

当0Wm<1 时，原式=m- (m-1) - (m-2) =-m+3

当 1 WmV2 时，原式=ni+ (m-1)?(m-2) =m+1

当m—2 时,原式m+(m-1)+ (m-2) =3m-3

绝对值几何意义的应用

|a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离

|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a, b对应数轴上两点间的距离

【例13】求|x-3| + |x-5| + |x-2| + |x+1| + |x+7|的最小值

分析：由上题可知，本题中的式子值应为x所对应的点分别到3,5,2, -1, -7所对应的点距离和。

通过数轴可以看到，当x=2时，五段距离的和有最小值16。这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：

【小学奥数相关题目】如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮简, 为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？

——

分析：我们来分析以下A、E两个点，不论这个邮简放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距离加上E到邮简的距离就是AE的长度。也就是说邮简放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮简的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C点到邮简的距离最近就行了。那么当然也就是把邮简放在C点了。这里就体现了一个''向中心靠拢的思想”

题后小结论：

求Ix-a】| + |x-a? |+—+|x-a… |的最小值：

当n为奇数时，把a,、???a“从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的值最小。