三角恒等变换复习课件
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第5章三角恒等变换复习课件-湘教版必修2
4
3.（原创题）函数f（x）＝sin2
2x
π 4
－1的
最小正周期为（ ）
A．π B． π C．π D．2π
4
2
答案：B 解1 s析in：4x由－于1f（，x所）以＝最si小n2正2x周 π4 期－为1＝2π1
cos
π
4x
π 2
2
。
－1＝
2
2
42
4．（2011浙江宁波高一期中检测）
若 sin A． 7
α22
2sin
α2－cos
α 2
sin ＝－
α2＋cos
α 2＋sin
α2－cos
α 2
2
2
＝－ 2cos α2。
点评：1±sin α和1±cos α都可以通过升幂而转化为完全平方式， 如果需要开方，则一定要注意角的范围，必要时需进行讨论。
专题三：三角恒等式的证明
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条 件恒等式。
1－tan2
α＝12cos2 2
αtan
α
＝12sin αcos α＝14sin 2α。
专题四：三角变换的综合应用
【例7】 已知 A、B、C 三点的坐标分别是 A（3，0）、B（0，3）、 C（cos α，sin α），其中π2＜α＜32π。 （1）若 |A→C|＝|B→C|，求角 α 的值； （2）若A→C·B→C＝－1，求2sin1＋2α＋tansinα 2α的值。
检测题
1.（2011北京高一期末检测）已知角α的终边经
过点P（1， ）3，则cos 2α的值为（ ）
A． 1 2
B． 3 2
C． 1
2
D． 3 2
答案：A 解析：依题意知，cos
3.（原创题）函数f（x）＝sin2
2x
π 4
－1的
最小正周期为（ ）
A．π B． π C．π D．2π
4
2
答案：B 解1 s析in：4x由－于1f（，x所）以＝最si小n2正2x周 π4 期－为1＝2π1
cos
π
4x
π 2
2
。
－1＝
2
2
42
4．（2011浙江宁波高一期中检测）
若 sin A． 7
α22
2sin
α2－cos
α 2
sin ＝－
α2＋cos
α 2＋sin
α2－cos
α 2
2
2
＝－ 2cos α2。
点评：1±sin α和1±cos α都可以通过升幂而转化为完全平方式， 如果需要开方，则一定要注意角的范围，必要时需进行讨论。
专题三：三角恒等式的证明
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条 件恒等式。
1－tan2
α＝12cos2 2
αtan
α
＝12sin αcos α＝14sin 2α。
专题四：三角变换的综合应用
【例7】 已知 A、B、C 三点的坐标分别是 A（3，0）、B（0，3）、 C（cos α，sin α），其中π2＜α＜32π。 （1）若 |A→C|＝|B→C|，求角 α 的值； （2）若A→C·B→C＝－1，求2sin1＋2α＋tansinα 2α的值。
检测题
1.（2011北京高一期末检测）已知角α的终边经
过点P（1， ）3，则cos 2α的值为（ ）
A． 1 2
B． 3 2
C． 1
2
D． 3 2
答案：A 解析：依题意知，cos
人教A版必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换课件
1
2
2
−
3
(1
6
− 2) =
1
2
2
3
+ 2
6
3
+ )− .
6
6
−
3
6
1
3
1
3
1
= ( 2 + 2) − = (2
3 2
2
6
3
5
由0 < < ，得 < 2 + < ，
3
6
6
6
1
3
3
所以当2 + = ，即 = 时， = − = .
又
2
<
2
∴
2
<
2
2
8
− ，且
17
1−
2
=−
=
2
=
1+
2
2
15
= −4.
1+17
2
=
3
，求 ， ， 的值；
2
2
2
2
3
15
，∴ = − .
2
17
<<
<<
3
，
4
=
��
8
，且
17
4 17
；
17
15
1 −
1 +
1 −
= ±
， = ±
， = ±
，
第4节 三角恒等变换--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
(2)通过变换,产生可消去的正负项,再去求值;
(3)通过变换,产生分子分母可约分的项,约分求值.
[对点训练
1
A.2
110° 250°
2](1)(2024·广东茂名模拟) 2
的值为(
2
25°- 155°
1
3
3
B.
C.
D.2
2
2
A )
1sin140° 1sin40°
-sin70°cos70°
6
6
6
cos2 (+ )-sin2 (+ )
π
αsin(α+ ),
6
考向 3
给值求角
3
4(2024·湖北襄阳模拟)已知 ≤α≤π,π≤β≤ ,sin
4
2
例
β-α=( C )
3
A. 或
4
4
B.
4
3
C.
4
4
2
2α= ,cos(α+β)=- ,则
5
10
5
D.
4
π
π
4
π
3
解析 因为 ≤ ≤π,所以 ≤2α≤2π.又 sin 2α= >0,则 <2α<π,故 cos 2α=- .
1+cos(2- )
4
2
2
3
1+
π
2
所以 tan (α-4)= 34=7.
14
规律方法
三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
(3)通过变换,产生分子分母可约分的项,约分求值.
[对点训练
1
A.2
110° 250°
2](1)(2024·广东茂名模拟) 2
的值为(
2
25°- 155°
1
3
3
B.
C.
D.2
2
2
A )
1sin140° 1sin40°
-sin70°cos70°
6
6
6
cos2 (+ )-sin2 (+ )
π
αsin(α+ ),
6
考向 3
给值求角
3
4(2024·湖北襄阳模拟)已知 ≤α≤π,π≤β≤ ,sin
4
2
例
β-α=( C )
3
A. 或
4
4
B.
4
3
C.
4
4
2
2α= ,cos(α+β)=- ,则
5
10
5
D.
4
π
π
4
π
3
解析 因为 ≤ ≤π,所以 ≤2α≤2π.又 sin 2α= >0,则 <2α<π,故 cos 2α=- .
1+cos(2- )
4
2
2
3
1+
π
2
所以 tan (α-4)= 34=7.
14
规律方法
三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
三角恒等变换复习课件
三角恒等变换复习课件
本课件将全面介绍三角恒等变换的概念、性质、分类以及应用。通过丰富的 文字和图像，帮助您全面理解和掌握三角恒等变换。
恒等变换概述
什么是恒等变换？
恒等变换是指将一个数或表达式变换为等价的 数或表达式的过程。
恒等变换的性质有哪些？
恒等变换具有传递性、反射性、对称性、合并 性等性质。
恒等变换的作用是什么？
恒等变换的作用是简化复杂的三角函数表达式， 从而更方便地进行计算和推导。
恒等变换的分类有哪些？
恒等变换可以分为角度变换、比值变换、和差 变换、倍角变换等分类。
三角函数
1 什么是三角函数？
2 三角函数的定义式是 3 三角函数的周期、奇
三角函数是描述角度与其 对应的三角比值之间关系
什么？
常见的三角函数包括正弦
三角恒等变换的种类有哪些？
三角恒等变换包括倒数公式、和差公式、平方公式、 倍角公式等多种形式的恒等变换。
三角恒等变换的证明方法和技巧是什么？
证明三角恒等变换通常使用代数证明、几何证明、 辅助角证明等方法，还可以应用恒等变换之间的转
三角恒等变换的应用有哪些？
三角恒等变换在解三角方程、简化三角函数表达式、 证明三角恒等式等方面具有重要的应用价值。
偶性、单调性、图像 和函数值的变化规律 是什么？
的数学函数。
函数、余弦函数、正切函
数等，它们分别由三角比
三角函数的周期、奇偶性、
值的定义式给出。
单调性、图像以及函数值
的变化规律取决于不同的
函数和角度。
三角恒等变换
什么是三角恒等变换？
三角恒等变换是一类关于三角函数的恒等式，它们 在三角学中具有重要的作用。
三角恒等变换的练习
本课件将全面介绍三角恒等变换的概念、性质、分类以及应用。通过丰富的 文字和图像，帮助您全面理解和掌握三角恒等变换。
恒等变换概述
什么是恒等变换？
恒等变换是指将一个数或表达式变换为等价的 数或表达式的过程。
恒等变换的性质有哪些？
恒等变换具有传递性、反射性、对称性、合并 性等性质。
恒等变换的作用是什么？
恒等变换的作用是简化复杂的三角函数表达式， 从而更方便地进行计算和推导。
恒等变换的分类有哪些？
恒等变换可以分为角度变换、比值变换、和差 变换、倍角变换等分类。
三角函数
1 什么是三角函数？
2 三角函数的定义式是 3 三角函数的周期、奇
三角函数是描述角度与其 对应的三角比值之间关系
什么？
常见的三角函数包括正弦
三角恒等变换的种类有哪些？
三角恒等变换包括倒数公式、和差公式、平方公式、 倍角公式等多种形式的恒等变换。
三角恒等变换的证明方法和技巧是什么？
证明三角恒等变换通常使用代数证明、几何证明、 辅助角证明等方法，还可以应用恒等变换之间的转
三角恒等变换的应用有哪些？
三角恒等变换在解三角方程、简化三角函数表达式、 证明三角恒等式等方面具有重要的应用价值。
偶性、单调性、图像 和函数值的变化规律 是什么？
的数学函数。
函数、余弦函数、正切函
数等，它们分别由三角比
三角函数的周期、奇偶性、
值的定义式给出。
单调性、图像以及函数值
的变化规律取决于不同的
函数和角度。
三角恒等变换
什么是三角恒等变换？
三角恒等变换是一类关于三角函数的恒等式，它们 在三角学中具有重要的作用。
三角恒等变换的练习
2024届新高考一轮复习人教B版 主题二 第四章 第3节 三角恒等变换 课件(38张)
又因为 < <π,所以原式=-cos .
答案:-cos
3.化简:
- +
=
( -) ( +)
( - +)
( -)
·
· ( -)
( -)
解析:原式=
=
=
(3)tan 2α=
.
-
1.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;
β=
+ -
-
=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°; +α=
-( -α)等.
2.辅助角公式
=
- °
×°
- °
= ×tan 30°= × = .
3.
°- °
等于(
°
A.-
C.
B.-1
解析:原式=2×
=2×
D
)
D.1
°-°°
°
(°+°)-°°
三角函数式的求值
给角求值
[例 1] (1)
° °
解析:(1)原式=
=
=
=
-
( °-
=
.
°- °
三角恒等变换(1)-PPT课件
5
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
2025届高三数学一轮复习课件-+简单的三角恒等变换
)
A．π 3
B．5π 12
C．π6
D．π4
解析 ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π，由 cosα＝17，sin(α＋β)＝5143，得 sinα＝473，
cos(α＋β)＝±1114.若 cos(α＋β)＝1114，则 sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋
解析
sinα －
3
cosα
＝
2
12sinα－
3
2
cosα
＝
2sin
α－π3
＝
m
－
1
，
因
为
－
1≤sinα－π3≤1，所以－2≤2sinα－π3≤2，所以－2≤m－1≤2，解得－1≤m≤3，
则 m 的取值范围是[－1，3]．
课堂小结（1分钟）
【通性通法】 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是 把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化 后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将 y＝asinx＋bcosx 转化为 y＝ Asin(x＋φ)或 y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质，解题时注意观察角、函 数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
因为 x∈π4，32π，所以 x－71π2∈－π3，1112π，
所以 sinx－71π2∈－ 23，1，
所以－ 22sinx－71π2∈－ 22， 46，
即函数
f(x)在区间π4，32π上的最大值为
46，最小值为－
2 2.
(2)因为 cosθ＝45，θ∈32π，2π， 所以 sinθ＝－35，所以 sin2θ＝2sinθcosθ＝－2245， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝1265－295＝275， 所以 f2θ＋π3＝－ 22sin2θ＋π3－71π2 ＝－ 22sin2θ－π4＝－12(sin2θ－cos2θ) ＝12(cos2θ－sin2θ)＝12×275＋2245＝3510.
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
2023届高考数学一轮复习：第三讲 三角恒等变换 课件(共19张PPT)
( ) ( )
4
4
3
3
（2）互余与互补关系
例如，
4
3 4
3
6
2
.
（3）非特殊角转化为特殊角
例如，15 45 30 ,75 45 30 .
[典型例题]
1.
若
sin
π 2
3 5
，
(π, 2π)
，则
sin3 sin
cos3 cos
1，A
错；
f
π 6
2 sin
π 6
π 3
2
， 图象关于直线
x
π 6
对称，
C 对.故选：C.
Thanks
D. 最大值为 2 ，图象关于直线 x π 对称 6
[解析]
f
(x)
sin
x
π 3
cos
x
π 6
sin
x
cos
π 3
cos
x
sin
π 3
，
cos
x
cos
π 6
sin
x
sin
π 6
2
sin
x
π 3
当
sin
x
π 3
1时，
f
(x)
取最大值
2， BD
错；
f
π 6
2 sin
π 6
π 3
π 4
4 5
2 3 25
2 2， 2 10
故选 C.
考点2：三角函数式的变形
1.其他常用变形
sin 2 2sin cos 2 tan ； sin2 cos2 tan2 1
cos 2 cos2 sin2 1 tan2 ； cos2 sin2 1 tan2
5.5.2 简单的三角恒等变换(课件)
第五章 三角函数
课堂互动探究
探究一 降幂、半角公式的应用 设 π<θ<2π，cos2θ＝a，求：
(1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin24θ的值．
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
解 (1)∵π<θ<2π，∴π2<2θ<π.又∵cos2θ＝a， ∴sin2θ＝ 1－cos22θ＝ 1－a2. ∴sin θ＝2sin2θcos2θ＝2a 1－a2. (2)cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1. (3)sin24θ＝1－2cos2θ＝1－2 a.
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
第五章 三角函数
课程标准
能用两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式进行简单 的恒等变换(包括推导出积化和 差、和差化积、半角公式，这三 组公式不要求记忆).
核心素养
通过对简单的三角恒等变换 的学习，提升“逻辑推 理”、“数学运算”的核心 素养.
2＋1 4.
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第五章 三角函数
2．若 cos α＝13，且 α∈(0，π)，则 sinα2＝________.
解析 ∵α∈(0，π)，∴α2∈0，π2.∴sinα2>0.
又 cos α＝1－2sin2α2＝13，∴sinα2＝
1－cos 2
α＝
3 3.
答案
3 3
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第五章 三角函数
(2)由 x∈－π4，π4得 2x－π3∈－56π， π6，
则 sin2x－π3∈－1，12，
即函数 f(x)＝12sin
三角恒等变换复习公开课精华ppt课件
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a
简单的三角恒等变换 课件
B．cos2α2＝1＋c2os α
C．tanα2＝±
1－cos α 1＋cos α
D．tan 2α＝1－2tatnanα2α
解析：A.tanα2＝1－sincoαs α不恒成立．恒成立的条件是 sin α≠0，
C．tanα2＝±
1－cos 1＋cos
α不恒成立．恒成立的条件是 α
cos
α≠－1，
D．tan 2α＝1－2tatnanα2α不恒成立．恒成立的条件是 tan α≠±1，
cos θ＋cos ＝_______________，⑦ cos θ－cos ＝_______________，⑧
上面的公式⑤⑥⑦⑧统称为和差化积公式．
θ＋φ θ－φ 2sin 2 cos 2
θ＋φ θ－φ 2cos 2 sin 2
θ＋φ θ－φ 2cos 2 cos 2
－2sinθ＋2 φsinθ－2 φ
12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] 12[sin(α＋β)－sin(α－β)]
由cos＝cos αcos β－sin αsin β， cos＝cos αcos β＋sin αsin β 得cos αcos β＝_________________，③ sin αsin β＝___________________，④
上面的三个式子称为半角公式．同样有 tanα2＝________＝________.
1－cos α
(3)±
2
1＋cos α
±
2
±
1－cos α 1＋cos α
1－cos sin α
α＝1＋sincoαs
α
思考应用
1．试应用半角公式讨论，下列各式中恒成立的是
( )，如不恒成立，请指出应补充的条件．
5．5.2简单的三角恒等变换(共44张PPT)
【(2解)求】f(x)f在(x)π6＝，(－23πc上os的x)·单(－调s递in 增x)－区间3．·1＋c2os
2x＋
3 2
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x＝sin2x－π3.
(1)f(x)的最小正周期为 π，最大值为 1.
(2)令 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 即 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，所以 f(x)在π6，51π2上单调递增，即 f(x)在 π6，23π上的单调递增区间是π6，51π2.
A．
6 3
B．－
6 3
C．±
6 3
D．±
3 3
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
()
A．－
10 10
B．
10 10
C．3103
D．－35
答案：B
4．已知 cos θ＝－35，且 180°＜θ＜270°，则 tan θ2＝________．
答案：－2
探究点 1 应用半角公式求值
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
1．若 sin(π－α)＝－ 35且 α∈π，32π，则 sinπ2＋α2等于
A．－
6 3
B．－
6 6
C．
6 6
D．
6 3
4．化简：
1＋cos（23π－θ）32π<θ<2π＝________．
解析：原式＝
1－cos 2
θ＝sinθ2，
因为32π<θ<2π，所以34π<θ2<π，
第四节 简单的三角恒等变换 课件(共106张PPT)
2．给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值． 解题关键：把“所求角”用“已知角”表示． (1)当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差 的形式或者和或差的二倍形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或 倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．
(2)cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.
[解析]
解法一：cos
20°cos
40°·cos
80°＝sin
20°cos
20°cos 40°cos sin 20°
80°
1
＝2sin
40°cos 40°cos sin 20°
80°
＝14sins8in0°2c0o°s 80°
θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos2θ>0，∴原式＝－cos θ.
2．证明：cos θ－cos φ＝－2sin
θ＋φ 2 sin
θ－φ 2.
[证明] 因为θ＝θ＋2 φ＋θ－2 φ，φ＝θ＋2 φ－θ－2 φ，
所以cos θ－cos φ
＝cosθ＋2 φ＋θ－2 φ－cosθ＋2 φ－θ－2 φ
第四章 三角函数 解三角形
第四节 简单的三角恒等变换
[复习要点] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、 余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但 对这三组公式不要求记忆)．
理清教材•巩固基础
知识点 半角公式(不要求记忆)
1－cos α 1．sin α2＝_±_______2____；
5.5.2简单的三角恒等变换(第二课时)课件(人教版)
例2 求函数 y 3sin x 4cos x 的周期，最大值和最小值：
解：解法二：设 3sin x 4cos x A( 3 sin x 4 cos x)
A
A
令
3 A
2
4 A
2
1，解得
A2
25，
不妨取A＝5，则 3sin x 4cos x 5(3 sin x 4 cos x)
例6. 如图, 已知OPQ是半径为 1, 圆心角为 3的扇形, C 是扇形弧 上的动点, ABCD 是扇形的内接矩形. 记∠COP , 求当角 取何值
时, 矩形ABCD的面积最大? 并求出这个最大面积.
Q
解: 在Rt△OBC中, OC 1, BC OC·sin sin,
D
C
OB OC·cos cos,
（1）sinx cosx; （2）sinx 3cosx; （3） 3sinx cosx;
(2) 原 式 2(sinx 1 cosx 3 )
2
2
2(sinx cos cosx sin )
3
3
2sin (x ) 3
(3) 原 式 2(sinx 3 cosx 1 )
2
2
2(sinx cos cosx sin )
2
2
1 sin 2x 3 cos2x 3
2
2
2
sin(2x ) 3
32
f (x) 0,sin(2x ) 3 ,
3
2
2x 4 或
33
2x 5 ， x 5 或
33
6
x
2
,
,2x
3
2
3
,
5
3
最大值：3，最小值1 3 . 2
高考数学复习考点知识讲解课件21 简单的三角恒等变换
(新教材) 高三总复习•数学
2．积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式 cosα·cosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sinα·sinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sinα·cosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cosα·sinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
— 返回 —
— 5—
(新教材) 高三总复习•数学
(2)和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sinα＋2 βcosα－2 β； sinα－sinβ＝2cosα＋2 βsinα－2 β； cosα＋cosβ＝2cosα＋2 βcosα－2 β； cosα－cosβ＝－2sinα＋2 βsinα－2 β.
— 28 —
(新教材) 高三总复习•数学
对点训练
1．(2022·河南郑州联考)已知 sinα＋ 3cosα＝ 32，则 cos76π－α＝( B )
A．
2 6
B．－
2 6
C．
34 6
D．－
34 6
— 返回 —
[解析]
因为 sinα＋
3 cosα ＝ 2sin α＋π3 ， 所 以
高考数学复习考点知识讲解课件
第三节 三角恒等变换 第二课时 简单的三角恒等变换
基础知识夯实 核心考点突破
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
考试要求：能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切 公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要 求记忆)．
∴tan(α＋β)＝11－＋mmtanα.
— 19 —
(新教材) 高三总复习•数学
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5
10
(2)已知 ， 为锐 co 角 s 3， ,cos()5,
5
13
求 cos的值。
[借题发挥]解决此类问题的关键在于寻找条件和结论 中的角间的关系，合理拆、凑，用已知角凑出要求角。
变式练习：
( 1 ) 已 ta知 n ) ( 2 , （ ta ） n 1 ,求 ta ) n
(2 )若 为锐 5 s（ i角 n )4 ， 1,4 求 且 c os4
三角恒等变换
常见题型
求值
化简
证明
一、给角求值
例1. (1)求 co2s0 co4s0 co 8 s的 0 值 22co1cso002ss00in200
[借题发挥]解决此类问题的关键在于： 研究角间的关系：倍半、互余互补、角的和差关系
二nα＝ 5 ， cosβ＝3 10 求sin(α β)
63
注：常用角的变换：
① ()
② 2 ( ) ( )
③ 2 ()
④ ⑤
2( 2)()
4
4
三、给值求角
例3 锐角α， β满足sinα＝ 5 ， cosβ＝ 3 10 求α β
5
10
[借题发挥]（1）先求角的某一三角函数值，转化为 “给值求值”问题，尽量选择区分度高的函数名。 （2）结合角的范围求角。（当函数名选择的不恰当 或角的范围过大时需要缩小角的范围）。
练习：
1.已c知 o 4s ()1 1,2 3 (0, 4)求 , sc i n o 2 ( s)的值
4
练习：
2 .已 co 知 s) (4 , (0 ,)求 ,si2 n ()的值
65 2
12