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第一章 力 物体的平衡

一、力的分类

按产生条件分

场力（非接触力，如万有引力、电场力、磁场力）；接触力（如弹力、摩擦力）。

二、重力

地球上一切物体都受到地球的吸引，这种由于地球吸引而使物体受到

的力叫做重力。重力又可以叫做重量。 实际上重力G 只是万有引力F 的一个分力。对地球表面上的物体，万有引力的另一个分力是使物体随地球自转的向心力f ，如图所示。由于f

比G 小得多（f 与G 的比值不超过0.35%），因此高考说明中明确指出：在

地球表面附近，可以认为重力近似等于万有引力。

物体各部分都要受到重力作用。从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用都集中在一点，这一点叫做物体的重心。重心可能在物体内，也可能在物体外。

三、弹力

1．弹力的产生条件

弹力的产生条件是：两个物体直接接触，并发生弹性形变。

2．弹力的方向

⑴压力、支持力的方向总是垂直于接触面指向被挤压或被支持的物体。

⑵绳对物体的拉力总是沿着绳收缩的方向。

例1．如图所示，光滑但质量分布不均的小球，球心在O ，重心在P ，

静止在竖直墙和桌边之间。试画出小球所受的弹力。 解：由于弹力的方向总是垂直于接触面，在A 点，弹力F 1应该垂直于球面所以沿半径方向指向球心O ；在B 点弹力F 2垂直于墙面，因此也沿半

径指向球心O 。

对于圆球形物体，所受的弹力必须指向球心，而不一定指向重心。（由于F 1、F 2、G 为共点力，重力的作用线必须经过O 点，因此P 、O 必在同一竖直线上，P 点可能在O 的正上方（不稳定平衡），也可能在O 的正下方（稳定平衡）。

例2．如图所示，重力不可忽略的均匀杆被细绳拉住而静止，试画出杆所受的弹力。

解：A 端所受绳的拉力F 1沿绳收缩的方向，因此沿绳向斜上方；B

端所受的弹力F 2垂直于水平面竖直向上。

由此题可以看出：直杆两端所受的弹力并不一定沿杆的方向（与绳有区别）。

从平衡的角度看，此杆受到的水平方向合力应该为零，而重力G 和支持力F 2在竖直方向，因此杆的下端一定还受到向右的静摩擦力f 作用。

3．弹力的大小

对有明显形变的物体（如弹簧、橡皮条等），在弹性限度内，弹力的大小可以由胡克定律计算；对没有明显形变的物体，如桌面、绳子等物体，弹力大小则要由物体的受力情况和运动情况共同决定（这种力叫做被动力）。

胡克定律可表示为（在弹性限度内）：F=kx ，即弹簧弹力大小跟形变量大小成正比（形变量可以是伸长量也可以是压缩量）；还可以表示成ΔF=k Δx ，即弹簧弹力的改变量和弹簧

形变量的改变量也成正比。

弹簧的k 值越大，弹簧就越“硬”。（同样的力F 作用下形变量Δx 小）

一根弹簧剪断成两根后，每根的劲度k 都比原来的劲度大；两根弹簧串联后组成的新弹簧总劲度变小；两根弹簧并联后组成的新弹簧总劲度变大。

例3．如右边的左图所示，一根轻弹簧竖直地放在水平桌面上，下端固定，上端放一个重物。稳定后弹簧的长度为L 。现将该轻弹簧截成等长的两段，将该重物也

等分为重量相等的两块，按右图连接，稳定后两段弹簧的总长度为L ′。则

A ．L ′=L

B ．L ′>L

C ．L ′

D ．不知道弹簧的原长，故无法确定

解：把左图中原来整根弹簧想象成分为长度相等的上、下两段，则两段受的弹力大小都等于重物的重量。其下段的长度应该和右图下段的长度相同，而上段承受的压力是原来物体的总重量，其长度显然比右图上段的长度小（右图上段弹簧受的弹力只有物体总重量的一半）。因此本题选B 。

其实本题可以把弹簧分成任意比例的两段，重物也可以分成任意比例的两部分，结论仍然应选B 。

例4．如图所示，两物体重分别为G 1、G 2，两弹簧劲度分别为k 1、k 2，弹簧两端与物体和地面相连。用竖直向上的力F 缓慢向上拉G 2，使下面弹簧刚好恢复原长。求该过程F 向上拉动的距离。 解：关键是求两种状态下每根弹簧的形变量Δx 1、Δx 2、Δx 1′、Δx 2′。 无拉力F 时：Δx 1=(G 1+G 2)/k 1，Δx 2= G 2/k 2，（Δx 1、Δx 2均为压缩量）； 加拉力F 时 Δx 1′=0，Δx 2′=G 1/k 2，（Δx 2′为伸长量） 因此F 向上拉动的距离s =(Δx 1+Δx 2) +Δx 2′=)11)((2

121k k G G ++。 例5．如图所示，将一个金属块用被压缩的弹簧卡在矩形箱子的顶部。在箱

子的上顶板和下底板上分别装有压力传感器（可以将该处压力大小随时在计算机

上显示出来）。当箱子静止时，上、下两只压力传感器的示数依次为6N 和10N 。

当箱子沿竖直方向向上运动时，发现上面那只压力传感器是示数变为5N 。求这时

箱子的加速度大小和方向。（取g =10m/s 2）

解：下面的压力传感器的示数等于弹簧的弹力大小，只要上面的传感器有示数，就说明弹簧的形变量不变，下面传感器的示数就不会改变，因此其示数仍是10N 。由已知得金属块的重量为4N ，质量为0.4kg 。此时金属块所受的合外力大小为1N ，方向竖直向上，因此箱子的加速度是2.5m/s 2，方向竖直向上（可能向上做加速运动，也可能向下做减速运动）。

四、摩擦力

1．摩擦力产生条件

摩擦力的产生条件为：两物体直接接触、相互挤压、接触面粗糙、有相对运动或相对运动的趋势。这四个条件缺一不可。

两物体间有弹力是这两物体间有摩擦力的必要条件。（没有弹力就不可能有摩擦力。）

2．滑动摩擦力大小

⑴在接触力中，必须先分析弹力，再分析摩擦力。

⑵只有滑动摩擦力才能用公式f=μN ，其中的N 表示正压力，不一定等于物体重力G 。 G 1 Δx 2

k 2 G 2 Δx 1 Δ

Δ

k 1

3．静摩擦力大小

⑴必须明确，静摩擦力大小不能用滑动摩擦定律f=μN 计算。其最大值略大于滑动摩擦力。在一般的计算中，可以认为静摩擦力的最大值等于滑动摩擦力，既f m =μN 。

⑵静摩擦力的大小要根据物体的受力情况和运动情况共同确定（被动力），其可能的取值范围是：0＜f ≤f m 。

例6．如图所示，三个物体质量相同，与水平地面间的动摩擦因数也相同，分别受到大小相同的力F 1、F 2、F 3作用，其中F 1、F 2与水平面的夹角相同。已知甲、乙、丙都没有离开地面。则它们所受的摩擦力大小的关系是 A ．一定是甲最大 B ．一定是乙最大 C ．一定是丙最大 D ．甲、乙所受摩擦力大小可能相同

解：从题意无法判定三个物体所受摩擦力是静摩擦力还是滑动摩擦力。若甲、乙、丙都与地面发生了相对滑动，根据滑动摩擦定律f=μN ，摩擦力大小取决于它们与水平面间正压力的大小，显然乙受的摩擦力最大而甲受的摩擦力最小；若甲、乙、丙都与地面都没有发生相对滑动，则它们受到的摩擦力跟F 的水平分力平衡，显然丙受的摩擦力最大，而甲、乙受的摩擦力大小相等。本题选D 。

例7．如图所示，A 、B 为两个相同木块，A 、B 间最大静摩擦力f m =5N ，水平面光滑。当B 受到的水平拉力F 为6N 和12N 时，A 、B 之间的摩擦力大小分别是多大？

解：先确定临界状态：A 、B 间刚好发生相对滑动时是一种临界状态，这种状态既可以认为A 、B 间已经发生了相对滑动，摩擦力是滑动摩擦力，大小是最大静摩擦力5N ；也可以认为A 、B 间还没有发生相对滑动，因此它们的加速度仍然相等。分别以A 和整体为对象，运用牛顿第二定律，可得拉力的临界值是F 0=10N 。

当拉力F =6NF 0时，A 、B 之间一定发生了相对滑动，它们之间的摩擦力是滑动摩擦力，计算可得该滑动摩擦力大小为5N 。

注意：研究物理问题经常需要分析临界状态。当物体处于临界状态时，可以认为它同时具有两种状态下的所有性质。

4．摩擦力方向

⑴摩擦力方向和物体间相对运动（或相对运动趋势）的方向相反。

⑵摩擦力的方向和物体的运动方向可能成任意角度。摩擦力方向可能和物体运动方向相同（如图⑴，A 在皮带作用下被加速，f 作为动力）；可能和物体运动方向相反（如图⑴，A 在皮带上向左运动，f 作为阻力）；可能和物体速度方向垂直（如图⑵，f 作为匀速圆周运动的向心力）；可能跟物体运动方向之间成任意角度（如图⑶，物体沿车后壁下滑）。

以上提到的无明显形变时的弹力和静摩擦力都是被动力。就是说：无明显形变时的弹力和静摩擦力的大小和方向，都无法由公式直接计算得出，而只能由物体的受力情况和运动情况共同决定的。

⑴

F 2 F 1 F O F 1 F 2 F 3 F 4 F 例8．如图所示，长木板的左端有固定转动轴，靠近木板右端处静止放有一个木块。现将木板的右端提升，使木板从水平位置开始缓慢地逆时针转动。发现当木板的倾角α达到25o时，木块开始沿木板向下滑动。那么在α从0o逐渐增大到40

A ．木块受的摩擦力逐渐减小

B ．木块受的摩擦力先增大后减小

C ．木块受的合外力不断增大

D ．木块受的合外力始终为零 其大小应为f =mg

sin α，随倾角α的增大而增大；在木块和斜面发生相对滑动后，

木块受到的摩擦力是滑动摩擦力，其大小可由f =μN 求得，应为f =μmg cos α，随倾角α的增大而减小。在发生相对滑动前，由于是“缓慢”转动，可认为木块处于平衡状态，所以合力为零；在发生相对滑动后，木块做加速运动，合外力大小等

于下滑力减摩擦力，即F 合= mg (sin α-μcos α)，随α的增大而增大。

所以本题答案应选B 。f-α图象为： 其中α0=arctan μ

由此可得物体恰好能沿斜面匀速下滑的充分必要条件是：tan α=μ。

例9．如图所示，斜面B 放在水平面上，木块A 放在斜面上，用水平力F 推A 时，A 、B 都保持静止。若将推力F 稍为减小一点，则A 、B 间的摩擦力大小f 1和B 、地间的摩擦力大小f 2的变化情况可能是 A ．f 1和f 2都减小 B ．f 1和f 2都不变 C ．f 1增大f 2减小 D ．f 1减小f 2增大

解：由质点组平衡看出f 2一定减小。而f 1的变化要看第一次平衡时f 1的方向，有可能增大，也有可能减小。选AC 。

五、力的合成与分解

1．矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则（可简化成三角形定则）

平行四边形定则实质上是一种等效替换的方法。一个矢量（合矢量）的作用效果和另外几个矢量（分矢量）共同作用的效果相同，就可以用这一个矢量代替那几个矢量，也可以用那几个矢量代替这一个矢量，而不改变原来的作用效果。

三角形定则可以推广到多个力的合成，如下右图所示。只要将表示各个分力的有向线段首尾相接成一折线（与先后顺序无关），那么从第一个有向线段的箭尾到最后一个有向线段的箭头的有向线段就表示它们的合力F 。

由三角形定则还可以得到一个有用的推论：如果n 个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n 个力的合力为零。

在分析同一个问题时，合矢量和分矢量不能同时使用。也就是说，在分析物理问题时，考虑了合矢量就不能再考虑分矢量；考虑了分矢量就不能再考虑合矢量。

矢量的合成分解，一定要认真作图。在用平行四边形定则时，分矢量和合矢量要画成带箭头的实线，平行四边形的另外两个边必须画成虚线。

各个矢量的大小和方向一定要画得合理。

μ

在应用正交分解时，两个分矢量和合矢量的夹角一定要分清哪个是大锐角，哪个是小锐角，不可随意将两个锐角都画成45o。（当题目规定为45o时除外）

2．应用举例

例10．A 的质量是m ，放在质量为M ，倾角为θ=30o的斜面B 上，A 、B 始终相对静止，共同沿水平面向右运动。当a 1=0时和a 2=0.75g

时，B 对A 的作用力F B 各多大？

解：一定要审清题：B 对A 的作用力F B 是B 对A 的支持力和摩擦力的合力。而A 所受重力G =mg 和F B 的合力是F =ma 。 当a 1=0时，G 与 F B 二力平衡，所以F B 大小为mg ，方向竖直向上。 当a 2=0.75g 时，用平行四边形定则作图：先画出重力（包括大小和方向），

再画出A 所受合力F 的大小和方向，再根据平行四边形定则画出F B 。由已知可得F B 的大小F B =1.25mg ，方向与竖直方向成37o 角斜向右上方。（F B 的方向

与斜面倾角的方向没有必然联系） 例11．已知质量为m 、电荷为q 的小球，在匀强电场中由静止释放后沿直线OP 向斜下方运动（OP 和竖直方向成θ角），那么所加匀强电场的场强E 的最小值是多少？

解：根据题意，释放后小球所受合力的方向必为OP 方向。用三角形定则从右图中不难看出：重力矢量OG 的大小方向确定后，合力F 的方向确定

（为OP 方向），而电场力Eq 的矢量起点必须在G 点，终点必须在OP 射线上。在图中画出一组可能的电场力，不难看出，只有当电场力方向与OP 方向垂直时Eq 才会最小，所以E 也最小，有E =q m g

sin 。

这是一道典型的考察力的合成的题，有些同学只记住了“垂直”，而不分析哪两个矢量垂直，经常误认为电场力和重力垂直，而得出错误答案。越是简单的题越要认真作图，例如解本题时作出一系列可能方向的电场力，是解题的基本思路和方法。

例12．轻绳AB 总长l ，用轻滑轮悬挂重G 的物体。绳能承

受的最大拉力是2G ，将A 端固定，将B 端缓慢向右移动d 而使绳不断，求d 的最大可能值。 解：以跟滑轮接触的那段绳子和滑轮、重物整体为对象，该对象在重力G 和两侧绳子的拉力F 1、F 2共同作用下静止。

同一根绳子上的拉力大小F 1、F 2总是相等的，因此以F 1、F 2为分力做力的合成的平行四边形一定是菱形。它们的合力跟重力平衡，方向竖直向上。利用菱形对角线互相垂直平分的性质，由相似形可得d ∶l =15∶4，所以d 最大为l 415

。

例13．如图所示，轻绳的一端固定在水平天花板上的A 点，另一端固定在竖

直墙上的B 点，图中OA =OB =l ，轻绳长2l ，不计质量和摩擦的小动滑轮下悬吊质量为m 的物体，将该装置跨在轻绳上，求系统达到静止时绳所受的拉力T 是多大？

B

解：如图所示，设静止时滑轮位置在C 点，延长AC 与墙交

于D ，由于AC 、BC 两段绳上拉力大小相等，利用几何关系可知

CD =BC ，因此AD=AC+CB=2l =2AO ，图中θ=30°。由菱形解得

mg T 33 。 若把B 点沿竖直墙缓慢向上或向下移动，由图知绳与竖直墙

的夹角θ不变，因此绳受的拉力大小也不变。

六、物体的受力分析

1．明确研究对象

在进行受力分析时，研究对象可以是某一个物体，也可以是保持相对静止的若干个物体。在解决比较复杂的问题时，灵活地选取研究对象可以使问题简洁地得到解决。

2．按顺序找力

必须先找场力（重力、电场力、磁场力），后找接触力；接触力中必须先找弹力，后找摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力）。

3．只按性质找力

画受力图时，只能按力的性质分类画力，不能再按作用效果（拉力、压力、向心力等）画力，否则将出现重复。

4．需要合成或分解时，必须正确画出相应的平行四边形或三角形（注意实线、虚线和箭头这些细节）。

例14．小球质量为m ，电荷为+q ，以初速度v 向右滑入水平绝缘杆，匀强磁场方向如图所示，球与杆间的动摩擦因数为μ。试描述小

球在杆上的运动情况。

解：先分析小球的受力情况，再由受力情况确定其运动情况。

小球刚滑入杆时，所受场力为：重力mg 向下，洛伦兹力f 0=qvB

向上；弹力N 的大小、方向取决于mg 和qvB 的大小关系，所以须分

三种情况讨论：

① v ＞qB

m g ，在摩擦力f 作用下，v 、f 0、N 、f 都逐渐减小，当v 减小到等于qB m g 时达到平衡，开始做匀速运动；② v

m g ，在摩擦力f 作用下，v 、f 0逐渐减小，而N 、f 逐渐增大，故v 将一直减小到零；③ v =

qB m g ，f 0=mg ， N 、f 均为零，小球将始终保持匀速运动。

例15．一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的过程中，由静止开始沿着与月球表面成一倾斜角的直线飞行，先加速运动，再匀速运动。探测器通过喷气而获得推动力。以下关于喷气方向的描述中正确的是

A ．探测器加速运动时，沿直线向后喷气

B ．探测器加速运动时，竖直向下喷气

C ．探测器匀速运动时，竖直向下喷气

D ．探测器匀速运动时，不需要喷气

解：探测器沿直线加速运动时，所受合力F 合

方向与运动方向

T

相同，而重力方向竖直向下，由平行四边形定则知推力方向必须斜向上方，因此喷气方向斜向下方。匀速运动时，所受合力为零，因此推力方向必须竖直向上，喷气方向竖直向下。选C 。

七、共点力作用下物体的平衡

1．共点力

几个力作用于物体的同一点，或它们的作用线交于同一点（该点不一定在物体上），这几个力叫共点力。

2．共点力的平衡条件

在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零。

3．解题途径

当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等大反向；当物体在三个共点力作用下平衡时，往往采用平行四边形定则或三角形定则求解；当物体在四个或四个以上共点力作用下平衡时，往往采用正交分解法求解。

例16．重G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F 1、F 2各如何变化？

解：由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。应用三角形定则，G 、F 1、F 2三个矢量应组成封闭三角形，其中G 的大小、方向始终保持不变；F 1的方向不变；

F 2的起点在

G 的终点处，而终点必须在F 1所在的直线上，

由作图可知，挡板逆时针转动90o过程，F 2矢量也逆时针

转动90o，因此F 1逐渐变小，F 2先变小后变大。（当F 2⊥

F 1，即挡板与斜面垂直时，F 2最小）

例17．光滑半圆柱体中心轴线正上方有一个定滑轮。一只小球被一根细线系住，线跨过定滑轮拉住小球保持静止。这时拉力大小为F ，小球对圆柱体的压力大小为N 。若将细线再向右拉动一小段距离再次

使小球静止，则F 、N 的大小各如何变化？

解：对小球进行受力分析，作出相应的平行四边形可发现，两个画阴影的相似三角形中圆柱体的半径R 和滑轮到底面的高度H 是不变

的。重力也是不变的，N ∶G=R ∶H ；F ∶G=L ∶H 。L 减小，因此F 减小，N 不变。

例18．如图所示，物体A 靠在竖直墙面上，在竖直向上的推力F 作用下，A 、B 保持静止。物体A 、B 的受力的个数分别为 A ．4，3 B ．3，3 C ．3，4 D ．5，4 解：先以B 为对象，除受重力G B 和推力F 外，还受A 对B 的弹力N AB 和摩擦力f AB ，且这两个力的合力F AB 必然竖直向下，B 受4个力；再以A 为对象，除重力G A 和B 对A 的弹力N BA 和摩擦力f BA 外，墙不可能对A 有向右的弹力（否则A 水平方向合力不为零），更不可能有摩擦力，因此A 受3个力。本题选C 。 例19．有一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙，OB

竖直向下，表面光滑。AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m

，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置静止

G F 2 F

1

f

F AB N BA A

（如图所示）。现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到静止，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力F N 和摩擦力f 的变化情况是

A ．F N 不变，f 变大

B ．F N 不变，f 变小

C ．F N 变大，f 变大

D ．F N 变大，f 变小 解：以两环和细绳整体为对象求F N ，可知竖直方向上始终二力平衡，

F N =2mg 不变；以Q 环为对象，在重力、细绳拉力F 和OB 压力N 作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P 环向左移的过程中α将减小，N =mg tan α也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB 对Q 的压力N 和OA 对P 环的

摩擦力f 作用，因此f =N 也减小。答案选B 。

例20．如图所示是拔桩装置。当用大小为F ，方向竖直向下的

作用力拉图中长绳上的E 点时，绳CE 部分被水平拉直，绳CA 被

拉到竖直，绳DE 与水平方向的夹角为α，绳BC 与竖直方向的夹

角为β。则绳CA 拔桩的作用力的大小是

A ．F tan α? tan β

B ．F tan α? cot β

C ．F cot α? tan β

D ．F cot α? cot β

解：设E 、C 间拉力为T ，分别由E 、C 两点的共点力平衡得T=F cot α，T=F 拉 tan β，因此有F 拉=F cot α? cot β，选D 。