郭硕鸿《电动力学》课后答案

电动力学答案

第一章 电磁现象的普遍规律

1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式：

B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??

A A A A )()(2

21??-?=???A

解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=??

B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c

B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=

（2）在（1）中令B A =得：

A A A A A A )(2)(2)(??+???=??，

所以 A A A A A A )()()(21??-??=???

即 A A A A )()(22

1

??-?=

???A

2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：

u u f u f ?=

?d d )( ， u u u d d )(A A ?

?=??， u

u u d d )(A

A ??=?? 证明：

（1）z y x z

u f y u f x u f u f e e e ??+??+??=

?)

()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=

d d d d d d u u

f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ??+??+??=??)()()()(A z

u

u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d

u

u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (A

e e e e e e ??=??+??+???++=

（3）u

A u A u A z u y u x u u

u z y x z

y x d /d d /d d /d ///d d ??????=??e e e A

z

x y y z x x y z y

u u A x u u A x u u A z u u A z u

u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (

??-??+??-??+??-??=

z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])

()([??-??+??-??+??-??=

)(u A ??= 3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=

为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为

从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：

r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。

（2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及

)]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

（1）证明：222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=

○

1 r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1(r e e e =-+-+-=? r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1('r e e e -=------=?

可见 r r '-?=? ○

2 3211d d 1r r r r r r r r -=?-=???

?

??=??? ???

32'1'1d d 1'r r r r r r r r =?-=???

?

??=??? ???

可见 ()()r r /1'/1-?=?

○

3 r r r r ??+??=??=??)/1()/1(])/1[()/(3

333r r r r 0301d d 43=?-=+????? ??=

r r

r r

r r r r ○4 r r r r ??+??=??=??33

331)/1(])/1[()/(r

r r r 03

334=+?-=r

r r r r ， )0(≠r

（2）解：

○

13])'()'()'[()(=-+-+-???

+??+??=??z y x z y x z z y y x x z

y x e e e e e e r ○

2 0'

''

///=---??????=??z z y y x x z y

x z

y x

e e e r

○

3 ])'()'()')[(()(z y x z y x z z y y x x z a y a x a e e e r a -+-+-??

+??+??=?? a e e e =++=z z y y x x a a a

○

4 r a r a a r a r r a )()()()()(??+???+??+???=?? 因为，a 为常向量，所以，0=??a ， 0)(=??a r ， 又0=??r ，a r a r a =??=??∴)()(

○

5 )]sin([)sin()()]sin([000r k E r k E r k E ???+???=??? 0E 为常向量，00=??E ，而k r k r k r k r k )cos()()cos()sin(?=???=??，

所以 )cos()]sin([00r k E k r k E ??=???

○

6 )]cos()]sin([)]sin([000r k E k E r k r k E ??=???=??? 4. 应用高斯定理证明

f

S f ?=????S

V

V d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明

??=??L

S

??l S d d

证明：（I ）设c 为任意非零常矢量，则

?????=???V

V

V V )]([d d f c f c

根据矢量分析公式 )()()(B A B A B A ???-???=???， 令其中f A =，c B =，便得

c f c f c f c f ???=???-???=???)()()()(

所以 ??????=???=???V

V

V

V V V )(d )]([d d c f f c f c ?

??=S c f d )(

f S c f S c ????=??=d )d (

因为c 是任意非零常向量，所以

???=??f S f d d V

V

（II ）设a 为任意非零常向量，令a F ?=，代入斯托克斯公式，得

???=???l F S F S

d d （1） （1）式左边为：????+??=???S

S

S a a S a d ][d )(???

?????-=???=S S

S a S a d d ?? ?????=???-=S

S ??S a S a d d

????=S

?S a d （2）

（1）式右边为：???=?l a l a d d ?? （3） 所以 ???=???l a S a d d ??S

（4）

因为a 为任意非零常向量，所以

??=??l S d d ??S

5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V

x x p ?

=

ρ，利用电荷守恒定律

0=??+

??t ρJ 证明p 的变化率为：?=V V t t

d ),'(d d x J p

证明：方法（I ）

????

==V V V t t V t t t 'd ]),(['d ),(d d d d x'x'x'x'p ρρ????-=??=V V V V t

t '

d )'('d ),(x'J x'x'ρ

????-=???-=?V V V 'x V t

'd )'('d )'(d d 1111J e 'x J e p

'd ])'()('[11V 'x 'x V J J ??+?-?=?

??+?-=V

x S

V J 'x 'd 'd 1S J 1

因为封闭曲面S 为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故

0'd 1=??S 'x S J ，

?=?V x V J t

'd d d 11e p

同理 ?=?V x V J t 'd d d 22e p ， ?=?V x V J t

'd d d 33e p

所以 ?=V

V t 'd d d J p

方法（II ）

????

==V V V t t V t t t 'd ]),(['d ),(d d d d x'x'x'x'p ρρ????-=??=V V V V t

t 'd )'('d ),(x'J x'x'ρ

根据并矢的散度公式g f g f fg )()()(??+??=??得： J x J x J x J Jx +??=??+??=??')(')(')()'( ??+??-=V V V V t

'd 'd )('d d J Jx'p

??+?-=V V 'd )'(d J Jx S ?=V V 'd J

6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R ）（R m A ?=

的旋度等于标量3/R R m ?=?的梯度的负值，即?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，

方向由原点指向场点。

证明：3

/)/1r r r -=?（

])1

[()]1([)(

3m m r m A ????=???-?=???=??∴r r r m m m m ])1

[()]1([1)(1)(???-???-???+???=r r r r

m m ]1

[1)(2r

r ?-???=

其中 0)/1(2

=?r ， （0≠r ）

r

1

)(???=??∴m A ， （0≠r ）

又 )]1

([)(3r

r ??-?=??=?m r m ?

m m m m ])1

[()1)(()()1()]1([???-???-????-????-=r r r r

)1

)((r

???-=m

所以，当0≠r 时，?-?=??A

7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静

止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。

解：（1）设场点到球心距离为r 。以球心为中心，以r 为半径作一球面作为高斯面。

由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r 处场强大小相同。

当1r r <时，01=D ， 01=E 。

当21r r r <<时， f r r D r ρππ)(3

4

431322

-=

231323)(r r r D f ρ-=∴ ， 2

3

1323)(r r r E f

ερ-= ，

向量式为 r E 3

3

1323)(r r r f

ερ-=

当2r r >时， f r r D r ρππ)(3

44313232

-=

2313233)(r r r D f ρ-=∴ 2

0313233)(r r r E f

ερ-=

向量式为 r E 3

03

13233)(r

r r f

ερ-=

（2）当21r r r <<时，

)()(20

2202D D E D P ε

εερ-

?-?=-?-?=?-?=p f ρε

ε

εε)1()1(020--=??-

-=D 当1r r =时，

0)1()()(1

2020212=--=-

?-=-?-==r r p D D D n P P n ε

ε

εεσ

当2r r =时，

f r r p r r r ρεεε

ε

σ2

2

3

13202

023)1()1(2

--=-=?==D P n 8. 内外半径分别为1r 和2r 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流f J ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。

解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半

径为r 。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。 当 1r r < 时，由安培环路定理得：0,011==B H

当 21r r r << 时，由环路定理得：)(22

122r r J rH f -=ππ

所以 r r r J H f 2)

(2122-=

， f J r r r B 2)

(2122-=

μ

向量式为 r J e B ?-=-=f f r

r r J r r r 2

21221222)

(?2)(μμθ 当 2r r > 时，)

(22

1223r r J rH f -=ππ

所以 r r r J H f 2)

(21223-=

， f J r r r B 2)

(212203-=

μ

向量式为 r J e B ?-=-=

f f r r r J r r r 2

212202122032)

(?2)(μμθ （2）当 21r r r << 时，磁化强度为

r J H M ?--=-=f r r r 2

2120202)()1()1(μμ

μμ

所以 f M J H H M J )1()1(])1[(0

2020-=??-=-??=??=μμ

μμμμ 在 1r r = 处，磁化面电流密度为

?=?=

0d 21

1

l M r M πα 在 2r r = 处，磁化面电流密度为

?---=?-=f M

J r r r r 22

2122022)()1(d 210μμ

παl M 向量式为 f M r r r J α2

2212202)()1(---=μμ

9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ的)

/1(0εε--倍。

证明：在均匀介质中 E E P )()1/(000εεεεε-=-=

所以 D E P ??--=??--=?-?=)/1)(()(00εεεεερp

f f ρεερεεε)/1(]/)[(00--=--=

10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间 的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律) 证明: 线圈1在线圈2的磁场中受的力:

21112B l F ?=d I d ,

而 ??=

2

312

12

22024l r d I r l B πμ， ????

??=??=∴12

12

31212212

103

12

122211012)

(4)(4l l l l r d d I I r d I d I r l l r l l F πμπμ )(412

213121*********

10???-???? ???=

l l d d r r d d I I l l r r l l π

μ (1) 同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的力：

)(421

1232121321212121021???-???? ???=

l l d d r r d d I I l l r r l l F π

μ (2) (1)式中：

0)1

(122

121212221212231212123121212＝一周???????-?==?=???? ???l l l l l l l r d r dr d r d d r d d l l r l l r l l 同理(2)式中： ??=????

???21

03212121l l r d d r l l

)(412213

12

122102112???-=-=∴l l d d r I I l l r

F F πμ 11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，电容率为1ε和2ε，今在两板

接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度1f ω和2f ω； （2）介质分界面上的自由电荷面密度3f ω。(若介质是漏电的，电导率分别为1σ和2σ 当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？)

解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为1E 和2E ，电位移分别设为1D 和2D ，其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为

03=f ω

取高斯柱面，使其一端在极板A 内，另一端在介质1内，由高斯定理得：

11f D ω= 同理，在极板B 内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：

22f D ω-= 在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：

21D D =

所以有 111εωf E =

， 2

1

2εωf E = 由于 E )(d 2

2111221111εεωεωεωl

l l l l E f f f +=+=?=?

所以 =-=21f f ωω E

)(

2

2

1

1

εεl l +

当介质漏电时，重复上述步骤，可得：

11f D ω=， 22f D ω-=， 312f D D ω=-

213f f f ωωω--=∴

介质1中电流密度 1

11111111//εωσεσσf ===D E J