导数大题经典练习及答案

导数大题专题训练

1．已知f(x)＝xlnx －ax ，g(x)＝－x 2－2，

(Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围；

(Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f(x)在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有lnx ＋1＞ex

e x 2

1-成立．

2、已知函数2

()ln 2(0)f x a x a x

=

+->.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P （1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ?∈+∞都有f (x)＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x ―b （b ∈R ）.当a=1时，函数g (x)在区间[e ―

1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围.

3． 设函数f (x)=lnx+(x －a)2，a ∈R .（Ⅰ）若a=0，求函数f (x)在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x)在1

[,2]2

上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x)的极值点.

4、已知函数2

1()(21)2ln ()2

f x ax a x x a =

-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设

2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.

5、已知函数())0(2ln 2

>-+=

a x a x

x f (Ⅰ)若曲线y ＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f(x)的单调区间； (Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，试求a 的取值范围；

(Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x －b(b ∈R).当a ＝1时，函数g(x)在区间[

]

e ,e 1

-上有两个零点，求实数b 的取值范围．

6、已知函数1ln ()x

f x x

+=

． (1)若函数在区间1

(,)2

a a +

(其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1

k

f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．

1.解：(Ⅰ)对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2

--≥-x ax x x 恒成立.也就是+

+≤x x a ln x

2在),0(+∞∈x 恒成立；令x x x x F 2ln )(++= ，则F '2

222)

1)(2(2211)(x

x x x x x x x x -+=-+=-+=， 在)10(，上F '0)(x ，因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值， 即3)1()(min ==F x F ，所以3≤a .

(Ⅱ)当时，

1-=a x x x x f +=ln )(，f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21

e

x =. ①当210e

m <

<时，在)1,[2e m x ∈上f '0)(

(2

+∈m e x 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21e x =

处取得极小值，也是最小值. 2

min 1

)(e

x f -=. 由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+

②当时2

1

e m ≥

，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增，所以)1(ln )()(min +==m m m f x f ， ]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……9分

(Ⅲ)证明：问题等价于证明)),0((2

ln +∞∈->

+x e

e x x x x x 由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x x

f +=ln )(的最小值是2

1e -

，当且仅当21

e x =时取得，

设)),0((2)(+∞∈-=

x e e x x G x ，则G 'x

e

x

x -=1)(，易知e G x G 1)1()(max -==，当且仅当1x =时取到， 但，e e 112

->-

从而可知对一切(0,)x ∈+∞，都有

ex e x x 211ln ->+成立. 2、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为22'()a

f x x x

=-

+，所以22'(1)1

11

a

f =-

+=-，所以a=1.所以2()ln 2f x x x =+-. 22'()x f x x -=.由'()0f x >解得x ＞0；由'()0f x <解得0＜x ＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2） （Ⅱ）2222'()a ax f x x x x -=-

+=， 由'()0f x >解得2x a >；由'()0f x <解得2

0x a

<<.所以f (x)在区间2(,)a +∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2x a =时，函数f (x)取得最小值，min 2

()y f a

=. 因为对于(0,)x ?∈+∞都有()2(1)f x a >-成立， 所以2

()2(1)f a a

>-即可. 则

22ln 22(1)2a a a a

+->-.由2ln a a a >解得20e a <<.所以a 的取值范围是2(0,)e .

（Ⅲ）依题得2

()ln 2g x x x b x

=++--，则222'()x x g x x +-=.由'()0g x >解得x ＞1；由'()0g x <解得0＜x

＜1.所以函数()g x 在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数()g x 在区间[e －

1，e]上有

两个零点，所以1()0

()0(1)0

g e g e g -?≥?

≥??

.解得21e 1e b <≤+-.所以b 的取值范围是2(1,e 1]e +-.

3．解：（Ⅰ）f (x)的定义域为（0，+∞）.

因为1

'()20f x x x

=

+>，所以f (x)在[1，e]上是增函数， 当x=1时，f (x)取得最小值f (1)=1.所以f (x)在[1，e]上的最小值为1.

（Ⅱ）解法一：21221'()2()x ax f x x a x x -+=+-=设g (x)=2x 2―2ax+1，依题意，在区间1

[,2]2

上存在子区间

使得不等式g (x)＞0成立. 注意到抛物线g (x)=2x 2―2ax+1开口向上，所以只要g (2)＞0，或1

()02

g >即可由g (2)＞0，即8―4a+1＞0，得94a <

，由1()02g >，即1102a -+>，得32a <，所以94

a <， 所以实数a 的取值范围是9

(,

)4

-∞. 解法二：21221'()2()x ax f x x a x x -+=+-=，依题意得，在区间1

[,2]2

上存在子区间使不等式2x 2―2ax+1＞0

成立.又因为x ＞0，所以1

2(2)a x x

<+. 设1()2g x x x =+

，所以2a 小于函数g (x)在区间1[,2]2的最大值.又因为1'()2g x x

=-， 由21'()20g x x =-

>

解得2x >；由2

1

'()20

g x x =-<

解得02x <<. 所以函数g (x)

在区间,2)2

上递增，在区间1(22

上递减. 所以函数g (x)在12x =

，或x=2处取得最大值.又9(2)2g =，1()32g =，所以922a <，94

a < 所以实数a 的取值范围是9

(,

)4

-∞. （Ⅲ）因为2221

'()x ax f x x

-+=，令h (x)=2x 2―2ax+1

①显然，当a ≤0时，在（0，+∞）上h (x)＞0恒成立，f '(x)＞0，此时函数f (x)没有极值点； ②当a ＞0时， （i ）当Δ≤0

，即0a <≤时，在（0，+∞）上h (x)≥0恒成立，这时f '(x)≥0，此时，函数f (x)没有极值点；

（ii ）当Δ＞0

时，即a >

x <<

h (x)＜0，这时f '(x)＜0；

当02a x <<或2

a x +>时，h (x)＞0，这时f '(x)＞0；

所以，当a >2a x =是函数f (x)的极大值点；2

a x +=是函数f (x)的极小值点.

综上，当a ≤

f (x)没有极值点；

当a >2a x =是函数f (x)的极大值点；2

a x +=是函数f (x)的极小值点.

4．解：2()(21)f x ax a x '=-++

(0)x >. (Ⅰ)(1)(3)f f ''=，解得2

3

a =. (Ⅱ)(1)(2)

()ax x f x x

--'=

(0)x >.

①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞.

②当102a <<

时，12a >，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1

(2,)a

上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1

(,)a

+∞，单调递减区间是1(2,)a

.

③当12

a =时，2

(2)()2x f x x -'=，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.

④当12a >

时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1

(,2)a

上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是1

(0,)a

和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a

.

(Ⅲ)由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <.由已知，max ()0g x =，由(Ⅱ)可知， ①当1

2

a ≤

时，()f x 在(0,2]上单调递增，故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212

a -<≤

. ②当12a >

时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a 上单调递减，故max 11

()()22ln 2f x f a a a

==--

-. 由12a >

可知11

ln ln ln 12e

a >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <，

综上所述，ln 21a >-.

5、解：(Ⅰ)直线y ＝x ＋2的斜率为1， 函数f(x)的定义域为 ()+∞,0因为x a

x

x f +-

=2

'2)(，所以()11

1212'-=+-

=a f ，所以a ＝1，所以()()2'

2,2ln 2x x x f x x x f -=

-+= 由()0'

>x f

解得x ＞2 ； 由()0'

(Ⅱ)2

2'

22)(x ax x a x x f -=+-=，由()0'>x f 解得;2a x >由()0'

,0(a 上单调递减

所以当a x 2=时，函数f(x)取得最小值)2

(min a

f y =

因为对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，所以)1(2)2

(->a a

f 即可

则

)1(222ln 22->-+a a a a

，由a a a >2ln 解得e a 20<<；所以a 得取值范围是)2,0(e (Ⅲ)依题意得b x x x g --+=2ln 2)(，则2

2'

2)(x x x x g -+=

由()0'

>x g 解得x ＞1，由()0'

e ,e 1

-上有两个零点，

所以??

?

??<≥≥-0

)1(0)(0

)(1g e g e g 解得121-+≤

所以b 得取值范围是]12

,1(-+e e

6、解：(1)因为1ln ()x f x x +=

，0x >，则2ln ()x

f x x

'=-， 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． ∴()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， ∴函数()f x 在1x =处取得极大值．………3分

∵函数()f x 在区间1

(,)2

a a +(其中0a >)上存在极值，

∴1,11,2

a a ??解得1

12a <<． (2)不等式()1k f x x ≥

+，即为(1)(1ln )

x x k x

++≥， 记(1)(1ln )()x x g x x ++=∴22

[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x x

g x x x '++-++-'==，…9分 令()ln h x x x =-，则1

'()1h x x

=-

，∵1x ≥，∴'()0h x ≥，∴()h x 在[1,)+∞上递增，

∴min [()](1)10h x h ==>，从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， ∴min [()](1)2g x g ==，∴2k ≤．