高中数学_集合知识讲解

集合

一、章节结构图

123412n x A x B A B A B A n A ∈???

?????

∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????

????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B

C ard A B C ard A C ard B C ard A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ??

??????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ???

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??????????????????????????????????=???????

二、复习指导 1．新课标知识点梳理

在高中数学中，集合的初步知识与常用逻辑用语知识，与其它内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，准确表述数学内容，更好交流的基础．

集合知识点及其要求如下： 1．集合的含义与表示

(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．

(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受 集合语言的意义和作用．

2．集合间的基本关系

(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

(3)能使用V enn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

1．1 集合的概念及其运算(一)

(一)复习指导

本节主要内容：理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，会用集合的有关术语和符号表示一些简单\的集合．高考中经常把集合的概念、表示和运算放在一起考查．因此，复习中要把重点放在准确理解集合概念、正确使用符号及准确进行集合的运算上．

1．集合的基本概念

(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合．集合中每个对象叫做这个集合的元素．集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的．

(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作．

(3)集合可分为有限集与无限集．

(4)集合常用表示方法：列举法、描述法、大写字母法、图示法及区间法． (5)元素与集合间的关系运算；属于符号记作“∈”；不属于，符号记作“?”．

2．集合与集合的关系 对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，就说集合B 包含集合A ，记作A ?B (读作A 包含于B )，这时也说集合A 是集合B 的子集．也可以记作B ?A (读作B 包含A )

①子集有传递性，若A ?B ，B ?C ，则有A ?C .

②空集是任何集合的子集，即?A

③真子集：若A ?B ，且至少有一个元素b ∈B ，而b ?A ，称A 是B 的真子集．记作A B (或B ?A )． ④若A ?B 且B ?A ，那么A =B

⑤含n (n ∈N*)个元素的集合A 的所有子集的个数是：2的n 次方个． (二)解题方法指导 例1．选择题：

(1)不能形成集合的是( ) (A)大于2的全体实数 (B)不等式3x －5＜6的所有解

(C)方程y =3x +1所对应的直线上的所有点 (D)x 轴附近的所有点

(2)设集合62},23|{=≥=x x x A ，则下列关系中正确的是( ) (A)x A

(B)x

?A

(C){x }∈A

(D){x }A

(3)设集合},2

14|{},,4

12|{Z Z ∈+=

=∈+==k k x x N k k x x M ，则( )

(A)M =N (B)M N (C)M N

(D)M ∩N =

例2．已知集合}68{N N ∈-∈=x

x A ，试求集合A 的所有子集．

例3．已知A ={x ｜－2＜x ＜5}，B ={x ｜m +1≤x ≤2m －1}，B ≠，且B ?A ，求m 的取值范围．

例4*．已知集合A ={x ｜－1≤x ≤a }，B ={y ｜y =3x －2，x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，x ∈A }，若C ?B ，求实数a 的取值范围．

1．2集合的概念及其运算(二)

(一)复习指导

(1)补集：如果A ?S ，那么A 在S 中的补集s A ={x ｜x ∈S ，且x ≠A }． (2)交集：A ∩B ={x ｜x ∈A ，且x ∈B }

(3)并集：A∪B={x｜x∈A，或x∈B}这里“或”包含三种情形：

①x∈A，且x∈B；②x∈A，但x?B；③x∈B，但x?A；这三部分元素构成了A∪B

(4)交、并、补有如下运算法则

全集通常用U表示．

(A∩B)=(U A)∪(U B)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

U

(A∪B)=(U A)∩(U B)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

U

(5)集合间元素的个数：

card(A∪B)=card(A)+card(B)－card(A∩B)

集合关系运算常与函数的定义域、方程与不等式解集，解析几何中曲线间的相交问题等结合，体现出集合语言、集合思想在其他数学问题中的运用，因此集合关系运算也是高考常考知识点之一．

(二)解题方法指导

例1．(1)设全集U={a，b，c，d，e}．集合M={a，b，c}，集合N={b，d，e}，那么(U M)∩(U N)是( )

(A)(B){d} (C){a，c} (D){b，e}

(2)全集U={a，b，c，d，e}，集合M={c，d，e}，N={a，b，e}，则集合｛a，b}可表示为( )

(A)M∩N(B)(U M)∩N(C)M∩(U N) (D)(U M)∩(U N)

例2．如图，U是全集，M、P、S为U的3个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为( )

(A)(M∩P)∩S(B)(M∩P)∪S

(C)(M∩P)∩(U S) (D)(M∩P)∪(U S)

例3．(1)设A={x｜x2－2x－3=0}，B={x｜ax=1}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为____；

(2)已知集合M={x｜x－a=0}，N={x｜ax－1=0}，若M∩N=M，则实数a的取值集合为____．

例4．定义集合A－B={x｜x∈A，且x?B}．

(1)若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}则N－M等于( )

(A)M(B)N(C)｛1，4，5 } (D){6}

(2)设M、P为两个非空集合，则M－(M－P)等于( )

(A)P(B)M∩P(C)M∪P(D)M

例5．全集S={1，3，x3+3x2+2x}，A={1，|2x－1|}.如果sA={0}，则这样的实数x是否存在?若存在，求出x；若不存在，请说明理由．

例题解析

1．1 集合的概念及其运算(1)

例1分析：(1)集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的；(2)注意“∈”与“?”以及x与{x}的区别；(3)可利用特殊值法，或者对元素表示方法进行转换．

解：(1)选D ．“附近”不具有确定性．(2)选D ．(3)选B ． 方法一：

N M ??2

1,

21故排除(A)、(C)，又

N ??4

3,

43M ，故排除(D)．

方法二：集合M 的元素.),12(4

1412Z ∈+=+=

k k k x 集合N 的元素=+=

214k x

Z ∈+k k ),2(4

1．而2k ＋1为奇数，k ＋2为全体整数，因此M N ．

小结：解答集合问题，集合有关概念要准确，如集合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转化．

例2分析：本题是用{x ｜x ∈P }形式给出的集合，注意本题中竖线前面的代表元素x ∈N ． 解：由题意可知(6－x )是8的正约数，所以(6－x )可以是1，2，4，8；

可以的x 为2，4，5，即A ={2，4，5}．

∴A 的所有子集为，{2}，{4}，{5}，{2，4}，{2，5}，{4，5}，{2，4，5}．

小结：一方面，用{x ｜x ∈P }形式给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；

另一方面，含n (n ∈N*)个元素的集合A 的所有子集的个数是：+++210n n n C C C n

n n C 2=+ 个．

例3分析：重视发挥图示法的作用，通过数轴直观地解决问题，注意端点处取值问题．

解：由题设知??

?

??<-->+-≤+512211

21m m m m ，

解之得，2≤m ＜3．

小结：(1)要善于利用数轴解集合问题．(2)此类题常见错误是：遗漏“等号”或多“等号”，可通过验证“等号”问题避免犯错．(3)若去掉条件“B ≠”，则不要漏掉?A 的情况．

例4*分析：要首先明确集合B 、C 的意义，并将其化简，再利用C ?B 建立关于a 的不等式． 解：∵A ＝[－1，a ]，

∴B ={y ｜y =3x －2，x ∈A }， B =[－5，3a －2]

?????≥<≤<≤-=∈==∴1

],,0[1

0],1,0[01],1,[}.,|{2

22

a a a a a C A x x z z C (1)当－1≤a ＜0时，由C ?B ，得a 2≤1≤3a －2无解； (2)当0≤a ＜1时，1≤3a －2，得a =1； (3)当a ≥1时，a 2

≤3a －2得1≤a ≤2 综上所述，实数a 的取值范围是[1，2]．

小结：准确理解集合B 和C 的含义(分别表示函数y =3x －2，y =x 2的值域，其中定义域为A )是解本题的关键．分类讨论二次函数在运动区间的值域是又一难点．若结合图象分析，结果更易直观理解．

1．2 集合的概念及其运算(2)

例1分析：注意本题含有求补、求交两种运算．求补集要认准全集，多种运算可以考虑运算律． 解：(1)方法一：∵U M ={b ，c }，U N ={a ，c } ∴

(U M )∩(U N )=，答案选A

方法二：

(U M )∩(U N

)= U (M ∪N )= ∴答案选A

方法三：作出文氏图，将抽象的关系直观化． ∴答案选A

(2)同理可得答案选B

小结：交、并、补有如下运算法则

U (A ∩B )=(U A )∪(U B )；A ∩(B ∪C )=(A ∩B )∪(A ∩C )

U (A ∪B )=(U A )∩(U B )；A ∪(B ∩C )=(A ∪B )∩(A ∪C )

例2分析：此题为通过观察图形，利用图形语言进行符号语言的转化与集合运算的判断． 解：∵阴影中任一元素x 有x ∈M ，且x ∈P ，但x ?S ，∴x ∈U S ． 由交集、并集、补集的意义．

∴x ∈(M ∩P )∩(U S )答案选D ．

小结：灵活进行图形语言、文字语言、符号语言的转化是学好数学的重要能力． 例3解：(1)由已知，集合A ={－1，3}， ???

??=/=?=0}1

{0a a

a B ∵A ∪B =A 得B ?A

∴分B =和}1

{a

B =两种情况．

当B ＝时，解得a =0；

当}1

{a B =时，解得a 的取值}3

1

,1{-

综上可知a 的取值集合为?-}3

1

,1,0{

(2)由已知，???

??=/=?==0

}1

{0},{a a

a N a M

∵M ∩N =M ?M ?N

当N =时，解得a =0；M ={0} 即M ∩N ≠M ∴a =0舍去 当}1

{a N =时，解得11±=?=

a a

a

综上可知a 的取值集合为{1，－1}．

小结：(Ⅰ)要重视以下几个重要基本关系式在解题时发挥的作用：(A ∩B )?A ，(A ∩B )?B ；(A ∪B )?A ，(A ∪B )?B ；A ∩U A =，A ∪U A =U ；A ∩B =A ?A ?B ，A ∪B =B ?A ?B 等．

(Ⅱ)要注意是任何集合的子集．但使用时也要看清题目条件，不要盲目套用．

例4解：(1)方法一：由已知，得N －M ={x ｜x ∈N ，且x ?M }={6}，∴选D 方法二：依已知画出图示

∴选D ．

(2)方法一：M －P 即为M 中除去M ∩P 的元素组成的集合，故M －(M －P )则为M 中除去不为M ∩P 的元素的集合，所以选B ．

方法二：由图示可知M =(M ∩P )∪(M －P ) 选B ．

方法三：计算(1)中N －(N －M )={2，3}，比较选项知选B ．

小结：此题目的检测学生的阅读理解水平及适应、探索能力，考查学生在新情境中分析问题解决问题的能力．事实证明，虽然这类问题内容新颖，又灵活多样，但其涉及的数学知识显得相对简单和基础，要勇于尝试解题．

例5*解：假设这样的x 存在，∵S A ={0}，∴0∈S ，且｜2x －1｜∈S ．

易知x3＋3x2＋2x＝0，且｜2x－1｜=3，

解之得，x=－1．

当x=－1时，S={1，3，0}，A={1，3}，符合题设条件．∴存在实数x=－1满足S A={0}．