精选高一数学必修一第一章知识点与习题讲解.docx

必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理

第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示

¤学习目标 ：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用 数集及其记法、集合元素的三个特征 .

¤知识要点 ：

1. 把一些元素组成的总体叫作集合（

set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性

.

2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“

{ } ”括起来，基本形式

为 { a 1, a 2 , a 3 , ,a n } ，适用于有限集或元素间存在规律的无限集 . 描述法， 即用集合所含元素的共同特征来表示，

基本形式为 { x

A | P( x)} ，既要关注代表元素 x ，也要把握其属性 P(x) ，适用于无限集 .

3. 通常用大写拉丁字母

A, B, C,

表示集合 .

要记住一些常见数集的表示，如自然数集

N ，正整数集

N * 或

N ，整数集 Z ，有理数集 Q ，实数集 R .

4. 元素与集合之间的关系是属于 （ belong to ）与不属于 （ not belong to ），分别用符号 、 表示，

例如 3

N ，

2 N .

¤例题精讲 ：

【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（ 1）由方程 x(x 2 2 x 3) 0 的所有实数根组成的集合；

（ 2）大于 2 且小于 7 的整数 .

解：（ 1）用描述法表示为： { x R | x( x 2

2x 3) 0} ；

用列举法表示为 {0, 1,3} .

（2）用描述法表示为：

{ x Z | 2 x 7} ；

用列举法表示为 {3,4,5,6} .

【例 2】用适当的符号填空：已知

A

{ x | x 3k

2,k Z } ， B

{ x | x 6m

1, m Z} ，则有：

17

A ；

－ 5

A ；

17

B.

解：由 3k 2 17，解得 k

5 Z ，所以 17

A ；

由 3k

2

7

Z ，所以

5 A ；

5，解得 k

3

由 6m 1 17 ，解得 m 3 Z ，所以 17 B . 【例 3】试选择适当的方法表示下列集合： （教材 P 6 练习题 2，

13

P A 组题 4）

（1）一次函数 y x 3 与 y 2x 6 的图象的交点组成的集合；

（2）二次函数 y x 2 4 的函数值组成的集合；

（3）反比例函数

y 2

的自变量的值组成的集合 .

x

y x 3

} {(1,4)} .

解：（ 1） {( x, y) |

2 x

y

6

（2） { y | y x 2 4} { y | y 4} .

（3） { x | y

2

} { x | x 0} .

x

{1,4} ，也注意对比 （ 2）

点评 ：以上代表元素， 分别是点、 函数值、 自变量 . 在解题中不能把点的坐标混淆为

与（ 3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心

.

* 【例 4】已知集合 A

{ a | x a 1有唯一实数解 } ，试用列举法表示集合

A ．

2

2

x

解：化方程

x a

为： x 2

x ( a 2)

0 ．应分以下三种情况：

2

1

x

2

⑴方程有等根且不是

2 ：由 △ =0，得 a

9

，此时的解为 x

1

，合．

4

2

⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是 2 ：将 x 2 代入得 a 2 ，此时另一解 x 1 2 ，合．

⑶方程有一解为

2 ，而另一解不是 2 ：将 x 2 代入得 a 2 ，此时另一解为 x

2 1 ，合． 综上可知， A { 9 2, 2} ．

,

4

. 注意分式方程易造成增根的现象.

点评 ：运用分类讨论思想方法， 研究出根的情况， 从而列举法表示

第 2 讲 §1.1.2 集合间的基本关系

¤学习目标 ：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集

的含义；能利用 Venn 图表达集合间的关系 .

¤知识要点 ：

1. 一般地，对于两个集合 A 、B ，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素， 则说两个集合有 包含

关系，其中集合 A 是集合 B 的子集（ subset ），记作 A B （或 B

A ），读作“ A 含于

B ”（或 “B 包含 A ”） . 2. 如果集合 A 是集合 B 的子集（ A

B ），且集合 B 是集合 A 的子集（ B A ），即集合 A 与集合 B 的元素

是一样的，因此集合

A 与集合

B 相等，记作 A

B .

3. 如果集合 A B ，但存在元素 x

B ，且 x A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集（ proper subset ），记作 A

B

（或 B

A ） .

4. 不含任何元素的集合叫作空集（ empty set ），记作 ，并规定空集是任何集合的子集.

5. 性质： A A ；若 A B ， B

C ，则 A

C ；

若 A B

A ，则 A

B ；若 A B A ，则 B A .

¤例题精讲 ：

【例 1】用适当的符号填空：

（1） { 菱形 } { 平行四边形 } ；

{ 等腰三角形 }

{ 等边三角形 }.

（2）

{ x

R | 2

2 0；} 0

{0} ；

{0} ；

N

{0}.

x

解：（ 1） ， ； （2） =， ∈， ， .

【例 2】设集合

A

{ x | x

n

, n Z} , B

{ x | x n 1 , n Z } ，则下列图形能表示 A 与 B 关系的是（

）.

2

2

A B

B A

A

B A

B

A ．

B ．

3 C ． 1 3

D ．

1 1 3

解：简单列举两个集合的一些元素，

A {

, 1, 1 } ， B

{ ,

3

2 ,0, ,1, ,

, ,

,

, } ，

易知 B

A ，故答案选 A ．

2 2 2

2

2 2 2

另解 ：由

B

2n 1

Z } ，易知 B

A ，故答案选 A ．

{ x | x

2

,n

【例 3】若集合 M x | x 2

x 6 0 , N

x | ax 1 0 ，且 N

M ，求实数 a 的值 .

解：由 x 2 x 6 0

x

2或

3 ，因此， M

2, 3 .

（ i ）若 a

0 时，得 N

，此时， N

M ；

（ ii ）若 a 0 时，得 N

{ 1 } . 若 N M ,满足

1

2或

1

3 ，解得 a

1

或 a

1 . 或

1

a 1

a

a

2

3

故所求实数 a 的值为 0 或 .

2

3

” ，因为 A

点评 ：在考察“ A B ”这一关系时，不要忘记“ 时存在 A B . 从而需要分情况讨论 .

题中讨论的主线是依据待定的元素进行.

【例 4】已知集合 A={ a,a+b,a+2b} ， B={ a,ax,ax 2

}. 若 A=B ，求实数 x 的值 .

a b ax

2

2

解：若

2b ax 2

a+ax -2ax=0, 所以 a(x-1) =0，即 a=0 或 x=1.

a 当 a=0 时，集合 B 中的元素均为

0，故舍去；

2

当 x=1 时，集合 B 中的元素均相同，故舍去 .

若

a

b ax 2 2ax 2 -ax-a=0.

a 2

b ax

因为 a ≠ 0，所以 2x 2

-x-1=0, 即 (x-1)(2 x+1)=0.

又 x ≠ 1，所以只有 x

1 . 1

2

.

经检验，此时 A= B 成立 . 综上所述 x

2

. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.

点评 ：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论

第 3 讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）

¤学习目标 ：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一

个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 .

¤知识要点 ：

集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到 掌握的层次 . 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下 .

并集 交集 补集

由所有属于集合 A 或属于集 由属于集合 A 且属于集合 B 对于集合 A,由全集 U 中不属于

概念

合 B 的元素所组成的集合， 的元素所组成的集合，称为 集合 A 的所有元素组成的集

称 为 集 合 A 与 B 的 并 集 集 合 A 与 B 的 交 集 合，称为集合

A 相对于全集 U

（ union set ）

（ intersection set ）

的补集（ complementary set ）

记号 A B （读作“ A 并 B ”） A

B （读作“ A 交 B ”） e U A （读作“ A 的补集”）

符号

A B { x | x A,或 x B}

A B { x | x A, 且 x B}

e U A { x | x , 且x }

U A

图形

U

表示

A

¤例题精讲 ：

【例 1】设集合 U R, A { x | 1

x 5}, B

{ x | 3 x 9}, 求 A

B,e U ( A

B) .

解：在数轴上表示出集合 A 、 B ，如右图所示：

B

A B { x | 3 x 5} ， A

C U ( A B ) { x | x 1,或 x

9} ，

-1 3

5 9

x

【例 2】设 A { x Z | | x | 6} ， B 1,2,3 , C 3,4,5,6 ，求：

（1） A (B C ) ； （ 2） A e A ( B C ) .

解：

A

6,

5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6 .

（1）又 B C 3 ，∴ A (B C) 3 ；

（2）又

B

C

1,2,3,4,5,6

，

得 C A ( B C ) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .

∴ A C A (B C )

6, 5, 4,

3, 2, 1,0 .

【例 3】已知集合 A { x | 2 x 4} ， B { x | x m} ，且 A B

A ，求实数 m 的取值范围 .

解：由 A

B A ，可得 A

B .

在数轴上表示集合 A 与集合 B ，如右图所示：

B

A

由图形可知， m 4 .

-2 4 m

x 点评 ：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，

得 到

各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题 .

【例 4】已知全集 U

{ x | x 10,且 x N * } ， A {2,4,5,8} ， B

{1,3,5,8} ，求 C U (A

B) ， C U ( A B) ，

(C U A) (C U B) ， (C U A) (C U B) ，并比较它们的关系 .

解：由 A B { 1,2,3,4,5,8}，则 C U ( A B){6,7,9} .由 A B {5,8}，则 C U ( A B){1,2,3,4,6,7,9}

由 C U A{1,3,6,7,9} ， C U B{2,4,6,7,9}，

则 (C U A)(C U B){6,7,9}，

(C U A)(C U B){1,2,3,4,6,7,9} .

由计算结果可以知道，(

C U

)()(

A B

) ，A C U B C U

(C U A)(C U B)C U ( A B) .

另解：作出 Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.

点评：可用 Venn 图研究( C U A)(C U B)C U (A B) 与 (C U A)(C U B) C U ( A B) ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.

第 4 讲§1.1.3集合的基本运算（二）

¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法 .

¤知识要点：

1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握

各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：

C U ( A B) (C U A)( C U B), C U (A B)(C U A)(C U B).

2.集合元素个数公式：n( A B)n( A) n( B) n( A B) .

3.在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.

¤例题精讲：

【例 1】设集合A4,2a 1,a2, B9,a5,1 a，若 A B 9 ，求实数 a 的值.

解：由于 A4,2a1,a2 , B9,a5,1 a ，且 A B9，则有：

当 2 a 1＝9时，解得a＝5，此时A={ － 4, 9, 25} ， B={9, 0, －4}，不合题意，故舍去；

当a 2＝9 时，解得 a＝3或－ 3 .

a＝3时，A={ －4,5,9} ，B={9, －2,－2} ，不合题意，故舍去；

a＝－ 3， A={ －4, －7，9} ， B={9, －8, 4} ，合题意.

所以， a＝－3 .

【例 2】设集合 A { x | ( x 3)( x a) 0,a R} ， B{ x | ( x 4)( x 1) 0} ，求 A B , A B .（教材P14B 组题 2）

解： B {1,4} .

当 a 3 时，A{3} ，则 A B{1,3,4} ， A B；

当 a1时，A{1,3} ，则 A B{1,3,4} ， A B{1} ；

当 a 4 时，A{3,4} ，则 A B{1,3,4} ， A B{4} ；

当 a 3 且 a 1且 a 4 时，A{3, a} ，则 A B{1,3,4, a} ， A B.

点评：集合 A 含有参数 a，需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.

【例 3】设集合 A ={x | x2 4 x0 }，B ={ x | x22( a1)x a210 ，a R}，若A B=B，求实数 a 的值．

解：先化简集合A= {4,0} .由A B=B，则 B A，可知集合 B 可为，或为 {0} ，或 { － 4} ，或{ 4,0} .

(i )若 B=，则4(a1)24( a 21)0 ，解得 a ＜ 1 ；

(ii )若0 B ，代入得a2 1 =0 a =1或 a =1，

当 a =1时，B= A，符合题意；

当 a =1时， B={0}A，也符合题意．

(iii )若－ 4 B，代入得a 2

70 a =7或 a =1，8a

当a =1时，已经讨论，符合题意；

当a =7时，B={－12，－4}，不符合题意．

综上可得， a =1或 a ≤1．

4

点评 ：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用 . 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之

间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，

特别容易出现的错误是遗漏了 A=B 和 B= 的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审

视问题 .

【 例 4 】 对 集 合 A 与 B ， 若 定 义 A B

{ x | x A,且 x B} ， 当 集 合 A { x | x 8,x N * } ， 集 合

B { x | x(x 2)( x 5)( x 6) 0} 时，有 A B = . （由教材 P 12 补集定义“集合

A 相对于全集 U 的补集

为 C U A { x | x , } ”而拓展）

且x A

解：根据题意可知， A {1,2,3,4,5,6,7,8} ， B {0,2,5,6}

由定义 A B { x| x A, 且 x B} ，则

A B

{1,3,4,7,8} .

点评 ：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这

里新定义的含义是从

A 中排除

B 的元素 . 如果再给定全集

U ，则 A B 也相当于 A (C U B) .

第 5 讲 §1.2.1 函数的概念

¤学习目标 ：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 .

¤知识要点 ：

1. 设 A 、 B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系

f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中

都有唯一确定的数 y 和它对应， 那么就称 f ：A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 （ function ），记作 y = f ( x) ， x

A ．其中， x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫作定义域（ domain ），与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集

合 { f ( x) | x A} 叫值域（ range ）.

2. 设 a 、 b 是两个实数，且 a< b ，则： { x|a ≤ x ≤ b} ＝ [a,b] 叫闭区间； { x|a< x

{ x|a ≤ x< b} ＝ [ a,b) ， { x|a

符号：“∞”读“无穷大” ；“－∞”读“负无穷大” ；“ + ∞”读“正无穷大” . 则

{ x | x a} (a, ) ， { x | x a} [a, ) ， { x | x b}

( ,b) ， { x | x b}

( , b] ， R

( , ) .

3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则 .

当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才

是同一函数 .

¤例题精讲 ：

【例 1】求下列函数的定义域：

（ 1） y

1

x 3

.

2

；（ 2） y

1

x

1 3

x

2

解：（ 1）由 x 2 1 0 ，解得 x 1且 x 3 ，

所以原函数定义域为 (

, 3)

( 3, 1) ( 1,

) .

x 3 0

，解得 x 3 且 x 9 ，

（2）由

3

x 1 2 0

所以原函数定义域为 [3,9)

(9,

) .

【例 2】求下列函数的定义域与值域：

（ 1） y

3x 2

； （ 2） yx 2

x 2 .

5 4 x

解：（ 1）要使函数有意义，则 5 4x 0 ，解得 x 5

5 . 所以原函数的定义域是

{ x | x} .

4 4

3x 2 1 12x 8 1 3(4 x 5) 23 3 23 y

5 4 x

4 5 4 x

5 4x 4 5 4x 4

（2） y

x

2

x

2

( x 1 ) 2 9 . 所以原函数的定义域是

2 4 【例 3】已知函数

1 x x .

求：（ 1） f (2) 的值； （ 2） f ( )

1 x 解：（ 1）由

1

x

2 ，解得 x

1

，所以 f (2)

1 .

1 x

3

3

3 3

，所以值域为 { y | y

3 0

4 } .

4

4

R ，值域是 ( , 9 ] .

4

f (x) 的表达式

（2）设

1

x t ，解得 x

1 t ，所以 f (t ) 1 t

，即

f ( x)

1 x .

1

x

1 t 1

t

1 x

点评 ：此题解法中突出了换元法的思想

. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需

要结合换元法、特值代入、方程思想等.

【例 4】已知函数

f ( x)

x 2

2 , x R .

1 x

（1）求 f (x)

f ( 1

f (2)

f (3)

f (4) f (

1 1 1

) .

) 的值；（ 2）计算： f (1)

) f ( )

f ( x

1

2

3

4

2

2

2

1 x

2

x

1

1

解：（ 1）由 f ( x)

x

x

1.

f ( )

1 x

2

1

2

1 2

1

2

x

1

1

x

x

x

x

2

（2）原式 f (1) ( f (2)

f ( 1

)) ( f (3) f (1

))

( f (4) f ( 1

)) 1

3

7

2

3

4 2 2

点评 ：对规律的发现，能使我们实施巧算 . 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键 .

第 6 讲 §1.2.2 函数的表示法

¤学习目标 ：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；

通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念 .

¤知识要点 ：

1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可

求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势） ；列表法（列出表格

表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值） .

2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的 x ，对应法则不同） .

3. 一般地，设 A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对于集合 A 中的任意一个元素

x ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应

f : A

B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射

（ mapping ）．记作“ f : A B ” .

判别一个对应是否映射的关键：

A 中任意，

B 中唯一；对应法则

f.

¤例题精讲 ：

【例 1】如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 x 的小正

方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积

V 以 x 为自变量的函数式是 _____，这个函数的 定义域为 _______ ．

解：盒子的高为 x ，长、宽为 a －2x ，所以体积为 V ＝ x(a －2x) 2

.

又由 a －2x

a

0 ，解得 x .

2

a

} .

所以，体积 V 以 x 为自变量的函数式是

V x(a －2x)2 ，定义域为 { x | 0 x

2

3

3

2

x

( , 1 )

【例 2】已知 f (x)=

x

2 x

x 3 x 3

，求 f[ f(0)] 的值 .

x ( 1 ,

)

解：∵ 0 (

,1) ，

∴ f(0)= 3

2 .

又 ∵ 3 2 >1，

∴ f( 3

2 )=(

3

2

)3+( 3 2 )-3

=2+

1 = 5

，即 f[ f(0)]= 5

.

【例 3】画出下列函数的图象： 2 2

2

（1） y | x

2 | ； （教材 P 26 练习题 3）

（2） y | x 1| | 2x 4 | .

解：（ 1）由绝对值的概念，有

y | x

x 2, x 2 2 |

x, x

.

2

2

所以，函数 y | x 2 | 的图象如右图所示 .

6

3x 3, x 1

（2）y | x 1| | 2x 4 |x 5, 2 x 1 ，

3x 3, x2

所以，函数y | x1|| 2 x 4 | 的图象如右图所示.

点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数

式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.

【例 4】函数 f ( x)[ x] 的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4，

[2.1] 2 ，当 x( 2.5,3] 时，写出 f ( x) 的解析式，并作出函数的图象.

3, 2.5x2

2,2x1

1,1x 0

解： f ( x)0,0x1. 函数图象如右：

1, 1x2

2,2x3

3,x3

点评：解题关键是理解符号m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.

第 7 讲§1.3.1 函数的单调性

¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理

解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.

¤知识要点：

1. 增函数：设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个

区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1

说f(x)在区间 D 上是增函数（ increasing function ） . 仿照增函数的定义可定

义减函数 .

2.如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数，就说 f (x)在这一区间

上具有（严格的）单调性，区间 D 叫 f(x)的单调区间 . 在单调区间上，

增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右

是下降的（如右图2） . 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.

3. 判断单调性的步骤：设x 1、 x 2∈给定区间，且x 1 < x 2；→计算 f (x 1 )－ f(x 2 ) →判断符号→下结论 .

¤例题精讲：

【例 1】试用函数单调性的定义判断函数 f ( x)2 x

在区间（ 0， 1）上的单调性 . x 1

解：任取 x , x∈ (0,1) ，且x x. 则

f (x1 ) f ( x2 )2x12x2

1212x1 1x2 1由于 0 x1x2 1 ， x110 ， x2 1 0 ， x2 x10 ，故 f ( x1 )所以，函数 f ( x) 2 x在（ 0，1）上是减函数 .

x 1

【例 2】求二次函数 f ( x) ax2bx c (a0) 的单调区间及单调性解：设任意 x1 , x2R ，且 x1x2.则

2( x2x1 )

.

(x1 1)(x2 1)

f (x2 )0 ，即 f (x1 ) f ( x2 ) . .

f ( x1 ) f (x2 )(ax12

c)(ax2

2

bx2c)

2

x2

2

x2 )(x1x2 )[ a (x1 x2 )b] .

bx1a( x1) b(x1

若 a0 ，当x1x2b时，有 x1x20 ， x1x2b

，即 a(x1x2 )b0 ，从而 f ( x1 ) f (x2 ) 0 ，

2a a

即 f ( x ) f ( x ) ，所以 f (x) 在( ,b]上单调递增 . 同理可得f ( x) 在[b)上单调递减 .

12

2a

【例 3】求下列函数的单调区间：

2a （1）y | x 1|| 2x 4 | ；（2） y x2 2 | x | 3 .

3x3,x1

解：（ 1）y | x1|| 2 x4|x 5,2x 1 ，其图象如右.

3x3, x2

由图可知，函数在[2, ) 上是增函数，在(,2] 上是减函数.

2

，其图象如右 .

（2） y

x 2 2 | x |

3

x 2x 3, x

x 2

2x 3, x 0

由图可知，函数在 (

, 1] 、 [0,1] 上是增函数，在 [ 1,0] 、 [1,

) 上是减函数 .

点评 ：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数

. 第 2 小题也

可以由偶函数的对称性，先作

y 轴右侧的图象，并把

y 轴右侧的图象对折到左侧，得到

f (| x |) 的图象 . 由图象

研究单调性，关键在于正确作出函数图象.

【例 4】已知 f ( x)

3x 1

，指出 f (x) 的单调区间 .

x 2

解：∵

f ( x) 3( x 2) 5 3 5 ，

x 2 x 2

∴ 把

g (x)

5

的图象沿 x 轴方向向左平移

2 个单位，再沿 y 轴向上平移

3 个单位，

x

得到 f ( x) 的图象，如图所示 .

由图象得

f ( x) 在 ( , 2) 单调递增，在 ( 2, ) 上单调递增 .

点评 ：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象

. 需知 f (x a) b 平移变换规律 .

第 8 讲 §1.3.1 函数最大（小）值

¤学习目标 ：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数

图像理解和研究函数的性质 . 能利用单调性求函数的最大（小）值 .

¤知识要点 ：

1. 定义最大值：设函数

y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：对于任意的

x ∈ I ，都有 f ( x) ≤ M ；

存在 x 0∈ I ，使得 f (x 0 ) = M. 那么，称 M 是函数 y f ( x) 的最大值（ Maximum Value ） . 仿照最大值定义，可

以给出最小值（ Minimum Value

）的定义 .

b )

2

2. 配方法：研究二次函数

y ax 2

bx c (a

0) 的最大（小）值，先配方成y a (x

2

4ac b 后，

b 2

4ac b 2

2a

4a

当 a

0 时，函数取最小值为 4ac ；当 a

0 时，函数取最大值 .

4a

4a

3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值 .

4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.

¤例题精讲 ：

【例 1】求函数 y

2

6

的最大值 .

x

x 1

解：配方为 y 6

，由 ( x

1 )

2 3

3 ，得 0

6 8 .

1

3 1

( x 2

2 4

4

( x

2

3

)

4

)

4

2

2

所以函数的最大值为 8.

【例 2】某商人如果将进货单价为

8 元的商品按每件 10 元售出时，每天可售出 100 件. 现在他采用提高售

出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价

1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定为 多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润 .

解：设他将售出价定为 x 元，则提高了 ( x 10) 元，减少了 10 (x 10) 件，所赚得的利润为

y (x 8) [100 10 ( x

10)] .

即 y 10x 2 280x 1600 10( x 14)2 360 . 当 x 14时， y max 360 .

所以，他将售出价定为 14 元时，才能使每天所赚得的利润最大 , 最大利润为 360 元 .

【例 3】求函数 y

2 x

x 1 的最小值 .

解：此函数的定义域为

1,

，且函数在定义域上是增函数，

所以当 x 1时， y min 2 1 1 2 ，函数的最小值为 2.

8

点评 ：形如 y ax b

cx

d 的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，

也可以用换元法研究 .

【另解】令 x 1

t ，则 t 0 ， x

t 2 1 ，所以 y 2t 2 t

2

2(t 1 )2 15 ，

在 t

0 时是增函数，当 t 0 时， y min

2 ，故函数的最小值为

4 8

2.

【例 4】求下列函数的最大值和最小值：

2

[ 5 , 3

] ； （ 2） y | x 1| | x 2 | .

（ 1）

y 3 2x x , x

2 2 解：（ 1）二次函数 y 3

2x x 2

的对称轴为 x

b

，即 x

1 .

2a

画出函数的图象，由图可知，当

x

1时， y max 4 ； 当 x

3

时， y min

9 .

2

4

所以函数 y

2

x [

5 , 3 ] 的最大值为 4,最小值为

9 .

3 2x x ,

2 2 4

（ 2） y | x 1| | x 2 |

3 ( x 2) 2x 1 ( 1 x 2) .

3 ( x 1)

作出函数的图象，由图可知， y

[ 3,3] . 所以函数的最大值为

3, 最小值为 -3.

点评 ：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析

. 含绝对

值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究

. 分段函数的图象注意分段作出.

第 9 讲

§1.3.2 函数的奇偶性

. 理解奇函数、

¤学习目标 ：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质

偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.

¤知识要点 ：

1. 定义：一般地，对于函数

f (x) 定义域内的任意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ，那么函数 f (x) 叫偶函数（ even

function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个 x ，都有 f ( x)

f ( x) ），那么函数 f ( x) 叫奇函数（ odd function ）.

2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于

y 轴轴对

称 .

3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、

比商法等判别

f ( x) 与 f ( x) 的关

系 .

¤例题精讲 ：

【例 1】判别下列函数的奇偶性：

（1） f (x) x 3 1 ； （ 2） f ( x) | x 1| | x 1| ；（ 3） f ( x) x 2

x 3 .

x { x | x

0} ，对于定义域的每一个

解：（ 1）原函数定义域为 x ，都有

f ( x)

( x) 3

1 (x 3

1 ) f (x) ， 所以为奇函数 .

x

x

（2）原函数定义域为 R ，对于定义域的每一个

x ，都有

f ( x) | x 1 | | x 1 | x| 1 |x | 1f ，|x 所以为偶函数 .

（3）由于 f ( x)

x 2

x 3

f (x) ，所以原函数为非奇非偶函数.

【例 2】已知 f ( x) 是奇函数， g ( x) 是偶函数，且 f ( x) g( x)

1 ，求 f (x) 、 g( x) .

解：∵ f (x) 是奇函数， g (x) 是偶函数，

x

1

∴ f ( x)

f ( x) ，

g ( x)

g ( x) .

f (x)

g ( x)

1

f (x)

g ( x)

1

x 1

1

则

，即

x .

1

1

f ( x)

g( x)

f ( x)

g( x)

x 1

x 1

两式相减，解得

f ( x)

x

；两式相加，解得

g (x)

1

x2

.

1x2 1

【例 3】已知 f ( x)是偶函数，x 0时， f ( x) 2 x2 4 x，求x0 时f ( x)的解析式.

解：作出函数 y 2 x24x2( x1)22, x0 的图象，其顶点为(1,2) .

∵ f ( x) 是偶函数，∴其图象关于y轴对称.

作出 x0 时的图象，其顶点为( 1,2) ，且与右侧形状一致，

∴ x 0 时， f ( x)2( x 1)22 2 x24x .

点评：此题中的函数实质就是y 2 x2 4 | x | .注意两抛物线形状一致，则二次项系数 a 的绝对值相同 . 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.

【另解】当x0 时，x0 ，又由于 f ( x)是偶函数，则 f ( x) f ( x) ，

所以，当 x0 时， f ( x) f ( x)2(x)24( x) 2 x24x.

【例4】设函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，且在区间(, 0) 上是减函数，实数 a 满足不等式f (3a2a3) f (3a 22a ) ，求实数a的取值范围.

解：∵ f (x) 在区间 (,0) 上是减函数，∴ f (x) 的图象在y轴左侧递减.

又∵ f ( x) 是奇函数，

∴ f ( x) 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减 .

又 f (0) f (0) ，解得 f (0)0，所以 f (x) 的图象在R上递减.

∵ f (3a2a3) f (3a 22a)，

∴ 3a 2a33a 22a ，解得a1.

点评：定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上

单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.

集合与函数基础测试

一、选择题 (共 12 小题，每题 5 分，四个选项中只有一个符合要求)

1．函数y＝＝x2－ 6x＋ 10 在区间（ 2， 4）上是（）

A ．递减函数B．递增函数

C．先递减再递增D．选递增再递减．

x y2

2．方程组{ x y0的解构成的集合是（）

A ．{( 1,1)}

B ．{1,1}C．（ 1，1） D ．{1}

3．已知集合 A={ a， b， c}, 下列可以作为集合 A 的子集的是（）

A. a

B. { a， c}

C. { a， e}

D.{ a， b， c， d}

4．下列图形中，表示M N 的是（）

M N

N M M N M

N

A B C D

5．下列表述正确的是（）

A.{ 0}

B.{0}

C.{ 0}

D.{ 0}

6、设集合 A＝ {x|x参加自由泳的运动员} ， B＝{x|x参加蛙泳的运动员} ，对于“既参

加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为()

A.A ∩B

B.A B

C.A ∪ B

D.A B

7. 集合A={x x 2k, k Z } ,B={ x x 2k 1,k Z },C={ x x4k 1, k Z }又a A, b B, 则有（）

10

A. （ a+b）A

B. (a+b)B

C.(a+b)C

D. (a+b) A 、 B、 C 任一个

8．函数f（x）＝－x2＋ 2（a－ 1）x＋ 2 在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是（）

a a a a

A ．≥ 5

B ．≥ 3C．≤ 3D．≤－ 5

9.满足条件 {1,2,3}M {1,2,3,4,5,6} 的集合 M 的个数是（）

A. 8 B .7 C. 6 D.5

10.全集 U = {1，2，3，4 ，5 ，6，7 ，8 }， A= {3，4，5 }， B= {1，3，6 }，那么集合 { 2 ，7，8}是（）

A. A B

B. A B

C.C U A C U B

D. C U A C U B

11.下列函数中为偶函数的是（）

A ．y x

B ．y x C．y x2D．y x31

12. 如果集合 A={ x|ax 2＋ 2x ＋ 1=0}中只有一个元素，则 a 的值是（）

A ．0

B ．0 或 1C． 1D．不能确定

二、填空题 (共 4小题，每题x4 分，把答案填在题中横线上)

f x

）＝2×2－ 3｜｜的单调减区间是 ___________．

13．函数（

14．函数y1的单调区间为 ___________．

＝x＋1

{ a,

b

,1} ，又可表示成 { a 2 , a

15.含有三个实数的集合既可表示成b,0} ，则 a2003b2004.

a

16. 已知集合U{ x |3x 3}， M{ x | 1x 1}， C U N{ x | 0x2} 那么集合

N， M (C U N )， M N.

三、解答题 (共 4 小题，共44 分）

17. 已知集合 A { x x240} ，集合 B{ x ax20} ，若B A ，求实数a的取值集合．

18.设 f（ x）是定义在R上的增函数， f（xy）＝ f（ x）＋ f（ y），f（3）＝1，求解不等式 f（ x）＋ f（ x－2）＞ 1．

19. 已知函数 f （ x）是奇函数，且当x＞0时， f （x）＝ x3＋2x2—1，求 f （ x）在R上的表达式．

20. 已知二次函数 f (x)x 2

2(m 1)x

2m m 2 的图象关于

y 轴对称，写出函数的解析表达式，并

求出函数 f ( x) 的单调递增区间 .

必修 1 第一章

集合测试

集合测试参考答案：

一、 1~5 CABCB

6~10

ABACC

11~12

cB

二、 13

［0， 3

］，（－∞，－ 3

）

4

4

14 （－∞，－ 1 ），（－ 1，＋∞）

15

-1

16 N

{ x |

3 x 0 或 2 x

3} ；

M

(C U N ) { x | 0 x 1} ；

M

N { x | 3 x 1或 2 x 3} .

三、 17 .{0.-1,1} ；

18.

解： 由条件可得 f x

f x

f x x

f

（3）．

（

）＋ （ － 2）＝ ［ （ － 2）］， 1＝

所以 f x x

f

（ 3），又f x

x x

x

＞ 3

［ （ － 2）］＞ （ ）是定义在 R 上的增函数，所以有

（ － 2）＞ 3，可解得

12

或 x＜－1．

答案： x＞3或 x＜－1．

19.．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．

f （）＝

x

3＋ 2 2－ 1．因

f

（）为奇函数，∴

f

（ 0）＝ -1 ．x x x

当x＜0时，－ x＞0， f （－ x）＝（－ x）3＋2（－ x）2－1＝－ x3＋2x2－1，∴ f （ x）＝ x3－2x2＋1．

20.二次函数 f ( x)x22( m1) x 2m m 2的图象关于y 轴对称，

∴ m1，则 f ( x)x21

，函数 f ( x) 的单调递增区间为,0 .

．