第一章-函数极限连续教案

第一章函数·极限·连续

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??质闭区间上连续函数的性初等函数的连续性间函数的间断点与连续区

函数连续的定义连续两个重要极限极限的四则运算法则无穷大量和无穷小量右极限函数的左定义数列极限与函数极限的极限简单的经济函数模型复合函数与初等函数基本初等函数函数的简单性质义域函数的定义和函数的定函数、

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。

（2）理解数列和函数极限的描述性定义；理解函数左、右极限的定义，理解函数极限存在的充分必要条件；理解无穷小量和无穷大量的概念及相互关系，理解与掌握无穷小量的性质，了解无穷小量的比较；熟练掌握极限四则运算法则和两个重要极限，会求极限。

（3）理解函数连续与间断的概念，掌握判断函数连续性的方法；理解函数连续和极限存在之间的关系；会求函数的间断点与连续区间；理解初等函数的连续性，并能利用函数连续性求极限；了解闭区间上连续函数的性质。

1．函数的定义域

2．基本初等函数

3．复合函数

4．极限的运算

5．连续的概念

1．复合函数

2．极限的概念

3．重要极限

4．连续的概念

1.1 函数

【教学内容】函数的定义和函数的定义域，函数的简单性质，基本初等函数，复合函数以及初等函数，简单的经济函数模型。

【教学目的】理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。

【教学重点】1．函数的定义域；2．基本初等函数的图像与性质；3．复合函数的分解；4．成本函数、收入函数、利润函数。

【教学难点】1．复合函数的概念与分解；2．经济函数模型建立。

【教学时数】3学时【教学进程】

一、函数的概念与性质 (一) 函数的概念

提问：什么叫函数？请你举出1到2个函数的例子。

教师可举例：在某商店，可一双皮鞋卖200元，两双多少元？x 双呢？（x y 200=）从而归纳出函数的定义。

１．定义

定义1．1 设有两个变量x 和y ，当变量x 在非空数集D 内取某一数值时，变量y 按照某种对应法则f ，有惟一确定的数值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作

)(x f y =

其中x 称为自变量，y 称为函数或因变量，数集D 称为函数)(x f 的定义域．函数的表示方法，一般有解析法、表格法、图像法。 2．定义域

提问：如何求函数的定义域？

当函数用解析法表示时，求函数的定义域的原则是使函数表达式有意义。因此，要求：（1）分式，分母必须不等于零；

（2）偶次根式，被开方式必须大于等于0；（3）对数，真数必须大于零，底大于零且不等于1；（4）正切符号下的式子必须不等于2

ππ+

k （Z k ∈）；

（5）余切符号下的式子必须不等于πk （Z k ∈）；

（6）反正弦、反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1．

如果表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并求它们的交集．在实际应用问题中，除了要根据解析式子本身来确定自变量的取值范围以外，还要考虑到变量的实际意义

例1 求下列函数的定义域。（1）x

x y 22

；（2）32-=x y ；（3）1)

34ln(2++-=x x x y ；（4）)12(log 4)1arcsin(32-+--=

x x

x y 解（1）分式的分母不能为0，由022

≠-x x 解得0≠x 且2≠x ，即定义域为

),2()2,0()0,(+∞-∞Y Y ．

（2）偶次根式被开方式大于等于零，由032

≥-x 解得3-≤x 或3≥

x ；即定

义域为),3[]3,(+∞--∞Y ．

（3）对数的真数大于零，由?

??≠+>+-010342x x x 解得???-≠><13

1x x x 或；即定义域为

),3()1,1()1,(+∞---∞Y Y ．

（4）要使式子有意义，x 必须满足的条件?????>->-≤-01204112

x x x ，即???????><<-≤≤212220x x x ，解得

221<

??2,21．课堂练习：

（1）16

1)(2

x x f （答案：),(+∞-∞）

（2）)42ln(31)(-+-=

x x

x f （答案：)3,2(）

（3）3

1arcsin

)(x

x f -= （答案：]4,2[-）强调定义域必须用区间或集合表示。

介绍邻域概念：我们称开区间)(00δδ+-x x ，为点0x 的δ邻域，简称点0x 的邻域。δ为正数，称为邻域的半径。如点1的2邻域，即1为中心，2为半径的邻域指的是开区间（-1，3）。

3．函数值

提问：什么叫函数值？如何求函数值？

如果x 取数值D x ∈0时，则函数)(x f 在0x 处有定义，与0x 对应的数值0y 称为函数

)(x f 在点0x 的函数值，记作

0|)(0x x y x f =或

即

0y ＝)(0x f 或0|x x y =＝)(0x f

全体函数值的集合，称为函数的值域。

例2 已知2

11)(x

x f +=，求)2(f ，)(a f ，)1(+x f ，)1

(x f -。解 51211)2(2=+=

f ，2

)(a

a f +=，221)1(11)1(22++=++=+x x x x f ， 2

21111

(x x x x

f +=??

??-+=

-．提问：什么样的函数是表示同一只函数？

函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素。当两个函数的定义域与对应法则一致时，这两个函数表示的是同一个函数。如2)(x x f =

与||)(x x g =，它们的定义域与对

应法则一致，只是表示不同而已，实际是同一个函数。

４．分段函数

提问：我们在产品销售中往往会遇到这样的事，某产品销量在100件以内（包括100件）按每件50元销售，超过100件，超过的部分可打八折，那么销售收入与销售量之间的

关系如何表示？

显然，销售收入y 与销售量x 之间的关系式要用两个式子表示，当1000≤≤x 时，

x y 50=；当100>x 时，)100(%805010050-??+?=x y ．所以可表示成

?>-??+?≤≤=100)100(%805010050100050x ，x x x ，

y 即

?>+≤≤=100100040100050x ，x x x ，

y 象这样，两个变量之间的函数关系有的要用两个或多于两个的数学式子来表达，即对一个函数，在其定义域的不同范围内用不同数学式子来表达，称为分段函数．分段函数的定义域为各段自变量取值集合的并集．

例3 设函数????

???>+=<≤--=010

11)(x ，x x ，x ，x x f ，求：(1)函数的定义域；(2))0(f ，)1(-f ，)2(f ；(3)作出图象．

解

(1)定义域为)-1,[+∞=D ； (2)0)0(=f ，

211)1(-=--=-f ， 312)2(=+=f ；

(3)函数的图象如图1-1所示．课堂练习：

根据中华人民共和国主席令2005年第44号，自2006年1月1日起施行新的个人所得税纳税标准，新纳税标准以月收入额1600元为起征点，具体如下：

表1－1

试表示应缴税款y 和月收入额x 之间的关系；某人月收入额为3900元应缴税多少元？

答案：???

???

??>+?-≤<+?-≤<+?-≤<+?-≤<+?-≤<+?-≤<+?-≤<+?-≤

6600,625%20)6600(66003600,175%15)3600(36002100,25%10)2100(21001600%,

5)1600(16000,

0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y

月收入3900元应缴税220175%15)36003900(=+?-元．

二、函数的性质

提问：函数的性质有哪些？让学生敍述函数的四大性质。 1。函数的单调性

定义1．2 设函数)(x f 在区间I 上有定义，如果1x 、I x ∈2，当21x x <时，有

)()(21x f x f <，则称函数)(x f 在I 上是单调增加的；当21x x <时，有)()(21x f x f >，

则称函数)(x f 在I 上是单调减少的．

2．函数的奇偶性

设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称，如果对任意D x ∈，有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f 为奇函数；如果对任意D x ∈，)()(x f x f =-，则称函数)(x f 为偶函数．既不是奇函数，又不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.

奇偶函数的定义域D 关于原点对称，且在平面直角坐标系中，偶函数的图形关于y 轴对称；奇函数的图形关于原点对称。

例4 判断下列函数的奇偶性：

(1)123)(42+-=x x x f ； )2(x x x f 2sin )(+=； )3(25)(3-=x x f

解 (1)因为)(1231)(2)(3)(4

x f x x x x x f =+-=+---=-，所以

123)(42+-=x x x f 为偶函数．

)

2(因

为

)

(2sin )(2)sin()(x f x x x x x f -=--=-+-=-，所以

x x x f 2sin )(+=为奇函数．

)3(因为252)(5)(33--=--=-x x x f ，

显然)()(x f x f -≠-，)()(x f x f ≠-，所以25)(3

-=x x f 是非奇非偶函数．

课堂练习：

判断下列函数的奇偶性。

极限与配合第一章教案

第一章光滑圆柱形结合的极限与配合 §1-1 基本术语及其定义一、孔和轴孔——通常指工件各种形状的内表面，包括圆柱形内表面和其它由单一尺寸形成的非圆柱形包容面。轴——通常指工件各种形状的外表面，包括圆柱形外表面和其它由单一尺寸形成的非圆柱形被包容面。二、尺寸的术语及其定义 1．尺寸尺寸——用特定单位表示长度大小的数值。长度包括直径、半径、宽度、深度、高度和中心距等。尺寸由数值和特定单位两部分组成。例如30 mm。注：机械图样中，尺寸单位为mm时，通常可以省略单位。 2．基本尺寸（D，d）基本尺寸——由设计给定，设计时可根据零件的使用要求，通过计算、试验或类比的方法，并经过标准化后确定基本尺寸。注：孔的基本尺寸用“D”表示；轴的基本尺寸用“d”表示。 3．实际尺寸（Da，da）实际尺寸——通过测量获得的尺寸。

由于存在加工误差，零件同一位置的实际尺寸不一定相等。4．极限尺寸极限尺寸——允许尺寸变化的两个界限值。允许的最大尺寸称为最大极限尺寸；允许的最小尺寸称为最小极限尺寸。三、偏差与公差的术语及其定义 1．偏差偏差——某一尺寸（实际尺寸、极限尺寸等）减其基本尺寸所得的代数差。分类：（1）极限偏差——极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为极限偏差。（2）实际偏差——实际尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为实际偏差。（1）极限偏差上偏差——最大极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差。孔： ES=Dmax － D 轴： es=dmax －d 下偏差——最小极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差。孔： EI=Dmin －D

轴： ei=dmin －d （2）实际偏差实际尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为实际偏差。合格零件的实际偏差应在规定的上、下偏差之间。【例1－1】某孔直径的基本尺寸为φ50mm，最大极限尺寸为φ50.048mm，最小极限尺寸为φ50.009mm，求孔的上、下偏差。【例1－2】计算轴φ60mm -0.012+0.018的极限尺寸。若该轴加工后测得实际尺寸为φ60.012mm，试判断该零件尺寸是否合格。

第一章函数与极限复习提纲

第一章函数与极限复习提纲一、函数知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ） A. x x y sin +=； B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？（1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3 2 1-= x y 解：3 1u y =，12-=x u （5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2= 3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大？解成本函数C （x ）=固定成本+可变成本所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，() L x

第一章函数、极限、连续

第一章函数极限连续 1.1 数列极限的求法一基本概念数列极限、数列收敛、数列发散 1. 数列极限：lim n n x a →∞ = 描述语言：当n 充分大时，数列一般项n x 无限趋于（无限接近，充分接近）某个确定的常数a ，则称a 就是数列{}n x 的极限． “N ε-”语言：0ε?>，N ?，当n N >时，有n x a ε-<．二基本结论 1. 收敛数列性质：唯一性；有界性；保号性；子序列的收敛性． 2. 单调有界原理：单调有界数列必有极限；或叙述为：单调增加有上界必有极限，单调减少有下界必有极限． 3. 夹逼法则：若n n n y x z ≤≤，n N >，且lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==，则lim n n x a →∞ =． 4. 数列极限运算法则：设lim n n x A →∞ =，lim n n y B →∞ =，那么（1）lim()n n n x y A B →∞ ±=±；（2）lim n n n x y AB →∞ ?=；（3）lim (0)n n n x A B y B →∞ =≠．（4）lim() n y B n n x A →∞ = 5. 两个重要极限：10 lim(1)e x x x →+=；0sin lim 1x x x →=．这两个极限公式可以推广为：当0x x →时，()0f x →，则 1() lim(1()) e f x x x f x →+=；0sin () lim 1() x x f x f x →=．三基本方法数列极限的未定式（不确定型）有八种形式： 00；∞∞ ；0?∞；∞±∞；1∞；0 ∞；00；无限个无穷小的和．

高中数学《函数的极限(一)》教案

课题：2.3函数的极限(一) 教学目的： 1.理解当x →+∞，x →－∞，x →∞时，函数f (x )的极限的概念. 2.从函数的变化趋势，理解掌握函数极限的概念. 3.会求当函数的自变量分别趋于+∞，－∞，∞时的极限教学重点：从函数的变化趋势来理解极限的概念，体会极限思想. 教学难点：对极限概念如何可从变化趋势的角度来正确理解. 授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大a n 越来越接近于a ；另一方面，a n 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限：（1）01lim =∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{n q （1

极限配合与技术测量基础教案

极限配合和技术测量基础授课教案教学计划说明：本课程主要介绍光滑圆柱形结合的极限与配合、技术测量的基本知识及常用计量器具、形状和位置公差、表面粗糙度、螺纹结合的公差和检测等。考虑到学生学过机械制图有一定的基础，况且本课程学时较少，内容较多故主要讲授了前三章内容。

课题：绪论教学时数： 2 学时授课时间：教学方法：讲授法教学目的与要求：理解互换性的概念明确本课程的任务教学重点与难点：强调本课程的地位与作用,激发学生的学习兴趣新授内容：绪论一、互换性概述 1．互换性的概念互换性——指机械工业中，制成的同一规格的一批零件或部件，不需作任何挑选、调整或辅助加工，就能进行装配，并能满足机械产品的使用性能要求的一种特性。

互换性的优势：使用和维修方面加工和装配方面设计方面互换性包括：几何参数（如尺寸、形状等）的互换机械性能（如硬度、强度等）的互换 2．几何量的误差、公差和测量零件的几何量误差——零件在加工过程中，由于机床精度、计量器具精度、操作工人技术水平及生产环境等诸多因素的影响，其加工后得到的几何参数会不可避免地偏离设计时的理想要求，而产生误差。几何量误差主要包含：尺寸误差形状误差位置误差表面微观形状误差——表面粗糙度几何参数的公差——零件几何参数允许的变动量，它包括尺寸公差、形状公差、位置公差等。只有将零件的误差控制在相应的公差内，才能保证互换性的实现。二、本课程的任务了解 ?国家标准中有关极限与配合等方面的基本术语及其定义 ?有关测量的基本知识

?形位公差的基本内容 ?表面粗糙度的评定标准及基本的检测方法 ?普通螺纹公差的特点熟悉或理解 ?极限与配合标准的基本规定 ?常用计量器具的读数原理 ?形位公差代号的含义 ?螺纹标记的组成及其含义掌握 ?极限与配合方面的基本计算方法及代号的标注和识读?常用计量器具的使用方法 ?形位公差代号的标注方法 ?表面粗糙度符号、代号的标注方法作业布置： P1 一教后感：

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章函数与极限

第一章函数与极限教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数一、集合 1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

第一章函数与极限的练习解答

一、P21：1；5 1.设），（），（∞+∞=55--A ，），【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。解：),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？（1） x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。（2） 2 )(,)(x x g x x f == 解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。（3） 3 3 4 )(x x x f -=， 3 1)(-?=x x x g 解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。（4） x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解：不同。定义域不同，R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）； P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16. 4.求下列函数的自然定义域：

（1） 23+=x y ；解：32023-≥?≥+x x 。即：),3 2 [+∞-=D 。（3）211x x y --=；解：???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。（5） x y sin =；解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ；解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。（9）)1ln(+=x y 解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥

(完整版)大一高数第一章函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节变量与函数一、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????；满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<；满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤

函数极限与连续习题(含答案)

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：(1)若 f (x ) 在 x 0 点连续，则 f (x ) 在 x → x 0 点必有极限 2)若 f (x )在x → x 0点有极限，则 f (x )在x 0点必连续 3)若 f (x )在x → x 0点无极限，则 f (x )在x = x 0点一定不连续 (4)若 f (x ) 在 x = x 0 点不连续，则 f (x ) 在 x → x 0 点一定无极限。其中正确的命题个数是( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、若 lim f ( x ) = a ，则下列说法正确的是( C ) x →x 0 A 、 f (x )在x =x 0处有意义 B 、 f (x 0)=a C 、 f (x )在x = x 0处可以无意义 D 、x 可以只从一侧无限趋近于x 0 3、下列命题错误的是( D ) A 、函数在点x 0 处连续的充要条件是在点x 0 左、右连续 B 、函数 f (x )在点x 0处连续，则lim f (x )= f (lim x ) 0 x →x 0 x → x 0 C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数 f (x )有lim f (x ) = f (x 0) x → x 0 0 4、已知f (x )= 1 ，则lim f (x +x )- f (x )的值是( C ) x x →0 x 11 A 、 B 、 x C 、 - D 、 - x x 2 x 2 5、下列式子中，正确的是( B ) x 2 + ax + b 6、lim x +ax +b =5，则a 、b 的值分别为( A ) x →1 1 - x A 、- 7和6 B 、7和- 6 C 、- 7和- 6 D 、7和6 7、已知f (3) = 2, f (3) = -2,则lim 2x - 3 f (x )的值是( C ) x →3 x - 3 8、l x i →m a 3 x x --3a a =( D ) A 、lim x = 1 B 、lim x -1 = 1 C 、lim x -1=1 x →0 x x →1 2(x -1) x →-1 x - 1 lim x x → 0 x =0 A 、-4 B 、0 C 、8 D 、不存在 D 、

(完整版)高中数学《函数的极限》教案

课题：2.3函数的极限(二) 教学目的： 1.理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限． 2.已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限． 3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就无限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的一个特殊的点.那么如果对于数轴上的一般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？教学过程：一、复习引入： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.几个重要极限：（1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{n q （1

1第一章函数与极限答案

第一章函数与极限第一节映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________；（3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为。（7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（）

函数极限与连续习题加答案(供参考)

第一章函数、极限与连续第一讲：函数一、是非题 1．2x y = 与x y =相同；（） 2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数；（） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数；（） 4. )0(2 >=x x y 是偶函数；（） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数；（） 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；（） 7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域；（） 8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。（）二、填空题 1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于对称； 2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2 +x f 的定义域是； 3.1 22+=x x y 的反函数是； 4.1)(+=x x f ，2 11 )(x x += ?，则]1)([+x f ?＝， ]1)([+x f ?＝； 5.)2(sin log 2+=x y 是由简单函数和复合而成； 6.1)(2 +=x x f ，x x 2sin )(=?，则)0(f ＝，___________)1(=a f ， ___________)]([=x f ?。三、选择题 1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（）

A 、x 3sin B 、13+x C 、x x +3 D 、x x -3 2.设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 3.)sin()(2x x x f -=是（） A 、有界函数 B 、周期函数 C 、奇函数 D 、偶函数四、计算下列各题 1.求定义域5 23arcsin 3x x y -+-= 2.求下列函数的定义域 (1)342+-=x x y (2)1 142++ -=x x y (3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg = 3.设2 )(x x f =，x e x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g x f f x f g x g f ；

高等数学(同济五版)第一章函数与极限知识点

第一章函数与极限一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性：对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。

第一讲函数极限连续1003

第一讲函数、极限与连续一、考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5．理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 6．掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7．掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 11. 掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。二、内容提要 1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系. （2）复合函数: y=f(u), u=??()[()]x y f x ?=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域. （3）分段函数: 注意，)}(),(min{)},(),(max{,)(x g x f x g x f x f 为分段函数. （4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性 * 注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。特别：若)(x f 为偶函数且)0(f '存在，则0)0(='f 2、若)(x f 为偶函数，则?x dt t f 0)(为奇函数；若)(x f 为奇函数，则?x a dt t f )(为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设)(x f 以T 为周期且)(0x f '存在，则)()(00x f T x f '=+'。 4、若f(x+T)=f(x), 且0 )(0 =? T dt t f ，则?x dt t f 0 )(仍为以T 为周期的周期函数. 5、设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则

高数同济7版教案第一章函数与极限

广西民族师范学院数计系《高等数学》课程教案课程代码：061041210 总学时/周学时：_________ 51/3 开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班使用教材：高等数学同济大学第7版教研室：数学与应用数学教研室授课教师: 、课程教学计划表、教案正文第一章函数与极限

（一）教学目的： 1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2?了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3?理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4?掌握基本初等函数的性质及其图形。 5?理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6?掌握极限的性质及四则运算法则。 7?了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8?理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9?理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。 (二)重点、难点 1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。三)教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节映射与函数一、映射 1. 映射概念定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y.

(完整版)公差与配合教案.

教案 1

一、新课导入：极限配合与技术测量主要内容包括极限与配合、形位公差、表面粗糙度和技术测量，主要学习和研究互换性，围绕零件的制造误差和公差概念及其使用要求之间的关系，合理的解决生产成本、产品质量与效益之间的矛盾。二、新授内容：第一章概述第一节互换性（一）互换性基本概念：所谓互换性是指在制成同一规格的零件中，不需要作任何挑选或附加加工（如选配或钳工加工）就可以组装成部件或整机，并能达到设计要求。举例说明：自行车手机电脑零部件的互换性。（二）互换性的种类：根据零件的互换范围不同： a)完全互换性：零、部件在装配时，不需要作任何选择或附加加工。 b)不完全互换性：零、部件在装配时，允许进行附加加工、选择与调整。完全互换性在机器制造中被广泛采用。（三）分组装配法：为了解决加工困难和装配精度要求之间的矛盾。把零件的互换性范围限制在同一组内的方法，称为分组装配法。属于不完全互换性。第二节加工误差和公差（一）加工误差： 1、加工误差的定义：零件的实际尺寸和理论上的绝对准确尺寸之差。

2、加工误差的分类： a)尺寸误差； b)形状误差； c)位置误差； d)表面粗糙度误差； e)波纹度误差。（未标准化）（二）公差： 1、公差的定义：零件的尺寸、几何形状、几何位置关系及表面粗糙度参数值允许变动的范围。 2、公差的分类： a)尺寸公差； b)形状公差； c)位置公差； d)表面粗糙度公差；第三节极限与配合标准 (一)标准化和标准： a)标准化：制定标准和贯彻执行技术标准为主要内容的全部活动过程。 b)标准：指为产品和工程上的规格、技术要求及其检测方法方面等所作的技术规定。（二）国家有关标准：标准分为：国家标准行业标准地方标准企业标准第四节技术测量概念（一）技术测量的意义和对象： a)技术测量是实现互换性的必要条件。 b)所谓技术测量就是把被测出的量值与具有计量单位的标准量进行比较从而确定被测量的量值。 c)技术测量的对象：长度、角度、表面粗糙度和形位公差。

函数极限的运算法则

教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用教学过程：一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞ →lim ,01lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数二 0）. 说明：当三例1 求)3(lim 2 2 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 2 31 ++-→x x x x 例3 求4 16lim 2 4 --→x x x

分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4 16 2 --= x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求1 33lim 22 ++-∞ →x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、2 总结：lim x x o →lim x ∞ →例5 求lim ∞ →x 分析：同例计算了。四（1）lim 2 1 → x （3）lim 4 →x 1 432 1 -+→x x x （5）1 1lim 2 1 +--→x x x （6）9 65lim 2 2 3 -+-→x x x x （7）1 3322lim 2 3 2 +--+∞ →x x x x x （8）5 2lim 3 2 --∞ →y y y y

五小结 1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）； 2 函数的运算法则成立的前提条件是函数 )(),(x g x f 的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点. 3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限. 六作业（求下列极限）（1） lim -→x 2 （4）lim 0 →x （7）lim 2 →x （10）x → （13）1 3lim 2 4 3 +++∞ →x x x x x （14）2 3 3 2 )2 312( lim -+→x x x （15）3 526113lim 2 2 1 --+-→x x x x x （16） 3 526113lim 22 --+-∞ →x x x x x （17） 3 2 320 3526lim x x x x x x x ----→ （18） 3 2 323526lim x x x x x x x ----∞ →

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

第一篇函数、极限与连续第一章函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、表示集合，用小写字母a 、b 、c 、表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；

2015函数、极限与连续习题加答案

制题人：兰星第一章函数、极限与连续 2 第一章函数、极限与连续第一讲：函数一、是非题 1 ． 2 x y =与 x y =相同； 2. ) 1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数；（） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数；（） 4. ) 0(2>=x x y 是偶函数；（） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数；（） 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；

制题人：兰星第一章函数、极限与连续 3 （） 7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域；（） 8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。（）二、填空题 1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于对称； 2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则) 1(2 +x f 的定义域是； 3. 1 22+=x x y 的反函数是； 4.1)(+=x x f ，2 11)(x x +=?，则]1)([+x f ?＝， ]1)([+x f ?＝； 5.) 2(sin log 2 +=x y 是由简单函数和复合而成； 6.1 )(2 +=x x f ，x x 2sin )(=?，则)0(f ＝， ___________)1 (=a f ， _ __________)]([=x f ?。

制题人：兰星第一章函数、极限与连续 4 三、选择题 1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（） A 、 x 3 sin B 、1 3 +x C 、 x x +3 D 、 x x -3 2.设5 4)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 3.) sin()(2 x x x f -=是（） A 、有界函数 B 、周期函数 C 、奇函数 D 、偶函数四、计算下列各题 1.求定义域5 23arcsin 3x x y -+-= 2.求下列函数的定义域

答案高等数学第一章函数与极限试题

答案：一.选择题 1.A 【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】方法一：任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(，且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见 f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则? x dt t f 0 )(为偶函数，从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ，所以 x=0为第二类间断点； 0)(lim 1=+ →x f x ，1)(lim 1 -=- →x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).

【评注】应特别注意：+∞=-+ →1 lim 1x x x ，.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ，.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C 解原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极的每项作等价替换，则原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x .