2013高考理科数学试卷及答案(湖北卷)

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数 学（理工类）

本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1．在复平面内，复数2i

1i

z =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 2．已知全集为R ，集合1

{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A

B =R

A ．{0}x x ≤

B ．{24}x x ≤≤

C ．{024}x x x ≤<>或

D ．{024}x x x <≤≥或

3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ?∨()q ? B ．p ∨()q ? C ．()p ?∧()q ? D ．p ∨q

4．将函数3cos sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是

A ．π12

B ．π6

C ．π3

D ．5π

6

5．已知π

04

θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：22222

1sin sin tan y x θθθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 6．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为 A ．

32

2

B ．

315

2

C ．32

2

-

D ．315

2

-

7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25

()731v t t t

=-+

+（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是

A ．125ln5+

B ．11

825ln 3

+ C ．425ln5+ D ．450ln2+

8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，

4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有

A ．1243V V V V <<<

B ．1324V V V V <<<

C ．2134V V V V <<<

D ．2314V V V V <<<

2 / 12

9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅 拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X = A ．

126

125 B ．6

5

C ．

168

125

D ．

75

10．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则

A ．1()0f x >，21

()2f x >-

B ．1()0f x <，21

()2

f x <-

C ．1()0f x >，21

()2f x <-

D ．1()0f x <，21

()2

f x >-

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．

的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）

11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图

示.

第11题图 第12题图 （Ⅰ）直方图中x 的值为_________；

否

1i i =+

?4a =

10, 1a i == 开始

是

结束

a 是奇数?

31a a =+

2

a

a =

是

否

输出i

第8题图

第9题图

3 / 12

（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________. 12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =_________.

13．设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，2314x y z ++=，则x y z ++=_________. 14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，

，

第n 个三角形数为

2(1)11

222

n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出 了部分k 边形数中第n 个数的表达式：

三角形数 211

(,3)22N n n n =+，

正方形数 2(,4)N n n =，

五边形数 231

(,5)22N n n n =-，

六边形数 2(,6)2N n n n =-， ………………………………………

可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）

如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CE

EO 的值为

_________．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,

sin x a y b ??=??=?

（?为参数，0a b >>）. 在

极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴

为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为π2

sin()42

m ρθ+=（m 为非零常数）

与b ρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积53S =，5b =，求sin sin B C 的值.

O

D E B

A

第15题图

C

4 / 12

已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得12

1

11

1m

a a a +++

≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由.

19．（本小题满分12分）

如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.

（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足1

2

DQ CP =. 记直线PQ 与平面ABC 所成

的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.

20．（本小题满分12分）

假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . （Ⅰ）求0p 的值；

（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.）

（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A 、

B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.

公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?

第19题图

5 / 12

如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别 为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ，B ，C ，D ．记m

n

λ=

，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；

（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．

22．（本小题满分14分）

设n 是正整数，r 为正有理数.

（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；

（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11

r r r r r

n n n n n r r ++++--+-<<

++； （Ⅲ）设x ∈R ，记x ????为不小于．．．

x 的最小整数，例如22=????，π4=????，312??

-=-????

. 令3333818283125S =+++

+，求S ????的值.

（参考数据：43

80344.7≈，43

81350.5≈，4

3

124618.3≈，43

126631.7≈）

O x

y

B

A 第21题图

C

D

M

N

6 / 12

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工类）试题参考答案

一、选择题

1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 二、填空题

11．（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 12．5 13．314

7

14．1000 15．8 16．

63

三、解答题 17．

（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=,

即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1

cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）.

因为0πA <<，所以π

3

A =

. （Ⅱ）由1133

sin 53,2224

S bc A bc bc ==?==得20bc =. 又5b =，知4c =.

由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故21a =.

又由正弦定理得222035

sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =?==?=.

18．

（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得33

12

11

125,

||10,a q a q a q ?=??-=?? 解得15,

33,

a q ?

=???=? 或15,1.a q =-??

=-? 故15

33

n n a -=?，或15(1)n n a -=-?-.

（Ⅱ）若15

33

n n a -=?，则1131()53n n a -=?，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，

从而131[1()]191953[1()]111031013

m m

m n n

a =?-==?-<<-∑.

若1(5)(1)n n a -=-?-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为1

5

-，公比为1-的等比数列，

7 / 12

从而11,21(),

1502().

m

n n m k k a m k k +=+?-=-∈?=??=∈?∑N N , 故111m

n n a =<∑.

综上，对任何正整数m ，总有11

1m

n n

a =<∑.

故不存在正整数m ，使得

12

111

1m

a a a +++

≥成立.

19．

（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：

连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ?平面ABC ，且AC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 而EF ?平面BEF ，且平面BEF

平面ABC l =，所以EF ∥l .

因为l ?平面PAC ，EF ?平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC .

（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥.

已知PC ⊥平面ABC ，而l ?平面ABC ，所以PC l ⊥. 而PC

BC C =，所以l ⊥平面PBC .

连接BE ，BF ，因为BF ?平面PBC ，所以l BF ⊥.

故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=.

由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且1

2

DQ CP =.

连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =， 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .

连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=. 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，

故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得

第19题解答图1

第19题解答图2

8 / 12

sin CF DF θ=

，sin BF DF α=，sin CF

BF

β=， 从而sin sin sin CF BF CF

BF DF DF

αβθ=

?==，即sin sin sin θαβ=. （Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且1

2

DQ CP =.

连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD .

以点C 为原点，向量,,CA CB CP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有

(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ,1

(,0,),(0,0,)2E a c F c .

于是1

(,0,0)2FE a =，(,,)QP a b c =--，(0,,)BF b c =-，

所以222

||cos ||||FE QP a

FE QP a b c α?==?++，从而2222

2

2

sin 1cos b c a b c

αα+=-=

++.

又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，可得222

||sin ||||QP c

QP a b c

θ?==?++m m ，

设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，

所以由0,0,FE BF ??=???=??n n 可得10,

20.

ax by cz ?=???-+=? 取(0,,)c b =n .

于是22|||cos |||||b b c β?=

=?+m n m n ，从而222sin 1cos c

b c

ββ=-=+. 故222

2

2

2

2

2

2

2

sin sin sin b c c c a b c

b c

a b c

αβθ+=

?

=

=+++++，即sin sin sin θαβ=.

20．

（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=

(700900)0.9544P X <≤=.

由正态分布的对称性，可得

0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤

11

(700900)0.977222

P X =

+<≤=.

第20题解答图

9 / 12

（Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +.

依题意, , x y 还需满足:021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥.

由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥. 于是问题等价于求满足约束条件21, 7,3660900,, 0, ,

x y y x x y x y x y +≤??≤+?

?+≥??≥∈?N ，

且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y .

作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R .

由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400

z

最小，即z 取得最小值.

故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.

21．

依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为

1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.m

n

λ=>

（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则

111||||||22S BD OM a BD =

?=，211

||||||22S AB ON a AB =?=，所以12||||S BD S AB =

. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1

||||1

B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===

---. 若

12S S λ=，则11

λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则21λ=+. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则

||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；

111||||||22S BD OM a BD =?=，211

||||||22S AB ON a AB =?=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===

--. 若

12S S λ=，则11

λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则21λ=+.

O x

y

B

A 第21题解答图1

C

D

M

N O

x

y

B

A

第21题解答图2

C

D

M N

10 / 12

（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，

点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则 因为12

2

|0|11ak ak d k k --==

++，22

2

|0|11ak ak d k k -=

=

++，所以12d d =.

又111||2S BD d =

，221

||2

S AB d =，所以12||||S BD S AB λ=

=，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是

||1

||1

AD BC λλ+=

-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得 2

2

2

A am x a k m

=

+，2

2

2

B an x a k n

=

+.

根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是

222222221||2||

||21||A D A B

B C k x x x AD m a k n BC x n a k m k x x +-+===++-. ② 从而由①和②式可得

2222221

(1)

a k n a k m λλλ++=+-. ③

令1(1)

t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得2222

22(1)(1)n t k a t λ-=-.

因为0k ≠，所以2

0k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当2222

2(1)

0(1)

n t a t λ->-， 等价于222

1

(1)()0t t λ

--<. 由1λ>，可解得1

1t λ

<<，

即11

1(1)

λλ

λλ+<

<-，由1λ>，解得12λ>+，所以

当112λ<≤+时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=； 当12λ>+时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=.

解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，

点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则 因为12

2

|0|11ak ak d k

k

--==

++，22

2

|0|11ak ak d k

k

-=

=

++，所以12d d =.

又111||2S BD d =

，221

||2

S AB d =，所以12||||S BD S AB λ=

=.

11 / 12

因为221||||

||1||B D A B A B

A B k x x x x BD AB x x k x x λ+-+===-+-，所以11A B x x λλ+=

-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得

222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()

0A B A B x x k x x a m

λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以2

2

A

B x x >. 所以由上式解得2222

2222()

()

A B B A m x x k a x x λ-=-.

因为2

0k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A

B

x x λ<<.

从而1

11

λλλ+<

<-，解得12λ>+，所以 当112λ<≤+时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=； 当12λ>+时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=.

22．

（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =.

当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数. 故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即

1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，

故当1x >-且0x ≠时，有 1(1)1(1)r x r x ++>++. ①

在①中，令1x n =

（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n

+++>+. 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即

11

(1).1

r r r

n n n r +++-<+ ②

当1n >时，在①中令1

x n

=-（这时1x >-且0x ≠），类似可得

11

(1).1

r r r

n n n r ++-->+ ③

且当1n =时，③也成立.

综合②，③得

1111(1)(1).11

r r r r r

n n n n n r r ++++--+-<<++ ④

（Ⅲ）在④中，令1

3

r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得

12 / 12

4444

3333333818081(8281)44-<-（）<， 44443333333828182(8382)44-<-（）<， 44443333333838283(8483)44-<<-（）， ………

4444

3333333125124125(126125)44-<<-（）. 将以上各式相加，并整理得 4444

33333312580(12681)44

S -<<-（）. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），44

3

3312681210.94

-≈（）.

由S ????的定义，得211S =????.