2011年高考全国卷2理科数学试题及答案(已排版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3

至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i （2）函数2(0)y x x =≥的反函数为

（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2

(0)4

x y x =≥

（C ）24y x =()x R ∈ （D ）2

4(0)y x x =≥ （3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞

（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224A n S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 （5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3

π

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于

（A ）1

3

（B ）3 （C ）6 （D ）9

(6)已知直二面角α? ι?β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)

23 (B)33 (C)63

(D) 1 (7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种

(8)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为

(A)13 (B)12 (C)2

3

(D)1

(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5

()2

f -=

(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)1

2

(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=

(A)

45 (B)35 (C)35- (D)45

-

(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为

(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π

(12)设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =1

2

-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于

(A)2 (B)3 (c)2 (D)1

第Ⅱ卷（第Ⅱ卷共l0小题，共90分。）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．

) x 20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: 。

(14)已知a ∈(2

π

，π)，sin α=55，则tan2α=

(15)已知F 1、F 2分别为双曲线C : 2

9

x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2，

0)，AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = .

(16)己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .

三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

) △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知A —C =90°，a+c=2b ，求C.

(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立

(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；

(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X 的期望。

（19）如图，四棱锥S ABCD -中，19291

()10p e p p AB CD P ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等

边三角形，2,1AB BC CD SD ====. （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥;

（Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.

（20）设数列{}n a 满足10a =且111

1.11n n

a a +-=--

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1

1

1,, 1.n

n n n k n k a b b S n

+=-==∑p 记S 证明：

（21）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r

(Ⅰ)证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.

（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （Ⅰ）设函数2()ln(1)2

x

f x x x =+-

+，证明：当0x ＞时，()0f x ＞； （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续

抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：19291

()10p e p p

(18)【解析】记A 表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；

B 表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C 表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种；

D 表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.

(I)()0.5P A =, ()0.3P B =, C A B =+ ……………………………3分

()()()()0.8P C P A B P A P B =+=+= ……………………………6分

(Ⅱ)D C =,()1()10.80.2P D P C =-=-=

(100,0.2)X B :,即X 服从二项分布, ……………………………10分

所以期望 1000.220EX =?=. ……………………………12分

(19)【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合. 解法一：(Ⅰ)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==，连结SE ，则

SE AB ⊥，3SE =又1SD =,故222

ED SE SD =+,所以DSE ∠为直

角. ………………3分

由AB DE ⊥,AB SE ⊥,DE SE E =I ,得AB ⊥平面SDE ,所以AB SD ⊥.

SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直.

所以SD ⊥平面SAB . ………………6分

另解:由已知易求得1,5,2SD AD SA ===,于是2

2

2

SA SD AD +=.可知SD SA ⊥,同理可得

SD SB ⊥,又SA SB S =I .所以SD ⊥平面SAB . ………………6分 (Ⅱ)由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .

作SF DE ⊥,垂足为F ,则SF ⊥平面ABCD,3

2

SD SE SF DE ?=

=. 作FG BC ⊥,垂足为G ,则1FG DC ==.连结SG .则SG BC ⊥.

又,BC FG SG FG G ⊥=I ,故BC ⊥平面SFG ,平面SBC ⊥平面SFG .……9分 作FH SG ⊥,H 为垂足,则FH ⊥平面SBC .

3

7

SF FG FH SG ?=

=

,即F 到平面SBC 的距离为217.

由于//ED BC ,所以//ED 平面SBC ,E 到平面SBC 的距离d 也为

217

. 设AB 与平面SBC 所成的角为α,则21sin d EB α=

=,21arcsin α=……12分 解法二：以C 为原点,射线CD 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 设(1,0,0)D ,则(2,2,0)A 、(0,2,0)B . 又设(,,)S x y z ,则0,0,0x y z >>>.

(Ⅰ)(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-u u r u u r u u u r

, 由||||AS BS =u u r u u r 得

222222(2)(2)(2)x y z x y z -+-+=+-+故1x =.

由||1DS =u u u r 得22

1y z +=,

又由||2BS =u u r 得222

(2)4x y z +-+=,

即2

2

410y z y +-+=,故13

,2y z =

=. ………………3分 于是13333313

(1,,(1,,(1,,(0,,22222222

S AS BS DS =--=-=uu r uu r uu u r , 0,0DS AS DS BS ?=?=u u u r u u r u u u r u u r

.

故,DS AS DS BS ⊥⊥,又AS BS S =I ,

所以SD ⊥平面SAB . ………………6分

(Ⅱ)设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =r

,

则,,0,0a BS a CB a BS a CB ⊥⊥?=?=r u u r r u u r r u u r r u u r

.

又33(1,,),(0,2,0)22

BS CB =-=uu r uu r

, 故33

0,220m n p n ?-=???=?

………………9分 取2p =得(3,0,2)a =-r ,又(2,0,0),AB =-uu u r

21cos ,||||

AB a AB a AB a ?<>==?uu u r r

uu u r r uu u r r .

故AB 与平面SBC 所成的角为21

arcsin

7

. ………………12分 (20)【解析】(Ⅰ)由题设

111

111n n

a a +-=--,

即

1

1n

a -｛｝是公差为1的等差数列. 又

11=11a -,故1

=1n

n a -. 所以1

1n a n

=-

……………………………5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得 1

1n n a b n

+-=

11n n

n n

+-=

+g 1

n n =

+1

1

(

)1111

n

n

n k k k S b k k n =====<++∑∑…………………………12分

(21)【解析】(I)(0,1)F ,l

的方程为1y =+,代入2

2

12

y x +=并化简得

2410x --=. …………………………2分

设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,

则12x x =

=

121212)21,x x y y x x +=

+=++=

由题意得312312()()1,x x x y y y =-+==-+=-所以点P

的坐标为(1)-. 经验证点P

的坐标(1)2--满足方程2212y x +=,故点P 在椭圆C 上 …6分 (II)由

P (,1)2--和题设知，

Q 2

，PQ 的垂直平分线1l 的方程为

2

y x =-. ①

设AB 的中点为M ,

则1

)2

M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为

14

y x =+. ②

由①、②得1l 、2l

的交点为1

(,)88

N -

. …………………………9分

||8

NP ==

, 21||||2

AB x x =-=

, ||4

AM =

, ||MN ==

||NA ==

, 故 ||||NP NA =,

又 ||||NP NQ =, ||||NA NB =, 所以 ||||||||NA NP NB NQ ===,

由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心,NA 为半径的圆上. ……………12分

(22)【解析】(I) 2

'

2

()(1)(2)

x f x x x =++ …………………………2分 当0x >时, '

()0f x >,所以()f x 为增函数,又(0)0f =,因此当0x >时,

()0f x >. …………………………5分

(II) 20

100999881

100

p ????=

L . 又2

2

2

998190,988290,918990,?

)10

p <. 由(I)知: 当0x >时, 2ln(1)2x

x x +>

+ 因此 2(1)ln(1)2x x

++>.

在上式中,令19x =

,则 1910ln

29>,即19210

()9e >. 所以19291

()10p e

<< …………………………12分